20 第五章 微分方程模型 1人口预测和控制 2交通流模型 3传染病模型（续）】 款学建模
第五章 微分方程模型 1 人口预测和控制 2 交通流模型 3 传染病模型（续）
人口预测和控制 指数增长模型 马尔萨斯 =x,x(0)=0 dx x(t)=xe dt 阻滞增长模型(Logistic模型 =rx=nl-） Xm dt m x(t)= Xm 1+( xm -D)e-m Xo 0 教学建模
1 人口预测和控制 指数增长模型——马尔萨斯 0 rx, x(0) x dt dx = = rt x t x e0 ( ) = 阻滞增长模型(Logistic模型) ( ) (1 ) m x x r x x rx dt dx = = − x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 t x 0 xm x0
人口发展方程 ·年龄分布对于人口预测的重要性 ·只考虑自然出生与死亡，不计迁移 F(r,t)~人口分布函数（年龄∞)~最高年龄 F(0,t)=0,F(rm,t)=N(t) ∂F p(r,t)= 数学建模
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) = m = r F p r t ( , ) = • 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移 人口发展方程 F(r,t) ~ 人口分布函数(年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r m (→) ~ 最高年龄
人口发展方程 (r,)~死亡率 t,年龄[r,r t+dt,年龄[r+d) (t,t+dt)内 +dr]人数 r+d+dr]人数 d=dh死亡人数 ▣ p(r,t)dr -p(r+dn,t+dt)dr u(r,t)p(r,t)drdt [p(r+dr,t+dt)-p(r,t+dt)]+[p(r,t+dt)-p(r,t)] =-u(r,t)p(r,t)dt, dt=d :g-atpr小 阶偏微分方程 教学建模
(r,t) p(r,t) t p r p = − + 1 1 ( , ) ( , ) , [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] r t p r t dt dt dr p r dr t dt p r t dt p r t dt p r t = − = + + − + + + − 人口发展方程 (r,t) ~ 死亡率 p(r,t)dr 人数 年龄 ] , [ , dr t r r + 死亡人数 (t,t + dt)内 人数 年龄 ] , [ , 1 1 r dr dr t dt r dr + + + + dt = dr1 一阶偏微分方程 p(r dr,t dt)dr = (r,t) p(r,t)drdt − + 1 +
p+2=-4心，0p,） 人口发展方程 Or'Ot p(r,0)=p(r),r≥0~已知函数 (人口调查) p(0,t)=f(t),t≥0 生育率（控制人口手段》 p(0)=f(0) 相容性条件 阶偏微分方程的 Po(r 半无界问题 数学建棋
= = = − + (0, ) ( ), 0 ( ,0) ( ), 0 ( , ) ( , ) 0 p t f t t p r p r r r t p r t t p r p ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 人口发展方程 0 t r ( ) 0 p r f (t) 一阶偏微分方程的 半无界问题 0 p f (0) (0) = --------相容性条件
卫+ =-u(r,t)p(r,t) 人口发展方程 了 Or'Ot p(r,0)=p(r),r≥0 ~已知函数（人口调查） p(0,t)=f(t),t≥0 生育率（控制人口手段） 4r,)=r)目p(t,)= n(r-e,stsr fl-r)e"t>r Po(r F(r,t)=[p(s,t)ds N(t)=[p(s,t)ds f(t) 教学建棋
= = = − + (0, ) ( ), 0 ( ,0) ( ), 0 ( , ) ( , ) 0 p t f t t p r p r r r t p r t t p r p 人口发展方程 ~已知函数（人口调查） ~生育率（控制人口手段） 0 t r ( ) 0 p r t = r f (t) t r t r (r,t) = (r) − − = − − − f t r e t r p r t e t r p r t r r r t s d s s d s ( ) , ( ) , 0 ( , ) 0 ( ) ( ) 0 = r F r t p s t ds 0 ( , ) ( , ) = r m N t p s t ds 0 ( ) ( , )
生育率的分解 人口发展方程 了 k(r,t)~(女性)性别比函数 b(r,)~(女性)生育数 [,]~育龄区间 f(t)=["b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr h(r,t)=h(r） b(r,t)=B(t)h(r,t) h(7r,t)dr=1h~生育模式 B(t)=b(r,t)drB总和生育率 f(t)=B(t)"h(r,t)k(r,t)p(r,t)dr 数学建模
= 2 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) r r f t b r t k r t p r t dr b(r,t) = (t)h(r,t) = 2 1 ( , ) 1 r r h r t dr = 2 1 ( ) ( , ) r r t b r t dr 生育率的分解 k(r,t) ~ (女性)性别比函数 b(r,t) ~ (女性)生育数 [r1 ,r2 ] ~ 育龄区间 = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) r r f t t h r t k r t p r t dr ~总和生育率 h~生育模式 h(r,t) = h(r) 0 1 r 2 r r 人口发展方程
人口发展方程和生育率 人口发展方程 了 f(t)=B(t)"h(r,t)k(r,t)p(r,t)dr B(t)~总和生育率一 控制生育的多少 (r,t)~生育模式控制生育的早晚和疏密 p(r,t)= lfi-r)e t>r (r ·正反馈系统 op,op f(t) =-4(r,t)p(r,t) p(r,t ·滞后作用很大 B(t 数学建模
− − = − − − f t r e t r p r t e t r p r t r r r t s d s s d s ( ) , ( ) , 0 ( , ) 0 ( ) ( ) 0 = 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) r r f t t h r t k r t p r t dr 人口发展方程和生育率 (t) ~总和生育率——控制生育的多少 h(r,t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 (r,t) p(r,t) t p r p = − + f (t) ( ) 0 p r p(r,t) (t) • 正反馈系统 • 滞后作用很大 人口发展方程
人口指数 人口发展方程 了 1)人口总数 N(t)=[p(r,t)dr 2)平均年龄 (dr 3)平均寿命 S()=∫era dr t时刻出生的人，死亡率按(r,)计算的平均存活时间 4)老龄化指数o(t)=R(t)/S(t) 控制N(①)不过大 控制生育率 控制od不过高 数学建棋
= r m rp r t dr N t R t 0 ( , ) ( ) 1 ( ) − − = t r t d r S t e d t 0 ( , ) ( ) (t) = R(t)/ S(t) = r m N t p r t dr 0 ( ) ( , ) 人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 (t)不过高 人口发展方程
2交通流模型 考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。 X轴-公路 X轴正向--公路上车辆前进的方向 u(t,x)-- 车辆分布的密度函数 q(1,x)一一车辆通过x处的流通速率 时刻，在[x,x+d中的车辆数为u(t,x)d [t,t+d]时间段内，通过x处的车辆流量为q(t,x)dd 数学建模
2 交通流模型 考察高速公路上行驶的车辆的流动问题。 X轴----公路 X轴正向----公路上车辆前进的方向 u t x ( , ) − − 车辆分布的密度函数 q t x ( , ) − − 车辆通过x处的流通速率 t x x dx u t x dx 时刻 在 中的车辆数为 , [ , ] ( , ) + [ , ] ( , ) t t dt x q t x dt + 时间段内,通过 处的车辆流量为