北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第4章习题解答

《线性代数》第四章习题解答 1,求下列各矩阵的特征值和特征向量 o (2) C3 110 (200 (3)021 (4)031 003 013 s48 (110-1 (6) 11-10 4-8-2 0-111 -1011 解E-428-5+6-2-) A的特征值为1=2，入=3 断A*:-00 两R-(:格证肉为kR化0 当ae侣)-6司 得片-()·特证向量为n化0 ow-4a-a A的特征值为X1=a,入2=a 当助E。-0 -0 特征向量为kPk≠0) 1

《线性代数》第四章习题解答 1 1．求下列各矩阵的特征值和特征向量 （1）         − 2 4 1 1 （2）         0 0 a a （3）           0 0 3 0 2 1 1 1 0 （4）           0 1 3 0 3 1 2 0 0 （5）           − − − − 4 8 2 4 1 0 3 1 0 （6）               − − − − 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 解 （1） E − A = 2 4 1 1 − − −   = 5 6 2  −  + =(  − 2 )(  −3 ) A 的特征值为λ1=2，λ2=3 当λ1=2 时，λ1E-A=         − 2 − 2 1 1 →         0 0 1 1 得         − = 1 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=2 时，λ2E-A=         − 2 −1 2 1 →         0 0 2 1 得         − = 2 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) （2） E − A =   a a − − = ( − a)( + a) A 的特征值为λ1=a，λ2=-a 当λ1=a 时，λ1E-A=         − − a a a a →         − 0 0 1 1 得         = 1 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0)

《线性代数》第四章习题解答 ae日-6 得男-：特有务通化0 2-1-10 (3)E-=0元-2-1=(2-)（元-2(1-3） 001-3 A的特征值为入1=1，入2=2，N=3, 0-10）010 当X1=1时，E-A=0-1-1 -001 (00-2000 1) 得B=0,特征向量为kP(k≠0) (0 1-101-10 当2时，EA00-1-001 00-1000 1 得B=1,特征向量为kP,(k0) 2-10 当入=3时，入E-A=01-1 000 1Y 得乃=2，特征向量为kP3(k2≠0) (2 -20 0 (4)E-=0元-3-1=(2-2)2(-4) 0-11-3 A的特征值为X1=2(二重)，入2=4， 2

《线性代数》第四章习题解答 2 当λ2= −a 时，λ2E-A=         − − − − a a a a →         0 0 1 1 得         − = 1 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) （3） E − A = 0 0 3 0 2 1 1 1 0 − − − − −    = ( −1) (  − 2 )(  −3 ) A 的特征值为λ1=1 ,λ2=2，λ3=3 , 当λ1=1 时，λ1E-A=           − − − − 0 0 2 0 1 1 0 1 0 →           0 0 0 0 0 1 0 1 0 得           = 0 0 1 P1 ，特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=2 时，λ2E-A=           − − − 0 0 1 0 0 1 1 1 0 →           − 0 0 0 0 0 1 1 1 0 得           = 0 1 1 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0) 当λ3=3 时，λ3E-A=           − − 0 0 0 0 1 1 2 1 0 得           = 2 2 1 P3 ，特征向量为 k3P3 (k2≠0) （4） E − A = 0 1 3 0 3 1 2 0 0 − − − − −    = ( 2) ( 4) 2  −  − A 的特征值为λ1=2 (二重) ,λ2=4

《线性代数》第四章习题解答 (0 特征向量为kP1+kP(k1,k不全为零) - 200）100 当=4时，E-A=01-1一01-1 0-11000 得乃=1，特征向量为kPk≠0) -3-10 (5)2E-A=41+10=(元+22-)2 -48元+2 A的特征值为11=-2，入2=l(仁重)， (-5-10100 当12时，E-A4-10一010 -480000 (0 得R= 特征向量为kP(k1≠0) 860 当X=1时，XEA420 0103 -483000 (3 得= 6 特征向量为kP(k≠0) 20

