西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（习题课）

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4 第四章 随机变量的数字特征 一、重点与难点 习题课 1.重点 数学期的性质和计算 一、重点与难点 方差的性质和计算 二、主要内容 相关系数的性质和计算 三、典型例题 字特征的计算 二、主要内容 离散型随机变量的数学期望 计 设离散型随机变量X的分布律为 PX=}=,k=12, 若级数2xP,绝对收敛， 则级数为机变X的学 ④⊙0 。书色+长作保 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 X是连续型随机变量，它的颜率密度为， 离散型随机变量函数的数学期望为 若积分x)d绝对收线， 若Y=gX,且PX=x=p4,(k=1,2) 则称此积分值为连续型随机变量X的数学期望 则有EgX)=gxp 记为E(X, 即EX)=x 若X是连续型的，它的分布密度为f八x) 则有EgX)=置gxf 0⑧0 0⊙0

2019/11/19 1 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 第四章 随机变量的数字特征 习题课 一、重点与难点 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算 二、主要内容 数学期望 方差 离散型 连续型 性质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的 数学期望 定 义 协方差 的性质 相关系数 定理 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X的分布律为 P X   kpx  .,2,1,}{ kk , 1 若级数  绝对收敛  k px kk , 1 则称级数 px 为随机变量 X的数学期望 k  kk   记为 E X ,)( .)( 1     k 即 pxXE kk 连续型随机变量的数学期望 ,)( , , d)( XE X xxxf 记为 则称此积分值为连续型 随机变量 的数学期望 若积分  绝对收敛   xxxfXE .d)()(    即  X 是连续型随机变量 ,它的概率密度为 xf ),( 随机变量函数的数学期望 离散型随机变量函数的数学期望为 Y  g X P  kpxX  ),2,1(,}{,)( 若 且 k k 则有 (( )) .)( 1     k pxgXgE kk (( )) xxfxgXgE .d)()(     若 X 是连续型的 ,它的分布密度为 xf ),( 则有 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4 数学期望的性质 盖A 二维随机变量的数学期望 1.设C是常数，则有E(C)=C. 定义为 变量，若EX,E)都 2.设X是一个随机变量，C是常数则有 存在 CxPg,(X,Y)的概率分布为Py: E(CX)=CE(X). 3.设X了是两个随机变量，则有 x,dd,(X,Y)的密度为xJ以 E(X+)=E(X)+ET), 同建可得 设Xy是相互独立的随机变量，则有 ∑∑P,(X,)的橛率分布为P, E(XY)=E(X)E(Y) E(Y)- 工fx,dd,(X,y)的密度为xJ 方差的定义 1.若X,Y为离散型随机变量，g(x,)是二元函数 则Eg(X,1=∑∑g(x,p, 当(K,)的联合展率分布为P, -E(X) D(X 是X的方记作 Var(X) 2若X,Y为连续型随机变量，gx,)是二元函数 即称 则EgX,-g,/x,d ,记为() 当X,y)的联合分布密度为x,J ④⊙@ ⊙⊙0 方差的计算 方差的性质 青教 1.设C是常最，则有D(C=0. D(X)--E(X 2.设X是 个随机变量，C是常数，则有 DCX)■CDX 其中PX=x=p,k=l,2…是X的分布钟 3.设X,y相互独立，D(X.DW)存在，则 连续型随机变量的方差 D(X±)■DX)+DY). D(x)=ix-E(x)f(x)dr. 4.D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即 其中)为概率密度 P[X=C)=1. ⊙⊙@ ④⊙@ 2

