第五讲相似矩阵及二次型 考试内容及要求 1,考试内容 (1)矩阵的特征值和特征向量的概念，性质，相似变换，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充 分必要条件及相似对角矩阵，实对称矩阵的特征值，特征向量及其相似对角矩阵向量的内积，线性无关向量 组的正交规范化方法，规范正交基，正交矩阵及其性质， 二次型的秩惯性定理，二次型的标准形和规范形，用正 2、考试要求 ()理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 (②)理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵 的方法： (③)掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质； (④)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的 标准形、规范形的概念以及惯性定理： (⑤)掌握用 交变换化 次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形： (6)理解正定二次型，正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 矩阵的特征值与特征向量及相关概念 L.矩阵的特征值与特征向量的定义设A是n阶矩阵，若存在数入及非零的n维列向量a,使得4a=A ()成立则称入是矩阵A的特征值，称非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量 2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念 由()得(AE-A)a=0(或(A-AE)a=0),因此，齐次线性方程组(AE-A)r=0有非零解，故行列 式AE-A4=0,即 -a1 -a12… A-Al= -a21入-a22…-a2m =0 (*) -0a1 -0nm2··入-0m (*)是入的n次方程，称为A的特征方程，左端是λE-A是入的n次多项式，记为(A),即fA)=AE-AL, 称为矩阵A的特征多项式。A的特征值即为A的特征方程的阶特征方程在复数范围内恒有解，其个数等于 方程的次数（重根按重数计算）， 如：若3阶矩阵的特征的形式为f)=(公-1)2(a-3),则4的3个特征值为1(2重)，3（单根） 两个重要结论：设n阶矩阵A=(ay)的特征值为A1,2,…,入n,则回)1+2+…+入n=a1+a2+ 因此A=0台A有一个特征值为0，等价地说，4≠0台A的特征值均不为0， 二特征值与特征向量的性质 若非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量.由定义（的）得 1
1 ˘ Éq› 9g. £SN9ᶠ1,£SN (1) › Aä⁄Aï˛Vg,5ü,ÉqCÜ,Éq› Vg95ü,› åÉqÈzø ©7á^á9ÉqÈ› ,¢È°› Aä,Aï˛9ŸÉqÈ› .ï˛S»,Ç5Ã'ï˛ |5âzê{,5âƒ,› 9Ÿ5ü. (2) g.9Ÿ› L´, ‹”CÜÜ‹”› ,g.ù,.5½n,g.IO/⁄5â/,^ CÜ⁄ê{zg.èIO/,g.9Ÿ› ½5 2!£á¶ (1) n)› Aä⁄Aï˛Vg95ü,¨¶› Aä⁄Aï˛; (2) n)Éq› Vg!5ü9› åÉqÈzø©7á^á,›ºÚ› zèÉqÈ› ê{; (3) ›º¢È°› Aä⁄Aï˛5ü; (4) ›ºg.9Ÿ› L´, )g.ùVg, )‹”CÜÜ‹”› Vg, )g. IO/!5â/Vg±9.5½n; (5) ›º^CÜzg.èIO/ê{,¨^ê{zg.èIO/; (6) n)½g.,½› Vg,ø›ºŸO{. ò › AäÜAï˛9É'Vg 1. › AäÜAï˛½¬ A¥n › ,e3Íλ9ö"nëï˛α,¶Aα = λα (*)§·,K°λ ¥› AAä,°ö"ï˛α¥› A·uAäλ Aï˛. 2. › Aıë™ÜAêßVg d(∗)(λE − A)α = 0(½(A − λE)α = 0), œd,‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0kö"), 1 ™|λE − A| = 0, = |λE − A| = λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n . . . . . . . . . −an1 −an2 · · · λ − ann = 0 (**) (∗∗)¥λ ngêß, °èAAêß, ܇¥|λE − A|¥λngıë™,Pè(λ),=f(λ) = |λE − A|, °è› AAıë™. AAä=èAAêß .Aêß3EÍâåSðk), ŸáÍ u êßgÍ(äUÍOé). X:e3 › A/™èf(λ) = (λ − 1)2 (λ − 3),KA3áAäè1(2), 3(¸ä). ¸áá(ÿ: n › A = (aij )Aäèλ1, λ2, · · · , λn, K(i) λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A), λ1λ2 · · · λn = |A|. œd|A| = 0 ⇔ AkòáAäè0, d/`, |A| 6= 0 ⇔ AAä˛ÿè0. AäÜAï˛5ü eö"ï˛α¥› A·uAäλAï˛.d½¬(*) 1
