《线性代数》第二章习题解答 1.求下列齐次线性方程组的通解. (1)2x+3x2-3+5x=0 3x1+X2+2x1-7x4=0, 4x+x2-3x+6x=0 x,-2x、+4x1=7x.=0 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 4=3122-207 「23-151 -9191 07-1014 41365-3009-1934 -24-7-i-24 「00151 [1-24-7 101510101 |4=-7-1014 -7-10 764 64 9-19349-19129 Γ9129 ≠0 ∴由克莱姆法则可知，方程组只有零解。 (2)x,+x、+x,+4x.-3x.=0, 2x1+2+3x+5x-5x=0 x1-x2+3x3-2x4-5=0 3x1+x2+5x3+6x,-7x=0 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 「1 114 -20114 3> -37 135 -5 0-11-31 3 -2 5-50-2262 3156-7 5-3r 0-22-62 「102 片+5 1 0-11-3 5-2 0000 -20000 0 0 “原方程组的同解方程组：书=-2x-4+2x 为=3-3x4+x 方程的通解： x=-2k-k+2k
《线性代数》第二章习题解答 1 - - 1．求下列齐次线性方程组的通解. （1） 2 3 5 0 , 1 2 3 4 x x x x + − + = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 7 0 , 4 3 6 0 , 2 4 7 0 , x x x x x x x x x x x x + + − = + − + = − + − = 解:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 1 4 2 4 3 4 2 3 1 5 0 7 9 19 2 3 1 2 7 0 7 10 14 3 4 1 3 6 0 9 19 34 4 1 2 4 7 1 2 4 7 r r A r r r r − − − − − = − − − − − − − − 1 2 0 0 1 5 0 7 10 14 2 0 9 19 34 1 2 4 7 r r − − − − − 0 1 5 0 1 0 7 64 7 10 14 7 10 64 0 9 129 9 19 34 9 19 129 A = − − = − − = − − ∴由克莱姆法则可知，方程组只有零解。 （2） x x x x x 1 2 3 4 5 + + + − = 4 3 0 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 5 5 0 , 3 2 0 , 3 5 6 7 0 . x x x x x x x x x x x x x x x + + + − = − + − − = + + + − = 解:对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 4 1 1 1 1 4 3 1 1 1 4 3 2 2 1 3 5 5 0 1 1 3 1 1 1 3 2 1 0 2 2 6 2 3 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2 r r A r r r r − − − − − − = − − − − − − − − − − 1 2 3 1 4 1 1 0 2 1 2 0 1 1 3 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 r r r r r r − + − − − − , ∴原方程组的同解方程组： x x x x 1 3 4 5 = − − + 2 2 x x x x 2 3 4 5 = − + 3 ， ∴方程的通解： x k k k 1 1 2 3 = − − + 2 2
《线性代数》第二章习粮解经 x3=k-3k2+k X1=k1 其中k,k,k为任意实数。 xs=k 2.求下列非齐次线性方程组的通解 (1)5x-x2+2x+x=7 2x1+x2+4x3-2x1=1 x-3x2-6x3+5x=0 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「5-1217] A=214-21 -5042-247 0716-121 i-36505-24i-3650 「00005 5-250716-121=B 1-3-650 :矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程：0=5，∴方程组无解。 (2) -3x+y-42+21w=-5 x-5y+2-3w=11 x-9y+2:-5w=15 5x+3y+6z-w=-1 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「-31-42 -57 2-7281 1 -5 7= 2-31 1-9 2 -5155-5 0 y 0-2 4 536-1-15- 2028-414-56 -142-7 28 [0020 5- 14 904 20 -175+145100- -8 1 0 -1 5-95010 -1 -5 -0000 0 00000 01 0 71 100 -8 010 00000 ∴原方程组的同解方程组： x=p-8, y=-w-1, 7 取=2k, 得到方程组的通解：