《线性代数》第四章习题解答 3 当λ1=2 时，λ1E-A=           − − − − 0 1 1 0 1 1 0 0 0 →           0 0 0 0 0 0 0 1 1 得           = 0 0 1 P1 ，           − = 1 1 0 P2 ， 特征向量为 k1P1+k2P2 (k1,k2 不全为零) 当λ2=4 时，λ2E-A=           − − 0 1 1 0 1 1 2 0 0 →           − 0 0 0 0 1 1 1 0 0 得           = 1 1 0 P3 ，特征向量为 k3P3 (k3≠0) （5） E − A = 4 8 2 4 1 0 3 1 0 − + + − −    = 2 ( + 2)( −1) A 的特征值为λ1=-2，λ2=1(二重) , 当λ1=-2 时，λ1E-A=           − − − − 4 8 0 4 1 0 5 1 0 →           0 0 0 0 1 0 1 0 0 得           = 1 0 0 P1 ， 特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=1 时，λ2E-A=           − − − 4 8 3 4 2 0 2 1 0 →           0 0 0 0 10 3 2 1 0 得           = − 20 6 3 P2 ，特征向量为 k2P2 (k2≠0)

《线性代数》第四章习题解答 2-1-10 -1-1 (6)E-A= 0 1 -1 1 1 0 -11-1 =(0-1)2(a+10-3) A的特征值为A1=-1,入=1（二重），入=3 (-2-101 当X1=-1时，XE-A -1-210 01-2-1 10-1-2 10-1-2 01-2-1 0011 (0000 1 -1 得P= -1 特征向量为kP(k1≠0) 1 0-101 10-10 当入=1时，XE-A= -101 -01 0 1 0 -1 0000 0 1 0 000 0 0 1 得B P= 特征向量为kP2+kP (k,k不全为零) 2-101 (10-12 当3时， -121 0 012- X3E-A 012-1 001 1 0-12 000 0

《线性代数》第四章习题解答 4 （6） E − A = 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 − − − − − − − −     = ( 1) ( 1)( 3) 2  −  +  − A 的特征值为λ1=-1，λ2=1(二重) , λ3=3 当λ1=-1 时，λ1E-A=               − − − − − − − − 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 →               − − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 得               − − = 1 1 1 1 P1 ， 特征向量为 k1P1 (k1≠0) 当λ2=1 时，λ1E-A=               − − − − 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 →               − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 得               = 0 1 0 1 P2 ，               = 1 0 1 0 P3 特征向量为 k2P2+k3P3 (k2 , k3 不全为零) 当λ3=3 时，λ3E-A=               − − − − 1 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 →               − − − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2

《线性代数》第四章习题解答 (-1 -1 得P= 特征向量为kP,(k≠0) 1 2.设A可逆，a是A属于特征值入的特征向量，证明为A的伴随矩阵A'的特征值，且a也是A 的属于的特征向量。 证：由己知Aa=x。a,a≠0，A=4A 知Aa=a 所以Aa=44a=4a，得证。 3.设P1,B2是A的属于不同特征值X,X:的特征向量，试证aP,+bP2(b≠0)不是A的特征向量。 证：已知AP=XP,AP,=XP,若aP+bP是A的属于X的特征向量，即 A(aP:+bP2)=A(aP:+bP2) A(aP:+bP2)=AaP:+A2bPz 从而（.)aP1+(X.bP2=0 得入=入=X:,与X,X:互异矛盾，命题得证。 4.若a是A的属于特征值x。的特征向量，证明，对于多项式入)，入)是fA)的特征值，并且a是fA) 的属于特征值入，)的特征向量。 证：已知Aa=X,a,则Aa=g 设f入)）=a入+a-1入++a入+o f(A)a =anA'+an-1A++aAtao a=(antam-atao)a =f(A.)a 命题得证。 5.已知入。是A的一个特征值，求A+2A-E的一个特征值。 解.有习题四知，λ。是A的一个特征值，则 X=入2+2。-1是f(A)=A2+2A-E的一个特征值 6.设A满足下列条件之一，试求A的特征值。 (1)A=A(称A为幂等矩阵)片 (2)A=E(称A为对合矩阵)。 解(1)设Aa=人a,a≠0，则A2a=x2a,且A2a=Aa=入a, 所以(x2入)ā=0，因为a≠0，则12入=0得A的特征值为x=0或A=1。 (2)设Aa=Aa,a≠0，则A2a=λ2a,且A2a=Ea=a, 所以(31)a=0,因为a≠0，则21=0,即(-)(+)=0 得A的特征值为入=1或入=-1