(1)a是A属于特征值入的特征向量=a是齐次线性方程组(AE-A)x=0的非零解 (②)对非零数k,A(ka)=A(ka),因此，ka是A的属于特征值A的特征向量：若a,B是A的属于特征值A的 特征向量，则A(ka+lB)=A(ka)+Al8)=A(ka+l),因此，对数k,1,若ka+lB为非零向量，则ka+lB是A的 属于特征值入的特征向量说明属于同一个特征值的特征向量有很多) (3)A2a=A(42a)=A(a)=X4(a)=X2a,同理可得Aa=a,其中k为正整数.即：是A的 特征值，α是对应的特征向量. 设f(r)=anx”+…+a1+o,则f(A)=amAm+…+a1A+oE是A的多项式矩阵，因此 f(A)a (amA+..+aA+aoE)a=(amA"a+..+aAa+aoEa) +ao)a=f(X)o 例如，若1，-1,2是3阶矩阵A的特征值，则矩阵A2-2A-3E有特征值为：f(1),(-1),f(1),其中f()= 2-2x-3 ()若A可逆，则 -1a,因此，1a是A1的特征值，a是对应的特征向量.与上同理得，*是A的 特征值是对应的特征向量，其中k为整数，特别地可为负整数.因此，当4可逆时，在性质(3)中，)中x的 指数为负整数为，结论仍成立 例如，若1，-1,2是3阶矩阵A的特征值，则矩阵A2-2A-3E有特征值为：f(1),f(-1),f（1),其中f(x)= x-2-2红-3. (⑤)若A“为A的伴随矩阵且A可逆，则有(*)得A'Aa=A'a,于是A'a=以，即只是A的特征值， a是对应的特征向量. (6)若A=diag(A,·,入n)为对角阵，则A的特征值为，·，n (⑦)若齐次线性方程组A=0有非零解a,即Aa=0=0a,则0是A的特征值，Ar=0的所有非零解都 是属于0的特征向量 (⑧)设f(4)=0,其中f(A是f)关于A的多项式矩阵若入是A的特征值，则是f()的根 例如，若3阶矩阵满足A2-A=0,A是A的特征值，则2-入=0，A只可能为0,1. (⑨)若入是A的特征值，则AE-A=0,因此入E-A是不可逆矩阵：若入不是A的特征值，则AE-A≠0， 从而AE-A是可逆矩阵，特别地，0是A的特征值台A=0台A不可逆，A红=0的基础解系就是入=0的 线性无关的特征向量。 (10)若1,2，·，入m是矩阵A互不相同的特征值，a:是对应于入：的特征向量，则a1,a2,…,am线性无 关 (11)若A=(a,r(A)=1,则f()=AE-A川=Xn-(a1+…+ann)An-,A的n个特征值 是1=a11十…+anm,A2=…=m=0. (11)若A=a8,其中a=(a1,a2,…,an)T,B=(,b2,…,b)T为n维列向量，J()=AE-A= An-(a1b1+…+nbn)An-1,可见，若r(4)=1,则A的n个特征值是1=a1b1+…+anb=8Ta,= An=0. 2
(1) α¥A·uAäλAï˛ α¥‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0ö"); (2) Èö"Ík, A(kα) = λ(kα), œd,kα ¥A·uAäλAï˛; eα, β¥A·uAäλ Aï˛,KA(kα+lβ) = A(kα)+A(lβ) = λ(kα+lβ),œd, ÈÍk, l,ekα+lβèö"ï˛,Kkα+lβ¥A ·uAäλAï˛.(`²·u”òáAäAï˛kÈı.) (3) A2α = A(A2α) = A(λα) = λA(α) = λ 2α, ”nåAkα = λ kα, Ÿ•kèÍ. =: λ k¥Ak Aä, α¥ÈAAï˛. f(x) = anx n + · · · + a1 + a0,Kf(A) = amAm + · · · + a1A + a0E¥Aıë™› ,œd f(A)α = (amAm + · · · + a1A + a0E)α = (amAmα + · · · + a1Aα + a0Eα) = amλ mα + · · · + a1λα + a0α = (amλ mα + · · · + a1λα + a0)α = f(λ)α. œd, f(λ)¥f(A)Aä, α¥ÈAAï˛. ~X, e1, −1, 2¥3 › AAä,K› A2 − 2A − 3EkAäè:f(1), f(−1), f(1), Ÿ•f(x) = x 2 − 2x − 3. (4) eAå_, KA−1α = λ −1α, œd,λ −1α¥A−1Aä, α¥ÈAAï˛.ܲ”n, λ k¥Ak Aä,α¥ÈAAï˛,Ÿ•kèÍ,AO/åèKÍ. œd,Aå_û, 35ü(3)•,f(x)•x çÍèKÍè,(ÿE§·. ~X, e1, −1, 2¥3 › AAä,K› A−2−2A−3EkAäè: f(1), f(−1), f(1), Ÿ•f(x) = x −2 − 2x − 3. (5) eA∗èAäë› ÖAå_, Kk(∗) A∗Aα = A∗λα, u¥A∗α = |A| λ , =|A| λ ¥A∗Aä, α¥ÈAAï˛. (6) eA = diag(λ1, · · · , λn)èÈ ,KAAäèλ1, · · · , λn. (7) e‡gÇ5êß|Ax = 0kö")α,=Aα = 0 = 0α, K0¥AAä, Ax = 0§kö")— ¥·u0Aï˛. (8) f(A) = 0, Ÿ•f(A)¥f(x) 'uAıë™› .eλ¥AAä, Kλ¥f(x)ä. ~X, e3 › ˜vA2 − A = 0,λ¥AAä,Kλ 2 − λ = 0, λêåUè0, 1. (9) eλ¥AAä,K|λE−A| = 0 , œdλE−A ¥ÿå_› ; eλ ÿ¥AAä, K|λE−A| 6= 0, l λE − A ¥å_› , AO/, 0¥AAä⇔ |A| = 0 ⇔ A ÿå_,Ax = 0 ƒ:)X“¥λ = 0 Ç5Ã'Aï˛. (10) eλ1, λ2, · · · , λm¥› ApÿÉ”Aä, αi¥ÈAuλiAï˛, Kα1, α2, · · · , αmÇ5à '. (11) eA = (aij ), r(A) = 1, Kf(λ) = |λE − A| = λ n − (a11 + · · · + ann)λ n−1 , AnáAä ¥λ1 = a11 + · · · + ann, λ2 = · · · = λn = 0. (110 ) eA = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) Tènëï˛,f(λ) = |λE − A| = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ n−1 ,åÑ,er(A) = 1,KAnáAä¥λ1 = a1b1 + · · · + anbn = β T α, λ2 = · · · = λn = 0. 2
