第八章-矩阵 一.基本知识点 1.-矩阵 (1)设P是一个数域，是一个文字，作多项式环P[];一个矩阵，如果它的元素P[]的元素，就称为-矩 阵.用A(),B()等表示-矩阵，而A,B等表示数字矩阵，同样的定义-矩阵的加减法与乘法，它们与数字 矩阵有相同的运算规律.-矩阵的行列是一个的多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质，它也有子 式等概念 (2)如果A-矩阵A()中有一个r(>1)级子式不为零，而所有r+1级子式全为零，则称A()的秩为r,记 为R(A())=r,零矩阵的秩规定为零；一个n×n的A-矩阵A()称为可逆的，如果有一个n×n的A-矩 阵B()，使得A()B()=B(λ)A()=E,这里E是n级单位阵.适合1)的矩阵（它是唯一的）称为A()的逆 矩阵，记为A-1();一个n×n的A-矩阵A(A)可逆的充分必要条件为行列式|A(A)≠0 2.矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，行列式因子与初等因子 (1)秩为r(>1)的s×n的-矩阵A()都等价于（通过A-矩阵的初等变换）下列形式的矩阵 d1(A) di(A) 其中d,()(i=1,2,…,r)是首1的多项式，且d1()|di+1(λ)(i= d,(A) 1,2,…,r-1),称这个矩阵为A(λ)的标准型，又称d4()(i=1,2,.…,r)为A(A)的不变因子 (2)设-矩阵A()的秩为r,对于正整数k(1≤k≤r),A()中所有k级子式的首项系数为1的最大公因 式Dk()称为A()的k级行列式因子 (3)设A=(a)是n×n数字矩阵，E-A称为A的特征矩阵，AE-A的不变因子和行列式因子简称 为A的不变因子和行列式因子 (4)把矩阵A的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的 乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现次数计算）称为矩阵A的初等因子 (5)等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子 (6)行列式因子与不变因子的关系：设A()是秩为r的s×n的-矩阵，D1()(i=1,2,.…,r)是A()的 行列式因子，而d()(i=1,2,,r)是A()的不变因子，则 D;(λ) = d1(λ)d2(λ)…d(λ)(i= 1,2,… ,r),d1(λ) = D1(λ)， d =(i=2,…,r),即它们是相互确 定的 (7)-矩阵的标准型是唯一的 (8)A-矩阵A()与B()等价=A()与B()有相同的行列式因子=A()与B()有相同的不变因子 3.最小多项式 (1)设A为数域P上n阶矩阵，数域P上的次数最低且首项系数为1的以A为根的多项式d(x)(即d(A)= 0),称为A的最小多项式，矩阵A的最小多项式是唯一的 (2)设d(x)是矩阵A的最小多项式，那么(i)f(x)以A为根的充分必要条件是d(x)整除f(x);(ii)是A的 特征多项式的根充分必要条件是是mA(x)的根 (4)相似的矩阵有相同的最小多项式，反之不成立 第1页
1lŸ λ−› ò. ƒ £: 1. λ−› (1) P¥òáÍç,λ¥òá©i,äıë™ÇP[λ];òá› ,XJßÉP[λ]É, “°èλ−› . ^A(λ), B(λ) L´λ−› , A, B L´Íi› ,”½¬λ−› \~{ܶ{,ßÇÜÍi › kÉ”$é5Æ.λ−› 1¥òáλıë™,ßÜÍi› 1™kÉ”5ü,ßèkf ™ Vg. (2) XJλ−› A(λ)•kòár(≥ 1)?f™ÿè", §kr + 1?f™ è",K°A(λ)ùèr,P èR(A(λ)) = r, "› ù5½è"; òán × nλ− › A(λ)°èå_, XJkòán × nλ−› B(λ),¶A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E, ˘pE¥n?¸† . ·‹1)› (ߥçò)°èA(λ) _ › , PèA−1 (λ); òán × nλ−› A(λ)å_ø©7á^áè1™|A(λ)| 6= 0. 2. › 3– CÜeIO., ÿCœf,1™œfÜ– œf (1) ùèr(≥ 1)s × nλ−› A(λ)— du(œLλ−› – CÜ)e/™› d1(λ) d1(λ) . . . dr(λ) 0 , Ÿ•di(λ)(i = 1, 2, · · · , r) ¥ƒ1ıë™, Ödi(λ)|di+1(λ)(i = 1, 2, · · · , r − 1), °˘á› èA(λ)IO.,q°di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)èA(λ)ÿCœf. (2) λ−› A(λ)ùèr,ÈuÍk(1 ≤ k ≤ r), A(λ)•§kk?f™ƒëXÍè1Åå˙œ ™Dk(λ)°èA(λ)k?1™œf. (3) A = (aij )¥n × nÍi› ,λE − A°èAA› , λE − AÿCœf⁄1™œf{° èAÿCœf⁄1™œf. (4) r› AzágÍåu"ÿCœf3EÍçS©)§pÿÉ”ƒëè1ògœ™êò ¶»,§k˘ ògœ™êò(É”U—ygÍOé)°è› A– œf. (5) dλ−› ‰kÉ”ùÜÉ”à?1™œf. (6) 1™œfÜÿCœf'X: A(λ)¥ùèrs × nλ−› ,Di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)¥A(λ) 1™œf, di(λ)(i = 1, 2, · · · , r)¥A(λ) ÿCœf, K Di(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · di(λ)(i = 1, 2, · · · , r),d1(λ) = D1(λ), di = Di(λ) Di−1(λ) (i = 2, · · · , r),=ßÇ¥Ép( ½. (7) λ−› IO.¥çò. (8) λ−› A(λ)ÜB(λ) d A(λ)ÜB(λ)kÉ”1™œf A(λ)ÜB(λ)kÉ”ÿCœf. 3. Åıë™ (1) AèÍçP˛n › , ÍçP˛gÍÅ$ÖƒëXÍè1±Aèäıë™d(x)(=d(A) = 0),°èAÅıë™, › AÅı뙥çò. (2) d(x)¥› AÅıë™,@o(i) f(x)±Aèäø©7á^á¥d(x)ÿf(x);(ii) λ0¥A Aıë™äø©7á^á¥λ0¥mA(x)ä. (4) Éq› kÉ”Åıë™, áÉÿ§·. 1 1 ê
(⑤)设准对角阵A= ,其中A,的最小多项式为d(口，则A的最小多项式为d(口)和d2(e)的 最小公倍式d(),d(训 a (⑥)k级若尔当块 的最小多项式为-a) 1 ()数域P上n阶矩阵A的最小多项式是A的最后一个不变因子. 3.矩阵相似的条件 ()设A,B为数域P上的m阶方阵 )若有数字矩阵M,N使得AE-A=M(AE-B)Q,则A与B相似. (回)A与B相似=AE-A与AE-B等价.=A与B有相同的不变因子.=A与B有相同的行列式 因子.二A与B在复数域内在有相同的初等因子. 2)数域P上级矩阵A与对角阵相似的充分必要条件为：A的最小名项式是P上互素的一次因式的乘 积 (③)设d)和f()为复数矩阵A的最小多项式和特征多项式，则A与对角阵相似二A的初等因子全 为一次的=A的不变因子没有重根=mA()无重因式且可分解为一次因式的乘积(()，d'()=1 =d)=可 4.若尔当标准形 /入0.，000 000 (1)形式为.（入，）= 848 的矩阵称为t阶的若尔当块，其中入是复数.由若干个 00.,110 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当型矩阵，其一般状如 A 1 其中A三 1,2,,入中有一些可以相等 4, 1 1λ (②)若尔当块= 的初等因子为A-M)严 (3)n级若尔当形矩阵J 其中 (=1,2…,s)的 1 .xn 全部初等因子为(A-1),(- 第2页
(5) OÈ A = A1 A2 ! , Ÿ•AiÅıë™èdi(x), KAÅıë™èd1(x)⁄d2(x) Å˙™[d1(x), d2(x)]. (6) k?e¨J = a 1 . . . . . . . . . 1 a Åıë™è(x − a) k . (7) ÍçP˛n › AÅı뙥AÅòáÿCœf. 3. › Éq^á (1) A, BèÍçP˛n ê . (i) ekÍi› M, N ¶λE − A = M(λE − B)Q, KAÜBÉq. (ii) AÜBÉq λE − AÜλE − B d. AÜBkÉ”ÿCœf. AÜBkÉ”1™ œf. AÜB3EÍçS3kÉ”– œf. (2) ÍçP˛n?› AÜÈ Éqø©7á^áè:AÅı뙥P˛pÉògœ™¶ ». (3) d(x)⁄f(x)èEÍ› AÅıë™⁄Aıë™, KAÜÈ Éq A– œf èòg AÿCœfvkä mA(x) Ãœ™Öå©)èògœ™¶» (d(x), d0 (x)) = 1 d(x) = f(x) (f(x),f0(x) . 4. eIO/ (1) /™èJ(λ, t) = λ 0 · · · 0 0 0 1 λ · · · 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 λ 0 0 0 · · · 0 1 λ t×t › °èt e¨,Ÿ•λ¥EÍ. deZá e¨|§OÈ °èe.› ,ŸòÑ/GX A1 A2 . . . As , Ÿ•Ai = λi 1 λi . . . . . . 1 λi 1 λi ki×k , λ1, λ2, · · · , λs•kò å±É . (2) e¨Ji = λi 1 λi . . . . . . 1 λi ni×ni – œfè(λ − λi) ni . (3) n?e/› J = J1 J2 . . . Js ,Ÿ•Ji = λi 1 λi . . . . . . 1 λi ni×ni (i = 1, 2, · · · , s) ‹– œfè(λ − λ1) n1 ,(λ − λ2) n2 , · · · ,(λ − λs) ns (n1 + n2 + · · · + ns = n). 1 2 ê
(4)复数域上的每个级矩阵A都与一个若尔当形矩阵J相似，这个若尔当形矩阵，J除去其中若尔当的排 列次序外是被矩阵A唯一确定的称J为A的若尔当标准形.设A是复数域上n维线性空间V的一组基，使A在 这组基下的矩阵为若尔当形矩阵，并且这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排列次序外是被A唯一确定的. 6.矩阵的有理标准形 00·0- ()对数域P上的一个多项式d()=n+a1n-1+…+a,称矩阵 00...1 多项式dA)的伴侣阵或Frobenius块」 d()的伴侣阵的不变因子为：1,1 1(n-1)个1，d) (②)设有数域P上的准对角阵A 其中A,是数域P上多项式d,(A)的伴侣阵满 足d山(d(…d,(A),称A为P上的 个有理标准形矩阵 或Frobenius标准型.此时有理标准形A的不变 因子为1,1，…，1，d(, ·,d.(),其中1的个数对于n-8 (3)数域P上的矩阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形.称为A的有理标准形. (4)求A的有理标准形的方法：设A为数域P上的n阶矩阵，其不变因子为1，·，1，d1(),…,d,(),其 中d(),·,d.()的次数≥1，且1的个数=d(A),…,d,()的次数直和减去s.设B是d()的伴侣阵， B 令B B 则B为A的有理标准形 (④设P是数域P上n维欧式空间V的线性变换，P关于V的一组基的矩阵的有理标准形称为的有理标 准形 典型例题与解题技巧 例题8.1求下列λ-矩阵的标准型，不变因子与行列式因子 1 1-入2入 X 1 入1 1λ2λ 12 解()A)- 10 0 -→00 会B(A),B(A)即为A(A)的标准形. 00-2+X 由标准形BA)可见，A(a)的不变因子d()=1,d()=入，d()=A(A+1) 而行列式因子分别为D()=d山()=1，D2(A)=d(d()=入D()=d4(A)d2)d)=(+ 1). 第3页
(4) EÍç˛zán?› A—Üòáe/› JÉq,˘áe/› JÿŸ•e¸ gS ¥› Açò(½,°JèAeIO/. A¥EÍç˛nëÇ5òmV ò|ƒ,¶A3 ˘|ƒe› èe/› ,øÖ˘áe/› ÿe¨¸gS ¥Açò(½. 6. › knIO/ (1) ÈÍçP˛òáıë™d(λ) = λ n +a1λ n−1 +· · ·+an, °› A = 0 0 · · · 0 −an 1 0 · · · 0 −an−1 0 1 · · · 0 −an−2 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 −a1 è ıë™d(λ)äø ½Frobenius¨. d(λ)äø ÿCœfè:1, 1, · · · , 1(n − 1)á1, d(λ). (2) kÍçP˛OÈ A = A1 A2 . . . As , Ÿ•Ai¥ÍçP˛ıë™di(λ)äø ˜ vd1(λ)|d2(λ)| · · · |ds(λ), °AèP˛òáknIO/› ½FrobeniusIO.. dûknIO/AÿC œfè1, 1, · · · , 1, d1(λ), · · · , ds(λ), Ÿ•1áÍÈun − s. (3) ÍçP˛› A3P˛ÉquçòòáknIO/, °èAknIO/. (4) ¶AknIO/ê{: AèÍçP˛n › ,ŸÿCœfè1, · · · , 1, d1(λ), · · · , ds(λ), Ÿ •d1(λ), · · · , ds(λ) gÍ≥ 1, Ö1 áÍ= d1(λ), · · · , ds(λ)gÍÜ⁄~s. B1¥di(λ) äø , -B = B1 B2 . . . Bs , KBèAknIO/. (4) ϕ¥ÍçP˛nëÓ™òmV Ç5CÜ, ϕ'uV ò|ƒ› knIO/°èϕknI O/. ;.~KÜ)KE| ~K8.1 ¶eλ−› IO.,ÿCœfÜ1™œf. (1) 1 − λ λ2 λ λ λ −λ 1 + λ 2 λ 2 −λ 2 . (2) λ 1 λ 1 λ 1 λ . ) (1) A(λ) −→ 1 λ 2 λ 0 λ −λ 1 λ 2 −λ 2 −→ 1 λ 2 λ 0 λ −λ 0 0 −λ 2 − λ −→ 1 0 0 0 λ −λ 0 0 −λ 2 − λ −→ 1 0 0 0 λ 0 0 0 −λ 2 + λ 4 = B(λ),B(λ)=èA(λ)IO/. dIO/B(λ)åÑ,A(λ)ÿCœfd1(λ) = 1, d2(λ) = λ, d3(λ) = λ(λ + 1). 1™œf©OèD1(λ) = d1(λ) = 1, D2(λ) = d1(λ)d2(λ) = λ,D3(λ) = d1(λ)d2(λ)d3(λ) = λ 2 (λ + 1). 1 3 ê
λ1 (2)行列式因子：有一个3阶子式等于1，所以D1()=D2(A)=D(A)=1,D4 于是不变因子：d()=d()=()=1，d4(A)= 1 A(λ)的标准形为 1 14 例题8.2求下列矩阵的若当标准型与有理标准型 -3 -1-26 (1)A 2 -5 (②A -103 -4 -10 1_14 -2+2 解(1)λE-A 0 -2 入+1 0 -(A2+2-1) 0-0e+2-) 0 -2 入+ 0(2-2-1)1 1 0 10 0 -A-10a2+1)0 00(a-1a2+1 于是A的不变因子为d(A)=2(=1,dA)=(A-1)(2+1)=3 2+-1：初等因子为A-1,入 i,入+i,故A的有理标准型和若当标准型分别为 001 100 F 10-1 ,J=0i0 011 00-1 入+12 -6 10 0 (②)解λE-A→ 1 -3 0λ-10 1 14 00(A-1)2 因此4的初等因子为：入-1，（-1）2：不变因子为1，入-1，(-1)2=12-2+1 100 10 A的若当标准形为 4的有理标准形为 00- 001 01 -3-1-1 例题8.3设4= 1-1-3 求A的Jordan标准形J.并求可逆矩阵P使得P-1AP=J. 002 λ+3 1 10 0 解E-A= 1 +1 01 0 、00(A-2+22 于是A的初等因子为A-2,(A+22.可得A的Jordan标准形 第4页
(2) 1™œf: kòá3 f™ u1,§±D1(λ) = D2(λ) = D3(λ) = 1, D4 = λ 1 λ 1 λ 1 λ = λ 4 . u¥ÿCœf: d1(λ) = d2(λ) = d3(λ) = 1, d4(λ) = λ 4 . A(λ)IO/è 1 1 1 λ 4 . ~K8.2 ¶e› eIO.ÜknIO.. (1) A = 3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3 ; (2) A = −1 −2 6 −1 0 3 −1 −1 4 ) (1) λE − A = λ − 3 −7 3 2 λ + 5 −2 4 10 λ − 3 −→ λ − 3 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 2 0 0 4 −2λ λ + 1 −→ 1 0 0 0 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 0 −2λ λ + 1 −→ 1 0 0 0 − 1 2 (λ 2 + 2λ − 1) λ 0 1 2 (λ 2 − 2λ − 1) 1 −→ 1 0 0 0 − 1 2 (λ − 1)(λ 2 + 1) 0 0 0 1 −→ 1 0 0 0 1 0 0 0 (λ − 1)(λ 2 + 1) u¥AÿCœfèd1(λ) = d2(λ) = 1, d3(λ) = (λ−1)(λ 2 + 1) = λ 3 −λ 2 +λ−1; – œfèλ−1, λ− i, λ + i, AknIO.⁄eIO.©Oè F = 0 0 1 1 0 −1 0 1 1 , J = 1 0 0 0 i 0 0 0 −i . (2) ) λE − A → λ + 1 2 −6 1 λ −3 1 1 λ − 4 → 1 0 0 0 λ − 1 0 0 0 (λ − 1)2 œdA– œfè: λ − 1, (λ − 1)2 ; ÿCœfè1, λ − 1, (λ − 1)2 = λ 2 − 2λ + 1. AeIO/è: 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ; AknIO/è: 1 0 0 0 0 −1 0 1 2 . ~K8.3 A = −3 −1 −1 1 −1 −3 0 0 2 , ¶AJordanIO/J, ø¶å_› P¶P −1AP = J. ) λE − A = λ + 3 1 1 −1 λ + 1 3 0 0 λ − 2 →= 1 0 0 0 1 0 0 0 (λ − 2)(λ + 2)2 . u¥A– œfèλ − 2,(λ + 2)2 . åAJordanIO/ 1 4 ê
/200 令P=(，5，则由P-1AP=J得A6=2,2 252.A5=-263+62 解线性方程组(2E-A)x=0得基础解析为1 解线性方程组(2E+A)=0得基础解析为2 解线性方程组(2E+A)=52得一个特解 0 0-11 于是可取P 例题8.3设4为3阶非零矩阵且42=0.求A的若当标准型 100Y 例题8.4设A= 011,证明不存在B使得A=B2 001 例题8.5()设A是数域P上一个n×n矩阵，证明A与A'相似： 2)若阶矩阵A满足A2-3A+2E=0.则A相似于对角陈 11-44 3)判定A 12-5 -4 是否可以对角化 12-4-5 (4)若复数域上的阶矩阵A满足A=A,则A相以于对角阵 (⑤)设A为复数域上的n阶矩阵，若存在正整数m使得Am=En,则A相似于对角阵 11a12a1n a21 a12 证明()设4 则A' a2…an2 A与A相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.因为AE一A与λE一A对应的k级子式互为转 置，因而对应的k级子式相等，这样入E-A与入-A'有相同的各级行列式因子，从而由相同的不变因子，故A与4相 似 (2)令d(x)为A的最小多项式，g()-x2-3x+2,则g(4)-0,于是d(lg)=x2-3x+2,因此d()为 无重根，故A相似于对角阵. (③)f)=rE-A=(e-3)x+1)2,((x,f'(e》=x+1,于是D=(任-3(x+1). 令d)为A的最小多项式，因为(4-3E)(A+E)=0,所以d(工)=（红-3）（红+1），因此A可以对角化. (④)因为A2=AA=AE,所以若A≠0，则mA((x2-4),所以mA()无重因式且可分解为 次因式的乘积，A相似于对角阵若 ≥3，则A=A=4m-2A=0, 1相似于对角阵；若n=2 令A=ab ,则由A=A得A=0,且a=0,同样有A=0,A相似于对角阵 c d 0 a 第5页
J = 2 0 0 0 −2 1 0 0 −2 . -P = (ξ1, ξ2, ξ3), KdP −1AP = JAξ1 = 2ξ1, Aξ2 = −2ξ2, Aξ3 = −2ξ3 + ξ2. )Ç5êß|(2E − A)x = 0ƒ:)¤èξ1 = 0 −1 1 ; )Ç5êß|(2E + A)x = 0ƒ:)¤èξ2 = −1 −1 0 ; )Ç5êß|(2E + A)x = ξ2òáA)ξ3 = 1 0 0 . u¥åP = 0 −1 1 −1 1 0 1 0 0 , KP −1AP = J. ~K8.3 Aè3 ö"› ÖA2 = 0, ¶AeIO.. ~K8.4 A = 1 0 0 0 1 1 0 0 1 , y²ÿ3B¶A = B2 . ~K8.5 (1) A¥ÍçP˛òán × n› ,y²AÜA0Éq; (2) en › A˜vA2 − 3A + 2E = 0, KAÉquÈ . (3) ½A = 11 −4 −4 12 −5 −4 12 −4 −5 ¥ƒå±Èz. (4) eEÍç˛n › A˜vA = A∗ , KAÉquÈ . (5) AèEÍç˛n › , e3Ím¶Am = En, KAÉquÈ . y² (1) A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann ,KA0 = a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 . . . . . . . . . a1n a2n · · · ann . AÜA0Éqø©7á^á¥ßÇkÉ”ÿCœf. œèλE − AÜλE − A0ÈAk?f™pè= ò,œ ÈAk?f™É ,˘λE−AÜλ−A0kÉ”à?1™œf,l dÉ”ÿCœf,AÜA0É q. (2) -d(x)èAÅıë™, g(x) = x 2 −3x+ 2, Kg(A) = 0, u¥d(x)|g(x) = x 2 −3x+ 2, œdd(x)è Ãä, AÉquÈ . (3) f(x) = |xE − A| = (x − 3)(x + 1)2 , (f(x), f0 (x)) = x + 1, u¥ f(x) (f(x),f0(x)) = (x − 3)(x + 1). -d(x)èAÅıë™, œè(A − 3E)(A + E) = 0, §±d(x) = (x − 3)(x + 1). œdAå±Èz. (4) œèA2 = AA∗ = |A|E, §±e|A| 6= 0, KmA(x)|(x 2 − |A|), §±mA(x) Ãœ™Öå©)èò gœ™¶», AÉquÈ ;e|A| = 0, n ≥ 3, KA = A∗ = |A| n−2A = 0, AÉquÈ ; en = 2, -A = a b c d ! , KdA = A∗A = a 0 0 a ! , Öa = 0, ”kA = 0, AÉquÈ . 1 5 ê
(⑤)令g()=xm-1,则g(4)=0,于是mA()g(x,因为g(x)的根为m次单位根，所以mA(x)无重根且 可分解为一次因式的乘积，故A相似于对角阵. 例8.6设A,B为实数域上的n阶矩阵，证明：A,B在实数域上相似当且仅当A,B在复数域上相似. 例题8.7A是n级线性空间V上的线性变换， (1)若A在V的某组基下矩阵A是某多项式d(A)的伴侣阵，则A的最小多项式是d): (2)设A的最高次的不变因子是d(),则4的最小多项式是d(). 证()由题意设d)=A a1-1 A三 01· -da- 故A的不变因子为1,1，…，1，d()(n-1个1).再设d)=(A-A1)n(A- 00 )…(-入)P,其中≠位≠)1+2+…+r。=n则A的初等因子组是(-)”，(0- 2)户，·，(A-入，)r,A的若尔当标准形为，J= ,其中J= 1λ 1,2,…, 设A~B,fA)=0,则有B=P-1AP,B*=P-1AP,所以f(B)=aoB"+a1Bn-1+…+anE= P-1fA)P=0.