西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第一章 概率论的基本概念（任课教师：王磊）

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 第一节概率论的基本概念 概率论的诞生及应用 1.概率论的诞生 概率论的诞生及应用 二、随机现象 三、随机试验 问应如何分本”为题求教于帕斯卡，帕斯卡 与费马通信讨论这一问题，于1654年共同建立了 四、小结 概率论的第一个基本概念 —数学期望 2.概率论的应用 二、随机现象 自然界所观寒到的现象：痛定性现象随机现豪 1确定性现象 领城，例如天气预报、地展预报、产品的抽样调 性现 查，在通讯工程中橛率论可用以提高信号的抗干 实例 扰性、分辨率等等 “太阳不会从西边升起” “水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥 0⊙0 实例2用同一门炮向同 确定性现象的特征【匠条件完全决定结果 发，观来弹落点的情况 2.随机现象 结果：弹落点会各不相同。 实例3抛掷一枚般子观 结果有可能为： 实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观衰 出现的点数 正反两面出现的情况 ●$ 的的指古或6 结果有可能出现正面也可能出现反面 随机现象的特征【条件不能完全决定结果 率论就是研究随机现康规性的一门数学学科 0⑧0

2019/9/6 1 二、 随机现象 四、 小结 一、 概率论的诞生及应用 三、 随机试验 第一节 概率论的基本概念 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌 博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡 与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了 概率论的第一个基本概念 数学期望. 一、概率论的诞生及应用 1. 概率论的诞生 2. 概率论的应用 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象 的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学 领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调 查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干 扰性、分辨率等等. 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. “太阳不会从西边升起”, 1.确定性现象 “同性电荷必然互斥”, “水从高处流向低处”, 实例 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 二、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 2. 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面. 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同. 随机现象的特征 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 明机现象得示了条件和结系之间的半角定益联 三、随机试验 系，其数量关系无法用西数加以描述 定义 2.随机现象在一次观赛中出现什么结果具有偶然 在概率论中把具有以下三个特征的试验称 性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有 为随机试验 一定的统计规律性，摄率论就是研究随机现象这 1.可以在相同的条件下重复地进行 下规律的一门或学学科 不止一个并且能事 先明 的 所 能结果 么是 现象是 来研究的. 、进行 试验之前不能确定哪一个结果 会出现 说顺水法垫简察为试验是大灯王的大海空有 ②)试验的所有可能结果： 括各种各样的科学实盈，也包括对客观事物进行 字面、花面： S 的“调查”、“观来”或“测量”等 ③)进行一次试验之前不能 确定建一个结果会出现 2.随机试酸通常用E来表示. 故为随机试验 实例“抛掷一枚硬币，现 同骤可知下列试验都为随机试验， 察字面，花面出现的情况 1.抛掷一枚骰子观寨出现的点数 分析 2从一批产品中，依次任选三件记 )试验可以在相同的条件下重复地进行： 录出现正品与次品的件数 ⊙ 四、小结 1.摄率论是研究随机现象规律性的一门数学学科。 随机现意的特征：条件不能完全决定结果 4.考寒某地区10月 2,随机现象是通过随机试验来研究的， 份的平均气湿. 仙)可以在相同的条件下重复地进行 上一个，并且能率 5.从一批灯泡中任取 一只，测试其寿命. 无进行 能确定哪一个结果会 出现， ④⊙⊙ ④⊙@

