高等数学课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： 课程中文名称： 高等数学 课程英文名称： Calculus 课程类别： 基础理论课 适用专业： 理，工，管各专业 开课学期： 春、秋 总学时： 180学时（理论课180学时。） 总学分： 11 预修课程（编号）： 并修课程（编号）： 线性代数 本课程是以实数域上的微积分理论为核心内容，面向理、 工、管各专业开设的数学基础课程，是我国工科数学教学 内容中最重要的组成部分。课程系统介绍了一元函数和多 课程简介： 元函数的极限，连续性，微分学，积分学，无穷级数、常 微分方程和空间解析几何等内容，是逐步培养学生具有抽 象的逻辑推理能力、用数学的手段概括问题的能力、空间 想象能力和自学能力所必须的教学环节。 同济大学应用数学系，高等数学（上，下册），（第五 建议教材： 版)，北京，高等教育出版社，2002年7月。 [1]清华大学数学科学系《微积分》编写组，微积分， 北京，清华大学出版社，2003,8。 [2]杨永愉，李秋姝，崔丽鸿，高等数学学习辅导，北 京，化学工业出版社，2008年5月。 参考书： [3]李心灿等，高等数学专题十二讲，北京，化学工业 出版社，2001年11月。 [4]Finney,Weir,Giordano, 托马斯微积分，北京， 高等教育出版社，2004,7。 二、 课程教育目标 通过本课程的教学，培养学生具有 a)逻辑推理能力。 b)空间想象能力。 c)抽象概括能力。 d)数学的自学能力。 e)熟练的运算能力。 )运用所学的数学知识来分析问题和解决问题的能力。 三、 理论教学内容与要求（含学时分配) 本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个档次，文中划线部分，属较高要求，必须使学生深入理解， 牢固掌握，熟练应用。非划线部分，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。 1.函数，极限，连续(12学时) (1)理解函数的概念 (2)了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。 (3)了解反函数的概念、理解复合函数的概念。 (4)熟悉基本初等函数的性质及其图形。 (5)会列出简单实际问题中的函数关系。 (6)理解极限概念（对运用极限定义证明极限结果，不作过高的要求）
高等数学课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： 课程中文名称： 高等数学 课程英文名称： Calculus 课程类别： 基础理论课 适用专业： 理,工,管各专业 开课学期： 春、秋 总 学 时： 180学时（理论课180学时。） 总 学 分： 11 预修课程（编号）： 并修课程（编号）： 线性代数 课程简介： 本课程是以实数域上的微积分理论为核心内容，面向理、 工、管各专业开设的数学基础课程，是我国工科数学教学 内容中最重要的组成部分。课程系统介绍了一元函数和多 元函数的极限，连续性，微分学，积分学，无穷级数、常 微分方程和空间解析几何等内容，是逐步培养学生具有抽 象的逻辑推理能力、用数学的手段概括问题的能力、空间 想象能力和自学能力所必须的教学环节。 建议教材： 同济大学应用数学系，高等数学（上，下册），（第五 版），北京，高等教育出版社，2002年7月。 参 考 书： [1] 清华大学数学科学系《微积分》编写组，微积分， 北京，清华大学出版社，2003，8。 [2] 杨永愉，李秋姝，崔丽鸿，高等数学学习辅导，北 京，化学工业出版社，2008年5月。 [3] 李心灿等，高等数学专题十二讲，北京，化学工业 出版社，2001年11月。 [4] Finney, Weir, Giordano, 托马斯微积分，北京， 高等教育出版社，2004,7。 二、 课程教育目标 通过本课程的教学,培养学生具有 a) 逻辑推理能力。 b) 空间想象能力。 c) 抽象概括能力。 d) 数学的自学能力。 e) 熟练的运算能力。 f) 运用所学的数学知识来分析问题和解决问题的能力。 三、 理论教学内容与要求（含学时分配） 本门课程的内容按教学要求的不同,分为两个档次,文中划线部分,属较高要求,必须使学生深入理解, 牢固掌握,熟练应用。非划线部分,也是必不可少的,只是在教学要求上低于前者。 1．函数，极限，连续（12学时） (1)理解函数的概念 (2)了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。 (3)了解反函数的概念、理解复合函数的概念。 (4)熟悉基本初等函数的性质及其图形。 （5）会列出简单实际问题中的函数关系。 （6）理解极限概念（对运用极限定义证明极限结果，不作过高的要求）
(7)堂握极限四则运算法则。 (8)了解两个极限存在准则（夹道准则和单调有界准则），熟练运用两个重要极限求极限。 (9)了解无穷小、无穷大的概念，熟练运用无穷小的比较求极限。 (10)理解函数在一点连续的概念。 (11)了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 (12)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（价值定理和最大值最小值定理）。 2.一元函数微分学(30学时) (1)理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 (2)会用导数描述一些物理量。 (3)熟练掌握导数和微分的运算法则（包括一阶微分形式不变性）和导数的基本公式。 (4)了解高阶导数的概念。 (⑤)堂握求初等函数的一阶、二阶导数。 (6)了解隐函数和参数式所确定函数的一阶、二阶导数的求法，了解相关变化率。 (7)理解和运用罗尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor) 定理。 (8)理解函数的极值概念。 (9)会判断函数增减性：求极值；判断函数图形的凹性；求拐点；会描绘函数的图象（包括水平和 铅直渐近线)；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 (10)熟练堂握罗必塔(L’Hospital)法则。 (11)了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 (12)了解求方程近似解的二分法和切线法。 3.一元函数积分学(30学时) (1)理解不定积分和定积分的概念及性质。 (2)熟悉不定积分的基本公式，掌握不定积分、定积分的换元法与分部积分法。 (3)会求较简单的有理函数的积分。 (4)理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉牛顿(Newton)-莱布尼兹 (Leibniz)公式。 (⑤)了解广义积分的概念。 (6)了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。 (7)掌握用定积分来表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功和引力等） 4.向量代数与空间解析几何(18学时) (1)理解向量的概念。 (2)堂握向量的运算（线性运算、数量积和向量积），了解两个向量垂直、平行的条件，了解混合 积。 (3)熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算。 (4)熟悉平面方程和直线方程及其求法。 (⑤)理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 和母线平行于坐标轴的柱面方程。 (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程。 (7)了解两曲面的交线在坐标平面上的投影。 5.多元函数微分学(20学时) (1)理解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线概念，会求它们的方程
