建模思想融入主干课程实例 北京理工大学叶其孝教授编写 预备知识：几何（等比）级数部分和的求和公式 S=1+g+g+g++g=4,g>0 1-q 例1在“文曲星”电子词典（或类似的电子词典）中，打开其目录，在“计算"目录下有一项贷款计 续写开后有下列并入有关台 贷款金额200.000 贷款年数20 年利率(%)6.39%-0.0639（月利率=6.39/12-0.5325% 按一下输入键，会见到如下“计算结果” 每月应付款数（记为） 1478.22 总还款额 354.77341 总利息 154,773.41 问题：用数学建模的方法来回答：这是怎么算出来的 假设：月等额还款：20年还请 提示：借款模型是按月利率，按月计算的。 用符号表示，设一开始的贷款金额记为A(=200,000) 贷款年数记为N(=240月)， 年利率记为R=0.0639, 月利奉记为r=R/12=0.005325 数学问题（数学棋型的建立和求解） 数学模型的建立即确定变量以及变量之间的关系的数学表示：某个月（记为第n个月）尚欠银行 的款数记为An,上个月（记为第m-1个月）结余欠款记为A加上利息记为A-(1+r),减去 这个月的还款X,还欠A-(1+r)-x 所以数学模型为：这个月的欠款等于上个月欠款加上利息，再减去这个月的（等额）还款，一 开始的借（欠）款、月利率已知：20年必须还清.用数学语言表示，数学模型为： An=An-(1+r）-xn=1,2,3,,N Avy=0 其中N=240,4,40=0表示20年=240个月还清贷款 求解：求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式请同学跟者一起做
建模思想融入主干课程实例 北京理工大学 叶其孝教授编写 预备知识：几何(等比)级数部分和的求和公式 2 3 1 1 1 , 0 1 n n n q S q q q q q q − − = + + + + + = − 例 1. 在“文曲星”电子词典(或类似的电子词典)中，打开其目录,在“计算”目录下有一项“贷款计 算”，打开后有下列显示(并填入有关信息)： 填写: 贷款金额 200,000 贷款年数 20 年利率(%) 6.39%=0.0639 (月利率=6.39/12=0.5325%) 按一下输入键，会见到如下“计算结果” 每月应付款数(记为 x) 1478.22 总还款额 354,773.41 总利息 154,773.41 问题: 用数学建模的方法来回答: 这是怎么算出来的. 假设: 月等额还款; 20 年还请. 提示: 借款模型是按月利率，按月计算的。 用符号表示，设一开始的贷款金额记为 0 A ( 200,000) = ， 贷款年数记为 N( 240 ) = 月 ， 年利率记为 R = 0.0639， 月利率记为 r = R/12 = 0.005325 数学问题(数学模型的建立和求解) 数学模型的建立即确定变量以及变量之间的关系的数学表示：某个月(记为第 n 个月)尚欠银行 的款数记为 A n , 上个月(记为第 n - 1 个月)结余欠款记为 A n−1 加上利息记为 1 (1 ) A r n− + ，减去 这个月的还款 x , 还欠 1 (1 ) A r x n− + − . 所以数学模型为: 这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一 开始的借(欠)款、月利率已知; 20 年必须还清. 用数学语言表示, 数学模型为: 1 (1 ) 1,2,3,..., 0 n n N A A r x n N A = + − = − = 其中 240 N A = = 240, 0 表示 20 年 = 240 个月还清贷款. 求解: 求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式. 请同学跟着一起做
A=A(1+r)-x 4=A1+r)-x =[A(1+r)-x]1+r）-x 把4的表示式代入 =A(1+r)2-x[1+(1+r)1 整理 A=A(1+r)-x ={A,1+r)2-x[1+(1+r)]1+r)-x把A,的表示式代入 =A1+r)3-x1+(1+r)+(1+r2门整理 容易观察出规律（并易用数学归纳法证明），对于任何n有 An=A(1+r)”-x[1+(1+r)+(1+r)2++(1+r)-1 由等比级数部分和的求和公式(1+”=y) y-1=(y-1)1+y+y2++y),n>1,y>1 于是有 =40+-得a+y-x+少- (1+）-1 由于A=0,所以 40+r-x0+-l=0 由此解得 x=40+ (1+r)-1 验证“文曲星”电子词典显示的结果是否正确. 不算出数值，怎么让人相信？但是，手算是不现实的，这就涉及到在教学中要不要（允许不允 许)使用计算器和计算机及相应的数学软件这个不可回避的问题（实际上也是不应该回避的问题） 平时可以用，考试不能用。 解释验证 输入命令：fr,n,A]= Ar(l+r)" (1+r- 反馈显示40+少 (1+r)P-1 若r=0.005325.m=240.A0=200.000 10.005325.240,200000 反馈显示：1478.22 若r=0.005325,n=240,A0=2,000,000 输入命令：f10.005325,240,2000000
