长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第一讲 行列式（一）

基础篇 第一讲行列式 考试内容及要求 考试内容：主要是行列式的计算. 考试要求：在理解行列式的概念，掌握行列式性质，行列式按行（列）展开定理的基础上，熟练正确地计 算二阶，三阶，四阶行列式及具有某些特征的n阶行列式的值. 一、行列式的概念、展开公式及其性质 (一)行列式的概念 a11a12…a1n 1.n阶行列式 021022··02m 是所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占 半，r12…j)表示排列j12…jm的逆序数.当j12…jn是偶排列时，该项的前面带正号：当12…jn是奇 排列时，该项的前面带负号.这里∑.表示对所有n阶排列求和. ()n=1时，al=an (②)n=2时， a11a2 Fa11022-a12021 a21a2 a1a12 (3)n=3时. 021 2202 a11a22a3+a21ag2a13+a31a12a23-a13a22a31-a12a21a3-a11a23ag2 a31a32033 例1设有方程组3-2=1 2-2 2= 31 2-1 ()计算D,D,D2,(2②)令x1=会，2=朵，问x1,2是否是方程的解？ 12-4 例2计算行列式-221 -34-2 2.全排列与逆序数 (1)由1,2，·，n组成的一个有序数组称为一个n级排列，通常用1j2…jn表示一个n级排列. (②)一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序，一个排列的逆序总数称 为这个排列的逆序数，用r(G12 ·加)表示排列的逆序数如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为 偶排列，否则为奇排列.例如，5级排列 32514的逆序数r(32514)=2+1+2+0=5,为奇排列 利用排列与逆序数说明阶行列式的含义. 3.由n阶行列式的定义及下面的性质可得 (四)对角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 1

ƒ:ü 1ò˘ 1™ £SN9ᶠ£SN:Ãá¥1™Oé. £á¶: 3n)1™Vg,›º1™5ü,1™U1()–m½nƒ:˛,Ÿˆ(/O é,n,o1™9‰k, An1™ä. ò!1™Vg!–m˙™9Ÿ5ü (ò) 1™Vg 1. n 1™:            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann            = P j1j2···jn (−1)τ(j1j2···jn)a1j1 a2j2 · · · anjn ¥§kgÿ”1ÿ”náɶ»ìÍ⁄,ßdn!ë|§,Ÿ•ë“ÜëK“ëà”ò å,τ (j1j2 · · · jn)L´¸j1j2 · · · jn _SÍ.j1j2 · · · jn¥Û¸û,Tëc°ë“;j1j2 · · · jn¥¤ ¸û,Tëc°ëK“.˘p P j1j2···jnL´È§kn¸¶⁄. (1) n = 1û, |a11| = a11; (2) n = 2û,      a11 a12 a21 a22      = a11a22 − a12a21; (3) n = 3û,         a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33         = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32; ~1 kêß| ( 3x1 −x2 = 1 2x1 −2x2 = −1 , -D =      3 −1 2 −2      , D1 =      1 −1 −1 −2      ,D2 =      3 1 2 −1      , (1) OéD, D1, D2, (2) -x1 = D1 D , x2 = D2 D , Øx1, x2¥ƒ¥êß)? ~2 Oé1™         1 2 −4 −2 2 1 −3 4 −2         . 2. ¸Ü_SÍ (1)d1, 2, · · · , n|§òákSÍ|°èòán?¸,œ~^j1j2 · · · jnL´òán?¸. (2)òḕ,XJòáå͸3ÍÉc,“°˘¸áͧòá_S,òá¸_SoÍ° è˘á¸_SÍ,^τ (j1j2 · · · jn) L´¸_SÍ.XJòá¸_SÍ¥ÛÍ,K°˘á¸è Û¸,ƒK褸.~X, 5?¸32514_SÍτ (32514) = 2 + 1 + 2 + 0 = 5,褸. |^¸Ü_SÍ`²n 1™¹¬. 3. dn1™½¬9e°5üå (1) È1™uŸÃÈDzɶ», =            λ1 λ2 . . . λn            = λ1λ2 · · · λn. 1