2019/11/19 2 数学期望的性质 1. 设C是常数, 则有E C  C.)( 2. 设X是一个随机变量, C是常数, 则有 E  CECX X).()( 3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有 E X Y  E X  E Y ).()()( 4. 设X, Y 是相互独立的随机变量, 则有 E XY  E X E Y ).()()( 二维随机变量的数学期望              ,dd),( , )( yxyxxf px XE i j iji 同理可得 存在 则其期望值定义为 设 为二维随机变量 若 都 , YX ),( E X E Y )( ,)( , ),( ; X Y 的概率分布为 pij X Y ),( 的密度为f x y .),(              ,dd),( , )( yxyxyf py YE i j iji ),( ; X Y 的概率分布为 pij X Y ),( 的密度为f x y .),( 若 YX , .1 为离散型随机变量 yxg ),( , 是二元函数 ,   ,),()],([ i ij j YXgE ji pyxg ),( . 当 X Y 的联合概率分布为 pij YXgE )],([ yxyxfyxg ,dd),(),(       则 则 若 YX , .2 为连续型随机变量 yxg ),( , 是二元函数 , 当 YX ),( 的联合分布密度为 yxf .),( 方差的定义 )( .)( , ,})]({[)(Var)( ),(Var )( , })]({[ , })]({[ , 2 2 2 XD X XD XEXEX XD X XXEXE X XEXE 称 为标准差或均方差 记为 即 或 则称 是 的方差 记作 设 是一个随机变量 若 存在    方差的计算 ([)()( )] . 2 2  XEXEXD 离散型随机变量的方差 ([)( )] , 1 2 k k k  pXExXD    连续型随机变量的方差 ([)( )] ,d)( 2  xxfXExXD    其中 P kpxX 是 X 的分布律 . ,2,1 ,}{ k k   其中 xf )( 为概率密度. 方差的性质 1. 设 C 是常数, 则有 D C  .0)( 2. 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 ).()( 2  XDCCXD D X  Y  D X  D Y ).()()( 3. , , ( ), ( ) , 设 存在 X Y D X DY 相互独立 则 XD  0)(.4 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即 P X  C  .1}{ 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt.4 协方差与相关系数的定义 分 布 EX-E(XY-EY)称为随机变量 参数 数学期望方差 X与y的协方差记为Cov(X,y, 两点分布 Pp(-P) Cov(X,Y)=ElX-E(X)IY-E(Y)B. 二项分布 00 均匀分市 a0 (I)CoM(X.Y)-E(XY)-E(X)E(Y): 正态分布，G>0 X+n-x+m+2cmX80画 三、典型例题 (一)填空题 (2)设x-N(100.6,y-N0,2,且x与Y相互独立 (已知X-N(-2,0.4),则E(X+3)2= 则D3X-)=? 解：由均值的性质得 EX+3}=E(x+6X+9) D(3X-Y)=9D(X)+D(Y) =Ex)+6EX)+9 =54+2=7.4 =DX)+(EX2+6EX)+9 =0.16+4+6-2)+9=1.16 0⊙0 0⊙0 生来给海点作他销 (3)设X的概率密度为x)=4Ae,期DX)=? =临e 1-x货4e 2广…2广 e-4匠 k=后 e-广] A=小 Ex-e临左=0 0⊙0 y ⊙⊙@

2019/11/19 3 协方差与相关系数的定义 X Y E X  E X Y  E Y )]}.()][({[),(Cov , )]}()][({[ 与 的协方差 称为随机变量 YX   YEYXEXE 记为 X Y ),,(Cov . )()( ),(Cov 关系数 称 为随机变量 与YX 的相 YDXD YX XY    X Y E XY  E X E Y );()()(),Cov()1( D YX D X D Y  2)()()()2( Cov( ,YX ).  p  10 p  pp )1( 10 ,1   p n np  pnp )1(   0    ba  ba 2)( 12)( 2  ab θ  0 θ 2 θ 分 布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布 μ σ  0, μ 2 σ （一）填空题 2 2 ( ) ~ ( . ), ( ) ? 1 2 已知 ， 则 X N EX   0 4 3 三、典型例题 2 2 2 2 : ( 3) ( 6 9) ( ) 6( ) 9 ( ) ( ) 6( ) 9 0.16 4 6( 2) 9 1.16 EX EX X EX EX D X EX E X           解 由均值的性质得 2 10 0 6 1 2 3 ( ) ~ ( . ), ~ ( , ), , ( )? X N Y N XY DXY  设 ， 且 与 相互独立 则 (3 ) 9 ( ) ( ) 5.4 2 7.4 D X Y D X DY     解： 2 (3) ( ) , ( ) ? x X f x Ae D X  设 的概率密度为 则   2 1 x f ( x )dx Ae dx         ＋ ＋ － － = 2 2 2 x e dx       ＋ 2 x e dx       +  2 x A e dx A       ＋ － =  A  1  E(X) 2 x xf ( x )dx xe dx          ＋ ＋ － － 1 =  0 2 2 E(X ) x f ( x )dx     2 1 2 x x e dx      ＋ － = 2 2 0 2 x x e dx     ＋ = 2 0 1 x xde     ＋ =- 2 2 0 0 1 x x xe e dx          + + =- － 1 2 = 2 2 D( X ) E( X ) ( EX )   1 2 = 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4 (二)选择题 (2)设X,X,X,相互独立同服从参数元=3的泊松 ()挪一颗均匀的骰子600次，那么出现”一点 次数的均值为？ 分布，令y=X+X+X则E=: (A50(B)100(C120(D150 (A1(B9(C10(D6 解：X出现一直的次数则X~60m名 解：ET)-X+X2+X川-x3x-3 EX)=600×-100 D)-D可x+水+X川-*3x- E(Y)=D(Y)+1E(Y)P=1+9=10 (三)证明题 L4DCY)DXD0(X=X+D0) 设随机变量X的率密度为)=)e州-0 re州=reh P(Xsx.xsx)=P(xsx) +P(Xsx)P(xsx) 奇雨数 -[-xo]5+” -2f xe'te (3)E( -w]+ COX.X=EX)-EX)E=0 2 散D)=E上[E(-2O0O -④⊙⊙