2019/9/6 2 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验? 如何来研究随机现象? 说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 定义 三、随机试验 说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察字面,花面出现的情况”. 分析 2. 随机试验通常用 E 来表示. (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; 1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 同理可知下列试验都为随机试验. (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人数. 4. 考察某地区 10 月 份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命. 四、小结 随机现象的特征: 1. 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科. 条件不能完全决定结果. 2. 随机现象是通过随机试验来研究的. (1) 可以在相同的条件下重复地进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.       随 机 试 验 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 一、样本空间样本点 第二节样本空间、随机事件 定义 一、样本空间样本点 款为E的样本空间，记为S, 二、随机事件的振念 样本空间的元素，即试验E的每一个结果，称为 样本点 三、随机事件间的关系及运算 实例1抛掷一枚硬币，观察字面，花面出现的情况 四、小结 H→字面朝上 S={H,T.T+花面朝上 实例 抛一枚般子观察出现的点数 实例：记录某公共汽车站某日 绝多的 上午某时刻的等车人数 S.=1.2.3.4.56. S=0,1,2…. 实例3 从一批产品中，依次任选三件，记录出 现正品与次品的情况 实侧 考 地区12月份的平 记N→正品，D→次品 S,=<1<T 则S,={N,NND,NDN,DNWN 其中1为平均温度 NDD,DDN DND,DDD ) 0⊙0 000 。书论+点作保 课堂练习 说明1试验不同，对应的样本空间也不同 写出下列随机试验的样本空间。 1.同时掷三颗子，记录三颗子之和 例如对于同一试验：“将一枚硬币抛算三次” 若观素正面爪、反面T出现的情况，则样本空间 为 答案 S -(HHH HHT HTH.THH. HT.ITH.IHT.). 1.S=3.4.5.…,18 若观察出现正面的次数，则样本空间为 2.S=10,11,12,-. S={0.1.2.3. 0⑧0 ④⊙0

2019/9/6 1 一、样本空间 样本点 三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念 四、小结 第二节 样本空间、随机事件 问题 随机试验的结果? 定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素 , 即试验E 的每一个结果, 称为 样本点. 实例1 抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况. }.,{ S1  TH 一、样本空间 样本点 H  字面朝上 T  花面朝上 实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. }.6,5,4,3,2,1{ S2  实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况. }. , ,, , , ,, { 3 NDD DDN DND DDD 则 S  NNN NND NDN DNN 记 N  正品, D  次品. 实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数. }.,2,1,0{ S4   实例5 考察某地区 12月份的平 均气温. { }. 5 1 T2 S  tT  t  其中 t 为平均温度 . 答案 S   }.18 , ,5 ,4 ,3{ .1 S  }. ,12 ,11 ,10{ .2 写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 课堂练习 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S  .}3,2,1,0{ }.,,, ,,,,{ TTTTHTTTHHTT S  HHH HHT HTH THH 说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/9/6 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 说明3.建立样本空间，事实上就是建立随机现 象的数学模型因此，一个样本空间可以 根括许多内容大不相同的实际问题 所以在具体问题的研究 例如只包含两个样本点的样本空间 中，描述随机现象的第一步 S=IH.T 就是建立样本空间 它既可以作为抛德硬币出现正面或出现反面的 模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 越型等 0⊙@ 二、随机事件的概念 基本件 由一个样本点组成的单点集 1.基本振念 实例“出现1点，“出现2点”，，，，“出现6点 随机事件随机试酸E的样本空间S的子桌称 必然事件葡机试验中必然会出现的结果 为E的随机事件，简称事件. 实例上述试验中“点教不大于6”就是必然事件 实例抛辄一妆子，观察出要的点数令 不可能喜件随机试验中不可能出理的结果， 实例上述试验中“点教大于6”就是不可能事件 式验中，般子“出现1点”，“出现2点”，…，“出现6点 “点数不大于4”，“点数为偶数”等都为随机事件 必然事件的对立面是不可能事件不可能事 件的对立面是必然事件它们互称为对立事件 ④⊙@ 2,几点说明 3)随机试验、样本空间与随机件的关系 ()随机事件可简称为事件，并以大写英文字母 A,B,G,…来表示事件 例如抛掷一枚般子，观察出现的点数 可设A一“点数不大于4”， 随机试验 一样本空间子集随机事件 B=“点数为奇数”等等 基本事件 (②事件失业的能念 样本出时这且，子集中的一个 不可能事件 互为对立事件 0⊙⊙ ④⊙@ 2