(②)副对角行列式 0 02m-1 a2m-1 0. 0 (3)上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 011* 0110，0 0a22… *022···0 =a11022…am 00·am (④)n阶范德蒙行列式 1 1 1…1 1 2 11-1…- 11·a1k 0 (5) cnl…Cnk bntbnn 二行列式的性质 41112 a11a21an1 记D= a2122…a2n .DT= a12022an2 ,DT为D的转置行列式 a1n2n·0nn 性质1经转置的行列式的值不变则DF=D,这表明在行列式中行与列的地位是对等的，因此，行列式 的行所具有的性质，对于列亦具有。 性质2互换行列式中某两行（列）的位置，行列式的值只变号.特别地如两行元素对应相等（或成比 例)则行列式的值是零. 性质3行列式中某一行（列）各元素如有公因数k,则k可以提到行列式符号外.特别地，若行列式中某 行（列）元素全是零，则行列式的值为零 性质4如果行列式中某行的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和. 性质5若行列式中某一行（列）的元素同乘以一个数后加到另行（列）的对应元素上去行列式的值不 变 2

(2)  BÈ1™           λ1 λ2 . . . λn            = (−1) n(n−1) 2 λ1λ2 · · · λn.            ∗ · · · ∗ a1n . . . a2n−1 0 ∗ · . . . an1 0 · · · 0            =            0 · · · 0 a1n . . . a2n−1 ∗ 0 · . . . an1 ∗ · · · ∗            = (−1) n(n−1) 2 a1na2n−1 · · · an1. (3)  ˛(e)n1™uŸÃÈDzɶ»,=           a11 ∗ · · · ∗ 0 a22 · · · ∗ . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · ann            =            a11 0 · · · 0 ∗ a22 · · · 0 . . . . . . . . . . . . ∗ ∗ · · · ann            = a11a22 · · · ann. (4) nâÑ1™              1 1 1 · · · 1 x1 x2 x3 · · · xn x 2 1 x 2 2 x 2 3 · · · x 2 n . . . . . . . . . . . . x n−1 1 x n−1 2 x n−1 3 · · · x n−1 n              = Q 1≤j<i≤n (xi − xj ). (5)                  a11 · · · a1k 0 . . . . . . ak1 · · · akk c11 · · · c1k b11 · · · b1n . . . . . . . . . . . . cn1 · · · cnk bn1 · · · bnn                  =         a11 · · · a1k . . . . . . ak1 · · · akk                 b11 · · · b1n · · · · · · bn1 · · · bnn          1™5ü PD =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann            , DT =            a11 a21 · · · an1 a12 a22 · · · an2 . . . . . . . . . a1n a2n · · · ann            , DTèD=ò1™. 5ü1 ²=ò1™äÿC.KDT = D.˘L²31™•1Ü/†¥È,œd,1™ 1§‰k5ü,Èu½‰k. 5ü2 pÜ1™•,¸1()†ò, 1™äêC“.AO/X¸1ÉÈAÉ(½§' ~),K1™ä¥". 5ü3 1™•,ò1()àÉXk˙œÍk,Kkå±J1™Œ“ . AO/,e1™•, 1()É¥",K1™äè". 5ü4 XJ1™•,1záÉ—¥¸áÍ⁄,K˘á1™å± §¸á1™⁄. 5ü5 e1™•,ò1()É”¶±òáÍ￾\,1()ÈAɲ,1™äÿ C. 2

例31 n m n 行列式的运算表示 0)互换行列式的第，行与第，行n分 互换行列式的第c,列与第c列：G艹G (②)行列式的第，行乘以数 行列式的第，列乘以数：。 ③)行列式的第，行以数加到第，行：十)×太，列式的第列乘以数加到第列：+S×k 问题：r,+r,与r+r:有何区别？ 例4求下列行列式的值 1-12 |1234 -203-1 2341 (1)D= 21-1-1 ②)D= 3412 13 4123 |1234 a 8)D=2200 a 3030 (④Dn= 0 4004 注若行列式的所有行（或列）的元素之和相等，则可以将第2行（或列至第行（或列的元素都加到 第1行（或列）上去 λ-11-1 例5若-2A+2-2 =0,求的值； 1-1+1 (三)行列式按行（列展开公式 (1)余子式与代数余子式 011· a1-101j+1… din a11a12… 若D=a21a2a2n ,令M= a4-1na4-1-1a4-1+1…a4-1n a+ai+1-1ai++1…a+1n dnl dn2…an anl.. 即M是D中去掉第行及第列元素后的n-1阶行列式，A=(-1)+1,称AM为a,的余子式，而A,称 为的代数余子式4，与M与是否a取值有关？ 11-12 例6设D -203-1 求M2a,A2g- 21-1-1 01321 3