例如，若a,B为3维列向量且3Ta=2,则A=a8T的特征值为2,0,0. (12)当入是矩阵A的k重特征值时，矩阵A属于A的线性无关的特征向量的个数不超过k个 例5.1设3阶矩阵矩阵A的特征值是1,2,3则A+2E的特征值是一，A1的特征值是一，A的特 征值是一，A2+E的特征值是 ,(4-2E)2的特征值是 例5.2（仙）设3阶矩阵A的特征值为2,3，入.若24=-48，则入=一 (2)设3阶矩阵A的特征值是1，-1,2，则14°+34-2E= 例5.3已知A是n阶矩阵，满足A2-24-3E=0,求矩阵A的特征值. 例5.4()设3阶矩阵A的特征值互不相同若行列式4=0，则A的秩为 (2)若3维列向量a,3满足aTB=2,共中aT为a的转置，则3aT的非零特征值为 三，特征值与特征向量的求法 步骤：)由特征方程E-A川=0求矩阵A的全部特征值入位=1,2，·，m),其中可能有重根 (②)对每个入，解齐次方程组(AE-A)z=0.设(E-A)=r,得基础解系（即对应于X:的线性无关的 特征向量)，红，…，5-，则属于入的全部特征向量为k11+k2+…+kn-r,5m-n,其中，2，…，kn- 是不全为零的任意常数 注求特征值时，最好先用行列式的性质提取出一次因子，然后展开。在不能提取出一次因子只能用 下面方法考虑，以3阶矩阵A=(a)为例， 若)=-a:+e+we+A-W的系数为数 则A的特征值为A因子. 用 阵的特征值和 四相似矩阵
~X, eα, βè3ëï˛Öβ T α = 2,KA = αβTAäè2, 0, 0. (12) λ¥› AkAäû, › A·uλÇ5Ã'Aï˛áÍÿáLká. ~5.1 3 › › AAä¥1, 2, 3, KA + 2EAä¥ , A−1Aä¥ , A∗A ä¥ , A2 + E Aä¥ , (A∗ − 2E) 2 Aä¥ . ~5.2 (1) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (2) 3 › AAä¥1, −1, 2 , K|A∗ + 3A − 2E| = . ~5.3 ÆA¥n › ,˜vA2 − 2A − 3E = 0,¶› AAä. ~5.4 (1) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0 ,KAùè . (2) e3ëï˛α, β˜vα T β = 2 ,Ÿ•α Tèα=ò, KβαTö"Aäè . n,AäÜAï˛¶{ ⁄½: (1) dAêß|λE − A| = 0¶› A ‹Aäλi(i = 1, 2, · · · , m) ,Ÿ•åUkä. (2) Èzáλi , )‡gêß|(λiE−A)x = 0 .r(λiE−A) = ri ,ƒ:)X(=ÈAuλiÇ5Ã' Aï˛)ξ1, ξ2, · · · , ξn−ri , K·uλi ‹Aï˛èk1ξ1+k2ξ2+· · ·+kn−ri ξn−ri ,Ÿ•k1, k2, · · · , kn−ri ¥ÿ è"?ø~Í. 5 ¶Aäû, Å–k^1™5üJ—ògœf,,–m. 3ÿUJ—ògœfêU^ e°ê{ƒ,±3 › A = (aij )è~, ef(λ) = λ 3 − (a11 + a22 + a33)λ 2 + ( a11 a12 a21 a22 + a11 a13 a31 a33 + a22 a23 a32 a33 )λ − |A|XÍèÍ, KAAäè|A|œf. ~5.5 ¶e› Aä⁄Aï˛ (1) −1 1 0 −4 3 0 1 0 2 (2) −2 1 1 0 2 0 −4 1 3 (3) A = 2 2 −2 2 5 −4 2 −4 5 . o Éq› 3
(1)定义设A,B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，记为A~B. (2)性质 间)A~B→B~4 回A~B→E-川=E-吼，从而4B有相同的特征值公a:=三6(4，B有相同的迹。 r(A)=r(B,AM=IB卧 ()若A~B,设P-1AP=B,则P-1AP=B”,可用相似求方幂，即A"=PB"P-1: ()A~B→AT~BT; (W)A~B且A,B都可逆，则A-1~B-1: (i)A~B,B~C→A~C. 例5.6己知矩阵A= 234的特征值之和为3，特征值之积为-24，则6=.一 -11-1 例5.7设A是3阶矩阵，a1,a2,a是3维列线性无关的列向量，且Aa1=4a1-4a2+3ag,Aa2=-6a1- a2+ag,Aag=0求矩阵A的特征值. /200 例5.8(1)设a,3为3维列向量，3T为3的转置，若矩阵a8r相似于000 则Ta= 000 300 (2)设a=(1,1,1)T,B=(1,0,k)T.若矩阵a8T相似于 000则k= 000 五矩阵的相似对角化 (1)矩阵可相似对角化的定义如果阶矩阵A与对角矩阵A相似，则称A可相似对角化，记成A~A (2)矩阵可相似对角化的充分必要条件 分析如果n阶矩阵A与对角矩阵A=diag(1,2,…,入)相似，则存在可逆矩阵P使得P-1AP=A, 即A 9=PA.令P-(6,2,…,n则 A2 A(6,62,…,n)=(,62,…,n) =(AM1,A2,,An5n. 4