2019/9/6 2 说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等. S  H T},{ 所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间. 随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 1. 基本概念 二、随机事件的概念 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点” 基本事件 由一个样本点组成的单点集. 2. 几点说明 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等. (1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C,  来表示事件 (2) 事件发生的概念 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个 样本点出现时，称这一事件发生。 (3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间 子集 随机事件 随机事件       基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件    互为对立事件 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl 三、随机事件间的关系及运算 .A等于B若率件A包含事件B,而且事件 B包含事件A,则称事件A与事件B相等，记作 设试验E的样本空间为S,而A,B,A(k= -B. 1,2,是S的子集 1.包含关系若事件A出现，必然导致B出现， 则称事件B包含事件A,记作B了A或ACB. 率件B的和件 实例“长度不合格”必然导致“产品不合格” 实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 所以“产品不合格”包含“长度不合格” 是否合格所决定，因此“产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并 图示B包含A. 08s 阳示事件A与B的并 推广称心A为n个事件A,4,,A的和事件 否合 称心4为可列个事件4,4，…的和事件 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件 .事件A与B的交（积事件） 图示事件A与B的积事件. 事件AnB=xxeA且xeB称为事件 A与事件B的积事件. 积事件也可记作A,B或4B. 0⊙0 0⊙0 生丰检动点作他销 。书色+长作保 推广称门4为n个事件小4的积率件 5事件A与B的差 由事件A出现而率件B不出现所组成的 称门4为可列个事件44，…的积事件 事件弥为事件A与B的楚记作A-B. 和喜件与积率件的运算性质 套是 B的差 AUA=AAU5=S,AU②=A BCA BA A0=4,Ans=4,400=0. 4-B B 0⊙@ 0⊙⊙

2019/9/6 3 ),2,1 . ( , , , 是 的子集 设试验 的样本空间为 而 S E k kABAS   1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 或  BAAB . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以“产品不合格”包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A. S A B 三、随机事件间的关系及运算 2. A等于B 若事件 A 包含事件 B， 而且事件 B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B. 3. 事件 A 与 B 的并(和事件) . } { 事件 的和事件 事件 或 称为事件 与 B     BxAxxBA A 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径 是否合格所决定，因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并. S B A B A , , , ; 21 1 推广 k 为称 个事件 n 的和事件 n k   AAAnA 4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) 积事件也可记作  或 ABBA . , , . 21 1 称  Ak 为可列个事件 AA 的和事件 k   . { } 与事件 的积事件 事件 且 称为事件 BA     BxAxxBA 图示事件A与B 的积事件. S A AB B 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是 “长度合格”与“直径合格”的交或积事件. 和事件与积事件的运算性质   AAA , A S  S,   AA ,   AAA , A S  A, A  . , , , ; 21 1 推广 为称 个事件 n 的积事件 n k  k  AAAnA , , . 21 1 称  A 为可列个事件 AA 的积事件 k k   5. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的 事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B. 图示 A 与 B 的差. S A B S A B  AB  AB BA  BA 实例 “长度合格但直径不合格”是“长度合 格”与 “直径合格” 的差. 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/9/6 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 6.事件A与B互不相容（互斥） 实例抛掷一枚般子，现桌出现的点数 若事件A的出现必然导致事件B不出现，B “般子出现1点”互庄.“段子出现2点 出现也必然导致A不出现则称事件A与B互不相 容，即 的 ANB=AB=0. 实例抛将一枚硬币，“出现花面”与“出现字面 图示A与B互斥 是互不相容的两个事件. B ● ,事件A的对立事件 对立件与互斥率件的区别 设A表示“事件A出现”，则“事件A不出现 A、B互斥 4,B对立 称为事件A的对立事件或逆事件.记作入， 实例“股子出现1点”对立 .“子不出现1点 Bs A B-4s 图示A与B的对立 AB=0 AUB=S且AB= 互二 对立 若A与B互逆，则有AUB=S且AB=O。 ⊙0 事件间的运算规律设A,B,C为事件，则有 )交换律AUB=BUA,AB=B4. )A出现，BC不出现： 解(1)ABC (2)结合律(AUB)UC=AU(BUC). (AB)C=A(BC). A嘟出现C不出现： (2)ABC; (③)分配律 (3)三个事件至少有一个出现： (3)AUBUC (AUBOC=(400)U(BOC)=ACUBC (4)三个喜件都出现： (4)ABC: (AnB)UC=(AUC)n(BUC)=(AUCX(BUC) ⑤)三个事件都不出现 4德摩粮律：AU5,n五，AB-UE (不多于一个事件出现：(G)ARCUARCUARCUAR 0⊙① ④⊙@ 4