《线性代数》第四章习题解答 5 得               − − = 1 1 1 1 P4 ， 特征向量为 k4P4 (k4≠0) 2．设 A 可逆，α是 A 属于特征值λ0 的特征向量，证明 0 A 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值，且α也是 A* 的属于 0 A 的特征向量。 证： 由已知 Aα=λ0α , α≠0, A* = −1 A A 知 A-1α=   0 1 所以 A*α= −1 A A α= 0 A α ， 得证。 3．设 P1 , P2 是 A 的属于不同特征值λ1,λ2 的特征向量，试证 aP1+bP2 (ab≠0)不是 A 的特征向量。 证： 已知 AP1=λ1P1 , AP2=λ2P2 若 aP1+bP2 是 A 的属于λ的特征向量，即 A (aP1+bP2)= λ(aP1+bP2) 又 A (aP1+bP2)= λ1aP1+λ2bP2 从而 (λ-λ1)aP1+(λ-λ2)bP2=0 得 λ=λ1=λ2 ，与λ1,λ2 互异矛盾，命题得证。 4. 若α是 A 的属于特征值λ0 的特征向量，证明，对于多项式 f(λ), f(λ0)是 f(A)的特征值，并且α是 f(A) 的属于特征值 f(λ0)的特征向量。 证：已知 Aα=λ0α， 则 Amα=λ0 mα 设 f(λ)=anλn +an-1λn-1 +…+a1λ+a0 则 f(A)α=anA n +an-1A n-1 +…+a1A+a0α= (anλ0 n +an-1λ0 n-1 +…+a1λ0+a0)α = f(λ0)α 命题得证。 5．已知λ0 是 A 的一个特征值，求 A 2 +2A-E 的一个特征值。 解. 有习题四知，λ0 是 A 的一个特征值，则 f(λ0)= λ0 2 +2λ0-1 是 f(A)=A2 +2A-E 的一个特征值。 6. 设 A 满足下列条件之一，试求 A 的特征值。 （1） A 2 =A（称 A 为幂等矩阵）； （2） A 2 =E（称 A 为对合矩阵）。 解.（1）设 Aα=λα , α≠0, 则 A2α=λ2α , 且 A2α=Aα=λα, 所以 （λ2 -λ）α=0 ，因为 α≠0，则 λ 2 -λ=0 得 A 的特征值为λ=0 或λ=1 。 （2） 设 Aα=λα ,α≠0, 则 A2α=λ2α ,且 A2α=Eα=α, 所以 （λ2 -1）α=0 ，因为 α≠0， 则 λ 2 -1=0,即(λ-1)(λ+1)=0 得 A 的特征值为λ=1 或λ=-1

《线性代数》第四章习题解答 (-122) 7.设A2-1-2,求A及E+A的特征值。 2-2-1 2+1-2-2 解.2E-A=-2元+12=(a+1)(元+7（元-1） -221+1 则A的特征值为X1=-7,入=-1，X=1,A的特征值为： -,1,1,fA)=AE的特征值为乡，0,2。 8.证明n阶矩阵A与AT有相同的特征值。 证：∫()=E-A'=kE-0|=E-A=x) 所以A与AT有相同的特征多项式，则必有相同的特征值。 9.已知四阶方阵A的特征值为A=3(二重)，入=-1（二重），求rA及detA。 解TA=3+3-1-1=4 detA=3×3×3(1)x(←1)=-9 10.设入=2是A的特征值，求42-3A+2E 解：由题设知2E-A=0,则 A2-3A+2E=(A-2E(A-E=2E-4AE-A-0 11.已知三阶矩阵A的特征值为1，-1,2，设矩阵B=A3.5A3,试求B及A-5E 解.B=fA=A35A2,f入)=入35A3 A的特征值为1，-1,2，则B的特征值为-4,6，-12 所以B(-4-6-12288 又M2=1y12·2-4B-44-5E 则4-5月=月=举=2 12.设A为四阶方阵，且3E+A=0,AA=2E,A<0,求伴随矩阵A的一个特征值。 解据A为四阶方阵，且3E+A=0, 由3E+-(1)卜3E-A=上3E-=0,可知A的一个特征值为-3。 6