《线性代数》第二章习题解答 2 - - 2 1 2 3 3 1 4 2 5 3 3 , , , . x k k k x k x k x k = − + = = = 其中 1 2 3 k k k , , 为任意实数。 2.求下列非齐次线性方程组的通解. （1） 5 2 7 , 1 2 3 4 x x x x − + + = 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 1 , 3 6 5 0 . x x x x x x x x + + − = − − + = 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 3 2 3 5 1 2 1 7 0 14 32 24 7 5 2 1 4 2 1 0 7 16 12 1 2 1 3 6 5 0 1 3 6 5 0 r r A r r − − − = − − − − − − − 1 2 0 0 0 0 5 2 0 7 16 12 1 1 3 6 5 0 r r B − − = − − . ∵矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程： 0 5 = ，∴方程组无解。 （2） − + − + = − 3 4 2 5 , x y z w 5 2 3 11 , 9 2 5 15 , 5 3 6 1 . x y z w x y z w x y z w − + − = − + − = + + − = − 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 2 3 2 4 2 3 1 4 2 5 0 14 2 7 28 3 1 5 2 3 11 1 5 2 3 11 1 9 2 5 15 0 4 0 2 4 5 5 3 6 1 1 0 28 4 14 56 r r A r r r r − − − − − + − − − − = − − − − − − − − − − 2 1 1 1 3 2 4 1 1 1 2 2 2 3 1 4 3 0 14 2 7 28 0 0 2 0 14 1 9 0 4 17 1 0 0 8 14 2 0 1 0 1 9 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r − − − − − − + + − − − − 1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 0 7 1 0 0 8 0 1 0 1 0 0 0 0 0 r − − − . ∴原方程组的同解方程组： 1 2 x w = −8 , 1 2 1 , 7 . y w z = − − = 取 w k = 2 ， 得到方程组的通解：
《线性代数》第二章习题解答 x=k-8, y=-k-1, 其中R为任意常数。 :=7 w=2k (3)x1+2x2+x3-3x4+2x=1 2x+x2+x3+x-3x=6 x+x2+2x3+2x4-2x=2 2x1+3x2-5x,-17x4+10x=5 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 「12 1 -3 21 2 1 -3 21 211 1 -36 2 0-3 -1 4= 7 -7 112 -22 5-5 0 -1 5 -4 23-5-17105 5-2r 0 -1-7-1163 1+250 3 -63] -2 103 7 6 31 -4 -8 5 1 1 5-3 00 0-1 1下5 2 -1-5 -1 -5 5 y 00 -8-1610 -5 00 0 00 0 「1001-￥ -30012 - 5+5010-34- 0000 0 0 同解方程组： =-x+学x+誓， 为3=3x4-x- x3=-2x4+x3-}, X=Xa X= 取x=太，x=，得到方程组的通解 x=-k+9k+卓， x2=3k-11k-, x3=-2k+5k-, X=k X= 4k 3.讨论：当a,b为何值时，下列方程组 x1+x3+X3+x4+x=1 3x+2x2+x+x-3x=a x3+2x3+2x4+6x=3, 5x1+4x2+3x3+3x4-x=b