(7)掌握极限四则运算法则。 (8)了解两个极限存在准则(夹道准则和单调有界准则)，熟练运用两个重要极限求极限。 (9)了解无穷小、无穷大的概念, 熟练运用无穷小的比较求极限。 (10)理解函数在一点连续的概念。 (11)了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 (12)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（价值定理和最大值最小值定理）。 2．一元函数微分学（30学时） (1)理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 (2)会用导数描述一些物理量。 (3)熟练掌握导数和微分的运算法则(包括一阶微分形式不变性)和导数的基本公式。 (4)了解高阶导数的概念。 (5)掌握求初等函数的一阶、二阶导数。 (6)了解隐函数和参数式所确定函数的一阶、二阶导数的求法,了解相关变化率。 (7)理解和运用罗尔(Rolle)定理，拉格朗日(Lagrange)定理，柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor) 定理。 (8)理解函数的极值概念。 (9)会判断函数增减性；求极值；判断函数图形的凹性；求拐点；会描绘函数的图象(包括水平和 铅直渐近线)；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 (10)熟练掌握罗必塔(L’Hospital)法则。 (11)了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 (12)了解求方程近似解的二分法和切线法。 3．一元函数积分学（30学时） (1)理解不定积分和定积分的概念及性质。 (2)熟悉不定积分的基本公式,掌握不定积分、定积分的换元法与分部积分法。 (3)会求较简单的有理函数的积分。 (4)理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理,熟悉牛顿(Newton)--莱布尼兹 (Leibniz)公式。 (5)了解广义积分的概念。 (6)了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)。 (7)掌握用定积分来表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功和引力等) 4．向量代数与空间解析几何（18学时） (1)理解向量的概念。 (2)掌握向量的运算(线性运算、数量积和向量积),了解两个向量垂直、平行的条件，了解混合 积。 (3)熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算。 (4)熟悉平面方程和直线方程及其求法。 (5)理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 和母线平行于坐标轴的柱面方程。 (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程。 (7)了解两曲面的交线在坐标平面上的投影。 5．多元函数微分学（20学时） (1)理解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性等概念,以及有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法。 (6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线概念，会求它们的方程
(⑧)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数 法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 6.多元函数积分学(30学时) ()理解二重积分 重积分的概念，了解重积分的性质。 (2)堂握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐 标、球面坐标)。 (3)理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质。 (④会计算两类曲线积分 (⑤)熟悉格林(G红reen)公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 (6)了解两类曲面积分的概念及高斯(Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式，并会计算两类曲面积分。 (7)了解散度、旋度的概念及计算方法。 (8)会用重积分、 线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、 重心、转动惯量、引力等)。 7.无穷级数(22学时) (1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 (2)熟悉何级数和P级数的收敛性 (③)了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，了解根值法。 (4)了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。 (⑤)了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 (6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 (T)掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 (8)了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 (9)了解函数展开为泰勒级数的必要条件与充分条件。 (10)会用的麦克劳林(Maclaurin )展开式，将一些简单函数展开成幂级数 (11)了解幕级数在近似计算上的简单应用。 (12)了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的充分条件，并会将定义在(-π，π)和[-L,L]上的 函数展开为傅里叶级数，会将定义在(0，L〉上的函数展开为正弦或余弦级数。 8.常微分方程学(18学时) (①)了解微分方程 解、通解、初始条件和特解等概念 (2)掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 (3)会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微 分方程。 (4④了解 的降阶法。 (⑤)了解二阶线性微分方程解的结构。 (6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 (7)会求自由项形如： 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 (⑧)了解微分方程的幂级数解法。 (⑨)会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 注：以上学时安排中，含两次期中考试的学时在内 四、 作业 作业难度分为三个层次： 1. 教材中每节后面的习题，是作业的主要内容，要求熟练掌握。 教材每章后面的总习题，在作业中适当布置，要求中上水平的学生掌握。 3 参考教材中的每章后面的习题， 由学生自愿选作。 ii. 作业每周交一次，迟交或缺交作业次数每学期应少于该学期作业总次数的20%，否则将 影响作业成绩的评定。 作业成绩占本课程总成绩的20%左右
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念,会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数 法,会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 6．多元函数积分学（30学时） (1)理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质。 (2)掌握二重积分的计算法(直角坐标、极坐标),了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐 标、球面坐标)。 (3)理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质。 (4)会计算两类曲线积分。 (5)熟悉格林(Green)公式,会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 (6)了解两类曲面积分的概念及高斯(Gauss)、斯托克斯(Stokes)公式，并会计算两类曲面积分。 (7)了解散度、旋度的概念及计算方法。 (8)会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、 重心、转动惯量、引力等)。 7．无穷级数（22学时） (1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 (2)熟悉几何级数和P级数的收敛性。 (3)了解正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法,了解根值法。 （4）了解交错级数的莱布尼兹定理,会估计交错级数的截断误差。 (5)了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 (6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 (7)掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 （8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 （9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件与充分条件。 （10）会用 的麦克劳林（Maclaurin）展开式，将一些简单函数展开成幂级数。 (11)了解幕级数在近似计算上的简单应用。 (12)了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的充分条件,并会将定义在〔-π,π〕和[-L ,L]上的 函数展开为傅里叶级数,会将定义在〈0，L〉上的函数展开为正弦或余弦级数。 8．常微分方程学（18学时） (1)了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 (2)掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 (3)会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想,会解全微 分方程。 (4)了解 的降阶法。 (5)了解二阶线性微分方程解的结构。 (6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 (7)会求自由项形如: 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 (8)了解微分方程的幂级数解法。 (9)会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 注：以上学时安排中，含两次期中考试的学时在内。 四、 作业 i. 作业难度分为三个层次： 1. 教材中每节后面的习题，是作业的主要内容，要求熟练掌握。 2. 教材每章后面的总习题，在作业中适当布置，要求中上水平的学生掌握。 3. 参考教材中的每章后面的习题，由学生自愿选作。 ii. 作业每周交一次，迟交或缺交作业次数每学期应少于该学期作业总次数的20%，否则将 影响作业成绩的评定。 iii. 作业成绩占本课程总成绩的20%左右
iv. 提倡并鼓励与同学讨论作业，但是最终的作业必须是独立完成的，抄袭或复制其他同 学的作业将违背学术道德，情节严重者将提请学校学生违纪处理委员会处理。 五、 考核方式 本课程为一学年度，两个学期的课程，每学期举行期中、期末考试各一次，每次120分 钟。每学期都有一次与期末考试同等难易程度的”二次期末考试”，但自愿报名参加。 六、 成绩评定 期中，期末考试均采用百分制 ii. 期末总成绩评定：作业(20%左右)，期中考试(10%)，期末考试(70%)。 执笔人：杨永愉
iv. 提倡并鼓励与同学讨论作业，但是最终的作业必须是独立完成的，抄袭或复制其他同 学的作业将违背学术道德，情节严重者将提请学校学生违纪处理委员会处理。 五、 考核方式 本课程为一学年度，两个学期的课程，每学期举行期中、期末考试各一次，每次120分 钟。每学期都有一次与期末考试同等难易程度的"二次期末考试"，但自愿报名参加。 六、 成绩评定 i. 期中，期末考试均采用百分制。 ii. 期末总成绩评定：作业（20％左右），期中考试（10％），期末考试（70％）。 执笔人：杨永愉