基础篇 第二讲矩阵及其运算 考试内容及要求 考试内容：矩阵的撼念矩降的线性运算矩降的乘法方隆的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置钟矩 阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分 块矩阵及其运算 老试要求： 肠性感理解矩陈的概念了解单位柜珠.数量矩阵对角矩阵。三角矩阵对称矩阵和反对称矩库，以及定 (②)掌握矩阵的线性运算，乘法，转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质， (③)理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵。 一等挠里都初等变换的服念了解初容地阵的性质和矩阵等价的概念理解矩降的秩的低念李程用一 (一）矩阵 1.定义m×n个数a(位=1,2，…，mj=1,2,…,n)排成的m行n列的表格 a11a12··a1n 21022·2 0miam2·0mm 称为m×n矩阵，简记为A,Amxn,或(a)mxn 若m=n,则称A是n阶矩阵或n阶阵；若m=1,即只有一行的矩阵A=(a12…an)称为行 矩阵，又称为行向量，为避免元素间的混淆.行矩阵也记作则4一 (a1,a2, ,an),若n=1,即只有 列的矩阵A= a2 称为列矩阵，又称为列向量行向量和列向量通常用希腊字母a,等表示，如a= (1,2,3)3= -1 规定当m=n=1时.A=(a1,)=a11. 0 2.零矩阵如果矩阵4中所有元素都是0.则称其为零矩阵 3.同型矩阵矩阵A=(amm,B=(b)x,如果 =七，则称A与B是同型矩阵 4矩阵相等 同型矩 B片4 =b,(i,),即对元素都相等 10…0 01·0 5.单位矩阵形如 的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为E(若需强调其阶数时，记为E),单 00 位矩阵的特征：主对角线上元素全是1，其余元素均为0的n阶方阵
ƒ:ü 1˘ › 9Ÿ$é £SN9ᶠ£SN: › Vg,› Ç5$é,› ¶{,ê ò,ê ¶»1™,› =ò,_› Vg⁄5ü,› å_ø©7á^á,äë› ,› – CÜ,– › ,› ù,› d,© ¨› 9Ÿ$é. £á¶: (1) n)› Vg, )¸†› ,Ͳ› ,È› ,n› ,È°› ⁄áÈ°› ,±9ßÇ 5ü. (2) ›º› Ç5$é,¶{,=ò±9ßÇ$é5Æ, )ê òÜê ¶»1™5ü. (3) n)_› Vg,›º_› 5ü,±9› å_ø©7á^á,n)äë› Vg,¨^ äë› ¶_› . (4) n)› – CÜVg, )– › 5ü⁄› dVg,n)› ùVg,›º^ – Cܶ› ù⁄_› ê{. (5) n)©¨› 9Ÿ$é. (ò) › 1. ½¬ m × náÍaij (i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n)¸§m1nLÇ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn °èm × n› ,{PèA, Am×n, ½(aij )m×n. em = n, K°A¥n › ½n ; em = 1,=êkò1› A = (a1 a2 · · · an)°è1 › ,q°è1ï˛, è;ùÉm·†, 1› èPäKA = (a1, a2, · · · , an),en = 1, =êkò › A = a1 a2 . . . an °è› ,q°èï˛.1ï˛⁄ï˛œ~^F1i1α, β L´, Xα = (1, 2, 3), β = 1 −1 0 . 5½m = n = 1û, A = (a11) = a11. 2."› XJ› A•§kÉ—¥0,K°Ÿè"› . 3.”.› › A = (aij )m×n,B = (bij )s×t,XJm = s, n = t,K°AÜB¥”.› . 4.› É ”.› A = B⇔ aij = bij (∀i, j),=ÈÉ—É . 5.¸†› /X 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 n ê °èn ¸†› ,PèE(eIrNŸ Íû,PèEn).¸ †› A:ÃÈÇ˛É ¥1,Ÿ{ɲè0n ê . 1
a0.0 6对角矩阵形如 04 的n阶方阵称为n阶对角阵，记为diag(a1,a2,…,an.对角阵 的特征：不在主对角线上的元素全为零 二，矩阵的运算 1.矩阵的加法设A=(a),B-(b)是两个m×n矩阵（类型相同），则m×n矩阵C-(C)=(a十 b,)称为矩阵A与B的和，记为A+B=C. 123 120 1+12+23+0 243 例1若A=221,B=011,A+B=2+02+11+1 232 343002 3+04+03+2) 345 运算规律：()交换律：A+B=B+4(②)结合律：(4+B)+C=A+(B+C), 负矩阵：若A=(a),则-A=(-a,)称为A的负矩阵.减法运算：设A=(a),B=()是两个m×n矩 阵，则A-B=A+(-B)=(ay-b) 2.矩阵的数乘设A=(a)mxn,k是一个常数，则m×n矩阵(ka)称为数k与矩阵A的数乘，记为A. ka1ka12.ka1 即KA ka2ka2…ka2 ::. 运算规律：()(M四A=AuA:(②)(A+)A=AA+A(3)(A+B)=AA+AB) -(2)-(任)#-a 3.矩阵的乘法设A=(a)是m×n矩阵，B=(a)是n×矩阵，那么A与B的乘积是一个m×s矩 阵C=eg其中cy=amb,+aa+…+anbg=2a,i记为C=AB. 4=(08）=-(8)ua 1 (3)(0)设a=(1,2,3),3= 求aTa,a 1 ()设a=(a1,2,a2)T,B=(b1,b2,b2)T,求aT6BaT (④)设a,B均为3维列向量，3是6的转置矩阵，如果αg
6.È› /X a1 0 · · · 0 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · an n ê °èn È , Pèdiag(a1, a2, · · · , an). È A: ÿ3ÃÈÇ˛É è". ,› $é 1. › \{ A = (aij ), B = (bij )¥¸ám × n› (a.É”),Km × n› C = (cij ) = (aij + bij )°è› AÜB⁄, PèA + B = C. ~1 eA = 1 2 3 2 2 1 3 4 3 , B = 1 2 0 0 1 1 0 0 2 , A + B = 1 + 1 2 + 2 3 + 0 2 + 0 2 + 1 1 + 1 3 + 0 4 + 0 3 + 2) = 2 4 3 2 3 2 3 4 5 $é5Æ: (1) ÜÆ: A + B = B + A; (2) (‹Æ: (A + B) + C = A + (B + C). K› : eA = (aij ), K−A = (−aij )°èAK› .~{$é: A = (aij ), B = (bij )¥¸ám×n› ,KA − B = A + (−B) = (aij − bij ). 2. › Ͷ A = (aij )m×n,k¥òá~Í,Km × n› (kaij )°èÍkÜ› AͶ,PèkA. =kA = ka11 ka12 · · · ka1n ka21 ka22 · · · ka2n . . . . . . . . . . . . kan1 an2 · · · kann . $é5Æ: (1) (λµ)A = λ(µA); (2) (λ + µ)A = λA + µA; (3) λ(A + B) = λA + λB). ~2 eA = 1 2 −2 0 ! , B = 3 2 1 1 ! , Oé2A − B. 3. › ¶{ A = (aij )¥m × n› ,B = (aij )¥n × s› ,@oAÜB¶»¥òám × s› C = (cij ),Ÿ•cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj = Pn k=1 aikbkj ,PèC = AB. ~3 (1) A = 1 2 −2 0 ! , B = 3 2 1 1 ! , ¶AB, BA. (2) A = 1 0 0 0 ! , B = 0 0 0 1 ! , ¶AB. (3) (i) α T = (1, 2, 3), β = 1 −1 1 , ¶α T β, βαT . (ii) α = (a1, a2, a2) T , β = (b1, b2, b2) T , ¶α T β, βαT . (4) α, β˛è3ëï˛,β T¥β=ò› ,XJαβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , Kα T β = ( ). 2
解a3r a301 a3b2 a3ba 而a3=(a1,a2,a) 注意()矩阵的乘法是有顺序的，AB有意义，BA不一定有意义：若AB,BA都有意义，但AB=BA不 一定成立若AB=BA,则称A,B可交换（此时A,B必为同阶方阵）。 (2)若A,B≠0，则可能AB=0 问题若A,B为n阶方阵，下列等式是否成立. (i)(A+B)2=A2+2AB+B2 (i)(A-B)2=A2-2AB+B2 (ii)A2-B2=(A+B)(A-B) (iv)AB =0,B≠0→A=0,AB AC今A=B.特别地，A2=AA=E或A=0 运算规律：(1)(AB)C=A(BC(②)k(AB)=(kA)B=A(kB),k为数 3)A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA(④EmAmxn=AmxnEn=Anxm:简写 成EA-AE=A 若A=B+C且BC=CB,则A"=(B+C=B"+CBm-1C+…+C-1BCm-1+Cm 矩阵多项式：设f) - a为一个m次多项式A为n阶方阵，称f(A)=anAm+… a1A+amE为A的m次矩阵多项式若f(A),g(A)为A的两个矩阵多项式，则f(A)g(A)-g(A)f(A) 若AB=BA,则(AB)=AB映 例3将矩阵多项式f(4)=2E+A-A2及g(4A)=E-42因式分解 例4()设a=(a1,a2,,n,B=,b2,…,bn,求ag,Pa(ga (2)设a=(1,2,3),3=(1,,0)T,A=a,则A3=(1 例5己知A 5矩阵的转置把矩阵A的行换成同序数的列得到 个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记为A 713 A-(：)- 20 3