2019/9/6 4 6. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相 容, 即   ABBA  . 实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件. “骰子出现1点” “骰子出现2点” 图示 A 与 B 互斥. S A B 互斥 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现” 称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点” 图示 A 与 B 的对立. S B A 若 A 与 B 互逆,则有  BA  S 且 AB  . A 7. 事件 A 的对立事件 对立 对立事件与互斥事件的区别 S S A B A B A A、B 互斥 A、B 对立 AB    BA  S 且 AB   互 斥 对 立 事件间的运算规律 )1( 交换律    BAABABBA ., 结合律 )()2(   CBACBA ),( )()()( , )3(     BCACCBCACBA 分配律 (4)德摩根律 :  ,   BABABABA . 设 BA C 为事件 ,,, 则有 AB C  A BC).()(    CBCACBCACBA ).)(()()()( 例1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来. (1) A 出现 , B, C 不出现; (5) 三个事件都不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件至少有一个出现; (4) 三个事件都出现; (6) 不多于一个事件出现; 解 CBA ;)1( CAB ;)2( )3(  CBA ; ABC;)4( CBA ;)5( )6(  CBACBACBACBA ; 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/9/6 任课教师：王磊 概率论讲义Chaptl (⑦刀不多于两个事件出现 (图)三个事件至少有两个出现： 四、小结 (9趴A,B至少有一个出现，C不出现 1.随机试验、样本空间与随机事件的关系 (10)4B,C中恰好有两个出现 随机试验一一样本空间子集随机事件 解()ABCUABCU BCUARCUABC 或ABC 「基本事件 复合事件 (8)ABCUABCUABCUABC: ()(AUB)C: (不可能事件 (10)ABCUABCUABC 2概率论与集合论之间的对应关系 记号 率论 集合论 AUB事件A与事件的和集合A与集合的并集 事件数气件的 合A与集合B的交 不可能 基本事件 A一B事件A与事件B的差A与B两集合的差集 城机惠件 子集 HB=事件A与B互不相容 1与B两集合中没有 相同的元素 A的对立事件 的补集 A出现必然导致B出现 A是B的子集 1=B事件A与事件相等集合A与集合相等 ⊙⊙⊙ 5

2019/9/6 5 (7) 不多于两个事件出现; (8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现. )8(  BCACBACABABC ;  CBA ;)()9( )10(  BCACBACAB . 或 ABC; , )7( BCACBA CABCBACBACBACBA  解续  随机试验 样本空间 子集 随机事件 随机事件       基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件 四、小结 1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系 2. 概率论与集合论之间的对应关系 记号 概率论 集合论 S 样本空间，必然事件 空间  不可能事件 空集 e 基本事件 元素 A 随机事件 子集 A A的对立事件 A的补集  BA A出现必然导致B出现 A是B的子集  BA 事件A与事件B相等 集合A与集合B相等  BA 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集 AB   事件A与B互不相容 A与B 两集合中没有 相同的元素  BA 事件A与事件B的和 集合A与集合B的并集 AB 事件A与事件B的 积事件 集合A与集合B的交集 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 第三节频率与概率 一、频率的定义与性质 1.定义 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 生的须数比值称为事件A发生的频率，并记 三、小结 成(40 2.性质 枚硬币抛掬5次、50次、500次客做 设A是随机试验E的任一事件，则 5 0s.0s: (2)fS=lf©= (③)若4，，，A是两两互不相容的事件，则 八4 UAU..-UA)=4)+f(4)+…+f(4为 ④⊙@ A)U 从上述数据可得 实验者 (山)须率有随机波动性，即对于同样的m,所得的 不一定相同： )抛币次数：较小时，频率∫的随机放动幅 240 202 度较大，但随n的增大，颜 )的大 ⊙⊙@ -④⊙@