(1) ½¬ A, B ¥n › ,X3å_› P,¶P −1AP = B,K°› AÜB Éq,PèA ∼ B. (2) 5ü (i) A ∼ B ⇒ B ∼ A; (ii) A ∼ B ⇒ |λE − A| = |λE − B|, l A, BkÉ”Aä, Pn i=1 aii = Pn i=1 bii(A, BkÉ”,), r(A) = r(B), |A| = |B|; (iii) eA ∼ B, P −1AP = B , KP −1AnP = Bn,å^Éq¶êò,=An = P BnP −1 ; (iv) A ∼ B ⇒ AT ∼ BT ; (v) A ∼ BÖA, B—å_,KA−1 ∼ B−1 ; (vi) A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C. ~5.6 Æ› A = a 1 b 2 3 4 −1 1 −1 AäÉ⁄è3,AäÉ»è-24,Kb = . ~5.7 A¥3 › ,α1, α2, α3¥3ëÇ5Ã'ï˛,ÖAα1 = 4α1 − 4α2 + 3α3, Aα2 = −6α1 − α2 + α3, Aα3 = 0 ¶› AAä. ~5.8 (1) α, βè3ëï˛,β Tèβ=ò,e› αβTÉqu 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kβ T α = . (2) α = (1, 1, 1)T , β = (1, 0, k) T .e› αβTÉqu 3 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kk = . › ÉqÈz (1) › åÉqÈz½¬ XJn › AÜÈ› ΛÉq,K°AåÉqÈz,P§A ∼ Λ. (2) › åÉqÈzø©7á^á ©¤ XJn › AÜÈ› Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λn) Éq,K3å_› P¶P −1AP = Λ, =AP = PΛ. -P = (ξ1, ξ2, · · · , ξn), K A(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) λ1 λ2 . . . λn = (λiξ1, λ2ξ2, · · · , λnξn). 4
因此A=入，1≤i1的特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于入，的重 数k=方程组(A,E-A)x=0的基础解析中解向量的个数为k=秩n-r(,E-A)=k 例如在例5.5中的(1)中矩阵不能对角化，为什么？ /001 例5.9设A=11工 ,问当x为何值时，A可以对角化 100 (③)相似对角化A为对角矩阵A的解题步骤 第一步，求出A的特征值，2，，Am,设入，的重数为 第二步，对每个，解齐次线性方程组(A:E-A)r=0的基础解析：，…， 可得所对应的线性无关的特征向量1，…，1k,·,m1,·,mk 第三步，构造可逆矩阵P-(⑤， .F …,6mkn,则 P-1AP= 入m 注意P中1，a2,·,an和1,2，·，Am的位置是可以变化的，但务必一一对应 问题上述的可逆矩阵P是否唯一？ -211 例5.10设A= 020 求可逆矩阵P使P-1AP为对角阵 、-413 6
œdAξi = λiξi , 1 ≤ i ≤ n.u¥λi¥AAä, ξi¥ÈAAï˛.dPå_ξ1, ξ2, · · · , ξnÇ5à '. u¥k n ê AÜÈ› Éq AknáÇ5Ã'Aï˛; AO/, eAknáÿ”Aä,3Aå± Èz. λ1, λ2, · · · , λm¥A§kÿ”Aä,ŸÍùgèk1, k2, · · · , km Ök1+k2+· · ·+km = n,ùr(λiE− A) = ri . (1) em = n, Kk1 = k2 = km = 1, λ1, λ2, · · · , λmè¸ä, œd, ȧk1 ≤ i ≤ n, ‡gêß |(λiE − A)x = 0ƒ:)X•êkòáÇ5Ã')ï˛, dûùr(λiE − A) = n − 1, u¥AknáÇ 5Ã'Aï˛,Aå±Èz. (2) em 1Aäλi ,ŸÇ5Ã'Aï˛áÍT– uλi Íki êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤•)ï˛áÍèki ùn − r(λiE − A) = ki . ~X3~5.5•(1)•› ÿUÈz, èüo? ~5.9 A = 0 0 1 1 1 x 1 0 0 , Øxè¤äû, Aå±Èz. (3) ÉqÈzAèÈ› Λ )K⁄½ 1ò⁄, ¶—AAäλ1, λ2, · · · , λm, λiÍèki ; 1⁄, Èzáλi , )‡gÇ5êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤: ξi1, · · · , ξiki . å§ÈAÇ5Ã'Aï˛ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm. 1n⁄, Eå_› P = (ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm), K P −1AP = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . 5ø P•α1, α2, · · · , αn⁄λ1, λ2, · · · , λm†ò¥å±Cz, ÷7òòÈA. ØK ˛„å_› P¥ƒçò? ~5.10 A = −2 1 1 0 2 0 −4 1 3 , ¶å_› P¶P −1APèÈ . 5