《线性代数》第四章习题解答 6 7. 设 A=           − − − − − 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ,求 A 及 E+A-1 的特征值。 解. E − A = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 − + − + + − −    = ( +1) (  + 7 )(  −1 ) 则 A 的特征值为λ1=-7,λ2=-1，λ3=1, A-1 的特征值为： - 7 1 , -1, 1, f(A-1 )=A-1 +E 的特征值为 7 6 ，0，2 。 8．证明 n 阶矩阵 A 与 AT有相同的特征值。 证： f E A E A E A T T A T () =  − = ( − ) =  − =fa(λ) 所以 A 与 AT有相同的特征多项式，则必有相同的特征值。 9. 已知四阶方阵 A 的特征值为λ=3（二重），λ=-1（二重），求 trA 及 detA。 解. TrA=3+3-1-1=4 detA= 333(−1)(−1) =9 10.设λ=2 是 A 的特征值，求 A 3A 2E 2 − + . 解： 由题设知 2E − A =0 ， 则 A 3A 2E 2 − + .= (A− 2E)(A− E) = 2E − A E − A =0 11． 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，-1，2，设矩阵 B=A3 -5A2，试求 B 及 A−5E . 解. B=f(A)=A3 -5A2 , f(λ)=λ3 -5λ2 , A 的特征值为 1，-1，2，则 B 的特征值为-4，-6，-12 所以 B =(-4)(-6)(-12)=-288 又 2 A =(-1)2·1 2·2 2 =4 B = 2 A A−5E 则 A−5E = 2 A B = 4 −288 =-72 12．设 A 为四阶方阵，且 3E + A = 0，AAT=2E , A <0,求伴随矩阵 A*的一个特征值。 解.据 A 为四阶方阵，且 3E + A = 0， 由 3E + A =(-1)4 − 3E − A = − 3E − A = 0 ，可知 A 的一个特征值为-3

《线性代数》第四章习题解答 据AA=2E,4<0,由A4=AA=4,2E=2E=16 得A=16,取A=-4,故A=4A=-4A A的一个特征值为3，则A的一个特征值为-，从而A的一个特征值为(-4)(-青)=专 13.设非零向量a=(a,a2…an,B=(么b2…bnY满足aTB=0且n阶方阵A=aB',求(1) A3,(2)A的特征值与特征向量。 解.(1)因为aTB=0,A=aB', 则 A2=(a B)(a B')=a(B'a)B'=(B'a)(a B) =(aB)(aB)=0·A=0 (2)设AX=X,X≠0，则AX=X 另一方面A2X=0X-0,故1X=0,由X≠0，得入=0，即A的特征值均为零。 a 0E-A=(-A)=-a BT=- :k6…b a.) a,ba,b2…a,bn）(bb…bn a,bab3…a,bn 00…0 … abab…abn0000 即得b1x1+b2x++bX=0,因为B是非零向量，设b1≠0，则基础解系 (- - 0 =0,=1 …，P-=0 (0J (0 所以A的全部特征向量为kP1+kP++kPn,(k,k2…,ka1不全为零)。 14.证明 (I)若A-B,则ATB: (2)若A可逆，则ABBA 证(1)因为A~B,则存在可逆矩阵P,使PAP=B, 从而pAPy=B,取Q(Py,则QAQ-B,显然Q可逆，得证 (2)因为A可逆，则(AAB)A-BA,依定义ABBA 15.设ABCD,试证A0）B0) 1