1 0 2 1 0 1 2 0 3 2 2 0 2 3 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 A A r x A A r x A r x r x A A r x r A A r x A r x r r x A A r x = + − = + − = + − + − = + − + + = + − = + − + + + − = + − + 把 的表示式代入 整理 把 的表示式代入 2 (1 ) (1 ) + + + r r 整理 容易观察出规律(并易用数学归纳法证明), 对于任何 n 有 2 1 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) ... (1 ) n n A A r x r r r n − = + − + + + + + + + 由等比级数部分和的求和公式( 1+ =r y ) 2 1 1 ( 1)(1 ... ), 1, 1 n n y y y y y n y − − = − + + + + 于是有 0 0 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 n n n n n r r A A r x A r x r r + − + − = + − = + − + − 由于 0 AN = , 所以 0 (1 ) 1 (1 ) 0 N N r A r x r + − + − = 由此解得 0 (1 ) (1 ) 1 N N A r r x r + = + − 验证“文曲星”电子词典显示的结果是否正确. 不算出数值, 怎么让人相信? 但是, 手算是不现实的, 这就涉及到在教学中要不要(允许不允 许)使用计算器和计算机及相应的数学软件这个不可回避的问题(实际上也是不应该回避的问题). 平时可以用，考试不能用。 解释验证 输入命令： 0 0 _ (1 ) [ _, _, ] (1 ) 1 n n A r r f r n A r + = + − 反馈显示： 0 (1 ) (1 ) 1 n n A r r r + + − 若 r = 0.005325, n = 240, A0 = 200,000 输入命令：f[0.005325,240,200000] 反馈显示：1478.22 若 r = 0.005325, n = 240, A0 = 2,000,000 输入命令： f[0.005325,240,2000000]
反馈显示 14782. 实际上是无穷循环小数：14782.225494284243，黄色是“文曲星”的结果显示 入命令 实际上是无穷循环小数：14328.621169563457 若r=0005325n=3604。=2000000 输入命今： 10.005325,360,20000001 反馈显示 407 实际上是无穷循环小数：12497.025747099564 2.习题（以下三题中任选一题，一周内交） 花旗银行的一则低息现金贷款广告： met束亞版爱 低息現金貸款，S50,000分36期還， 每月只需$1,637 mw29627088 金分行已7丹27白恨人厚用 CitiFinancial花滨财移 citibank 借50,000元，分36期（月）还清，每月还1,637元 问：月利率为多少？为求出要求解什么样的数学问题，能够手算吗？ D.甲从一个借贷公司贷款60000美元，年利率为1.2%，25年还清.假设是月等额还款（即一月为 一期).问他每月要还多少美元？（答案：约632美元总利息为189600美元） 这时有另一个借贷公司出来说，条件没有变化，就可以帮你提前2年还清，只要：1.每半个月 交一次还款=原来还款的一半，并没有增加你的负担：2.因为每半个月就要给你开一张收据 文书工作多了.要求你预付3个月的还款（即632×3=1896美元.而2年的还款总额为15168 美元，1896只是15168的八分之 ,会有顾客认为是合算的)试问这另一个借贷公司会赔钱 (慈善机构)还是仍然可以赚钱？ 把原来的一期（一个月）拆分为相等的两期，从而x替换成x2,r替换成2确实能够提前还清 吗？如果是，能提前多少时间还清削 已为什么同样的借贷利率，总还款（总利息）有不同呢？
反馈显示： 14782.2 实际上是无穷循环小数: 14782.225494284243`, 黄色是“文曲星”的结果显示 若 r = 0.005, n = 240, A0 = 2,000,000 输入命令： f[0.005,240,2000000] 反馈显示： 14328.6 实际上是无穷循环小数: 14328.621169563457` 若 r = 0.005325, n = 360, A0 = 2,000,000 输入命令： f[0.005325,360,2000000] 反馈显示： 12497. 实际上是无穷循环小数: 12497.025747099564` 2. 习题(以下三题中任选一题，一周内交) a. 花旗银行的一则低息现金贷款广告： 借 50,000 元, 分 36 期(月) 还清, 每月还 1,637 元. 问：月利率为多少? 为求出要求解什么样的数学问题，能够手算吗? b. 