《线性代数》第二章习题解答 3 - - 8 , 1 , 7 , 2 . x k y k z w k = − = − − = = 其中 为任意常数。 （3） x x x x x 1 2 3 4 5 + + − + = 2 3 2 1 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 6 , 2 2 2 2 , 2 3 5 17 10 5 . x x x x x x x x x x x x x x x + + + − = + + + − = + − − + = 解:对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 4 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 3 6 0 3 1 7 7 4 1 1 2 2 2 2 0 1 1 5 4 1 2 2 3 5 17 10 5 0 1 7 11 6 3 r r A r r r r − − − − − − − = − − − − − − − − − − 1 3 4 2 5 1 1 4 4 2 3 2 4 4 3 3 1 0 3 7 6 3 1 0 3 7 6 3 2 2 0 0 4 8 5 1 0 0 1 2 3 0 1 1 5 4 1 0 1 1 5 4 1 0 0 8 16 10 2 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r − − + − − − − − − − − − − − − − − − − 9 15 4 4 5 1 1 2 4 4 11 5 3 2 4 4 1 0 0 1 3 0 0 1 2 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 r r r r − − − − + − − . ∴ 同解方程组： 9 15 1 4 5 4 4 xxx = − + + , 11 5 2 4 5 4 4 5 1 3 4 5 4 4 4 4 5 5 3 , 2 , , , x x x x x x x x x x = − − = − + − = = 取 1 1 2 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 15 1 1 2 4 5 2 1 2 4 1 3 1 2 4 4 1 5 2 9 , 3 11 , 2 5 , , 4 . x k k x k k x k k x k x k = − + + = − − = − + − = = 3. 讨论：当 a b, 为何值时，下列方程组： x x x x x 1 2 3 4 5 + + + + =1 , 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 3 , 2 2 6 3 , 5 4 3 3 . x x x x x a x x x x x x x x x b + + + − = + + + = + + + − =
《线性代数》第二章习题解答 有解，在有解的情况下，求它的通解. 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 [1111117 「111111 J- 3211-3a5-30-1-2-2-6a-3 0122635-5r012263 L5433-1b 0-1-2-2-6b-5 「10-1-1-5-21 5+50122 6 3 5+500000a 00000b-2 显然，当ā=0，b=2时，方程组有解：此时，方程组的同解方程组为： x=x3+x4+5x-2 x=-2x3-2x+6x+3, :得到方程组的通解： x=k+k+5k-2 x3=-2k-2k-6k+3, X3=k Xa=k Xs=k3 其中k,k,k为任意实数 4.求x,y,,w使得： 解：由3x3][+46++ 得到 3z3m-1++w2+3 3x=x+4 3y=6+x+y, 解得：x=2,y=4,-=1,1p=3. 3z=-1+2+1w 3=2e+3 「2-17 5.(1)已知A=1 「1-2-5] 0,B= ,求2AB和BA: 340 -34 「3-27]「-2011 (2)设A=1 04 B= 5-17 求2AB-3A及AB 6804-21 「2-r1-2- 解：(1)2AB=210 -34340
《线性代数》第二章习题解答 4 - - 有解，在有解的情况下，求它的通解. 解:对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 3 0 1 2 2 6 3 3 0 1 2 2 6 3 0 1 2 2 6 3 5 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 5 a a r r A r r b b − − − − − − − = − − − − − − − 2 3 4 3 1 0 1 1 5 2 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 r r r r a b − − − − + + − . 显然，当 a b = = 0 , 2 时，方程组有解；此时，方程组的同解方程组为 ： x x x x 1 3 4 5 = + + − 5 2 , x x x x 2 3 4 5 = − − + + 2 2 6 3 , 得到方程组的通解： 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 4 2 5 3 5 2 , 2 2 6 3 , , , . x k k k x k k k x k x k x k = + + − = − − − + = = = 其中 1 2 3 k k k , , 为任意实数。 4.