例5.11已知A 能对角化，求A 六实对称矩阵的特性及用正交矩阵化A为相似标准形的解题方法 (一)向量的内积长度及正交性 1.向量的内积设有n维列向量a=(a1,a2,…,an)T,3=(b1,b2,…,bn)T,令(a,)=aTB=6Ta= a1+2b2+…+anbn,(a,3)称为a与B的内积. 2.内积的性质设a,B,y为n维列向量，入为实数，则 (i)(a.B)=(B.a:ii)(a.B)=A(3.a:(ii)(a+3.y)=(a.+(B.y):(iv）a=0时.(a.a)=0, a≠0时，(a,a)>0. 3.向量的长度设a=(a1,2,…,an)T令la=Va,a=√a++…+a层，al称为a的长度. 当lal=1时，a为单位向量. 4.正交向量组和单位正交向量组若(a,)=0,则称a与3正交若非零向量组a1,a2,·,an两两正 交，即(a =0,i≠j,则称a an为正交向量组，若a1,a2,…,an为正交向量组，每个a4=1(1≤ 1S).则称01,02，…，0n为规范正交向量组 5.Schmidt正交化化线性无关向量组am,a2,·a,为规范正交向量组 ()先正交化令=1,3=2-月 月=，-路1--…- -1 则3,2，…：A,为正交向量组： (②)再单位化令=高，1≤i≤，1,2，…，x为规范正交向量组. 5.正交矩阵若n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=A,则称A为正交矩阵. 若令A=(a1,a2,…,an),由4FA=E得la=1,(a,a)=0i≠).即a1,2,…,an为规范正交向量 组同理，A的列向量组也为规范正交向量组， 6.正交矩阵的性质 (1)A为正交矩阵台A的行向量组为规范正交向量组÷A的列向量组为规范正交向量组. (2)A为正交矩阵台A~1为正交矩阵 (3)A为正交矩阵→A=士1. (4)A,B为正交矩阵→AB为正交矩阵， 6
~5.11 ÆA = −1 1 0 −2 2 0 4 x 1 UÈz, ¶An. 8 ¢È°› A59^› zAèÉqIO/)Kê{ (ò) ï˛S»,›95 1. ï˛S» knëï˛α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T ,-(α, β) = α T β = β T α = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn,(α, β)°èαÜβS». 2. S»5ü α, β, γènëï˛,λè¢Í, K (i) (α, β) = (β, α); (ii) (λα, β) = λ(β, α); (iii) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (iv) α = 0û,(α, α) = 0, α 6= 0û,(α, α) > 0. 3. ï˛› α = (a1, a2, · · · , an) T ,-|α| = p (α, α) = p a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n ,|α|°èα›. |α| = 1û,α踆ï˛. 4. ï˛|⁄¸†ï˛| e(α, β) = 0,K°αÜβ.eö"ï˛|α1, α2, · · · , αn¸¸ ,=(αi , αj ) = 0, i 6= j,K°α1, α2, · · · , αnèï˛|,eα1, α2, · · · , αnèï˛|,zá|αi | = 1(1 ≤ i ≤ n),K°α1, α2, · · · , αnè5âï˛|. 5. Schmidt z zÇ5Ã'ï˛|α1, α2, · · · , αrè5âï˛| (1) kz -β1 = α1,β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1, · · · , βr = αr − (αr,β1) (β1,β1) β1 − (αr,β2) (β2,β2) β2 − · · · − (αr,βr−1) (βr−1,βr−1) βr−1. Kβ1, β2, · · · , βrèï˛|; (2) 2¸†z -γi = βi |βi| , 1 ≤ i ≤ r, γ1, γ2, · · · , γrè5âï˛|. 5. › en › A˜vAT A = E(=A−1 = A,K°Aè› . e-A = (α1, α2, · · · , αn),dAT A = E|αi | = 1,(α T i , αj ) = 0(i 6= j).=α1, α2, · · · , αnè5âï˛ |.”n,Aï˛|èè5âï˛|. 6. › 5ü (1) Aè› ⇔A1ï˛|è5âï˛|⇔Aï˛|è5âï˛|. (2) Aè› ⇔A−1è› ; (3) Aè› ⇒ |A| = ±1. (4) A, Bè› ⇒ABè› . 6
例5.12已知@1=(1,2，-1)7，a2=(-1,3,1)T,a4=(4,-1,0T线性无关，求与它等价的规范正交向 量组 (仁)实对称矩阵的对角化及正交对角化 1,实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (句)实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量都是实向量： ()不同特征值的特征向量互相正交： ()若入是实对称矩阵A的k重特征值，A必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩(AE一A)= 2一k因此实对称矩阵A必可对角化： 2.n阶实对称矩阵A的相似对角化及正交对角化的解题步骤 第一步，求出A的所有不同的特征值入1，λ2，·，，入m,设入的重数为k: 第二步，对每个X,解齐次线性方程组(0E-A)z=0的基础解析：1，·， 相似对角化：可得线性无关的特征向量组11，…，1k,…,m1,…,5mk 正衣时鱼化将 ,正交单位化为m… ,k 可得规范正交的特征向量组1，…，mk,·,m,,mk. 第三步，构造可逆矩阵乃=（低11，…，1k,…,ml,…,mkm)方乃=(11，…，mk…,ml,…,mkm) 则 入1 (①)相似对角化：PAP 入 (②)正交对角化：A乃 注()当A的特征值均为单根时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵B; (②)当特征值有重根入，时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化方法 处理，才能构造出正交矩阵B 7
