第十七讲大数定律和中心极限定理 一.考试内容与要求 1.考试内容： Chebyshev不等式、Chebyshev大数定律、Bernoulli大数定律、辛钦大数定律、De Moivre-Laplace中心极限定理、Ley-Lindberg中心极限定理. 2.考试要求 了解Chebyshev不等式，了解三个大数定律，了解两个中心极限定理、并会用相关定理近 似计算有关随机事件的概率（数三）。 二.考试内容解析 「切比雪夫大数定律 大数定律→伯努利大数定律 辛钦大数定律 中心极限定理→人列维一林德伯格定理 棣莫弗一拉普拉斯定理 (一)依概率收敛 对于随机变量序列X,X2,,X,,如果存在一个常数a,对于任意给定的>0，总有 limP(X.-a0，使得DX,≤1，i=1,2,,则对于任意的正数6>0，有 mP之x之xk小 特别地，对于独立同分布的随机变量序列X,X2,,X。,…(即对于任意的正整数k>1,， 随机变量X,X,…,X相互独立且具有相同的概率分布)，若其期望EX,=4和方差
1 第十七讲 大数定律和中心极限定理 一.考试内容与要求 1.考试内容： Chebyshev 不等式、 Chebyshev 大数定律、Bernoulli 大数定律、辛钦大数定律、 De Moivre Laplace − 中心极限定理、 Levy Lindberg − 中心极限定理. 2.考试要求 了解 Chebyshev 不等式，了解三个大数定律，了解两个中心极限定理、并会用相关定理近 似计算有关随机事件的概率（数三）. 二.考试内容解析 → 辛钦大数定律 伯努利大数定律 切比雪夫大数定律 大数定律 → 棣莫弗－拉普拉斯定理 列维－林德伯格定理 中心极限定理 （一） 依概率收敛 对于随机变量序列 1 2 , , , , X X X n ，如果存在一个常数 a ，对于任意给定的 0 ，总有 lim 1 ( n ) n P X a → − = 则称随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 依概率收敛于 a ，记作 P X a n ⎯⎯→ . （二） 大数定律 1.切比雪夫大数定律 设随机变量序列 1 2 , , , , X X X n 两两独立或两两不相关，其期望与方差 , EX DX i i 均存在， 且存在常数 l 0 ，使得 , 1,2, DX l i i = ，则对于任意的正数 0 ，有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n → = = − = 特别地，对于独立同分布的随机变量序列 1 2 , , , , X X X n （即对于任意的正整数 k 1， 随机变量 1 2 , , , X X Xk 相互独立且具有相同的概率分布），若其期望 EXi = 和方差
DX,=c2存在，则对于任意的6>0，有 空-4小 2.贝努里大数定律 设p=P(4)是事件A在每次试验中发生的概率，n,是事件A在n次独立重复试验中发生 的次数，则巴Pp 贝努里大数定律表明，在相同条件下进行n次重复独立试验，当n充分大时，随机事件A发 生的频率稳定于A的概率P. 3.辛钦大数定律 设X,X2,…,X,…是独立同分布的随机变量序列，只要数学期望EX,=μ（位=L2,）存 在，则对于任意的正数6，有 即之x·u 辛钦大数定律比独立同分布下的切比雪夫大数定律更一般。 (三)中心极限定理 1棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量Xn~B(nP),则对于任意实数x,有 2.列维林德贝格中心极限定理 设X1,X2,…,X,…是独立同分布的随机变量列，其数学期望EX,=4和方差DX=G2均 存在(=1,2，，则当n充分大时，S。=X,+X2+…+X近似地服从正态分布，即对于 任意的实数x,有 x.-nu limP ≤x=D(x) √no 三.例题详解
2 2 DXi = 存在，则对于任意的 0 ，有 1 1 lim 1 n i n i P X n → = − = 2.贝努里大数定律 设 p P A = ( ) 是事件 A 在每次试验中发生的概率， A n 是事件 A 在 n 次独立重复试验中发生 的次数，则 nA P p n ⎯⎯→ . 贝努里大数定律表明，在相同条件下进行 n 次重复独立试验，当 n 充分大时，随机事件 A 发 生的频率稳定于 A 的概率 p . 3.辛钦大数定律 设 1 2 , , , , X X X n 是独立同分布的随机变量序列，只要数学期望 EXi = (i =1,2, ) 存 在，则对于任意的正数 ，有 1 1 lim 1 n i n i P X n → = − = 即 1 1 n P i i X n = ⎯⎯→ 辛钦大数定律比独立同分布下的切比雪夫大数定律更一般. （三） 中心极限定理 1.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量 X B n p n ~ , ( ) ，则对于任意实数 x ，有 lim ( ) n n X np P x x → npq − = 2.列维-林德贝格中心极限定理 设 1 2 , , , , X X X n 是独立同分布的随机变量列，其数学期望 EXi = 和方差 2 DXi = 均 存在 (i =1,2, ) ，则当 n 充分大时， n n 1 2 S X X X = + + + 近似地服从正态分布，即对于 任意的实数 x ，有 ( ) 1 lim n i i n X n P x x n = → − = 三.例题详解
例1.辨析：当试验次数n→0时，事件A的频率的极限就是概率，即m%=P心) 不对：若有m月=P),则e>0,3N,当n>N时，有份-PA0，我们无法保证在某个时刻(n=N)之后， 恒有四-P(A<e,故1im”m=P(A)不成立. 例2.设EX=μ，D=c2.则由Chebyshey不等式，有PX-μl≥3o)s 解：PX-u23o)sgg9 G21 例3.设总体X服从参数为2的指数分布，X,X2,,X为来自总体X的简单随机样本， 则省时，么-之依凝率数效于一 答案：」 【提示】本题主要考查独立同分布的大数定律的概念及运用、指数分布的数字特征. 解 【典型错误】对大数定律不熟，空白者多. 例4.EX=2,EY=2,DX=l,，DY=4,pg=0.5,则由Chebyshev不等式知 P(x-Y≥6)≤ 爸案：6 【提示】本题主要考查切比晓夫不等式、随机变量和的方差。 【典型错误】本题难点在于把X一Y看成一个新的随机变量，由于X与Y是相关的，故 D(X-Y)≠DX+DY 例5.设X,,Xn相互独立，Sn=X,+…+Xn,则根据Ley-Lindberg中心极限定理， 当n充分大时Sn近似服从正态分布，只要X,,X。() 3