)αβT = a1 a2 a3 (b1, b2, b3) = a1b1 a1b2 a1b3 a2b1 a2b2 a2b3 a3b1 a3b2 a3b3 α T β = (a1, a2, a3) b1 b2 b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3. 5ø (1) › ¶{¥k^S,ABkø¬,BAÿò½kø¬; eAB,BA—kø¬, AB = BAÿ ò½§·.eAB = BA, K°A, BåÜ(dûA, B7è” ê ). (2) eA, B 6= 0, KåUAB = 0. ØK eA, Bèn ê , e ™¥ƒ§·. (i) (A + B) 2 = A2 + 2AB + B2 (ii) (A − B) 2 = A2 − 2AB + B2 (iii) A2 − B2 = (A + B)(A − B) (iv) AB = 0, B 6= 0 ⇒ A = 0, AB = AC ⇒ A = B.AO/, A2 = A ⇒ A = E½A = 0. $é5Æ: (1) (AB)C = A(BC) (2) k(AB) = (kA)B = A(kB),kèÍ (3) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA (4) EmAm×n = Am×nEn = Am×n, { §EA = AE = A. 4. › êò Aèn ê , ½¬: A1 = A, A2 = A1A1 , Ak+1 = AkA1 ,Ÿ•kèÍ. 5 ½:A0 = E.u¥kAkAl = Ak+l , (Ak ) l = Akl . eA = B + CÖBC = CB,KAn = (B + C) n = Bn + C 1 nBn−1C + · · · + C n−1 n BCn−1 + C n. › ıë™: f(x) = amx m + · · · + a1x + a0èòámgıë™,Aèn ê ,°f(A) = amAm + · · · + a1A + a0EèAmg› ıë™.ef(A), g(A)èA¸á› ıë™, Kf(A)g(A) = g(A)f(A). eAB = BA, K(AB) k = AkBk . ~3 Ú› ıë™f(A) = 2E + A − A29g(A) = E − A2œ™©). ~4 (1) α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T , ¶αβT , βT α,(β T α) k . (2) α = (1, 2, 3)T , β = (1, 1 2 , 0)T , A = αβT , KA3 = ( ). ~5 ÆA = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ , ¶An 5. › =ò r› A1ܧ”SÍòá#› ,âA=ò› ,PèAT . XeA = 1 0 2 3 1 0 ! ,KAT = 1 3 0 1 2 0 . 3
运算规律：)(AT)T=A(②(A+B)T=AT+BT(③)(kA)T=kAT(④(AB)T=BTAT,推 广(A1A2.…AnP=Ag.…AgAT. 对称矩阵：设A+(a)为n阶方阵，若AT=A,则称A为对称矩阵，其特征为：a)=a,(亿，j=1,2,·,n). a11a12…a1n 6方阵的行列式对于n阶矩阵A=a,n阶行列式 a21a2a2 称为方阵A的行列式，记作A dnl an2…ann 运算规律：设A,B为阶方阵，k为一个数，则 (1)4TI=4(②kA=k4(③)4E=4E,推广41A2…Anl=4l42…4n 注意()若A,B为n阶方阵，一般米说AB≠BA,但总有AB=BA 回只有方库定义行列式不积的方库的行列可能相同如A=气：)日=(。）c 120 011 ,显然14=B=C=-2,但A,B,C各不相同.因此行列式与矩阵是有明显区别的。 00-2 (仁)逆矩阵 1.伴随矩阵A=(a)为n阶方阵，A的各个元素的代数余子式构成如下的矩阵 A= AmA2m…An 称为A的伴随矩阵 由行列式按行列展开定理得 a11a12 A11A21· An1 021a22 2 A12 A22 A Ain A2n 于是有重要等式()AA=A”A=AE.(2)若A= 则A 注2阶矩阵的伴随矩阵具有“对角线互换，副对角线反号"的规律. 2.逆矩阵定义对于n阶矩阵A,若有一个n阶矩阵B使得AB=BA=E,则称A是可逆的，矩阵B为A的 逆矩阵. 由逆矩阵定义可得
$é5Æ: (1) (AT ) T = A (2) (A + B) T = AT + BT (3) (kA) T = kAT (4) (AB) T = BT AT , Ì 2(A1A2 · · · An) T = AT n · · · AT 2 AT 1 . È°› : A+(aij )èn ê ,eAT = A, K°AèÈ°› ,ŸAè:aij = aji,(i, j = 1, 2, · · · , n). 6.ê 1™ Èun › A= aij ,n 1™ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann °èê A1™,Pä|A|. $é5Æ: A,Bèn ê , kèòáÍ,K (1) |AT | = |A| (2) |kA| = k n|A| (3) |AB| = |A||B|, Ì2 |A1A2 · · · An| = |A1||A2| · · · |An|. 5ø (1) eA, Bèn ê , òÑ5`AB 6= BA,ok|AB| = |BA|. (2) êkê ‚½¬1™, ÿ”ê 1™åUÉ”. X, A = 1 2 3 4 ! , B = −1 2 0 2 ! , C = 1 2 0 0 1 1 0 0 −2 , w,|A| = |B| = |C| = −2, A, B, CàÿÉ”.œd1™Ü› ¥k²w´O. () _› 1. äë› A = (aij )èn ê ,|A|àáÉìÍ{f™§Xe› A∗ = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann °èAäë› . d1™U1–m½n AA∗ = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann = |A| |A| . . . |A| = |A|E, A∗A = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann = |A| |A| . . . |A| = |A|E, u¥ká ™ (1) AA∗ = A∗A = |A|E. (2) eA = a b c d ! , KA∗ = d −b −c a ! . 5 2 › äë› ‰k“ÈÇpÜ,BÈÇá“”5Æ. 2. _› ½¬ Èun › A,ekòán › B¶AB = BA = E, K°A¥å_,› BèA _› . d_› ½¬å 4
(1)A的逆矩阵是唯一的，记为A-1.因此AB=BA=E,则B=A-1: (②矩阵A可逆=4A≠0，A-1=向. 3.矩阵可逆的性质及判断 )n阶方阵A可逆 =存在n阶矩阵B使得AB=BA=E(定义) =存在n阶矩阵B使得AB=E =A≠0. (田)若A,B可逆，数k≠0.则 )A=N (⑤)4-1=4-1(6)(4)-1=(4-1). ()若AB=AC,且A可逆，则B=C 4.关于伴随矩阵的运算规律 (1)4A=A4*=4E:(241=14n-1:(n≥2：(3)(4）=4m-24: (④)(kA=k-1A:(6)若A可逆，则(A)1=A,A=4A-1 5.求伴随矩阵，转置和求逆矩阵三种运算之间的关系 ()(4T”=(4T(②（4)-1=(4-1，其中A可逆（③）(4)-1=(4-1”，其中A可逆. 注意伴随矩阵A“,它由A的代数余子式所构成，基本关系式为AA=A“A=AE,求逆，转置，伴随三 个运算能交换次序， 101 (2)设A,B为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，满足A2B-A-B=E,A= 020 ,则B=() -201 101 (3)设A,B为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵，满足ABA“=2BA"+E,A= 020 -201 则B=(方 100 (④)设A,B为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，满足A1BA=6A+BA,A= 020 ,则B=(方 003 (⑤)设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，4=，则（A)1-8A1=( 例7(1)）设A=(a)为3阶矩阵，且A*=AT,a1=a2=a13=a>0,则a=() 111 (②)设A= 022 ,(A是A1的伴随矩阵，则(4=() 003 例8()设A是n(n≥3)阶方阵，A“是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，士1则必有(kA)~= 5
(1) A_› ¥çò,PèA−1 . œdAB = BA = E,KB = A−1 ; (2) › Aå_ |A| 6= 0,A−1 = 1 |A|A∗ . 3. › å_5ü9‰ (i) n ê Aå_ 3n › B¶AB = BA = E(½¬) 3n › B¶AB = E |A| 6= 0. (ii) eA, Bå_, Ík 6= 0. K (1) A−1 = 1 |A|A∗ (2) A−1èå_,Ö(A−1 ) −1 = A (3) (kA) −1 = 1 kA−1 (4) (AB) −1 = B−1A−1 , Ì2(A1A2 · · · An) −1 = A−1 n · · · A −1 2 A −1 1 , Ÿ•A1, A2, · · · , Anå_. (5) |A−1 | = |A| −1 (6) (An) −1 = (A−1 ) n. (iii) eAB = AC, ÖAå_, KB = C. 4. 'uäë› $é5Æ (1)A∗A = AA∗ = |A|E; (2)|A∗ | = |A| n−1 ; (n ≥ 2); (3)(A∗ ) ∗ = |A| n−2A; (4)(kA) ∗ = k n−1A∗ ; (5)eAå_,K(A∗ ) −1 = 1 |A|A, A∗ = |A|A−1 . 5. ¶äë› ,=ò⁄¶_› n´$éÉm'X (1) (AT ) ∗ = (A∗ ) T (2) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_ (3) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_. 5ø äë› A∗ ,ßd|A|ìÍ{f™§§,ƒ 'X™èAA∗ = A∗A = |A|E,¶_,=ò,äën á$éUÜgS. ~6 (1) A = 2 1 −1 2 ! , Eè2 ¸†› , B˜vBA = B + 2E, K|B| = ( ); (2) A, Bè3 › , Eè3 ¸†› ,˜vA2B − A − B = E, A = 1 0 1 0 2 0 −2 0 1 , K|B| = ( ); (3) A, Bè3 › ,A∗ èAäë› , Eè3 ¸†› ,˜vABA∗ = 2BA∗+E, A = 1 0 1 0 2 0 −2 0 1 , K|B| = ( ); (4) A, Bè3 › ,A∗ èAäë› , ˜vA−1BA = 6A+BA, A = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 , K|B| = ( ); (5) Aè3 › ,A∗ èAäë› , |A| = 1 8 ,K( 1 3A) −1 − 8A∗ | = ( ); ~7 (1) A = (aij )è3 › , ÖA∗ = AT , a11 = a12 = a13 = a > 0, Ka = ( ). (2) A = 1 1 1 0 2 2 0 0 3 , (A−1 ) ∗¥A−1äë› , K(A−1 ) ∗ = ( ) ~8 (1) A¥n(n ≥ 3) ê ,A∗¥Ÿäë› ,qkè~Í,Ök 6= 0, ±1 K7k(kA) ∗ = 5
(A)kA*(B)&-1A (C)k"A*(D)k-1A* (②)设A,B,C为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA,则B-C= (A)E (B)-E (C)A (D)-A (3)设A,B,C是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵且ABC=E则必有 (A)CBA=E (B)BCA=E (C)BAC=E (D)ACB=E (4下面命题中不正确的是 (A)若A是n阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+E(A-E: (B)若A,B均是 1矩阵，则ATB (C)若A,B均是n阶矩阵且AB=0,则(A+B)2=A2+B2 (D)若A是n阶矩阵，则AmA长=AAm,其中k,m为正整数. 例9（）设n阶矩阵A满足A2-2A-3E=0.证明A及A-aE可逆，其中a2-2a-3≠0， 回设A为阶，若2AA-=，则E-A-1=(若P-A-2E=0,则+回-=( 例10设A为n可逆矩阵，证明(A)=A-2A 证明用伴随矩阵A替代关系式AA“=4E中的矩阵A,得到A(4)=4E.由于4=4-1 从A可逆知A可逆.又因(4)1=高，于是得到(4y=4(4)1=|4-1·高=Am-2A (三)分块矩阵法 1.定义将一个矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 2.分块矩阵的运算 ()加法：设A,B为m×n矩阵，若A,B有相同的分块法，即 A11A12 1， B11B12 A21 B B= ,其中A,与B,为同类型的矩阵，则 A. A.2 B.1 B.2 ..B A1+B1A2+B12…Ar+B1 A+B= A21+B21A22+B22…A2r+B2r A,1+B1A2+B2…Ar+Br A1A2…A1r 14 (②)加法：设A A21A22…A2r 入A21入A22·入A2 ,A为数.则4= A1A2· AA AA... (③)乘法：设A为m×矩阵，B为l×n矩阵，若A的列的分法与B的行的分法相同，即 411412A1 B11B12.B1 A An…Ar B…B2r B A1A2At Bt1B2·B 6
(A) kA∗ (B) k n−1A∗ (C) k nA∗ (D) k −1A∗ (2) A, B, Cèn › ,Eèn ¸†› , eB = E + AB, C = A + CA,KB − C = (A) E (B) −E (C) A (D) −A (3) A, B, C¥n › , Eèn ¸†› ÖABC = E, K7k (A) CBA = E (B) BCA = E (C) BAC = E (D) ACB = E (4) e°·K•ÿ(¥ (A) eA¥n › , K(A − E)(A + E) = (A + E)(A − E); (B) eA, B˛¥n × 1 › , KAT B = BT A; (C) eA, B˛¥n › ÖAB = 0, K(A + B) 2 = A2 + B2 ; (D) eA¥n › ,KAmAk = AkAm, Ÿ•k, mèÍ. ~9 (1) n › A˜vA2 − 2A − 3E = 0,y²A9A − aEå_, Ÿ•a 2 − 2a − 3 6= 0. (2) Aèn , e2A(A − E) = A3 , K(E − A) −1 = ( ),eA2 − A − 2E = 0, K(A + 4E) −1 = ( ). ~10 Aèn å_› , y²(A∗ ) ∗ = |A| n−2A y² ^äë› A∗Oì'X™AA∗ = |A|E•› A,A∗ (A∗ ) ∗ = |A∗ |E. du|A∗ | = |A| n−1 , lAå_A∗ å_.qœ(A∗ ) −1 = A |A| ,u¥(A∗ ) ∗ = |A∗ |(A∗ ) −1 = |A| n−1 · A |A| = |A| n−2A. (n) ©¨› { 1. ½¬ Úòá› A^eZ^pÇ⁄ÓÇ©§Nıá› ,zòá› °èA f¨,òf¨ èÉ/™˛› °è©¨› . 