甲从一个借贷公司贷款 60000 美元, 年利率为 1.2%, 25 年还清. 假设是月等额还款(即一月为 一期), 问他每月要还多少美元? (答案: 约 632 美元. 总利息为 189600 美元.) 这时有另一个借贷公司出来说, 条件没有变化, 就可以帮你提前 2 年还清, 只要: 1. 每半个月 交一次还款 = 原来还款的一半, 并没有增加你的负担; 2. 因为每半个月就要给你开一张收据, 文书工作多了, 要求你预付 3 个月的还款.(即 6323 = 1896 美元, 而 2 年的还款总额为 15168 美元, 1896 只是 15168 的八分之一. 会有顾客认为是合算的!) 试问这另一个借贷公司会赔钱 (慈善机构!)还是仍然可以赚钱? 把原来的一期(一个月)拆分为相等的两期, 从而 x 替换成 x/2, r 替换成 r/2 确实能够提前还清 吗? 如果是, 能提前多少时间还清? c. 为什么同样的借贷利率，总还款(总利息)有不同呢?
请仔细阅读下面的1998年12月30日《金陵晚报》的报道 “一笔总额为13.5万元的个人住房组合贷款，在两家银行算出了两种还款结果，而差额高达万元 以上，这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋 据介绍，小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业性贷款，他分别前往省建行直属支行 和市建行房地产信贷部咨询其结果是这135万元贷款分15年还洁在率相同的情况下省 建行每月要求还本付息1175.46元（其中公积金贷款660.88元，商业性贷款514.58元），而市 建行每月要求还1116.415元（其中公积金贷款634.56元，商业性贷款481.855元）.按贷款 180个月一算，省建行的贷款比在市建行贷款要多10628.1元. 但两家银行均称，结果不一样纯属正常 有关行家向记者解释说.省建行虽然也是等额还款.但实行的是先还息后还本原则，用行话 说就是按月结息，每月还本还息不等，但每月总额一样举个简单的例子，若每月等额还款1,000 元第 个月还本息分别为100元、900元，而第二个月还本息分别变为200元、 800元，依此 类推.而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法为不让市民首期还款时面 对巨额利总为难.该行取了一个利总平均值.平雄到每个月中.上述两种算法都是人民银行许可可 的 值得一提的是，小程夫妇的麻烦己引起了央行的重视，为规范个人住房贷款计息办法，央行 重新明确了个人住房贷款的利息计算方法.从1999年1月1日起，除保留每月等额本息偿还法 外，又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是： 每月还款额={（贷款本金+贷款期月数）十（本金-已还本金累计额）×月利率； 同一笔贷款按这两种方法计算还款，偿还总金额相同” 请回答下面的问题 1.省建行的每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的？ 2央行推出的利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的？并用市建行的结果 进行计算 3市建行的等本、等息、等额还款法”是怎样得到的？ 4试分析这三种算法的不同之处及利弊
请仔细阅读下面的 1998 年 12 月 30 日《金陵晚报》的报道: “一笔总额为 13. 5 万元的个人住房组合贷款, 在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元 以上, 这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋. 据介绍, 小程打算贷 8 万元公积金贷款和 5.5 万元商业性贷款, 他分别前往省建行直属支行 和市建行房地产信贷部咨询, 其结果是, 这 13. 5 万元贷款, 分 15 年还清, 在利率相同的情况下省 建行每月要求还本付息 1175. 46 元（其中公积金贷款 660. 88 元, 商业性贷款 514. 58 元）, 而市 建行每月要求还 1116. 415 元（其中公积金贷款 634. 56 元，商业性贷款 481. 855 元）. 按贷款 180 个月一算, 省建行的贷款比在市建行贷款要多 10628. 1 元. 但两家银行均称, 结果不一样纯属正常. 有关行家向记者解释说, 省建行虽然也是等额还款, 但实行的是先还息后还本原则, 用行话 说就是按月结息, 每月还本还息不等, 但每月总额一样. 举个简单的例子, 若每月等额还款 1,000 元, 第一个月还本息分别为 100 元、900 元，而第二个月还本息分别变为 200 元、800 元, 依此 类推. 而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法. 为不让市民首期还款时面 对巨额利息为难, 该行取了一个利息平均值, 平摊到每个月中. 上述两种算法都是人民银行许可 的. 值得一提的是, 小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视, 为规范个人住房贷款计息办法, 央行 重新明确了个人住房贷款的利息计算方法. 