~5.12 Æα1 = (1, 2, −1)T , α2 = (−1, 3, 1)T , α3 = (4, −1, 0)TÇ5Ã', ¶Üß d5âï ˛|. () ¢È°› Èz9Èz 1.¢È°› Aä⁄Aï˛5ü (i) ¢È°› Aä ¥¢Í, Aï˛—¥¢ï˛; (ii) ÿ”AäAï˛pÉ; (iii) eλ¥¢È°› AkAä,λ7kkáÇ5Ã'Aï˛, ½ˆ`7kùr(λE − A) = n − k,œd¢È°› A7åÈz; 2. n ¢È°› AÉqÈz9Èz)K⁄½ 1ò⁄, ¶—A§kÿ”Aäλ1, λ2, · · · , λm, λiÍèki ; 1⁄,Èzáλi , )‡gÇ5êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤:ξi1, · · · , ξiki , ÉqÈz: åÇ5Ã'Aï˛|ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm; Èz:Úξi1, · · · , ξiki¸†zèηi1, · · · , ηiki , å5âAï˛|η11, · · · , η1ki , · · · , ηm1, · · · , ηmkm. 1n⁄,Eå_› P1 = (ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm); P2 = (η11, · · · , η1ki , · · · , ηm1, · · · , ηmkm), K (1) ÉqÈz: P −1 1 AP1 = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . (2) Èz: P −1 2 AP2 = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . 5 (1) AAä˛è¸äû,=IrAï˛¸†z“å^5E› P2; (2) Aäkäλiû,áuAï˛¥ƒ,ƒK7LÈλiAï˛^Schmidtzê{ ?n,‚UE—› P2. 7
202 例5.13设A 22 ,求正交矩阵P使PTAP为对角阵 224 例5.14设3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,01=(-1,1，-1)T,2=(0,-1,1)T是方程组Ax= 0的两个解 (1)求A的所有特征值和特征向量；（②）求正交矩阵Q和对角阵A,使得QAQ-A (①)求A的所有特征值和特征向量：（②）求矩阵A. 七二次型 一，二次型的概念及其标准形 1.二次型及其矩阵表示 定义含有n个变量x1,2,,n的二次齐次多项式（即每项都是二次的多项式） f(x1,x2,,,无m)=a11x2+,+anmx2+2a12x12+·+2an-1.nxm-1xn(*) 称为二次型 今.=a1<i.i<n,x=(x ·,工)T,A=(a,则二次型表示为fe 中是对矩二称A为二次型…，的矩库.矩阵A的 .··,工)=xTAx.其 4)称为二次型的秩，记 作r(f 注1.二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系由二次型应能立即写出其二次型矩阵.反之，给 出实对称矩阵要能构造出二次型. 2。二次型的标准形和规范形 0只合平方项的二次型儿收样的标准林悲中为实数称为三次型的 只能为 二次型的规范 标准香次土子珠速安性安c.化大型…为 标准形 要使二次型∫经可逆线性变换x=C化为标准型，即 f=xTA=(CAC)g=k1听+…+kn后=(h,2,… ,也就是转换为求可逆矩阵C使得CTAC为对角阵
~5.13 A = 2 0 2 0 2 2 2 2 4 , ¶› P¶P T APèÈ . ~5.14 3 ¢È°› Aà1ÉÉ⁄è3,α1 = (−1, 1, −1)T , α2 = (0, −1, 1)T¥êß|Ax = 0¸á). (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› Q⁄È Λ, ¶QT AQ = Λ. ~5.15 Aè3 ¢È°› ,Aùè2,ÖA 1 1 0 0 −1 1 = −1 1 0 0 1 1 . (1) ¶A§kAä⁄Aï˛; (2) ¶› A. ‘ g. ò,g.Vg9ŸIO/ 1 . g.9Ÿ› L´ ½¬ ¹knáC˛x1, x2, . . . , xng‡gıë™(=zë—¥gıë™) f(x1, x2, · · · , xn) = a11x 2 1 + · · · + annx 2 n + 2a12x1x2 + · · · + 2an−1,nxn−1xn (*) °èg.. -aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n,x = (x1, x2, · · · , xn) T , A = (aij ), Kg.L´èf(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,Ÿ •A¥n È°› (AT = A),°Aèg.f(x1, x2, · · · , xn)› . › Aùr(A)°èg.fù,P är(f) . 5 1. g.ÜÈ°› Ém3òòÈA'X.dg.AU·=—Ÿg.› . áÉ,â —¢È°› áUE—g.. 2 . g.IO/⁄5â/ (1) ê¹²êëg.f(x1, x2, · · · , xn) = k1x 2 1 + · · · + knx 2 n , Ÿ•k1, · · · , knè¢Í°èg. IO/.ek1, · · · , knêUè−1, 0, 1,˘IO/°èg.5â/. (2) g.ÃáØK: œ¶å_Ç5CÜx = CY ,Ÿ•Cå_, zg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Axè IO/. á¶g.f²å_Ç5CÜx = CyzèIO., = f = x T Ax = y T (C T AC)y = k1y 2 1 + · · · + kny 2 n = (y1, y2, · · · , yn) k1 k2 . . . kn y1 y2 . . . yn ,u ¥C T AT = k1 k2 . . . kn ,è“¥=Üè¶å_› C¶C T ACèÈ . 8
