长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第十一讲 二次型

第十一讲，二次型 一，二次型的概念及其标准形 1.二次型及其矩阵表示 定义含有n个变量r1,2, ,的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式） f1,2,…,xn)=a1nz号++annz号+2a122+…+2an-1.n-1xn 称为二次型 令a=ah,1≤i,j≤n,x=(c1,x2,…,n)T,A=(a),则二次型表示为f(x1,x2,xn)=xTAz,其 中A是n阶对称矩阵(T=A),称A为二次型f(1,2,,n)的矩阵.矩阵A的秩r(A)称为二次型的秩，记 作r 二次型与对称矩阵之间存在 一一对应的关系由二次型应能立即写出其二次型矩阵.反之，给 出实对称矩阵要能构造出二次型 2,二次型的标准形和规范形 (①)只含平方项的二次型f(工1,2，·，工)=k1+…十knx品，其中k1,…,kn为实数称为二次型的 标准形若1，…，k只能为-1,0,1，这样的标准形称为二次型的规范形. ②)二次型的主要问题：寻求可逆线性变换=CY,其中C可逆，化二次型f1,2,,工n)=xF为 标准形 要使二次型∫经可逆线性变换x=Cy化为标准型，即 f xTA =(CT AC)y =k+=(. 是CTAT 也就是转换为求可逆矩阵C使得CTAC为对角阵。 由实对称矩阵的正交对角化可得实二次型的标准化本质上是二次型矩阵的正交对角化因此有 重要结果任意的n元二次型xTA红都可以通过坐标变换x=Cy(注意C是可逆矩阵)化成标准形，即xTA江= d听+d25+ +d,其中A=CAC.特别地，存在正交变换z=Cy(C是正交矩阵)化xTA 为标准形，即rTAr=A听+2呢++An，A=CTAC=C-1AC这里，2，…，n 二次型矩阵A 的n个特征值， ()二次型为标准形的方法 ()用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为： 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTA: 第二步，求正交矩阵Q=(1,2,…,Ym)使得QFAQ=diag(A,…,入n). 第三步，令x=Q则，得xTAr=x1+2呢+…+入n呢， ()用配方法 (1)如二次型中至少有一个平方项，不妨设11≠0，则对所有含1的项配方（经配方后所余各项中不再 含1）如此继续配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新变量1,2，…，h由=C-工，得A虹= d山+d+…+dn ，…，n=n经此坐标变换 二次型中出现a:-明后再按实行配方法，h一公 (②)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令 1

1õò˘, g. ò,g.Vg9ŸIO/ 1 . g.9Ÿ› L´ ½¬ ¹knáC˛x1, x2, . . . , xng‡gıë™(=zë—¥gıë™) f(x1, x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + · · · + annx 2 n + 2a12x1x2 + · · · + 2an−1,nxn−1xn (*) °èg.. -aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n,x = (x1, x2, · · · , xn) T , A = (aij ), Kg.L´èf(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,Ÿ •A¥nÈ°› (AT = A),°Aèg.f(x1, x2, · · · , xn)› . › Aùr(A)°èg.fù,P är(f) . 5 1. g.ÜÈ°› Ém3òòÈA'X.dg.AU·=—Ÿg.› . áÉ,â —¢È°› áUE—g.. 2 . g.IO/⁄5â/ (1) ê¹²êëg.f(x1, x2, · · · , xn) = k1x 2 1 + · · · + knx 2 n , Ÿ•k1, · · · , knè¢Í°èg. IO/.ek1, · · · , knêUè−1, 0, 1,˘IO/°èg.5â/. (2) g.ÃáØK: œ¶å_Ç5CÜx = CY ,Ÿ•Cå_, zg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Axè IO/. á¶g.f²å_Ç5CÜx = CyzèIO., = f = x T Ax = y T (C T AC)y = k1y 2 1 + · · · + kny 2 n = (y1, y2, · · · , yn)   k1 k2 . . . kn     y1 y2 . . . yn   ,u ¥C T AT =   k1 k2 . . . kn   ,è“¥=Üè¶å_› C¶C T ACèÈ . d¢È°› Èzå¢g.IOzü˛¥g.› Èz,œdk ­á(J ?øng.x T Ax —屜LãICÜx = Cy(5øC ¥å_› ) z§IO/,=x T Ax = y TΛy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n ,Ÿ•Λ = C T AC. AO/, 3CÜx = Cy (C ¥› )zx T Ax èIO/, =x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = C T AC = C −1AC,˘pλ1, λ2, · · · , λn¥g.› A náAä. (3) g.èIO/ê{ (i) ^CÜzg.èIO/)K⁄½è: 1ò⁄, rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄, ¶› Q = (γ1, γ2, · · · , γn)¶QT AQ = diag(λ1, · · · , λn). 1n⁄, -x = Qy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . (ii) ^ê{ (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê￾§{àë•ÿ2 ¹x1). XdUYê,Üñzòë—¹3à²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x T Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn. ²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2￾,2U(1)¢1ê{. 1