《线性代数》第四章习题解答 7 据 AAT=2E , A <0, 由 2 AA A A A T T = = , 2 2 16 4 E = E = 得 16 2 A = ，取 A =-4，故 A*= A A-1=-4A-1 A 的一个特征值为-3，则 A-1 的一个特征值为 3 1 − ，从而 A*的一个特征值为（-4）（ 3 1 − ）= 3 4 . 13. 设非零向量α=( ) T a1 a2  an ,β= ( ) T b1 b2  bn 满足αTβ=0 且 n 阶方阵 A=αβT，求（1） A2， （2）A 的特征值与特征向量。 解.（1）因为αTβ=0, A=αβT， 则 A2=(αβT ) (αβT )= α(βTα)βT =(βTα)(αβT ) = (αβT )(αβT )=0·A=0 （2） 设 AX=λX , X≠0, 则 A2X=λ2X, 另一方面 A2X=0X=0，故λ 2X=0 ，由 X≠0,得λ=0, 即 A 的特征值均为零。 0E-A=(-A)=-αβT =- ( ) n n b b b a a a   1 2 2 1               =-               n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 →               0 0 0 0 0 0 0 1 2      b b  bn 即得 b1x1+b2x2+…+bnxn=0，因为β是非零向量，设 b1≠0, 则基础解系                − = 0 0 1 1 2 1  b b P ,                − = 0 1 0 1 3 2  b b P , … ,                − − = 1 0 0 1 1  b b n n P 所以 A 的全部特征向量为 k1P1+k2P2+…+kn-1Pn-1，（k1, k2,, …, kn-1 不全为零）。 14.证明 （1）若 A~B，则 AT~BT； （2）若 A 可逆，则 AB~BA 证（1） 因为 A~B，则存在可逆矩阵 P，使 P -1AP=B， 从而 P TAT (PT ) -1=BT，取 Q=(PT ) -1，则 Q-1ATQ=BT， 显然 Q 可逆，得证。 （2）因为 A 可逆，则(A-1 )(AB)A=BA，依定义 AB~BA。 15．设 A~B,C~D，试证         C A 0 0 ~         D B 0 0

《线性代数》第四章习题解答 证.因A~B,CD,则存在可逆矩阵P,P使P'AP=B,P2CP2=D, 令 686 a小68 所u6868 (200200) 16.己知A=001与B=0y0相似， 01x00-1) (1)求x与y: (2)求一个满足P1AP=B的可逆矩阵P。 解(1)以为AB,则（入）=f() 2-200 (x)=2E-A=02-1=(a-1X2-x2-1) 0-1- f(x)=2E-=(2-22-yX元+) 故(2-x-1)=-(1-y)2-y 所以v=1.,X=0 (2)因为B的特征值为2,1,1，则A的特征值也为2,1，-1。下面求A的特征向量 (000)01-2 A2时，EA02-1-001 (0-12000 得P=0

《线性代数》第四章习题解答 8 证. 因 A~B,C~D，则存在可逆矩阵 P1,P2 使 P1 -1AP1=B , P2 -1CP2=D, 令 P=         2 1 P P ，则 P -1         C A 0 0 P=         − − 1 2 1 1 P P         C A 0 0         2 1 P P =         2 -1 2 1 -1 1 P CP P AP =         D B 0 0 所以         C A 0 0 ~         D B 0 0 16．已知 A=           0 1 x 0 0 1 2 0 0 与 B=           0 0 −1 0 0 2 0 0 y 相似， （1）求 x 与 y； （2）求一个满足 P -1AP=B 的可逆矩阵 P。 解（1）以为 A~B，则 fA(λ)= fB(λ) fA(λ)= E − A = − − x − −    0 1 0 1 2 0 0 = ( 1)( 1) 2  −  − x − fB(λ) = E − B = ( − 2)( − y)( +1) 故 ( 1) 2  − x − =  − (1− y) − y 2 所以 y=1 , x=0 (2) 因为 B 的特征值为 2，1，-1，则 A 的特征值也为 2，1，-1。下面求 A 的特征向量 λ=2 时， λE-A =           − − 0 1 2 0 2 1 0 0 0 →           − 0 0 0 0 0 1 0 1 2 得 P1=           0 0 1 ；

