西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第八章假设检验（习题课）.pdf_大学文库

2019/12/22 2 例4 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 7.102.107.105.108.106.109.10 2.103.103.105.104.101.106.104.10 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? 解 0.15, ,),(~ 2 因为 NX     ,5.10:,5.10: H0   H1   要检验假设 .1 , )( 2 为已知关于的检验 Z 检验  10 ).( 15/15.0 5.1048.10 / 0    n x   则  ,516.0 查表得 z 05.0  ,645.1 , . 故接受 H0 认为该机工作正常 n  ,15 x  ,48.10  / 2 0.05,  516.0| 645.1 / | 05.0 0   z n x   于是如果在例4中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?   )05.0( 解 , ,),(~ , 依题意 NX  2  2 均为未知 ,5.10:,5.10: 要检验假设 H0   H1   n  ,15 x  ,48.10   ,05.0 s  ,237.0 15/237.0 5.1048.10 / 0     ns x t   ,327.0 查表得 )14()1(2/ 025.0 t n  t   1448.2 t  ,327.0 , . 故接受 H0 认为金属棒的平均长度无显著变化例5 .2 , )( 2 为未知关于 的检验 t 检验某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命如下: 170485260149250168362222 264179379224212101280159 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 2 , 例6 解 H0 :   0  H1   ,225:,225 依题意需检验假设取  ,05.0 n  ,16 x  ,5.241 s  ,7259.98 查表得 7531.1)15( t 05.0  0 0.6685 / x t s n      故接受 H0 ,认为元件的平均寿命不大于小时 .225 例7 有甲、乙两台机床加工相同的产品, 从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直径(单位:mm)为机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著差异? 假定两台机床加工的产品直径都服从正态分布, 且总体方差相等. 解 ,),(),( , 2 2 2 N 1 N  X Y 和依题意两总体和分别服从正态分布 ,, , 2 21  均为未知   )05.0( 3.利用t检验法检验具有相同(未知) 方差的两正态总体均值差的假设. . : ,: 需要检验假设 H    H    211210 n1  ,8 x  ,925.19 ,216.0 2 s1  n2  ,7 y  ,000.20 ,397.0 2 s2  .0 547, 278 )17()18( 2 2 2 1 2      ss s 且 w , 所以接受 H0 即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异. ,160.2)13( 查表可知 t 025.0  | 7 1 8 1 |||    ws yx t   ,160.2265.0 任课教师：王磊概率论讲义Chapt8

2019/12/22 3 New：基于成对数据的检验( t 检验 ) 有时为了比较两种产品, 或两种仪器, 两种方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出推断. 这种方法常称为逐对比较法. 例8 有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:       11.013.012.011.018.018.012.009.010.0% 89.077.068.059.078.032.052.021.010.0% 00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%  yxd   y x 问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? 本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不能用表8.1中第4栏的检验法作检验].   )01.0( 0. : 0, : 要检验假设 H0  d  H1  d  ,,, , , 2 21 ddd d s 设  n 的样本均值样本方差按表8.1中第2列中（位于表第7行）关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为 ,)1( / 0 2/     nt ns d t 由 n  ,9 ,3554.3)8()8( t 2/  t 005.0  d  ,06.0 s  ,1227.0 可知 t  467.1  ,3554.3 , 所以接受 H0 认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 解：小结本节学习的正态总体均值的假设检验有: .1 单个总体均值 的检验 —— Z 检验; .2 ; 两个总体均值差    21 的检验 —— t 检验 .3 基于成对数据的检验 —— t 检验; 当两个正态总体的方差均为已知(不一定相等)时,我们可用 Z 检验法来检验两正态总体均值差的假设问题, 见表8.1第3行 . 或t 检验；口诀：均值检验非正(方差已知) 即T(方差未知) (通常) 第三节正态总体方差的假设检验解 ,5000:,5000: 2 1 2 要检验假设 H0   H   n  ,26   ,02.0 ,5000 2  0  ,314.44)25()1( 2 01.0 2   2/ n      )02.0( 例9 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 =9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化? 2  2 s 一、单个总体的情况任课教师：王磊概率论讲义Chapt8

2019/12/22 4 ,524.11)25()1( 2 99.0 2   2/1 n    )1( 2 0 2    sn 拒绝域为: ,524.11 )1( 2 0 2    sn 或 .4.3144 46 5000 920025)1( 2 0 2      sn 因为  , 4.3144 , 所以拒绝 H0 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化. 例10 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布, 现随机抽取9根, 检查其折断力, 测得数据如下 (单位:千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为20? 解 ,20:,20: 2 1 2 按题意要检验 H0   H   n  ,9 x  ,89.287 ,36.20 2 s  查表得   )05.0( ,18.2)8( 2  975.0  ,5.17)8( 2  025.0  ,14.8 20 36.208)1( 2 0 2      sn 于是   ,5.1714.818.2 , 故接受 H0 认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20. 解 ,1.0:,1.0: 2 1 2 要检验假设 H0   H   n  ,25 ,415.36)24( 2  05.0  4.47 1.0 1975.024)1( 2 0 2      sn 因为  ,415.36 , 所以拒绝 H0 认为该车床生产的产品没有达到所要求的精度. 例11 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布, 按规定产品尺寸的方差不得超过0.1, 为检验该自动车床的工作精度, 随机的取25件产品, 测得样本方差 s2=0.1975, . 问该车床生产的产品是否达到所要求的精度? 2  x  86.3   )05.0( 例12 两台车床加工同一零件, 分别取6件和9件测量直径, 得: 假定零件直径服从正态分布, 能否据此断定 0.345, 0.357. 2 2 sx  s y  . 22    yx   )05.0( 解本题为方差齐性检验: .:,: 22 1 22 H0   yx H   yx 2 2 y x s s 取统计量 F  ,82.4)8,5( F 025.0  ,9644.0 357.0 345.0  ,148.0)8,5( F 975.0   F  ,82.4148.0 , 故接受 H0 . 22 认为   yx 两总体方差相等也称两总体具有方差齐性. 二、两个总体的情况小结 .1 ; 单个正态总体方差的检验法 —— 2 检验法 .2 两个正态总体方差的检验法 —— F 检验法; 口诀：单个方差必卡方，两个方差必F. 综合例题任课教师：王磊概率论讲义Chapt8