可见相似矩阵有相同的最小多项式，可得4（或）是最小多项式为(-1)P(A-2)…(A- 入=d(A).从而A的最小多项式也为d) (②)设A的最高次的不变因子是dA).由于d(d2(A)n(A,所以d()=dn().又根据由非常数 不变 可得到A在的某组基下的有理标准形，由（①）的结果知，A的最小多项式是山（⊙），故4的最高次 变因子d()就是A的最小多项式。 例8.8设A,B为数域P上的n阶矩阵且AB=BA,若存在正整数k使得A=0,则A+B B 证（付若B可逆，则由AB=BA得B1A=AB-1,于是(B-1A)*=(B-1A=0,因此存在可逆矩 阵C使 C-1B-1AC= 其中J为主对角线上元素为0的若尔当块 因此A+B=BIE+B-1A=IBC-‖E+B-1AC1=IB到E+C-1B-1AC=1B ()若B不可逆，令B1=B+tE,则AB1=B1A,且存在6>0使得t∈(0，)时B1l≠0，从而B,可逆， 于是由@得B,+A山=1B,两边为的多项式.故t=0时也成立，于是A+B引=B卧 注可以A代替A,k为任意数. 例8.91)证明：任一n阶复矩阵A均可分解为A=B+C.其中B相似于对角阵，C为暴零阵 (②)任一若当矩阵可分解为一实对称矩阵和一复对称矩阵的乘积 ()任一阶复矩阵可分解为两个复对称矩阵的乘积 所10设A为价方库=rP=A手0运跳存在可证矩库P佳得P一AP-(行8）】 第6页
(5) -g(x) = x m − 1, Kg(A) = 0, u¥mA(x)|g(x), œèg(x)äèmg¸†ä, §±mA(x)ÃäÖ å©)èògœ™¶», AÉquÈ . ~8.6 A, Bè¢Íç˛n › , y²: A, B3¢Íç˛ÉqÖ=A, B3EÍç˛Éq. ~K8.7 A¥n?Ç5òmV ˛Ç5CÜ. (1) eA3V ,|ƒe› A¥,ıë™d(λ)äø ,KAÅı뙥d(λ); (2) AÅpgÿCœf¥d(λ),KAÅı뙥d(λ). y (1) dKød(λ) = λ n + a1λ n−1 + · · · + an−1λ + an, K A = 0 0 · · · −an 1 0 · · · −an−1 0 1 · · · −an−2 . . . . . . . . . 0 0 · · · −a1 , AÿCœfè1, 1, · · · , 1, d(λ)(n−1á1). 2d(λ) = (λ−λ1) r1 (λ− λ2) r2 · · ·(λ − λs) rs ,Ÿ•λi 6= λi(i 6= j), r1 + r2 + · · · + rs = n. KA– œf|¥(λ − λ1) r1 ,(λ − λ2) r2 , · · · ,(λ−λs) rs , AeIO/èJ = J1 J2 . . . Js , Ÿ•Ji = λi 1 λi . . . . . . 1 λi (i = 1, 2, · · · , s). A ∼ B, f(A) = 0, KkB = P −1AP, Bk = P −1AkP,§±f(B) = a0Bn + a1Bn−1 + · · · + anE = P −1f(A)P = 0. åÑÉq› kÉ”Åıë™,åA(½J)¥Åıë™è(λ−λ1) r1 (λ−λ2) r2 · · ·(λ− λs) rs = d(λ), l AÅıë™èèd(λ). (2) AÅpgÿCœf¥d(λ), dud1(λ)|d2(λ)· · · |dn(λ), §±d(λ) = dn(λ). qä‚dö~Í ÿCœfåA3V ,|ƒeknIO/,d(1)(J,AÅı뙥dn(λ),AÅpgÿ Cœfd(λ)“¥AÅıë™. ~8.8 A, BèÍçP˛n › ÖAB = BA, e3Ík¶Ak = 0, K|A + B| = |B|. y (i) eBå_, KdAB = BAB−1A = AB−1 , u¥(B−1A) k = (B−1 ) kAk = 0, œd3å_› C¶ C −1B−1AC = J1 J2 . . . Js , Ÿ•JièÃÈDzÉè0e¨. œd|A + B| = |B||E + B−1A| = |B||C −1 ||E + B−1A||C| = |B||E + C −1B−1AC| = |B|. (ii) eBÿå_, -B1 = B + tE, KAB1 = B1A,Ö3δ > 0¶t ∈ (0, δ)û|B1| 6= 0, l B1å_, u¥d(i)B1 + A| = |B1|,¸>ètıë™, t = 0û觷, u¥|A + B| = |B|. 