《线性代数》第四章习题解答 (-300)100 x-1时，E-A=0-1-1011 (0-1-(000 0 P=1 -1 100 ,则PAP=B。 17.设n阶方阵A的n个特征值为0,1,2，，n-1,n阶方阵B与A相似，求E+。 解因为B-A,则B的特征值也为0,1,2，…，n1,E+B的特征值为1,2，，n,从而得 |E+B=1·2·3n=m: 18.第1题中的矩阵(3)(5)(6)能否对角化？若能，试求出P,使PAP对角阵。 11 解(3)三阶矩阵A有三个互异特征值，所以可以对角化。取P=(P1P2P)=012 (002 1 则PAP=2 3 (5)三阶矩阵A只有2个线性无关的特征向量，故不能对角化： (6)四阶矩阵A可以找到四个线性无关的特征向量，故可以对角化。并且取

《线性代数》第四章习题解答 9 λ=1 时， λE-A =           − − − 0 1 1 0 1 1 1 0 0 →           − 0 0 0 0 1 1 1 0 0 得 P2=           1 1 0 ； λ=-1 时， λE-A =           − − − − − 0 1 1 0 1 1 3 0 0 →           0 0 0 0 1 1 1 0 0 得 P3=           −1 1 0 ； 取 P=（P1 P2 P3）=           0 1 −1 0 1 1 1 0 0 ，则 P -1AP=B 。 17．设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值为 0，1，2，…，n-1，n 阶方阵 B 与 A 相似，求 E + B 。 解 因为 B~A，则 B 的特征值也为 0，1，2，…，n-1，E+B 的特征值为 1，2，…，n，从而得 E + B =1·2·3…n=n！ 18．第 1 题中的矩阵（3）（5）（6）能否对角化？若能，试求出 P，使 P -1AP 对角阵。 解（3）三阶矩阵 A 有三个互异特征值，所以可以对角化。取 P=（P1 P2 P3）=           0 0 2 0 1 2 1 1 1 则 P -1AP=           3 2 1 ； （5）三阶矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故不能对角化； （6）四阶矩阵 A 可以找到四个线性无关的特征向量，故可以对角化。并且取

《线性代数》第四章习题解答 Er(p心-*N 解由P-日：得日gp,从 6g⑧ 面后引所以 62 4-1)°-32”2(-10=2 气6-1)”-3.2m13-101-2*2 20.设三阶方阵A的特征值为1,2,3，与其对应的特征向量依次为a1=(114)T,a=(124)T, a3=(139)1,且 B=(113)T。 1)将B用a1a2a3线性表示： (2)求AB(n为自然数) 解(1)设B-x1a+x2a+xa:,则 1111月(1111 (aaa)1231-0120 14930011 可知B=2a-2ata 1 (2)令P=(a1a:aa),B=2,则PAP=B,A=PEP，从而A=pBP 3/

《线性代数》第四章习题解答 10 P=（P1 P2 P3）=               − − − − 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 ，P -1AP=              − 3 1 1 1 19.已知 P=         − − 3 2 2 1 ，P -1AP=        − 0 2 1 0 ，求 An 解 由 P -1AP=        − 0 2 1 0 ， 得 A=P        − 0 2 1 0 P -1， 从而 An= P n        − 0 2 1 0 P -1=P         − n n 0 2 ( 1) 0 P -1 而 P -1=         − − 3 2 2 1 ， 所以 An=         − − 3 2 2 1         − n n 0 2 ( 1) 0         − − 3 2 2 1 =         − −  − − − −  − = + + + + + 1 1 2 1 1 6( 1) 3 2 3( 1) 2 4( 1) 3 2 2( 1) 2 n n n n n n n n 20．设三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，与其对应的特征向量依次为α1=（1 1 4）T，α2=（1 2 4）T， α3=（1 3 9）T， 且 β1=（1 1 3）T 。 （1） 将β用α1α2α3 线性表示； （2） 求 Anβ （n 为自然数）. 解（1）设β=x1α1+ x2α2+ x3α3 ，则 (    ) 1 2 3 =           1 4 9 3 1 2 3 1 1 1 1 1 →           0 0 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 可知 β=2α1-2α2+α3 （2）令 P=（α1α2α3），B=           3 2 1 ，则 P -1 AP=B，A=PBP-1 ，从而 A n =PBn P -1