由实对称矩阵的正交对角化可得实二次型的标准化本质上是二次型矩阵的正交对角化，因此有 重要结果任意的n元二次型xTAr都可以通过坐标变换x=C(注意C是可逆柜阵)化成标准形，即x'A虹= yTAy=d山听+d2+…+d琉，其中A=CTAC.特别地，存在正交变换x=Cy(C是正交矩阵)化xTAx 为标准形，即xTAx=1+X2呢+…+Xn,A=CTAC=C-1AC,这里X1,2,…,入是二次型矩阵A 的n个特征值. (③)二次型为标准形的方法 句)用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为： 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTA 一步，求正交矩阵Q=(m,2, n)使得QAQ=ding(,…,An) 第三步，令x=Qu,得TA=1+听+…+入m听 (间用配方法 ()如二次型中至少有一个平方项，不妨设11≠0，则对所有含x1的项配方（经配方后所余各项中不再 含.如此继续配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新变量，，，由=C-1工，得rPA d山听+d25+…+dn骗 (2)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令1=劝+2,2=功-班，= 班，·，n=经此坐标变换，二次型中出现a12-a12后，再按(1)实行配方法 3.合同矩阵 定义若A和B为阶矩阵，若存在可逆矩阵C使得B=CTAC,则称矩阵A和B合同 性质()由B=CTAC得A=(C-1)TBC-1,若A和B合同，则B和A合同. (②)若A为对称矩阵且A和B合同，则B为对称矩阵且r(A)=r(B). 二，惯性定理 惯性定理设有二次型f1,2,·,工n)=xTA,的秩为r,有两个可逆变换x=Py,x=Q:使 f=k1听+…+k明，≠0及∫=+…+入异，入≠0 则，…，k,中正数的个数与1，…，入中正数的个数相等。 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性扰 数，若f正惯性指数为p,秩为r,则∫负惯性指数为r一卫，∫的规范形为f=+…+呢-听+1一…一 由惯性定理得重要结果 ()二次型的秩T4的秩=r(A=A的非零特征值的个数（考虑重数） (②)二次型的秩xTA红的正惯性指数=A的正特征值的个数=f的规范形中正系数1的个数： (3③)二次型的秩xTA的负惯性指数为=A的负特征值的个数=了的规范形中正系数-1的个数： (④r(f)=r(A)=正惯性指数+负惯性指数. (⑤)实对称矩阵A与B合同=二次型xTA虹与xTBx有相同的正，负惯性指数=A,B的正负特征值的 个数（考虑重数）分别相等. (6)实对称矩阵A与B相似二A与B有相同的特征值，因此若A与B相似，则A与B合同：但A与B合同不 论推出A与B相似. (T)实对称矩阵A与B合同，则A与B或者同时为0或者符号相同。 注只要知道二次型的正，负惯性指数也就知道其规范形，二次型的标准形是不唯一的但它的规范形 唯一 三、正定二次型与正定矩阵
d¢È°› Èzå¢g.IOz ü˛¥g.› Èz,œdk á(J ?øng.x T Ax —屜LãICÜx = Cy(5øC ¥å_› ) z§IO/,=x T Ax = y TΛy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n , Ÿ•Λ = C T AC. AO/, 3CÜx = Cy (C ¥› )zx T Ax èIO/, =x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = C T AC = C −1AC,˘pλ1, λ2, · · · , λn¥g.› A náAä. (3) g.èIO/ê{ (i) ^CÜzg.èIO/)K⁄½è: 1ò⁄, rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄, ¶› Q = (γ1, γ2, · · · , γn)¶QT AQ = diag(λ1, · · · , λn). 1n⁄, -x = Qy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . (ii) ^ê{ (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê§{àë•ÿ2 ¹x1). XdUYê,Üñzòë—¹3à ²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x T Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2,2U(1)¢1ê{. 3. ‹”› ½¬ eA⁄Bèn › , e3å_› C¶B = C T AC,K°› A⁄B‹”. 5ü(1) dB = C T ACA = (C −1 ) T BC−1 ,eA⁄B‹”, KB⁄A‹”. (2) eAèÈ°› ÖA⁄B‹”, KBèÈ°› Ör(A) = r(B). , .5½n .5½n kg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,fùèr,k¸áå_CÜx = P y, x = Qz¶ f = k1y 2 1 + · · · + kry 2 r , ki 6= 09f = λ1z 2 1 + · · · + λrz 2 r , λi 6= 0 Kk1, · · · , kr•ÍáÍÜλ1, · · · , λr•ÍáÍÉ . g.fIO/•XÍáÍ°èg..5çÍ,KXÍáÍ°èg.K.5ç Í,ef.5çÍèp,ùèr,KfK.5çÍèr − p,f5â/èf = y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r . d.5½ná(J (1) g.ùx T Axù= r(A) = Aö"AäáÍ(ƒÍ); (2) g.ùx T Ax.5çÍ= AAäáÍ= f5â/•XÍ1áÍ; (3) g.ùx T AxK.5çÍè= AKAäáÍ= f5â/•XÍ−1áÍ; (4) r(f) = r(A) =.5çÍ+K.5çÍ. (5) ¢È°› AÜB‹” g.x T Ax Üx T BxkÉ”,K.5çÍ A, BKAä áÍ(ƒÍ)©OÉ . (6) ¢È°› AÜBÉq AÜBkÉ”Aä,œdeAÜBÉq,KAÜB‹”;AÜB‹”ÿ ÿÌ—AÜBÉq. (7) ¢È°› AÜB‹”,K|A|Ü|B|½ˆ”ûè0½ˆŒ“É”. 5 êág.,K.5çÍè“Ÿ5â/,g.IO/¥ÿçò,ß5â/ çò. n!½g.ܽ› 9
