20 第三节贝塞尔Bezier)曲线 数学建模
第三节 贝塞尔(Bézier) 曲线
贝塞尔(Bezier)是法国雷诺汽车公司的工程师，他于1962年提出了这种独创的 造曲线曲面的方法，并以这种方法为基础，发展了一套设计制造系统，称之为 UNISURF系统，八十年代中后期，国际知名的法国达索(Dassault)飞机公司研制的 CATIA系统，也广泛使用贝塞尔方法。贝塞尔方法较之以前的方法有许多优良的性质， 其中一个很受设计人员青睐的性质是它是一个非常几何化的方法，设计人员不必关心曲 线曲面的数字表示形式，只要在空间定义好控制多边形的形状就能大致确定曲线曲面的 形状，使人能直观地交互式地控制设计对象。 教学建模 00
贝塞尔(Bézier)是法国雷诺汽车公司的工程师，他于1962年提出了这种独创的构 造曲线曲面的方法，并以这种方法为基础，发展了一套设计制造系统，称之为 UNISURF系统，八十年代中后期，国际知名的法国达索(Dassault)飞机公司研制的 CATIA系统，也广泛使用贝塞尔方法。贝塞尔方法较之以前的方法有许多优良的性质， 其中一个很受设计人员青睐的性质是它是一个非常几何化的方法，设计人员不必关心曲 线曲面的数字表示形式，只要在空间定义好控制多边形的形状就能大致确定曲线曲面的 形状，使人能直观地交互式地控制设计对象
一.Bezier曲线的定义 定义1由下式定义一个n次Bezierl曲线 C0=∑B.Q)p 0≤t≤1 (6.3.1) i-0 B,.d)是由下式定义的n次Bernstem多项式： 8.06t-r n. (6.3.2) P∈R 是常向量，它们的终点相连构成的多 边形称为Beziera多边形。 定义的曲线称为由p为控制顶点的n次 Bezierl曲线如图6.3.1所示。 数学建模
一. Bézier曲线的定义 定义1 由下式定义一个n次Bézier曲线 ( ) ( ) 0 1 0 = , = C t B t P t i n i i n B (t) i,n 是由下式定义的n次Bernstem多项式: ( ) ( ) ( ) i n i i n t t i n i n B t − − − = 1 ! ! ! , （6.3.2） 3 Pi R 是常向量，它们的终点相连构成的多 边形称为Bézier多边形。 C(t) 定义的曲线称为由 Pi 为控制顶点的n次 Bézier曲线 如图6.3.1所示。 (6.3.1)
P2 P: 图6.3.1 二.Betnstein基函数的性质 正性 .8时-1 01=0,1 2.端点性质 8.0- (=0) 10其他 其他 教学建模
1 p 1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 p 4 p 图6.3.1 二. Betnstein基函数的性质 正性 ( ) ( ) = = = t i n t B t i n 0 0,1 , 1,2, 0 0 ,1 , 2. 端点性质 ( ) ( ) = = 0 其他 1 0 , 0 i Bi n ( ) ( ) = = 0 其他 1 , 1 i n Bi n
3.权性 归 t∈(0，) 由二项式定理可知： ∑B)=立Cr0-小r=[0-+=1 4.对称性 B①)=B,0-t） 因为 B-n)=Cg--1-r-).1- =Cgt(1-y-=B,01-) 款学建模
3. 权性 ( ) 1 (0,1) 0 , = B t t n i i n 由二项式定理可知： ( ) (1 ) (1 ) 1 0 0 , = − = − + − = = i n i n n i i n n i i n B t C t t t t 4. 对称性 B (t) B ( t) i,n = n−i,n 1− ( ) ( ) ( ) ( ) C t ( t) B ( t) B t C t t i n i i n i n n i n n i n i n i n n = − = − = − − − − − − − − − 1 1 1 1 1 , , 因为
图6.3.2表示的是n=0,1,…,5时Bernstein基函数 的图像，从中我们可以清晰的看到上面所提到的对 称关系。 Bio(1) B.1t) B:2T) 1 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bi3(r) BiA(1) Bis(t) 1 1 .5 0.5 图6.3.20~5阶Bernstein基函数的图像 教学建模
图6.3.2表示的是 n = 0,1, ,5 时Bernstein基函数 的图像，从中我们可以清晰的看到上面所提到的对 称关系。 图6.3.2 0 ~ 5阶Bernstein基函数的图像
5.递推性 B,n(d=(1-)B,-1(d)+B-1-(d (0=01,…n） 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为： B ()=CMr'(1-1)=(Ci-+c'(1-)" =-Cg0-)ah+C-)-H- =(01-0B(0)+B-) 6.导函数 B()=nB)-B i=0,1,…,n; 7.最大值 B)在1=处达到最大值。 n 数学建棋