2019/9/6 1 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 第三节 频率与概率 ).( . , , , , Af A n n A n A n n n A A 成 生的频数 比值 称为事件 发生的频率 并记 次试验中 事件 发生的次数 称为事件 发 在相同的条件下 进行了 次试验 在这 1. 定义 一、频率的定义与性质 2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 f A  ;1)(0)1( n f S f  ;0)(,1)()2( ( ).()()() ,,,)3( , 21 1 2 21 k n n n k k AfAfAfAAAf AAA   若  是两两互不相容的事件 则 试验 序号 n  5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n  50 22 25 21 25 24 18 27 nH n  500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 在 处波动较大 2 1 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 在 处波动较小 2 1 从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同; 实验者 德 摩根 蒲 丰 n nH f K 皮尔逊 K 皮尔逊  2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f H)( n的增大 . 2 1 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 从上表中可以看出，出现{正而向上}的颜率() 请同学们思考 虽然随的不同而变动，但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在.5这个数值上. “你的 具有定性的声件出现的复率 在 当 得够哈 ,医生跳续 定义在不变的一组条件下进行大量的重复试验， 到了我，我已经 机事件4出现的率巴合换地在木因定的 过九个病人了， 他们都死于此病 的数值p的附近握动，我们称这个稳定值为菌机 医生的说法对吗： 五 这个定义也称为概率的绕计定义。 二、概率的定义与性质 1.概率的定义 1933年，苏联敷学家柯尔莫哥洛夫提出了概 设E是随机试验，S是它的样本空间对于E 率论的公理化结构，给出了餐率的严格定义，使 的每一事件A赋子一个实数，记为P(A,称为事 件A的概率，如果集合函数P~)清足下列条件： (山非负性：对于每一个事件A有P(A)之G: (2)规范性： 对于必然事件S,有P(S) 是两两互不相容的 1*人44=0,4j=1,2,则有 4U4U--4)t4)+ 餐率的可列可加性 0⊙0 ④⊙0 2.性质 (2)若4,4，，A是两两互不相容的事件，则有 ①P②=0. 证明A=②(m=1,2h RAUAUUA)=P(A)+R(4)++RA) 则04.=②，且44=,i* 率的有限可加性 由率的可列可如性得 证明令A1=A=… =0 No--(0)-En) 台AA,=0,i*,i,j=1,2,… 由概率的可列可加性得 高… 4U4U-UA)=P四A)=2P4)-=24)+0 =PA)+P4)++P4 0⊙0 0⊙0 2

2019/9/6 2   f A n 从上表中可以看出 出现 , 正面向上 的频率 虽然随 n 的不同而变动, 但总的趋势是随着试验次 数的增加而逐渐稳定在 5.0 这个数值上 . 定义 在不变的一组条件下进行大量的重复试验 , 随机事件 出现的频率 会稳定地在某个固定的 n A  的数值 p 的附近摆动, 我们称这个稳定值p为随机 事件 A的概率 即 , P   pA . 这个定义也称为 概率的统计定义 . 可见, 在大量重复的试验中,随机事件出现的频率 具有稳定性.即通常所说的统计规律性. 医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的 病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活 .” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说 ：“但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看 过九个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗? 请同学们思考. 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展. 二、概率的定义与性质 Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia Andrey Nikolaevich Kolmogorov , )( : ,)(, , . 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 设 是随机试验 是它的样本空间 对于 A P  A AP E S E 非负性 : (1) 对于每一个事件 有 APA  ;0)(, 规范性 :(2) 对于必然事件 S 有 P S  ;1)(, 事件 即对于 则有 设 是两两互不相容的 , ,,2,1,,, (3) ,,: 21   jiAAji  AA ji 可列可加性 P( AA 21   P A1 P A2)()()   概率的可列可加性 1. 概率的定义 P  .0)()1( 证明 nA  ),,2,1( n , ., 1 An ji jiAA n     则  且 由概率的可列可加性得          n n APP 1 )(      1 )( n AP n     1 )( n P P  0)(  .0)(    P 2. 性质 概率的有限可加性 证明 , 令 n1  AA n2     AA   i  j i j  .,2,1,,, ji 由概率的可列可加性得 ( ) P 21  AAA n )( 1 k k AP         1 )( k AP k 0)( 1    n k AP k ()()( ).  P A1  P A2  P An 若 21 ,,,)2( AAA n是两两互不相容的事件 ,则有 ( ()()() ). P 21  AAA n  P A1 P A2  P An 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1