3.合同矩阵 定义若A和B为阶矩阵，若存在可逆矩阵C使得B=CTAC,则称矩阵A和B合同， 性质1)由B=CTAC得A三(C-1)TBC-1若A和B合同则B和A合同 (2)若A为对称矩阵且A和B合同，则B为对称矩阵且r(A)=r(B 一惯性定理 惯性定理设有二次型fx1,2,·,工n)=xTA红，f的秩为r,有两个可逆变换x=P4,工=Qz使 ∫=1听+…+k2,≠0及f=1子+…+入2A≠0 则k,…,k,中正数的个数与入1，…，入中正数的个数相等 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性指 数，若f正惯性指数为，秩为r,则f负惯性指数为r-p,∫的规范形为f=好+…+呢-1-…- 由惯性定理得重要结果 ()二次型的秩xTAx的秩=r(A)=A的非零特征值的个数（考虑重数）： (②)二次型的秩TA红的正惯性指数=A的正特征值的个数=f的规范形中正系数1的个数： (③)二次型的秩xTA女的负惯性指数为=A的负特征值的个数=∫的规范形中正系数-1的个数： (④)()=r(A)=正惯性指数+负惯性指数 (⑤)实对称矩阵A与B合同=二次型xTAx与xTBx有相同的正，负惯性指数=A,B的正负特征值的 个数（考虑重数）分别相等， (6)实对称矩阵A与B相似=A与B有相同的特征值，因此，若A与B相似，则A与B合同：但A与B合同不 论推出A与B相似 (⑦)实对称矩阵A与B合同，则A与B卧或者同时为0或者符号相同。 注只要知道二次型的正，负惯性指数也就知道其规范形，二次型的标准形是不唯一的，但它的规范形 唯 三、正定二次型与正定矩阵 1.正定二次型与正定矩阵的概念对二次型xTAx,如对任何z≠0，恒有xTA红>0，则称二次型xTAx 是正定二次型.正定二次型的矩阵A称为正定矩阵」 2.二次型（矩阵）正定的充分必要条件 n元 正定 xA的正惯性指数即=刀 台A与E合同，即有可逆矩阵C,使CTAC=E ÷A的所有特征值全大于零 与A的师序主子式全大于零 →存在可逆矩阵C,使得 注1.若A为正定矩阵，则(1)A-1,A为正定矩阵：（②14>0，a>0(i=1,2,…,n 2.若A,B为正定矩阵，则A+B为正定矩阵：若A为正定矩阵，B与A合同，则B为正定矩阵 四，常考题型及其解题方法与技巧 题型一，有关二次型基本概念的问题 例11.1(1)二次型f(红1,2,3)=(1+2)2+(2-x3)2+(3+1)2的正负惯性指数分别为p= ()9=() (2)二次型f(x1,x2,E3)=xTAr-2r号+2z+4证12-4红13+8x23的矩阵A=(),规范形是() 2