2. ©¨› $é (1) \{: A, Bèm × n› , eA, BkÉ”©¨{, = A = A11 A12 · · · A1r A21 A22 · · · A2r . . . . . . . . . . . . As1 As2 · · · Asn , B = B11 B12 · · · B1r B21 B22 · · · B2r . . . . . . . . . . . . Bs1 Bs2 · · · Bsn , Ÿ•AijÜBijè”a.› , K A + B = A11 + B11 A12 + B12 · · · A1r + B1r A21 + B21 A22 + B22 · · · A2r + B2r . . . . . . . . . . . . As1 + Bs1 As2 + Bs2 · · · Asr + Bsr . (2) \{: A = A11 A12 · · · A1r A21 A22 · · · A2r . . . . . . . . . . . . As1 As2 · · · Asn , λèÍ, KλA = λA11 λA12 · · · λA1r λA21 λA22 · · · λA2r . . . . . . . . . . . . λAs1 λAs2 · · · λAsn . (3) ¶{: Aèm × l› , Bèl × n› ,eA©{ÜB1©{É”, = A = A11 A12 · · · A1r A21 A22 · · · A2t . . . . . . . . . . . . As1 As2 · · · Ast , B = B11 B12 · · · B1r B21 B22 · · · B2r . . . . . . . . . . . . Bt1 Bt2 · · · Btn 6
其中A1,A2,…,A:的列数分别等于B1,B2,…,B,的行数，则 C21 AB= C1C2…C 其中C=AB+AB+…+AB (④)转置 设A 则AT= A1A2…A (⑤)分块对角阵：设A为阶方阵，若4的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块均为零矩 阵，且在对角线上的子块都是方阵，即 0 A 其中A=1,2，…，)均为方阵，则称A为分块对角阵 0 分块对角阵的性质 14=A142…A因此若4≠06=1,2…，S,则A≠0，因此A1= A 0 0 A:1 实际问题中下面的运算是要熟悉的 AA2） B1 B2 A:+B1 A2+B2 As+Bs A+Ba AX+BZ AY+BW (&)'-()(8)-(g) a11a1241n 3.几种重要的矩阵分块 设A= dml dm2...am 1 (1)一个矩阵按列分块 则A=(a1,2,,n月
, Ÿ•Ai1, Ai2, · · · , AitÍ©O uB1j , B2j , · · · , Btj1Í, K AB = C11 C12 · · · C1r C21 C22 · · · C2r . . . . . . . . . . . . Cs1 Cs2 · · · Csr , Ÿ•Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + · · · + AitBtj . (4) =ò: A = A11 A12 · · · A1r A21 A22 · · · A2r . . . . . . . . . . . . As1 As2 · · · Asn , KAT = AT 11 AT 21 · · · AT s1 AT 12 AT 22 · · · AT s2 . . . . . . . . . . . . AT 1r AT 2r · · · AT sr . (5) ©¨È : Aèn ê ,eA©¨› êk3ÈDzkö"f¨, Ÿ{f¨˛è"› ,Ö3ÈDzf¨—¥ê , = A = A1 0 A2 . . . 0 As , Ÿ•Ai(i = 1, 2, · · · , s)˛èê , K°Aè©¨È . ©¨È 5ü: |A| = |A1||A2| · · · |As|, œde|Ai | 6= 0(i = 1, 2, · · · , s), K|A| 6= 0, œdA−1 = A −1 1 0 A −1 2 . . . 0 A−1 s . ¢SØK•e°$é¥áŸG (1) A1 A2 A3 A4 ! + B1 B2 B3 B4 ! = A1 + B1 A2 + B2 A3 + B3 A4 + B4 ! ; (2) A B C D ! X Y Z W ! = AX + BZ AY + BW CX + DZ CY + DW ! , (3) A B C D !T = AT C T BT DT ! (4) B O O C !n = Bn O O Cn ! 3. A´á› ©¨ A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn . (1) òá› U©¨ -α1 = a11 a21 . . . am1 , α2 = a12 a22 . . . am2 , · · · , αn = a1n a2n . . . amn , KA = (α1, α2, · · · , αn); 7