5 å±kAìOA, kè?øÍ. ~8.9 (1) y²: ?òn E› A˛å©)èA = B + C, Ÿ•BÉquÈ , Cèò" ; (2) ?òe› å©)èò¢È°› ⁄òEÈ°› ¶»; (3) ?òn E› å©)è¸áEÈ°› ¶». ~8.10 Aèn ê Ör(A) = r, A2 = kA, k 6= 0, y²: 3å_› P¶P −1AP = kEr 0 0 0 ! . 1 6 ê
证存在可逆矩阵C使得C-AC 其中为若尔当块于是 k.J -A2C= kC-1AC= 若存在使得，的阶数不为1，不妨设 为m1(22)阶，则好=kA1,21 由k≠0得A:≠0，从而=k,于是k=0,矛盾.故，的阶均为L,即C-1AC 足=kX,于是入=0或A=k.故C kE,0】 00 例8.11设A为n阶矩阵，则A相似于对角阵当且仅当对A的任一特征值A有rAE一AP=r(AE一A) 证必要性设入，·，入为A的所有互不相同的特征值，入的重数为k,则存在可逆矩阵C使得 入2Ek C-AC= =B. 于是P (AE-B)的秩.即r(AE-A)2-r(AE-A). 充分性设有可逆矩阵Q使得Q~14Q 其中为若尔当块。若对某个满 A,1 足J的阶≥2.不妨设 为n1(22)阶，则 第7页
y 3å_› C¶C −1AC = J1 J2 . . . Js , Ÿ•Jièe¨. u¥ C −1A2C = J 2 1 J 2 2 . . . J 2 s = kC−1AC = kJ1 kJ2 . . . kJs . e3i¶Ji Íÿè1, ÿîJ1 = λ1 1 . . . . . . 1 λ1 èn1(≥ 2) , Kλ 2 1 = kλ1, 2λ1 = k. dk 6= 0λ1 6= 0, l λ1 = k, u¥k = 0, gÒ. Ji ˛è1, =C −1AC = λ1 λ2 . . . λn , λ 2 i = kλi , u¥λi = 0½λi = k. C −1AC = k . . . k 0 . . . 0 = kEr 0 0 0 ! . ~8.11 Aèn › , KAÉquÈ Ö=ÈA?òAäλkr(λE − A) 2 = r(λE − A). y 7á5 λ1, · · · , λsèA§kpÿÉ”Aä, λiÍèki , K3å_› C¶ C −1AC = λ1Ek1 λ2Ek2 . . . λsEks = B. u¥P −1 (λiE − A)P = λiE − P −1APùèk1 + · · · + ki−1 + ki+1 + · · · + ks = P −1 (λiE − A) 2P = (λiE − B) 2ù. =r(λE − A) 2 = r(λE − A). ø©5 kå_› Q¶Q−1AQ = J1 J2 . . . Js , Ÿ•Jièe¨. eÈ,ái˜ vJi ≥ 2. ÿîJ1 = λ1 1 . . . . . . 1 λ1 èn1(≥ 2) , K 1 7 ê
A1E- Q-(E-A)Q=AE AE.-J. (AE-)月 Q-(E-A)Q= (1E2-2)2 (E-)2 因为r(E-)21,于是r(E-A2<r(AE-A) 矛盾.故1…，J。必为1阶，即A相似于对角形. 例8.12在实n维线性空间m中是否存在线性变换p满足p2+d=0,其中d为恒等变换， 例8.13 第8页
Q−1 (λ1E − A)Q = λ1E − J1 J2 . . . Js = λ1E1 − J1 λ1E2 − J2 . . . λ1Es − Js Q−1 (λ1E − A) 2Q = (λ1E1 − J1) 2 (λ1E2 − J2) 2 . . . (λ1Es − Js) 2 . œèr(λ1E − J1) 2 1, u¥r(λ1E − A) 2 < r(λ1E − A), gÒ. J1, · · · , Js 7è1 ,=AÉquÈ/. ~8.12 3¢nëÇ5òmRn•¥ƒ3Ç5CÜϕ˜vϕ 2 + id = 0, Ÿ•idèð CÜ. ~8.13 1 8 ê