求 x y z w , , , 使得： 6 4 3 1 2 3 x y x x y z w w z w + = + − + 解：由 3 3 4 6 3 3 1 2 3 x y x x y z w z w w + + + = − + + + 得到： 3 4 , 3 6 , 3 1 , 3 2 3 . x x y x y z z w w w = + = + + = − + + = + 解得： x y z w = = = = 2 , 4 , 1 , 3. 5.（1）已知 2 1 1 2 5 1 0 , 3 4 0 3 4 A B − − − = = − ，求 2AB BA 和 ； （2）设 3 2 7 2 0 1 1 0 4 , 5 1 7 6 8 0 4 2 1 A B − − = = − − ，求 2 3 T AB A A B − 及 . 解：（1） 2 1 1 2 5 2 2 1 0 3 4 0 3 4 AB − − − = −
《线性代数》第二章习题解答 「-1-8-101「-2-16-20 =21-2-5=24-10 922151844 30 2-1 340 「3-27]「-2011「3-27] (2)2AB-3A=21045 -1 7-3104 6804 -21 680 [12-12-4]「9-6217「15-18-29 =214-8 5 302=25-16-2 28-8621824038-40124 [3167-2011「23-1316 AB=-208 5 -17=36-166 7404-216-435 (3)设A是k×矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则C应为I×m矩阵 6.计算： aaa (1)[x2da az dzs x2 a1x1+a12X2+413X =[x x2]ax++ax aux +aux+aux xa.++dk)+xa.k +dagk +a.k)+x(+onok,+opk)op 「4 =25 3 「11 12 (3)2[12]=24 3 36 08888 (4) 7.举例说明下列命题是错误的： (1)若A2=0,则A=0: (2)若=A,则A=0,或A=E 5
《线性代数》第二章习题解答 5 - - 1 8 10 2 16 20 2 1 2 5 2 4 10 9 22 15 18 44 30 − − − − − − = − − = − − 2 1 1 2 5 15 21 1 0 . 3 4 0 10 3 3 4 BA − − − − = = − − （2） 3 2 7 2 0 1 3 2 7 2 3 2 1 0 4 5 1 7 3 1 0 4 6 8 0 4 2 1 6 8 0 AB A − − − − = − − − 12 12 4 9 6 21 15 18 29 2 14 8 5 3 0 12 25 16 2 28 8 62 18 24 0 38 40 124 − − − − − = − − = − − − − ； 3 1 6 2 0 1 23 13 16 2 0 8 5 1 7 36 16 6 7 4 0 4 2 1 6 4 35 T A B − − = − − = − − − . （3）设 A l 是k 矩阵， B m n 是 矩阵，如果 ACB 有意义，则 C 应为 l m 矩阵. 6．计算： （1） 11 12 13 1 1 2 3 21 22 23 2 31 32 33 3 a a a x x x x a a a x a a a x 11 1 12 2 13 3 1 2 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 a x a x a x x x x a x a x a x a x a x a x + + = + + + + 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 = + + + + + + + + x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ( ) ( ) ( ) 3 , 1 ij i j i j a x x = = ； （2） 4 0 1 3 2 5 25 7 3 − = ； （3） 1 1 2 2 1 2 2 4 3 3 6 = ； （4） 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 − − − − − = = = − − − − − 7．举例说明下列命题是错误的： （1）若 2 A = 0 ，则 A= 0 ； （2）若 2 A A = ，则 A A E = = 0,或 ;
《线性代数》第二章习题解答 (3)若AX=AY,且A≠0，则X=Y 解：D取A=11门 -1-1 0，而2=0 2)取4=07 则A≠0，A≠E,而A=A 00 3)取A=0 00=01 则X≠Y,A≠0，而AX=A 8.已知n阶方阵A,B可交换，即AB=BA,证明： (1)(A+B}=A2+2AB+B2 (2)-B2=(A+BA-B) (3)(AB)m三AmB",m为正整数 证：(1)(A+B)Y=(A+B(A+B)=AP+AB+BA+B =2+2AB+B2 (2)(A+BX(A-B)=A-AB+BA-B:=4-AB+AB-B2 =A42-B2: (3)归纳法：当m=1时，显然AB=AB:设： (AB)=A-B,则 (AB)"=(AB)-(AB)=A-BM-BA=A"-B"A 注意到4=884B,放B=4= [010 9.设A=001,求所有与A交换的矩阵B 000 解：设B=b1b2b: 「010h1b2b]「bb2b AB=00 1 ba bxz bas =bat bez bas 000 「h010]「0b:21 BA=ba ba3 001=0bb2 bbbL0000b1b」 由AB=BA得到：b1=b1=b2=0,b2=么：，b=b2 b2=b,b:=b2=1因此： 「b,h2b, 00 B 6