3. ‹”› ½¬ eA⁄Bèn› , e3å_› C¶B = C T AC,K°› A⁄B‹”. 5ü(1) dB = C T ACA = (C −1 ) T BC−1 ,eA⁄B‹”, KB⁄A‹”. (2) eAèÈ°› ÖA⁄B‹”, KBèÈ°› Ör(A) = r(B). , .5½n .5½n kg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,fùèr,k¸áå_CÜx = P y, x = Qz¶ f = k1y 2 1 + · · · + kry 2 r , ki 6= 09f = λ1z 2 1 + · · · + λrz 2 r , λi 6= 0 Kk1, · · · , kr•ÍáÍÜλ1, · · · , λr•ÍáÍÉ. g.fIO/•XÍáÍ°èg..5çÍ,KXÍáÍ°èg.K.5ç Í,ef.5çÍèp,ùèr,KfK.5çÍèr − p, f5â/èf = y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r . d.5½n­á(J (1) g.ùx T Axù= r(A) = Aö"AäáÍ(ƒ­Í); (2) g.ùx T Ax.5çÍ= AAäáÍ= f5â/•XÍ1áÍ; (3) g.ùx T AxK.5çÍè= AKAäáÍ= f5â/•XÍ−1áÍ; (4) r(f) = r(A) =.5çÍ+K.5çÍ. (5) ¢È°› AÜB‹” g.x T Ax Üx T BxkÉ”,K.5çÍ A, BKAä áÍ(ƒ­Í)©OÉ. (6) ¢È°› AÜBÉq AÜBkÉ”Aä,œd,eAÜBÉq,KAÜB‹”;AÜB‹”ÿ ÿÌ—AÜBÉq. (7) ¢È°› AÜB‹”,K|A|Ü|B|½ˆ”ûè0½ˆŒ“É”. 5 êág.,K.5çÍè“Ÿ5â/,g.IO/¥ÿçò,ß5â/ çò. n!½g.ܽ› 1. ½g.ܽ› Vg Èg.x T Ax,XÈ?¤x 6= 0, ðkx T Ax > 0, K°g.x T Ax ¥½g.. ½g.› A°è½› . 2. g.(› )½ø©7á^á n g.x T Ax(A) ½ ⇔ x T Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”ß=kå_› C߶C T AC = E ⇔ A§kAäåu" ⇔ A^SÃf™åu" ⇔ 3å_› C߶A = C T C 5 1. eAè½› , K(1) A−1 , A∗è½› ;(2) |A| > 0, aii > 0(i = 1, 2, · · · , n); 2. eA, Bè½› ,KA + Bè½› ; eAè½› ,BÜA‹”, KBè½› . o, ~K.9Ÿ)Kê{ÜE| K.ò, k'g.ƒVgØK ~11.1(1) g.f(x1, x2, x3) = (x1 + x2) 2 + (x2 − x3) 2 + (x3 + x1) 2,K.5çÍ©Oèp = ( ), q = ( ). (2) g.f(x1, x2, x3) = x T Ax = 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x2x3 › A = ( ), 5â/¥( ). 2

(3)设二次型f(红1,2，x)=xTAx的秩为1,4中各行元素之和为3，则∫在正交变换x=Qg下的标准形 为 (④)若二次曲面的方程x2+32+2+2y+2z+2=4经正交变换化为听+4号=4，则a= (⑤)若二次曲面的方程r2+3y2+2+2ay+2x2+2=4经正交变换化为+4=4，则a= (6)设二次型fm1,2,x3)=x2+3吃+号+2红1x2+2红1x3+2x2x3,则f的正惯性指数为- (⑦)已知二次型f(1,r2,)=片+号+c号+2x12+2红1x3经正交变换化为标准形+2，则a (⑧)二次型∫1,2，x)=(1+x22+(2-2+(c+P的秩为 00 (⑨)若实对称矩阵A与B=0 -12合同，则二次型rT4的规范形为 022 题型二，化二次型为标准形 例11.2求正交变换化二次型2x号-2x12+2x1x3-2r2江3为标准形，并写出所用正交变换 101 例11.2(2012)已知4 011 -10a 次型f(红1,2，工3)=xT(4TA)z的秩为2 0a-1 ()求实数a的值： (②)求正交变换 Qy将f化为标准形。 3