~3         a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2 l m n x y z         =         a1 b1 c1 l m n x y z         +         a2 b2 c2 l m n x y z         . 1™$éL´ (1) pÜ1™1ri1Ü1rj1:ri ↔ rj , pÜ1™1ciÜ1cj:ci ↔ cj ; (2) 1™1ri1¶±Ík: ri × k, 1™1ci¶±Ík: ci × k; (3) 1™1rj1¶±Ík\1ri1: ri + rj × k, ™1ci¶±Ík\1cjµci + cj × k. ØK: ri + rjÜrj + rik¤´O? ~4 ¶e1™ä (1) D =           1 1 −1 2 −2 0 3 −1 2 1 −1 −1 0 1 3 2           (2) D =           1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3           (3) D =           1 2 3 4 2 2 0 0 3 0 3 0 4 0 0 4           (4) Dn =           x a · · · a a x · · · a · · · · · · · · · · · · a a · · · x           5 e1™§k1(½)ÉÉ⁄É,Kå±Ú121(½)ñ1n1(½)É—\ 111(½)˛. ~5 e         λ − 1 1 −1 −2 λ + 2 −2 1 −1 λ + 1         = 0, ¶λä; (n) 1™U1()–m˙™ (1) {f™ÜìÍ{f™ eD =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann            , -Mij =                  a11 · · · a1j−1 a1j+1 · · · a1n . . . . . . . . . . . . ai−11 · · · ai−1j−1 ai−1j+1 · · · ai−1n ai+11 · · · ai+1j−1 ai+1j+1 · · · ai+1n . . . . . . . . . . . . an1 · · · anj−1 anj+1 · · · ann                  . =Mij¥D•K1i191jÉ￾n−11™,Aij = (−1)i+jMij .°Mijèaij{f™, Aij° èaijìÍ{f™.AijÜMij¥ƒaijäk'? ~6 D =           1 1 −1 2 −2 0 3 −1 2 1 −1 −1 0 1 3 2           , ¶M23, A23. 3

(②)行列式按行（列展开定理： 按第行展开定理D=1A1+a2A2十…+nAm(位=1,2，…，n: 按第j列展开定理D=a1:A1;+a2:A2:+··+a:A:(i=1.2..·,n). 注若行列式中某一行（或列）中为0的元素较多时，按该行（或列展开可简化计算 (3)因为4与a,的取值没有关系.于是有 a1A1+a2A2+·+amAn=0,(i≠)： a1iAj+a2iA2)+…+aniAng=0,(位≠) 11-12 例7结合展开公式计算D 03 21-1-1 0132 1012 例8设D= -1103 1110 ,A,与M,分别表示D中元素a,代数余子式和余子式计算 -1254 (1)A21+A2+A23-A24 (2②)M41+M2+Mg+1M44 (四)行列式的计算方法与技巧 计算行列式的基本思路：()在确定计算方法之前观察行列式的特征是必要的： (②)运用行列式的性质，对行列式的恒等变形，以期待新的行列式中能构造出较多的零或有公因子，若 若有行（或列）的数的和相等，可将第一行（或列）外的各行（或列）的数均加到第一行（或列），在提出第一行（或 列)的公因子简化计算： )若某行（或列）非零的数的个数很少(1或2个)时，可按行（列）展开公式，通过降阶来实现，从而可简化 计算 (④)行列式计算的常用技巧有：三角化法，递推法，数学归纳法，公式法等 x-2x-1r-2x-3 例10方程f(e) 2x-22x-12x-22x-3 3x-33-24-53x- 的根的个数为 4红4-35证-74-3 (A1.(B)2.(C)3.(D)4 例11计算下列行列式 0 1 ()D= -11-b b 0-11-b2bg (②)D= 00 -11-bg x+1-1 4