2019/11/19 4 1 600 50 100 120 150 ( ) , " " ? () () () () AB C D 掷一颗均匀的骰子 次 那么出现 一点 次数的均值为 1 600 6 1 600 100 6 : " ", ~ ( , ) ( ) X Xb E X   解 设 出现一点的次数 则 （二）选择题 123 123 2 2 1 1 : ( ) [ ( )] 3 3 3 3 1 1 ( ) [ ( )] 3 1 3 9 ( ) ( ) [ ( )] 1 9 10 EY E X X X DY D X X X EY DY EY                   解 123 2 123 2 3 1 3 1 9 10 6 () , , , ( ), ( ) ? () () () () XXX Y X X X EY AB C D      设 相互独立同服从参数 的泊松 分布 令 则 (3) , ( ) ( ) ( ), ? () ( ) ( ) () () ( ) ( ) () ( ) ( ) X Y E XY E X E Y A D XY D X D Y B D X Y D X D Y CX Y DX Y      对于任意两个随机变量 和 若 则 和 相互独立 和 不相互独立 : ( ,) ( ) ( )() 0 ( ) ( ) () 2 ( ,) ( ) () Cov X Y E XY E X E Y D X Y D X D Y Cov X Y D X DY        解 )3( . )2( 2)(,0)()1( , , 2 1 )( 证明 与 不相关 证明 与 不相互独立 证明 设随机变量 的概率密度为 XX XX XDXE X xexf x       1 E( ) () X xf x dx    （）  证 1 2 x x e dx       0 （三）证明题 2 0 x x e dx      2     2 2 E X x f x dx     1 2 2 x x e dx            2 2 DX EX EX     故   2 0 0 2 x x x e xe dx            0 0 2 2 x x xe e dx             2 0 2 x xe dx     2 0 ( , )( ) ( )( ) X X x PX xX x P X x PX xP X x       证明（ ） 与 不相互独立，因为任给 () ( ) 3 EXX  Cov X X E X X E X E X ( , ) ( ) ( )( )    0  0 奇函数 ( ,) ( ) () XY Cov X Y D X DY     0 随机变量函数 的数学期望 1 2 | | x x x e dx    任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt.4 (四)解答题 (2)公共汽车起点站于每时的0分.30分.55分发车 该乘客不知发车时间在每小时内的任意时刻随机 到达车站，求乘客候车时间的数学期望 解，的分布率为 X0■123 解：X"乘客到站时间” y"乘客候车时间 EKN)=12/7 9-E9-Exf-4 00@ 10-X,0≤X≤10 白中 ±g 奖 金500元：二等奖10个，各奖100元；三等奖100个 0-x.35<xs60 各奖10元：四等奖1000个，各奖2元.某人买了五个 户头，他期望得奖多少元？ E-gx/x 解因为任何一个户头获奖都是等可能的， -ra0-+f广eo-t+ 先计算一个户头的得奖金数X的期望。 (55-xt+n70-x =10分25秒 0⊙0 ⊙⊙0 X的数学期望为 (4)设二维违续型随机变量(X,Y)的联合密度 E(X=×500+d×100+d×10+× 豪为化功- in(x+y).0sxs.0sys 其他 =0.45(元). 且Z=cos(X+Y,求E(Z和DZ. 买五个户头的期望得奖金额为 解E(Z=cosx+y/x,ydd E(5X)=5E(X)=5×0.45=2.25(元. c yhin(x ynts -os2x-cosπ+2xlc=0 0⑧0 0⊙@ 5