(3) g.f(x1, x2, x3) = x T Axùè1,A•à1ÉÉ⁄è3,Kf3CÜx = QyeIO/ è . (4) eg­°êßx 2+ 3y 2+z 2+ 2axy+ 2xz+ 2yz = 4²CÜzèy 2 1 + 4z 2 1 = 4,Ka = . (5) eg­°êßx 2+ 3y 2+z 2+ 2axy+ 2xz+ 2yz = 4²CÜzèy 2 1 + 4z 2 1 = 4,Ka = . (6) g.f(x1, x2, x3) = x 2 + 3x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3,Kf.5çÍè . (7) Æg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + cx2 3 + 2ax1x2 + 2x1x3²CÜzèIO/y 2 1 + 2y 2 3 ,Ka = . (8) g.f(x1, x2, x3) = (x1 + x2) 2 + (x2 − x3) 2 + (x3 + x1) 2ùè . (9) e¢È°› AÜB =     1 0 0 0 −1 2 0 2 2     ‹”, Kg.x T Ax5â/è . K.,zg.èIO/ ~11.2 ¶CÜzg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3èIO/,ø—§^CÜ. ~11.2 (2012)ÆA =   1 0 1 0 1 1 −1 0 a 0 a −1   , g.f(x1, x2, x3) = x T (AT A)xùè2. (1) ¶¢Íaä; (2) ¶CÜx = QyÚfzèIO/. 3

例11.3已知a=(L,-2,2)7是二次型z7加=ar子+4号+b号-4红1+4红13-8x23矩阵A的特 征向量，求正交变换化为二次型为标准形，并写出所用正交变换。 例11.4设二次型子++-4红12-4r1+2a23经正交变换化为3g+3+b.求a,b的值 及所用正交变换 例11.5(2005,1)已知二次型f1,x2,x3)-(1-a)+(1-a)+2z号+21+a)z1z2的秩为2 (1)求a的值：（②）求正交变换x=Q,把f(1,2,x)化成标准形：(3)求方程fr1,2,x3)=0的解 例11.6(2009)设二次型f1,2,x3)=a+a+(a-1)写+2r1r3-22r3 (但)求二次型f的矩阵的所有特征值：(2)若二次型f的规范形为好+，求的值

~11.3 Æα = (1, −2, 2)T ¥g.x T Ax = ax2 1 + 4x 2 2 + bx2 3 − 4x1x2 + 4x1x3 − 8x2x3 › AA ï˛,¶CÜzèg.èIO/,ø—§^CÜ. ~11.4 g.x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 4x1x2 − 4x1x3 + 2ax2x3²CÜzè3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 . ¶a,bä 9§^CÜ" ~11.5 (2005,1) Æg.f(x1, x2, x3) = (1 − a)x 2 1 + (1 − a)x 2 2 + 2x 2 3 + 2(1 + a)x1x2 ùè2. (1)¶aä; (2)¶CÜx = Qy, rf(x1, x2, x3)z§IO/;(3) ¶êßf(x1, x2, x3) = 0 ). ~11.6 (2009)g.f(x1, x2, x3) = ax2 1 + ax2 2 + (a − 1)x 2 3 + 2x1x3 − 2x2x3. (1) ¶g.f› §kAä; (2) eg.f5â/èy 2 1 + y 2 2 ,¶aä. 4

例11.7设三元二次型xTA江=x子+ar号+x号+2x12-2x2a-2ax1r3的正，负惯性指数都是1，()求a的 值，并用正交变换化二次型为标准形：(D如B=A3-5A+E,求二次型xTBx的规范形. 例11.8用配方法把二次型2号-2r12+213-22x3化为标准形，并写出所用坐标变换 题型三，判别或证明二次型的正定性 例11.9(1)判断3元二次型∫-x子+5+号+4知2-42s的正定性. 11 例11.10(1)已知A-111,矩阵B=A+kE正定，则k的取值为() 11 (②)若二次型f红1,2，)=2+号+号+212+t24是正定的，则t的取值为 (③)下列矩阵中，正定矩阵是 5