5. 递推性 B (t) ( t)B (t) t B (t) (i n) i,n = 1− i,n−1 + i−1,n−1 = 0,1, 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t)B (t) t B (t) t C t t t C t t B t C t t C C t t i n i n i i n i n i i n i n i i n i n i n i i n i i n n , 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − = − + = − − + − = − = + − 6. 导函数 ( ) ( ) ( ), 0, 1, , ; Bi ,n t = n Bi−1,n−1 t − Bi,n−1 t i = n 7. 最大值 B (t) i,n 在 n i t = 处达到最大值
8.升阶公式 B0 a.0-8. 80-0-B0++.0 9.积分 .eh=n+i 教学建模 00
8.升阶公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B (t) n i B t n i B t B t n i t B t B t n i t B t i n i n i n i n i n i n i n , , 1 1, 1 , 1, 1 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + = − + + = + − = − 9.积分 ( ) + = 1 0 , 1 1 n B t dt i n
三 Bezier曲线的性质 1端点性质 (a.曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当 =0时，P(O=P;当t=1时，P)=p由此可见， Bezierl曲线的起点、终点与相应的特征多边形 的起点、终点重合。 (b)切矢量 因为PO=n2[80)-BQ】所以当1=0时， P0=nP-P),当t=1时，P=nC-P),这说明 Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征 多边形的第一条边及最后一条边的走炮⊙致。 款学建模
三. Bézier曲线的性质 1.端点性质 0 P (0) = P (a).曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当 时， ;当 时， 由此可见， Bézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形 的起点、终点重合。 (b).切矢量 因为 ( ) ( ) ( ) − = = − − − − 1 0 1, 1 , 1 n i i i n i n P t n P B t B t 所以当 时， ，当 时， ，这说明 Bézier曲线的起点和终点处的切线方向和特征 多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 t = 0 t =1 P = P n (1) t = 0 (0) ( ) P1 P0 P = n − t =1 (1) ( ) = − −1 P n P n P n
(c).二阶导矢 P()=n(n-1)>(P2-2Pm+P)B-2() 当t=0时，p"(O)=nn-1P-2P+,） 当t=1时，p"①=nn-1Pn-2Pn+Pn-2) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上， r阶导矢只与r+1)个相邻点有关，与更远点无关。 k阶导函数的差分表示 n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为： 2P0侧 P0- (6.3.3) 数学建模
(c).二阶导矢 P(t) n(n ) (P P P )B (t) i n n i i i i , 2 2 0 2 1 1 2 − − = = − + − + + 当t=0时， ( ) ( )( ) P 0 = n n −1 P2 − 2P1 + P0 当t=1时， ( ) ( )( ) 1 = −1 − 2 −1 + −2 P n n Pn Pn Pn 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上， 阶导矢只与 个相邻点有关，与更远点无关。 阶导函数的差分表示 次Bézier曲线的k阶导数可用差分公式为： ( ) ( ) ( ) − = − − = n k i i i n k k k PB t t n k n P t 0 , 0,1 ! ! r (r +1) k n (6.3.3)