《线性代数》第二章习题解答 6 - - （3）若 AX AY A X Y = = , 0 且 ，则 . 解：（1）取 2 1 1 0, 0 1 1 A A = = − − 而 （2）取 2 1 0 , 0, , 0 0 A A A E A A = = 则 而 （3）取 1 0 1 0 1 0 , , 0 0 0 0 0 1 A X y = = = ， 则 X Y A AX AY = , 0,而 . 8．已知 n 阶方阵 AB, 可交换，即 AB BA = ，证明： （1） 2 2 2 ( ) 2 A B A AB B + = + + （2） 2 2 A B A B A B − = + − ( )( ) （3） ( )m m m AB A B = ，m 为正整数。 证：（1） 2 2 2 ( ) ( )( ) A B A B A B A AB BA B + = + + = + + + 2 2 = + + A AB B 2 ； （2） 2 2 2 2 ( )( ) A B A B A AB BA B A AB AB B + − = − + − = − + − 2 2 = − A B ； （3）归纳法：当 m =1 时，显然 AB AB = ；设： 1 1 1 ( )m m m AB A B − − − = ，则 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m m m AB AB AB A B BA A B A − − − − = = = 注意到 m m m B A B B A AB = = 个 ，故 1 ( )m m m m m AB A AB A B − = = 9．设 0 1 0 0 0 1 000 A = ，求所有与 A 交换的矩阵 B . 解：设 11 12 13 21 22 23 31 32 33 b b b B b b b b b b = 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b b b b b b AB b b b b b b b b b = = ， 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 b b b b b BA b b b b b b b b b b = = ， 由 AB BA = 得到： b b b 21 31 32 = = = 0 ，b b 22 11 = ，b b 23 12 = ， 32 21 33 22 11 b b b b b = = = , 因此： 11 12 13 11 12 11 0 0 0 b b b B b b b =
《线性代数》第二章习题解答 10.设：x)=3E-5x+,A-33 「2-11 ,证明：f(A)=0 证：f(4)=3E-5A+A2 6gs-B8副 「10r 10「10r101_「10] 解：（归纳法）当n=2时.久22月 及w [可-e:a 12设A是反对称矩阵，B是对称矩阵，试证： 1)?是对称矩阵： 2)AB一BA是对称矩阵： 3)AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 证：1)因A=-A,∴(A)=(A4)'=AA=(-A(-A)=A，故A为对称矩阵。 2)因：A=-AB=B∴(AB-BA0=(AB)-(BA0 =BAI-AB=B(-A)-(-A)B=AB-BA,.AB-BA是对称矩阵。 3)必要性：若AB是反对称矩阵，即(AB)T=一AB,由此得到： BAT=B(-A)=-BA=-AB,:.BA=AB 充分性：若AB=BA,则(AB)=BA=B(-A)=-BA=-AB即AB为反对称矩阵， 13.若n阶方阵A满足：A+2A一4E=0,试证，A+E是可逆矩阵，并求(A+E) 证：由A+2A-4E=0,得到：A+2A+E=5E,即(A+E)2=5E,(A+E(A+E)=E 所以A+E可逆，且(A+E)=(A+E) 14.设n阶方阵A满足：-4A2+3A-E=0,试证：A可逆，并求A 证：由-4P+3A-E-0,得到A(A-4A+3E)=E故A可逆，且 A1=P-4A+3E 15.设：A=(a,)m,且4=-l,又4=，试证：A+E不可逆 证：因(A+E)=E+=E+A=(A+E了，两边取行列式得到： rk4+B-r4+E-a+B=+,国r到=-l,代入上式得到： A+E=0,故A+E不可逆. 「3011 16.(1)设矩阵A=110满足AX=A+2X,求矩阵X 014 7
《线性代数》第二章习题解答 7 - - 10．设： 2 2 1 ( ) 3 5 , 3 3 f x E x x A − = − + = − ，证明： f A( ) 0 = . 证： 2 f A E A A ( ) 3 5 = − + 3 0 10 5 7 5 0 0 . 0 3 15 15 15 12 0 0 − − = − + = − − 11．计算： 1 0 1 n 解：（归纳法） 当 n = 2 时， 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1 = = ； 设： 1 1 0 1 0 1 ( 1) 1 n n − = − ；则 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( 1) 1 1 1 n n n n − = = = − . 12.设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： 1） 2 A 是对称矩阵； 2） AB BA − 是对称矩阵； 3） AB 是反对称矩阵的充分必要条件是 AB BA = . 证：1）因 2 2 , ( ) ( ) ( )( ) T T T T T A A A AA A A A A A = − = = = − − = ，故 2 A 为对称矩阵。 2）因： , , ( ) ( ) ( ) T T T T T A A B B AB BA AB BA = − = − = − ( ) ( ) , T T T T = − = − − − = − − B A A B B A A B AB BA AB BA 是对称矩阵。 3）必要性：若 AB 是反对称矩阵， 即 ( )T AB AB = − ，由此得到： ( ) , T T B A B A BA AB BA AB = − = − = − = 充分性：若 AB BA = . ，则 ( ) ( ) T T T AB B A B A BA AB = = − = − = − 即 AB 为反对称矩阵。 13．若 n 阶方阵 A 满足： 2 A A E + − = 2 4 0 ，试证， A E + 是可逆矩阵，并求 1 ( ) A E − + . 证：由 2 A A E + − = 2 4 0 ，得到： 2 A A E E + + = 2 5 ，即 2 ( ) 5 A E E + = ，1 5 ( )( ) A E A E E + + = ， 所以 A E + 可逆，且 1 1 5 ( ) ( ) A E A E − + = + . 14. 设 n 阶方阵 A 满足： 3 2 A A A E − + − = 4 3 0 ，试证： A 可逆，并求 1 A − . 证 ： 由 3 2 A A A E − + − = 4 3 0 ，得到 2 A A A E E ( 4 3 ) − + = 故 A 可逆， 且 1 2 A A A E 4 3 − = − + . 15. 设： 1 ( ) , 1, T A a A A A ij m n − = = − = 且 又 ，试证： A E + 不可逆. 证：因 1 1 ( ) ( ) T T A A E E A E A A E − − + = + = + = + ，两边取行列式得到： 1 1 ( ) ( ) ( )T A A E A A E A E A E − − + = + = + = + ， 因 1 1 A 1 A − = = − ， 代 入 上式 得 到 ： A E + = 0 ，故 A E + 不可逆. 16． （1）设矩阵 3 0 1 1 1 0 0 1 4 A = 满足 AX A X = + 2 ，求矩阵 X
《线性代数》第二章习题解答 101 (2)设矩阵A=020满足AX+E=?+X,其中E为3阶单位阵，求矩阵X. 101 解：(1)由AX=A+2X得到(A-2E)X=A,X=(A-2E)A [1011001 「101100 4-2E=0-100105-0-1-1-110 012001012001 -500i-115=001-111 「2 -1-1门 ∴(A-2E)=2-2-1 -111 X=(A-2E)A=2-2 -111014-223 (2)由 +E=f4K得到-B=术-E=-BX4+-)-0 「2011 .A-E可逆，因此X=A+E=030 102 17.设A为n阶方阵，证明： (1)若P-3A-2E=0,则=(A-3E): (2)若A=0,则(E-A)=E+A+P+…+A 证明：(1)由P-3A-2E=0得到4(A-3E)=2E A5(A-3E)=E故A=(A-3E) (3)因(E-A0(E+A+P++A-) =E+A+++AK-A---A--A=E (E-A)=E+A++. 18.设A为n阶可逆方阵，证明： (1)(Ay=A-A(n≥2)： (2)(A)=(A) 证：(1)因A可逆，A=古A,AA=☆AA=A向A=E,所以 ()=内A,又因为A=A,因此(A)=A(A),因
《线性代数》第二章习题解答 8 - - （2）设矩阵 1 0 1 0 2 0 1 0 1 A = 满足 2 AX E A X + = + ，其中 E 为 3 阶单位阵，求矩阵 X . 解：（1）由 AX A X = + 2 得到 1 ( 2 ) , ( 2 ) A E X A X A E A− − = = − 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 A E E r r − = − − − − − 2 3 1 3 2 2 3 1 0 1 1 0 0 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 r r r r r r r − − + − − − − − − − − ， 1 2 1 1 ( 2 ) 2 2 1 1 1 1 A E − − − − = − − − ， 1 2 1 1 3 0 1 5 2 2 ( 2 ) 2 2 1 1 1 0 4 3 2 1 1 1 0 1 4 2 2 3 X A E A− − − − − = − = − − = − − − − . （2）由 2 2 AX E A X A E X A E A E A E + = + − = − = − + 得到( ) ( )( ) 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 A E− = = − ， − A E 可逆，因此 2 0 1 0 3 0 1 0 2 X A E = + = . 17．设 A 为 n 阶方阵，证明： （1） 若 2 A A E − − = 3 2 0 ，则 1 1 2 A A E ( 3 ) − = − ； （2） 若 0 K A = ，则 1 2 1 ( ) K E A E A A A − − − = + + + + 证明：（1）由 2 A A E − − = 3 2 0 得到 A A E E ( 3 ) 2 − = ， 1 2 A A E E ( 3 ) − = 故 1 1 2 A A E ( 3 ) − = − （3） 因 2 1 ( )( ) K E A E A A A − − + + + + 2 1 2 1 K K K E A A A A A A A E − − = + + + + − − − − − = ， 故 1 2 1 ( ) K E A E A A A − − − = + + + + 18．设 A 为 n 阶可逆方阵，证明： （1） 2 ( ) ( 2) n A A A n − = ； （2） 1 1 ( ) ( ) A A − − = . 证：（1）因 A 可逆， 1 1 1 1 1 , A A A A A A A A A A A E − − = = = = ，所以 1 1 ( ) A A A − = ，又因为 1 A AA − = ，因此 ( ) 1 * * * * ( ) A A A − = ，因
《线性代数》第二章习题解答 4=44=A☆=4，故： (A)'=(A)=(A0-·A=AA (2)因（Γ广=4Γ（厂）=AA,故 A(A)广=A·☆A=IAA=AA-E,∴(A)=(Γ 19.求下列矩阵方程的解： 解 -3到 「147] L-146 (2) L-10117 解： 「223100] 025102 1-100105+2 -10010 -1010015+5 -101001 0071241 +20 「001号号1 -1 101 1 -1 0-1 -1 1 0 00 10-100 -1 5+ 「001子 「100子 010 -9 - 55010- 5+5 001子-」 001子 「223T ,12-3 1 -10 -101 x- 12-3121 0 -211「0-3 1-1 7 1241777 「11-1-11 (3)X022 110 1-10211 解： 9
《线性代数》第二章习题解答 9 - - 1 1 1 n n A A A A A A − − = = = ，故： 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n A A A A A A A A − − − = = = （2）因 1 * 1 1 1 1 ( ) ( ) A A A A A − − − − = = ，故: * 1 * * * 1 1 1 ( ) A A A A A A A A A A E − − = = = = ， 1 1 ( ) ( ) A A − − = . 19．求下列矩阵方程的解： （1） 2 1 3 2 2 4 3 2 5 3 3 1 X − − = − . 解： 1 1 2 1 2 4 3 2 2 1 2 4 3 2 3 2 3 1 5 3 3 2 3 1 5 3 X − − − − − − = = − − 14 7 14 6 = − （2） 2 2 3 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 1 7 X − = − − . 解： 1 3 2 3 2 2 3 1 0 0 0 2 5 1 0 2 2 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 r r r r + − − + − − 1 2 4 7 7 7 1 1 2 7 1 3 2 0 0 7 1 2 4 0 0 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 r r r r r + − − − − − − − − − − 1 2 4 1 2 4 7 7 7 7 7 7 2 1 1 1 5 3 5 3 7 7 7 7 7 7 1 3 3 1 1 2 1 2 4 3 7 7 7 7 7 7 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 r r r r r r + − − − − + − 1 2 2 3 1 2 3 1 1 1 0 1 5 3 7 1 0 1 1 2 4 − − − = − − − 1 2 3 1 2 0 21 0 3 1 1 1 5 3 1 1 7 14 1 2 7 7 1 2 4 1 7 7 28 1 4 X − − − = − − − = − − = − − （3） 1 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 X − − = − . 解：
《线性代数》第二章习题解答 1 -1100 11-1100 02 20105-502 2010 1-10001 0-21-101 5+5「10-21-50]「10-21-01 5-501 10 0→011 0 0 5003-111001-4 「100子1 [11-1T 5-5 010÷-含 5+2001 022 21-2 1-10 -222 1-1「2141 「-228] x2163222 21-2 422 6〉 L458 「010]「100]「1-431 (4) 100x001=20-1 0010101-20 解：X= 100 20 00i 0011-20010 「0107[1-437[100]「2-101 =10020 -1001=13-4 0011-2001010-2 20,填空：(1)设A,B是两个3阶方阵，4=-1，B=2,则： 2(AB=24Bf=84rf1B=84序=8x1×=2 (2)设AB是两个4阶方阵，A=古，B=2-(2A)，则 B=2r-=是A=()=器白=器×16=81 (3)设A是4阶数量矩阵，且A=16,则：=士 =±E (4)设A,B是n阶可逆方阵，若4=5，则：BA水=BB4=B-B4=5 (5)设矩阵A可逆，则矩阵4可逆的充分必要条件是k≠0. 21求下列矩阵的逆阵 1000 [32001 (1) 1200 2130 (2) 2100 0083 1214 0052
《线性代数》第二章习题解答 10 - - 3 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 2 0 1 0 0 2 2 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 r r − − − − − − 1 1 3 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 3 1 1 1 0 0 1 r r r r r + − − − − − → − − 1 1 2 3 6 3 2 3 1 1 1 3 6 3 1 3 1 1 1 3 3 3 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 r r r r − − + − 1 1 1 1 2 1 4 1 0 2 2 2 1 2 6 1 1 0 2 2 2 − − = − − − 1 1 1 2 1 4 2 2 8 1 1 1 1 0 2 1 2 4 2 2 6 6 2 1 1 2 2 2 4 5 8 X − − = − = − （4） 0 1 0 1 0 0 1 4 3 1 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 X − = − − 解： 1 1 0 1 0 1 4 3 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 X − − − = − − 0 1 0 1 4 3 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 1 3 4 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 − − = − = − − − 20 ． 填 空 ：（ 1 ） 设 AB, 是 两 个 3 阶 方阵， A B = − = 1, 2 ，则： 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 4 2( ) 2 8 8 8 1 2 T T T B A B A B A B A − − − = = = = = （ 2 ） 设 AB, 是两个 4 阶 方 阵 ， 1 1 1 16 A B A A , 2 (2 ) − − = = − ，则： ( ) 4 1 1 1 1 1 1 3 3 81 81 2 2 2 16 16 2 16 81 A B A A A A − − − − = − = = = = = （3） 设 A 是 4 阶数量矩阵，且 A =16 ，则： 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A E − = = . （4） 设 AB, 是 n 阶可逆方阵，若 A = 5 ，则： 1 1 1 5 K K K K B A B B B A B B A − − − = = = （5） 设矩阵 A 可逆，则矩阵 kA 可逆的充分必要条件是 k 0 . 21． 求下列矩阵的逆阵. （1） 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 （2） 3 2 0 0 2 1 0 0 0 0 8 3 0 0 5 2