(②)一个矩阵按行分块令明=(a11,a12,…,a1n.吗=(a21,22,…,a2n)。…,阶=(am1,am2,…,amm)。 则A (③)两种极端情形：()A自身可以作为一个块，仙)A的每个元素作为一个子块，这时的分块矩阵 和A相同 例11设A=(a)mx,B=(6,sxm,AB=C=()mxm ()令B=(问，2，…，8).C=(m,2,…,m)(按列分块).则 AB=A(,,…,8n)=(4,A82, ,A6a)=(m,2,…,m),因此A=(=1,2,…n (2)令A 按行分块)，则 AB= 因此aB=T(i=1,2,…,n o"B (3)令A (1,32,··,3n) =(cij)mxn, aT B …a8 其中=a月=(a1,a2,…,a】 =a+a2b+…+ab 特别地 )以对角阵A 右乘矩阵Amx时，把A按列分块，有 AmxnAm=(a,a2,,an (a,A2a,…,Aman）
(2) òá› U1©¨ -β T 1 = (a11, a12, · · · , a1n), βT 2 = (a21, a22, · · · , a2n), · · · , βT m = (am1, am2, · · · , amn). KA = β T 1 β T 2 . . . β T m . (3) ¸´4‡ú/: (i) Ag å±äèòá¨, (ii) AzáÉäèòáf¨, ˘û©¨› ⁄AÉ”. ~11 A = (aij )m×s, B = (bij )s×n,AB = C = (cij )m×n. (1) -B = (β1, β2, · · · , βn),C = (γ1, γ2, · · · , γn)(U©¨), K AB = A(β1, β2, · · · , βn) = (Aβ1, Aβ2, · · · , Aβn) = (γ1, γ2, · · · , γn),œdAβi = γi(i = 1, 2, · · · , n). (2) -A = α T 1 α T 2 . . . α T m , C = ν T 1 ν T 2 . . . ν T m (U1©¨), K AB = α T 1 α T 2 . . . α T m B = α T 1 B α T 2 B . . . α T mB = ν T 1 ν T 2 . . . ν T m , œdα T i B = ν T i (i = 1, 2, · · · , n). (3) -A = α T 1 α T 2 . . . α T m , B = (β1, β2, · · · , βn), K AB = α T 1 α T 2 . . . α T m (β1, β2, · · · , βn) = α T 1 β1 α T 1 β2 · · · α T 1 βn α T 2 β1 α T 2 β2 · · · α T 2 βn . . . . . . . . . . . . α T mβ1 α T mβ2 · · · α T mβn = (cij )m×n, Ÿ•cij = α T i βj = (ai1, ai2, · · · , ais) b1j b2j . . . bsj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aisbsj . AO/, (i) ±È Λn = λ1 λ2 . . . λn m¶› Am×nû, rAU©¨, k Am×nΛm = (α1, α2, · · · , αn) λ1 λ2 . . . λm = (λ1α1, λ2α T 2 , · · · , λmαn). 8
()以对角阵An 乘矩阵Amxn时，把A按行分块，有 e6 ,an,其中a=1,2，…，n)为实数.若aaT=0,则a=0. 例13设A,B分别为m,n阶可逆矩阵. 分块矩阵公式②中C对应位置的矩阵适用行左列右添负号法则】 例14求下列矩阵的逆矩阵 1000 ) 0021 1214 300 例15()设A= 140,则(A-2E)-1=()方 003 0-10 100 (2)已知PA=BP,其中P= 200,B=0-10则A=() 003/001 /1000 例16设矩阵A的伴随矩阵A 0100 ,且ABA-1=BA-1+3E,求矩阵B 例17（①设A=a8,其中a=(a,2,…,an,B=(,2,…,bn了，证明E-A川=- BTaxn-1 -(ab+ 2设a=L,-1,0,B=1p,4=orE 9