2019/12/22 5 回顾：假设检验的一般步骤 ; .1 , 1 0 H H 假设根据实际问题的要求提出原假设及备择 3. 计算临界点以及拒绝域(或接受域); 2. 构建检验统计量; 4. 计算检验统计量的样本值; 5. 判断，接受或拒绝 H0 0. 解读题目！解设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取36位考生的成绩, 算得平均成绩为66.5 分, 标准差为15分, 问在显著性水平0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 并给出检验过程. 设该次考试的学生成绩为 X , ),,(~ 2 则 NX  样本均值为 X, 样本标准差为 S, 需检验假设: .70:,70: H0   H1     ,05.0 例13 , 因为2 未知故采用t 检验法, , 当 H0 为真时 1(~ ), / 70 / 0      nt S n X S n X t  统计量查表 8-1 知拒绝域为 1( ), / 70 2/    nt S n X t  ,0301.2)35(,15,5.66,36 由 Xn S  t 025.0  4.1 36/15 705.66 / 70      S n X 得 t  ,0301.2 所以接受 H0 , 认为全体考生的平均成绩是分.70 解某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖的抗折强度(千克), 得到结果如下: ;8.3,5.30,8 : ;4.6,3.27,10 : 2 2 1 1      Syn xn S 第二批第一批已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验: (1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异? 均取  )05.0( (1) 检验假设: .:,: 2 2 2 11 2 2 2 H 10  H   例14 用 F 检验法 , , 当 H0 为真时 1,1(~ ), 2 1 2 2 2 1  nnF  S S 统计量 F 查表 8-1 知拒绝域为 )1,1(  12/ nnFF 2  1,1( ), 或 F   12/1  nnF 2  ,44.14,96.40,8,10 2 2 2 由 1 2 Snn 1  S  ,82.4)7,9( F 025.0  ,283.0 )9,7( 1 )7,9( 025.0 975.0   F F ,837.2 44.14 96.40 得 F  显然  ,82.4837.2283.0 , . 所以接受 H0 认为抗折强度的方差没有显著差异 (2) 检验假设: ,:,: H    H   211210 用 t 检验法 , , 当 H0 为真时 2(~ ), 11 21 21     nnt nn S X Y t w 统计量任课教师：王磊概率论讲义Chapt8

2019/12/22 6 . 2 )1()1( 21 2 22 2 2 11    nn SnSn 其中 Sw 查表 8-1 知拒绝域为 2( ). t t nn 212/  ,1199.2)16()2810( 由t 025.0 t 025.0  ,418.5,3575.29 16 2 44.14796.409    Sw  Sw 245.1 474.0418.5 5.303.27 11 21        nn S YX t w 得  ,1199.2 , . 所以接受 H0 认为抗折强度的期望无显著差异关于假设检验的两类错误 . 25 1 ,}||),,({,25)2( };||{,1)1( . 0.05 , , ,)0:(0: , ),,,( )100,( 25 1 1 1 25 111 1 0 1 21        i i n xxdxxxWn dxxWn d W H H XXX N 其中的检验犯第一类错误的概率为两种情况下分别确定常数使得以为拒绝域的一个样本要检验在下列设是来自正态总体      解 ,1)1( , n  若时 H0 成立 ,)1,0(~ 10 1 N X 则例2 P WX   P  dX  11 1        1010 1 dX P 1 10 10    d d                        10 12 d   ,05.0 ,975.0 10       d  ,96.1 10  d d  ;6.19 ,,25)2( n  若时 H0成立 ,)1,0(~ 10 25 N X 则 P    X X W P X  d  1 25 1 ,        22 dX P 1 2 2    d d                        2 12 d   ,05.0 ,975.0 2        d  ,96.1 2  d d  .92.3   , 0.05 },||,,{ ),:( , : , ),,,( )9,( 1 0 11 0 0 0 21 试确定常数使显著性水平为拒绝域的一个样本其中为未知参数检验设是来自正态总体 C H CxxxW H XXX N n n            解 , H0成立若 ,)1,0(~ 3 )( 0 N Xn   则 ()),(( ) P X1 Xn W1  P X  0  C 例3            33 Xn 0 Cn P               3 12 Cn   ,05.0 ,975.0 3        Cn  ,96.1 3  Cn ; 88.5 n C  任课教师：王磊概率论讲义Chapt8

西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第八章 假设检验（习题课）

西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第八章假设检验（习题课）