~11.7 ng.x T Ax = x 2 1 +ax2 2 +x 2 3 + 2x1x2 −2x2x3 −2ax1x3,K.5çÍ—¥1,(I)¶a ä,ø^CÜzg.èIO/;(II)XB = A3 − 5A + E,¶g.x T Bx5â/. ~11.8 ^ê{rg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3zèIO/,ø—§^ãICÜ. K.n,O½y²g.½5 ~11.9 (1)‰3g.f = x 2 1 + 5x 2 2 + x 2 3 + 4x1x2 − 4x2x3½5. ~11.10 (1) ÆA =     1 1 1 1 1 1 1 1 1     , › B = A + kE½,Kkäè( ). (2) eg.f(x1, x2, x3) = 2x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + tx2x3¥½,Ktäè . (3) e› •,½› ¥ 5

例山em时设D=[d为正定矩珠其中AB分为加价a对俗矩裤C为加Xn矩短殊 四计算PTDP,其中P= -A-c] 四利用的结果料矩年8-c心是香为正定矩阵并证明你的结论 例11.12(2010,1)已知二次型f,2,)=xFAr在正交变换x=Q下的标准形为听+呢，且Q的 第3列为(，0，)T (1)求矩阵4：(2)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵. 题型四，合同矩阵

(A)     1 2 −3 2 7 5 −3 5 0     . (B)     1 2 −3 2 4 5 −3 5 7     . (C)     5 −2 0 −2 6 −2 0 −2 4     . (D)     5 2 0 2 6 −3 0 −3 −1     . ~11.11 (2005)D = " A C C T B # è½› ,Ÿ•A, B©Oèm,nÈ°› ,C èm × n › . (I) OéP T DP,Ÿ•P = " Em −A−1C 0 En # ; (II)|^(I)(J‰› B − C T A−1C¥ƒè½› ,øy²\(ÿ. ~11.12 (2010,1)Æg.f(x1, x2, x3) = x T Ax3CÜx = QyeIO/èy 2 1 + y 2 2 ,ÖQ 13è( √ 2 2 , 0, √ 2 2 ) T . (1) ¶› A; (2) y²A + Eè½› ,Ÿ•Eè3¸†› . K.o,‹”› 6

2 例11.13(1)设矩阵A -1 (A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(C)既不合同也不相似 阅设一(？）则在实数发上与4合同的矩阵为 (2)画(）o()@() f00 (3)与矩阵A=0-12合同的矩阵是 022 1 1[1 1「-1 (A)-1 (B) 1 (C) -1 0 -1 [111][300 (国设A=11,B=000,则A与B 00 ()合同且相似(B)合同但不相似(C不合同但相似(D)不合同也不相似

~11.13(1) › A =   2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2   , B =   1 0 0 0 1 0 0 0 0  , KAÜB (A) ‹”ÖÉq. (B) ‹”ÿÉq. (C) ÿ‹”Éq. (C) Qÿ‹”èÿÉq. (2) A = 1 2 2 1 ! , K3¢Íç˛ÜA‹”› è (A) −2 1 1 −2 ! . (B) 2 −1 −1 2 ! . (C) −2 1 1 −2 ! . (D) 1 −2 −2 1 ! . (3) Ü› A =     1 0 0 0 −1 2 0 2 2     ‹”› ¥ (A)     1 −1 0     (B)     1 1 −1     (C)     1 −1 −1     . (D)     −1 −1 −1     . (4) A =     1 1 1 1 1 1 1 1 1     , B =     3 0 0 0 0 0 0 0 0     , KA ÜB (A) ‹”ÖÉq (B)‹”ÿÉq (C)ÿ‹”Éq (D)ÿ‹”èÿÉq 7