第九章 概率模型 9.1传送系统的效率 9.2报童的诀窍 9.3■随机存贮策略 9.4轧钢中的浪费 9.5随机人口模型 教学建模
第九章 概率模型 9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型
随机模型 确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 确定性模型 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 随机性模型 概率模型 统计回归模型 马氏链模型 教学建模
确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 马氏链模型 随机模型 确定性模型 随机性模型
9.1 传送系统的效率 背景 传送带 挂钩 产品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径 数学建模
传送带 挂钩 产品 工作台 工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 背 景 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径 9.1 传送系统的效率
问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用 一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标： ·工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同 教学建摸一
问题分析 • 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。 • 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同
模型假设 1)n个工作台均匀排列，个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2)生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3)一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。 数学建摸
模型假设 1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立， 生产周期是常数； 2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在 一个周期内是等可能的； 3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的； 4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统
模型建立 ·定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作3， 待定)与生产总数n(已知)之比，记作D=sm 为确定5，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p,则s=吧 设每只挂钩为空的概率为4，则p=1-q 求 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r,则=” 设每只挂钩被一工人触到的概率为u,则=1-w 率 一周期内有个挂钩通过每一工作台的上方 u=1/m →p=1-(1-1/m) D=1-(1-1// 学建摸
模型建立 • 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n • 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp 为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？ 如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 何 求 概 率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u u=1/m p=1-(1-1/m) n D=m[1-(1-1/m) n ]/n 一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
模型解释 传送带效率（一周期内运走 产品数与生产总数之比) 若（一周期运行的）挂钩数远大于工作台数n,则 D≈ 7(71一1 2-1 2m 定义E=1D(一周期内未运走产品数与生产总数之比) 当远大平1时，E≈n/2m一B与n成正比，与m成反比 若n=10,=40, 提高效率 ·增加m D≈87.5%(89.4%) 的途径：·习题1 数学建模
模型解释 若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则 )] 2 ( 1) [1 (1 2 m n n m n n m D − − − + 传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比） ) ] 1 [1 (1 n n m m D = − − 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 提高效率 的途径： • 增加m • 习题1 当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比 若n=10, m=40, D87.5% (89.4%) m n 2 1 1 − = −
9.2 报童的快窍 报童售报：a(零售价)>b(购进价)>c(退回价) 售出一份赚a-b；退回一份赔b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？ 购进太多→卖不完退回→赔钱 存在一个合 分析 购进太少→不够销售→赚钱少 适的购进量 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 每灭收入是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 等于每天收入的期望 教学建模
9.2 报童的诀窍 问 题 报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价) 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？ 分 析 购进太多→卖不完退回→赔钱 购进太少→不够销售→赚钱少 应根据需求确定购进量 每天需求量是随机的 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入 每天收入是随机的 存在一个合 适的购进量 等于每天收入的期望
禮 调查需求量的随机规律一 每天 需求量为r的概率f),=0,1,2.… 设每天购进n份，日平均收入为G() 模 已知售出一份赚-b;退回一份赔b-C r≤n→售出r→赚(a-b) 三退▣n一“一→暗(b-c)(1-r) r>n三售出n三嫌(a-b)n G(n)=E[(a-b)r-(b-c)(n-r)lf(r)+>(a-b)nf(r) "=n+1 求n使Gn)最大 数学建摸
建 模 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 调查需求量的随机规律——每天 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 准 备 ( )( ) ( ) n r b c n r r n r a b r − − − − 退回 赔 售出 赚 r n 售出n 赚(a −b)n = = + = − − − − + − n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r 0 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) 求 n 使 G(n) 最大 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
求解 将r视为连续变量 (r)→p(r)(概率密度) G(n)=(a-b)r-(b-c)(n-r)lp(r)dr (a-b)np(r)d G =(a-bmpm）-(b-c)pd -(a-b)np(n)(a-b)p(r)d -(b-c)p(r)dr+(a-b)p(r)di p(r)dr a-b p(r)dr b-c 教学建模
= − − − − + − n n G n a b r b c n r p r dr a b np r dr 0 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) = dn dG 求解 将r视为连续变量 f (r) p(r) (概率密度） = 0 dn dG b c a b p r dr p r dr n n − − = ( ) ( ) 0 = − − + − n n b c p r dr a b p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − − + − n (a b)np(n) (a b) p(r)dr − − − n a b np n b c p r dr 0 ( ) ( ) ( ) ( )