(ii) ±È Λm = λ1 λ2 . . . λm ܶ› Am×nû, rAU1©¨, k ΛmAm×n = λ1 λ2 . . . λm β T 1 β T 2 . . . β T m = λ1β T 1 λ2βaT 2 . . . λmβ T m . ~12 (1) α = (a1, a2, · · · , an,Ÿ•ai(i = 1, 2, · · · , n)è¢Í. eααT = 0,Kα = 0. (2) A = (aij )m×nè?ø› , eAT A = 0, KA = 0. ~13 A, B©Oèm, n å_› . y²: (1) A 0 0 B !−1 = A−1 0 0 B−1 ! , 0 A B 0 !−1 = 0 B−1 A−1 0 ! (2) A C 0 B !−1 = A−1 −A−1CB−1 0 B−1 ! , A 0 C B !−1 = A−1 0 −B−1CA−1 B−1 ! ©¨› ˙™(2)•CÈA†ò› ·^“1Üm,VK“”{K. ~14 ¶e› _› (1) 1 0 0 −1 1 −2 1 1 −1 (2) 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 5 3 0 0 2 1 (3) 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 . ~15 (1) A = 3 0 0 1 4 0 0 0 3 , K(A − 2E) −1 = ( ); (2) ÆP A = BP, Ÿ•P = 0 −1 0 2 0 0 0 0 3 , B = 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 , KA2013 = ( ). ~16 › A äë› A∗ = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 −3 0 8 , ÖABA−1 = BA−1 + 3E,¶› B. ~17 (1) A = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T , y²|λE − A| = λ n − β T αλn−1 = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ n−1 . (2) α = (1, −1, 0)T , β = (1, 1, 1)T , A = αβT ,¶|λE − A|. 9
,求AE-A 练习题 一，选择题 1.设n维行向量a=(,0,…,0,),矩阵A=E-aTa,B=E+2aTa则AB= (A)0 (B)E(C)-E (D)E+aTa 2.设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是 (A)A”A=AA°(B)AmAP=APAm (C)ATA=AAT (D)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) 3.设A,B,A+B,A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1= (A)A+B(B)A1+B-1(CAA+B)-1B(D)(M+B)-1 4.设A,B均是阶矩阵，下列命题中正确的是 (A)AB=0台A=0成B=0(B)AB40台A≠0且B￥0 (C)AB=0台4=0或B=0(D)AB≠0÷4≠0或B≠0 s&夜AB呢价矩东，则C=(行B）的鲜矩车是 (A). 0 0 BB 、014A o(H 1BA°0 (D)0A4B/ 二，填空题 000 1.若A=200,则A2=()A3=() 030 /123 ,则A°=()(A=( 10
(3) A = αβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , ¶|λE − A|. ˆSK ò, ¿JK 1. n ë1ï˛α = ( 1 2 , 0, · · · , 0, 1 2 ), › A = E − α T α, B = E + 2α T α KAB = (A) 0 (B) E (C) −E (D) E + α T α 2. A¥?òn › , eÜÜÿ¥ (A) A∗A = AA∗ (B) AmAp = ApAm (C) AT A = AAT (D) (A + E)(A − E) = (A − E)(A + E) 3. A, B, A + B, A−1 + B−1˛èn å_› ,K(A−1 + B−1 ) −1 = (A) A + B (B) A−1 + B−1 (C) A(A + B) −1B (D) (A + B) −1 4. A, B˛¥n › ,e·K•(¥ (A) AB = 0 ⇔ A = 0½B = 0 (B) AB 6= 0 ⇔ A 6= 0 ÖB 6= 0 (C) AB = 0 ⇔ |A| = 0 ½|B| = 0 (D) AB 6= 0 ⇔ |A| 6= 0½|B| 6= 0 5. A, B¥n › , KC = A 0 0 B ! äë› ¥ (A) |A|A∗ 0 0 |B|B∗ ! (B) |B|B∗ 0 0 |A|A∗ ! (C) |A|B∗ 0 0 |B|A∗ ! (D) |B|A∗ 0 0 |A|B∗ ! ,WòK 1. eA = 0 0 0 2 0 0 0 3 0 , KA2 = ( ), A3 = ( ) 2. eA = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , KA∗ = ( ),(A∗ ) ∗ = ( ). 10