2019/11/19 5 ,3 ()( ). ,3,4,7)1( 个球 求抽到白球数 的期望 和方差 XDXEX 盒中有 个球 其中 个白球 个黑球 从中任取 解 的分布率为 : X X0123 k p 3 3 3 7 C C 1 2 4 3 3 7 C C C 2 1 4 3 3 7 C C C 3 4 3 7 C C E( ) X  12 7 2 2 24 49 DX EX EX ( ) ( ) [ ( )]   （四）解答题 (2) 10 ,30 ,55 , , , . 公共汽车起点站于每时的 分 分 分发车 该乘客不知发车时间 在每小时内的任意时刻随机 到达车站 求乘客候车时间的数学期望 解 乘客到站时间 乘客候车时间 :" " " " X Y 1 60 0 60 0 60 0 ~ [, ] ( ) x X U fx       其它 10 0 10 30 10 30 55 30 55 70 55 60 , , , , X X X X Y X X X X                E() ()() Y g x f x dx      10 25 分 秒  g( ) X 10 30 0 10 55 60 30 55 1 10 30 60 55 70 [( ) ( ) ( ) ( )] x dx x dx x dx x dx          某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年, 定额60元, 按规定10000个户头中, 头等奖一个, 奖 金500元; 二等奖10个, 各奖100元; 三等奖100个, 各奖10元; 四等奖1000个, 各奖2元. 某人买了五个 户头, 他期望得奖多少元? 解 因为任何一个户头获奖都是等可能的, 先计算一个户头的得奖 金数 X 的期望 . 分布列为 （3） 234 4 10 8889 10 1 10 1 10 1 10 1 0210100500 p X X 的数学期望为 2 10 1 10 10 1 100 10 1 500 10 1 )( 4 3 2 XE   元 ),( 45.0 买五个户头的期望得奖金额为 E (5 ) 5 ( ) X EX   元 ).( 25.245.05 解 ).( )( ),cos( ,0 , 2 π 0, 2 π 0),sin( 2 1 ),( ),( ZDZEYXZ yxyx yxf YX 且 和求 其他 函数为 设二维连续型随机变量 的联合密度         ZE )( dd),()cos( yxyxfyx         dd)sin()cos( yxyxyx 2 1 2 π 0 2 π  0      2 π 0 cos(2[cos π d)]2 2 1 x xx  ,0 （4） 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4

2019/11/19 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt.4 D(Z)=E(Z') 《)设二述铁型随肌变代)的联合度 -j}se+iax+博 西藏为列-月2+90cx<10<2 0, 他 fcws-cafs+hs 求(X,Y)的协方差矩阵及相关系数 解EX)-xK,yd -rr+tr-号r+9r- ⊙⊙@ Ex9=rr+-碧 0m=roe+5-7 放0-器-月-品 故CN(X,)=E(X)-EX)E) 因为E=9x2+5= 于是（化，）的方差矩阵为 B四-r2+灯咖费 数0-引月-胎 。⊙© ⊙⊙0 6

2019/11/19 6 )()( 2  ZEZD dd)sin()(cos yxyxyx 2 1 2 π 0 2 π 0 2                    2 π 0 3 3 d 2 π coscos 6 1 xxx . 9 2  解 ),( . ,0 ,20,10), 2 1 ( 7 6 ),( ),( 2 求 的协方差矩阵及相关系数 其他 函数为 设二维连续型随机变量 的联合密度 YX yxxyx yxf YX        XE )( dd),( yxyxfx        dd) xyxyxx 2 1 ( 7 1 6 0 2 0 2     dxxx 7 6 7 1 12 0 23          , 7 5  （5） XE dd) yxxyxx 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 2 22     , 70 39  , 490 23 7 5 70 39 )( 2        故 XD  YE dd) xyxyxy 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 2   因为   , 7 8  YE dd) xyxyxy 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 2 22     , 21 34  , 147 46 7 8 21 34 )( 2        故 YD  XYE dd) xyxyxxy 2 1 ( 7 6 )( 1 0 2 0 2     , 21 17  故 X Y  E XY  E X E Y )()()(),(Cov , 147 1 7 8 7 5 21 17  于是 YX ),( 的协方差矩阵为 . 147 46 147 1 147 1 490 23             X 与Y 的相关系数 )()( ),(Cov YDXD X Y  XY  . 69 15  备用例题 任课教师：王磊 概率论讲义Chapt4