(2) 1™U1()–m½n: U1i1–m½n D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · · + ainAin (i = 1, 2, · · · , n); U1j–m½n D = a1jA1j + a2jA2j + · · · + anjAnj (j = 1, 2, · · · , n). 5 e1™•,ò1(½)•è0Éıû,UT1(½)–må{zOé (3) œèAijÜaijävk'X, u¥k ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ajnAin = 0,(i 6= j); a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = 0,(i 6= j). ~7 (‹–m˙™OéD =           1 1 −1 2 −2 0 3 −1 2 1 −1 −1 0 1 3 2           . ~8 D =           1 0 1 2 −1 1 0 3 1 1 1 0 −1 2 5 4           , AijÜMij©OL´D•ÉaijìÍ{f™⁄{f™.Oé (1) A21 + A22 + A23 − A24; (2) M41 + M42 + M43 + M44. (o) 1™Oéê{ÜE| Oé1™ƒg¥: (1) 3(½Oéê{Éc* 1™A¥7á; (2) $^1™5ü, È1™ðC/,±œñ#1™•UE—ı"½k˙œf, e ek1(½)Í⁄É,åÚ1ò1(½) à1(½)Ͳ\1ò1(½),3J—1ò1(½ )˙œf, {zOé; (3) e,1(½)ö"ÍáÍÈ(1½2á)û,åU1()–m˙™,œL¸5¢y,l å{z Oé; (4) 1™Oé~^E|k: nz{, 4Ì{, ÍÆ8B{, ˙™{. ~10 êßf(x) =           x − 2 x − 1 x − 2 x − 3 2x − 2 2x − 1 2x − 2 2x − 3 3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5 4x 4x − 3 5x − 7 4x − 3           äáÍè (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. ~11 Oée1™ (1) D =           1 b1 0 0 −1 1 − b1 b2 0 0 −1 1 − b2 b3 0 0 −1 1 − b3           (2) D =           1 −1 1 x − 1 1 −1 x + 1 −1 1 x − 1 1 −1 x + 1 −1 1 −1           4

2a1 1a00 a2 2a 1 01a0 1 (3)D= 001a (4)Dn= ()D= a001 2013201320132013 练习题 一，填空题 111 2 a3 2c3-56s 3b3 102 3.若x31的代数余子式412=-1，则代数余子式4=一 4x5 a410…00 -121… 0 4.已知Dn= 0-1a3… 0 0 若Dn=anDn-1十kDn-2,则k=一 000.an-1 000.-1am -172 -7 5.若2入-144=0，则入= 2 -7-14 二.计算题 2141 12… -1t D4= -2 5062

(3) D =           1 a 0 0 0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1           (4) Dn =                 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 . . . . . . . . . a 2 2a 1 a 2 2a                 . (5) D =           1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 2013 2013 2013 2013           . ˆSK ò, WòK 1. e         a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3         = m, K         a1 2c1 − 5b1 3b1 a2 2c2 − 5b2 3b2 a3 2c3 − 5b3 3b3         = . 2. e         1 1 1 1 x x2 1 −2 4         = 0,Kx = . 3. e         1 0 2 x 3 1 4 x 5         ìÍ{f™A12 = −1,KìÍ{f™A21 = . 4. ÆDn =                 a1 1 0 · · · 0 0 −1 a2 1 · · · 0 0 0 −1 a3 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · an−1 1 0 0 0 · · · −1 an                 , eDn = anDn−1 + kDn−2, Kk = . 5. e         λ − 17 2 −7 2 λ − 14 4 2 −7 λ − 14         = 0, Kλ = . . OéK (1) D4 =         −1 t − 1 2 − u 1 −t u −2 1 + 2t v         (2) D4 =           2 1 4 1 3 −1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2           (3) Dn =            1 2 · · · 2 2 2 · · · 2 . . . . . . . . . 2 2 · · · n            5

1-aa00 1+a 1。 2+a (4)D= (5)D4= -11-a,a0oD= 0-11-aa bb…a 00-11-a n …n+ 1-10…00 02 x-1…00 a+8 a3 0…00 0x…0 a+8a6…00 (7)D.= (8)Dn= 0 1a+B…00 an-] 00…工-1 00…0x 70 001a+B -12 三1)已知3入-a =0,求x -a 2 X-2 -20 (2)已知-2-12=0，求 02

(4) Dn =            a b · · · b b a · · · b . . . . . . . . . b b · · · a            (5) D4 =           1 − a a 0 0 −1 1 − a a 0 0 −1 1 − a a 0 0 −1 1 − a           (6) Dn =            1 + a 1 · · · 1 2 2 + a · · · 2 . . . . . . . . . n n · · · n + a            (7) Dn =                 a1 −1 0 · · · 0 0 a2 x −1 · · · 0 0 a3 0 x · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . an−1 0 0 · · · x −1 an 0 0 · · · 0 x                 . (8) Dn =              α + β αβ 0 · · · 0 0 1 α + β αβ · · · 0 0 0 1 α + β · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 α + β              n,(1) Æ         λ − 1 2 −a 3 λ − a 3 −a 2 λ − 1         = 0, ¶λ. (2) Æ         λ − 2 −2 0 −2 λ − 1 2 0 2 λ         = 0, ¶λ. 6