2019/916 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1 ()设么B为两个事件，且ACB测 PAsPB队PB-=PB)-PA 对于在-事件4PsL 证明 ACS=P(ASP(S)■L, 证明因为AcB, 故P0≤1 所以B=AU(B-A. 又(B-A)n4= a (⑤设是A的对立率件，则P不=1-P 证明因为AUA=S,Ana=O,PS=l, 得P(B)=P④+P(B-A) 所以1=PS)=P4U万 于是P(B-A)=PB)-PA P(4)+P(). 又因PB-A)20,故P)≤P →P=1-PA. (⑥（加法公式）对于 件B有 准广三个嘉件和的情况 -P(B) P(A,UAUA) 证明由图可得 =P(A)+P(A)+P(A)-P(AA:)-P(AA) AUB■A+(B-AB). 4巴月 -P(AA)+P(Ad) 且A∩(B-AB=@ 厅个事件和的情况 故PAUB)=PA+P(B-AB P4U4UU4)-2P4)-P44 -P(B)-P(AB) ⊙⊙0 刚1设事件4，B的率分别为和，求在下列 (3)由图示得AUB=AUBA且AnBA=O, 三种情况下P(B雨的值 PAUB4A)=P氏A)+PBA, 0A与B互斥：(2AcB)PAB)=g 又AAUB)=HA0+HB-AAB 解)由图示得PBA=P(B, 故P叫B=PB)=子 因而 PB)AB) (2由图示得 40B、 P(BA)=P(B)-P(A) B d的B ⊙。0 ④⊙@

2019/9/6 3 ).()()(),()( ,)3( ,, APBPABPBPAP BA BA   设 为两个事件 且  则 证明 B A 因为  BA , 所以    ABAB ).( 又  AAB  ,)( 得 P B  P A  P  AB .)()()( 又因 ABP  ,0)( 故  BPAP ).()( 于是 P AB P B  P A).()()( )5( 是设 AA 的对立事件 则  APA P ).(1)(, 证明 因为   ,  SPAASAA  ,1)(,  APAP ).(1)( )4( 对于任一事件 A P A  .1)(, A  S P A  P S  ,1)()( 故 P A  .1)( 证明 所以    AAPSP )()(1   APAP .)()( ).()()()( )()6( , ABPBPAPBAP BA   加法公式 对于任意两事件 有 证明 A B 由图可得   ABBABA ),( 且  ABBA  ,)( 故 P  BA  P A  P  ABB ).()()( 又由性质 3 得 因此得 AB  ABPBPABBP ),()()( P  BA P A P B  P AB).()()()( 推广 三个事件和的情况 ( ) P  AAA 321 ).()( )()()()()( 31 321 1 2 3 21 32 AAAPAAP P A P A P A P AA P AA      n 个事件和的情况 ( ) P 21  AAA n     nji ji n i i AAPAP1 1 )()( ()1()( ). 21 1 1 n n nkji AAAP kji  AAAP      解 )1( 由图示得  BPABP ),()( . 2 1 故 BPABP )()(  )()()( )2(  APBPABP 由图示得 . 6 1 3 1 2 1  . 8 1 )1( )()3(;)2(; .)( , 2 1 3 1 , BA  ABPBA  ABP BA 与 互斥 三种情况下 的值 设事件 的概率分别为 和 求在下列 B A S S A B 例1 )3( 由图示得   ABABA , 又    ABPBPAPBAP ),()()()(   ABPAPABAP ),()()( 因而   ABPBPABP )()()( . 8 3 8 1 2 1  且  ABA  , S A AB B 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt1