矩阵论
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第1章矩阵的相似变换 相似变换是矩阵的一种重要变换。本章研究 矩阵在相似变换下的化简问题,这是矩阵理论中的 基本问题之一。本章的内容是后续各章的基础,虽 然部分概念在线性代数课程中已接触过,但更多的 是新的内容。为了避免篇幅过长,对部分结论将不 加证明,读者可以在高等代数教材中找到有关的证 明。 his doc is produced by trial ver
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1.1 特征值与特征向量 1.2相似对角化 1.3 Jordan标准形介绍 1.4 Hamilton-Cayley定理 1.5向量的内积 1.6酉相似下的标准形 This document is produced by trial version of Print2Flash. Visit www.print2flash.com for more information
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1.1特征值与特征向量 一特征值与特征向量的定义 定义设A∈Cw”,如果存在九∈C和非零向量x∈C”, 使Ax=x,则2叫做A的特征值,x叫做A的属于 特征值入的特征向量。 由det(2I-A)=O求特征值,即其n个根。 解(2,I-A)x=0,其非零解向量即为A的 对应于1的特征向量。 This do is pro ed by trial v of Print2Flash
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二、特征值与特征向量的求法 (I)A-E=0求出入即为特征值; (2)Ax=x→(A-1E)x=0 把得到的特征值入,代入上式, 求齐次线性方程组(A-元,E)x=0的非零解x 即为所求特征向量。 齐次线性方程组(A-E)x=0的通解x (去掉零解)即为与入;对应的全部特征向量。 This docu t is produced by trial vers of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for r
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0 例1 求矩阵A 30 的特征值和全部特征向量, 02 131 例2 求矩阵A= 2-1 的特征值和全部特征向量, 005
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三、特征值与特征向量的性质 性质1设兄是方阵A的特征值,对应的一个特征向量x 证明(1)k2是kA的特征值,对应的特征向量仍为x。 (2)2是42的特征值,对应的特征向量仍为x。 (3)当A可逆时,21是41的特征值,对应的 特征向量仍为x。 证()Ax=2x→(kA)x=(k2)x (2)A2x=A(Ax)=A(2x)=(Ax)=(2x)=2x ==x=京 This docun ent is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information
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推广设入是方阵A的特征值,则水是Ak的特征值。 p(2)=o+a1+22++am2m 是 (A)=aoE+aA+a2+...+amAm 的特征值。如果A可逆,则 p(2)=ak2k+…+a121+a+a12+…+am2m 是 (A0=a-kA+…+a-1A1+aE+1A+…+0mAm 的特征值
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