从 1999 年 1 月 1 日起, 除保留每月等额本息偿还法 外, 又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是： 每月还款额={(贷款本金÷贷款期月数)＋(本金 – 已还本金累计额)×月利率}. 同一笔贷款按这两种方法计算还款, 偿还总金额相同.” 请回答下面的问题: 1.省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的? 2.央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的? 并用市建行的结果 进行计算. 3.市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的? 4.试分析这三种算法的不同之处及利弊
某人想贷款买房，他估计在10年里每月的还款能力x=3000元没有问题，己知贷款年利率 R=6%(月利率r=0.5%),贷款年数为N=10年 1. 建立他应该借多少钱的数学模型 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借（贷款）多少钱？ (提示：(1.005)0=1.8194) 请严格按照“合理假设，数学问题（数学模型的建立和求解），解释验证”的步骤来做。 测验思参考解答： 假设：月等额还款，10年还请 数学模型的建立 An=An-(1+r)-xn=1,2,3,.,N (Aw=0 求解：和讲课一样，得到 A=40+少-x+- (1+）-1 =41+rr-x0+r少-1 由于A=0,所以 41+y-x+-=0 名=0+少-] (1+r)” 其中N=120,A20=0,r=0.005,x=3,000 数值估算： 用手算做估算是应该要求的，这是一种能力的培养.因为 4=40+r少°-J=3000×0.8194_600000×0.8194 1+r) 0.005×1.8194 1.8194 例如，通过除法手算
某人想贷款买房, 他估计在 10 年里每月的还款能力 x = 3000 元没有问题, 已知贷款年利率 R = 6%(月利率 r = 0.5%), 贷款年数为 N = 10 年. 1. 建立他应该借多少钱的数学模型. 2. 请从你所建立的数学模型估算一下他应该借(贷款)多少钱? (提示: 120 (1.005) 1.8194 = ). 请严格按照“合理假设，数学问题(数学模型的建立和求解)，解释验证”的步骤来做. 测验题参考解答: 假设: 月等额还款; 10 年还请. 数学模型的建立 1 (1 ) 1,2,3,..., 0 n n N A A r x n N A = + − = − = 求解: 和讲课一样，得到 0 0 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 n n n n n r r A A r x A r x r r + − + − = + − = + − + − 由于 0 AN = , 所以 0 (1 ) 1 (1 ) 0 N N r A r x r + − + − = 0 [(1 ) 1] (1 ) n n x r A r r + − = + 其中 120 N A r x = = = = 120, 0, 0.005, 3,000 . 数值估算: 用手算做估算是应该要求的, 这是一种能力的培养. 因为 0 [(1 ) 1] 3000 0.8194 600000 0.8194 (1 ) 0.005 1.8194 1.8194 n n x r A r r + − = = = + 例如，通过除法手算
0.45 1.81940.81940 0.72776 91640 90970 可以知道 270000=600000×0.45≤600000x0.8194≤600000×0.451=276000 1.8194 误差范围在0.1% 解释验证：276000是借多了，月等额还款也就会超过3000元，还还得起吗？ 270000是借少一点，月等额还款也就不会超过3000元，肯定还得起。 精确计算的借款为270220，月还款为3000元：如果借270000，则月等额还款为2997.55元，少 借少还，肯定没有问题1如果借276000，则月等额还款为3064.17元，月还款超过一点(64.17 元)，省一点，还应该是没有问题的
0.45 1.8194 0.81940 0.72776 91640 90970 可以知道 600000 0.8194 270000 600000 0.45 600000 0.451 276000 1.8194 = = 误差范围在 0.1%. 解释验证：276000 是借多了，月等额还款也就会超过 3000 元，还还得起吗？ 270000 是借少一点，月等额还款也就不会超过 3000 元，肯定还得起。 精确计算的借款为 270220, 月还款为 3000 元; 如果借 270000，则月等额还款为 2997.55元, 少 借少还，肯定没有问题! 如果借 276000，则月等额还款为 3064.17 元，月还款超过一点(64.17 元)，省一点，还应该是没有问题的