1.正定二次型与正定矩阵的概念对二次型xTAr,如对任何x≠0，恒有xTAx>0,则称二次型xTA缸 是正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵. 2.二次型（矩阵）正定的充分必要条件 n元二； A(A正定 台xAx的正惯性指数p=n ÷A与E合同，即有可逆矩阵C.使CTAC=E 台A的所有特征值全大于零 与A的顺序主子式全大于零 台存在可逆矩阵C,使得A=CTC 注1.若A为正定矩阵 ,则()A1,A为正定矩阵：(2)4>0，a>0i=1,2,,n 2.若A,B为正定矩阵，则A+B为正定矩阵：若A为正定矩阵，B与A合同.则B为正定矩阵， 题型一、有关二次型基本概念的问题 例5.16二次型f(1,2,3)=(1+2)2+(2-3)2+(3+x1)P的正，负惯性指数分别为p=（),q (） 例5.17二次型fe1,2,x)=xTAz=2z号+2x号+4r12-41xg+823的矩阵A=(),规范形 是(). 题型二，化二次型为标准形 解题思路用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为： 第一步，把二次型表示为矩阵形式xTAx: 第二步，求A的特征值及相应的特征向量（当入1≠时.最好检验你所求X,X2是否正交）： 第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需 Schmidt正交化： 第四步，把特征向量 位化为m,2…,m 第五步，构造正交矩阵C=(m1.2.·,￥m): 第六步，令红=C,得xTAz=A1听+26+…+n2 用配方法化二次型为标准形的解题步骤为： (①)如二次型中至少有一个平方项，不妨设 0,则对所有含1的项配方（经配方后所余各项中不再 含如此维铁配方，直至每一项都含在各完全平方项中，引入新安量：助，由C-得 d1听+d25+·+dn后 (②)如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设12≠0，则可令工1=h+欢，x2=斯-2，= g,…,工n=经此坐标变换，二次型中出现a12-a12场后，再按(1)实行配方法. 例5.18求正交变换化二次型2写-212+2c13-223为标准形，并写出所用正交变换。 10
1. ½g.ܽ› Vg Èg.x T Ax,XÈ?¤x 6= 0, ðkx T Ax > 0, K°g.x T Ax ¥½g..½g.› A°è½› . 2. g.(› )½ø©7á^á n g.x T Ax(A) ½ ⇔ x T Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”,=kå_› C,¶C T AC = E ⇔ A§kAä åu" ⇔ A^SÃf™ åu" ⇔ 3å_› C,¶A = C T C 5 1. eAè½› , K(1) A−1 , A∗è½› ;(2) |A| > 0, aii > 0(i = 1, 2, · · · , n); 2. eA, Bè½› ,KA + Bè½› ; eAè½› ,BÜA‹”, KBè½› . K.ò!k'g.ƒ VgØK ~5.16 g.f(x1, x2, x3) = (x1 +x2) 2 + (x2 −x3) 2 + (x3 +x1) 2,K.5çÍ©Oèp = ( ), q = ( ). ~5.17 g.f(x1, x2, x3) = x T Ax = 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 + 8x2x3 › A = ( ), 5â/ ¥( ). K.,zg.èIO/ )Kg¥ ^CÜzg.èIO/)K⁄½èµ 1ò⁄,rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄,¶A Aä9ÉAAï˛(λ1 6= λ2 û,Å–u\§¶X1, X2 ¥ƒ); 1n⁄,eAäkä,KÈ䧶Aï˛á5ø,eÿ,KISchmidt z; 1o⁄,rAï˛¸†zèγ1, γ2, · · · , γn; 1 ⁄,E› C = (γ1, γ2, · · · , γn) ; 18⁄,-x = Cy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . ^ê{zg.èIO/)K⁄½èµ (1) Xg.•ñkòá²êë,ÿîa11 6= 0, Kȧk¹x1 ëê(²ê§{àë•ÿ2 ¹x1).XdUYê,Üñzòë—¹3à ²êë•,⁄\#C˛y1, y2, · · · , yn.dy = C −1x,x T Ax = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n . (2) Xg.•ÿ¹²êë,êk·‹ë,ÿîa12 6= 0,Kå-x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.²dãICÜ,g.•—ya12y 2 1 − a12y 2 2,2U(1)¢1ê{. ~5.18 ¶CÜzg.2x 2 3 − 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3èIO/,ø—§^CÜ. 10