3 例 1. 辨析：当试验次数 n → 时，事件 A 的频率的极限就是概率，即 lim ( ) n m P A → n = . 不对.若有 lim ( ) n m P A → n = ，则 0, N ，当 n N 时，有 ( ) m P A n − 成立.但由于 A 的发生是随机的， m 是一个随机变量，故 0, 我们无法保证在某个时刻（ n N= ）之后， 恒有 ( ) m P A n − ，故 lim ( ) n m P A → n = 不成立. 例 2. 设 EX = ， 2 DX = .则由 Chebyshev 不等式，有 P X( ) − 解： 2 2 1 ( ) 9 P X − = 例 3.设总体 X 服从参数为 2 的指数分布， 1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单随机样本， 则当 n → 时， 2 1 1 n n i i Y X n = = 依概率收敛于________. 答案： 1 2 . 【提示】本题主要考查独立同分布的大数定律的概念及运用、指数分布的数字特征. 解： 【典型错误】对大数定律不熟，空白者多. 例 4. EX = 2 ， EY = 2 ， DX =1， DY = 4 ， 0.5 = XY ，则由 Chebyshev 不等式知 P X Y ( ) − 答案： 1 12 【提示】本题主要考查切比晓夫不等式、随机变量和的方差. 解： 【典型错误】本题难点在于把 X Y− 看成一个新的随机变量，由于 X 与 Y 是相关的，故 D X Y DX DY ( − + ) . 例 5. 设 X X 1 n 相互独立， n n 1 S X X = + + ,则根据 Levy Lindberg − 中心极限定理， 当 n 充分大时 n S 近似服从正态分布，只要 X X 1 n （ ）
)有相同的期望B)有相同的方差C)服从同一指数分布D)服从同一离散型分布 答案：C 【提示】本题主要考查列维-林德贝格中心极限定理， 解： 例6.设X,,X…为独立同分布，X,~E()入>1，则 X.-na ∑X,-n2 A)limP( Nh一s)=)B勖mP √na ∑X,-n X- C)lim P( h一≤)=))imP包 佩s切= 答案：C 【提示】本题考查列维-林德贝格中心极限定理. 解 例7.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标 准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977（Φ(2）=0.977) 【提示】本题考查列维-林德贝格中心极限定理及概率计算.中心极限定理是针对个独立同 分布的随机变量和而言的，根据题意构造这样的一个独立随机变量和，最后求出. 解： 例8。设在每次试验中，事件A发生的概率均为}用切比晓夫不等式估计，需要进行多少次 独立重复试验，才能使事件发生的频率在0.74-0.76之间的概率至少为0.9？ 【提示】本题考查切比晓夫不等式和二项分布 解：
4 A) 有相同的期望 B)有相同的方差 C)服从同一指数分布 D)服从同一离散型分布 答案： C 【提示】本题主要考查列维-林德贝格中心极限定理. 解： 例 6. 设 1 , X X n 为独立同分布， X E i () 1,则 A) 1 lim ( ) ( ) n i i n X n P x x n = → − = B) 1 lim ( ) ( ) n i i n X n P x x n = → − = C) 1 lim ( ) ( ) n i i n X n P x x n = → − = D) 1 lim ( ) ( ) n i i n X P x x n = → − = 答案： C 【提示】本题考查列维-林德贝格中心极限定理. 解： 例 7. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标 准差为 5 千克，若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可 装多少箱，才能保证不超载的概率大于 0.977（ = (2) 0.977 ） 【提示】本题考查列维-林德贝格中心极限定理及概率计算.中心极限定理是针对 n 个独立同 分布的随机变量和而言的，根据题意构造这样的一个独立随机变量和，最后求出 n. 解： 例 8.设在每次试验中，事件 A 发生的概率均为 3 4 .用切比晓夫不等式估计，需要进行多少次 独立重复试验，才能使事件发生的频率在 0.74-0.76 之间的概率至少为 0.9？ 【提示】本题考查切比晓夫不等式和二项分布. 解:
例9.设有如下随机变量序列，两两独立 (-502 (424 问：可否对此随机变量序列使用大数定律？ 提示】本题考查切比晓夫大数定律的条件 解 例10.在抽样检查某种产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品.设产品 的次品率为10%，问：至少应抽取多少个产品进行检查，才能保证拒绝接受这批产品的概率 达到0.9？ 提示】本题考查棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理。 解 四.考研真题选讲 1.(89(4)设随机变量X的数学期望为EX=4,方差DX=σ2，则由切比晓夫不等 式，P(0x-4≥3o)≤ 答案：日 2.(88(④)某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%.以X表示在随 意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1)写出X的概率分布：(2)利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14户且不多于30户的概率. 答案：0.927 *重点考核点 中心极限定理
5 例 9.设有如下随机变量序列，两两独立： 2 0 2 ~ 111 424 Xk − 问:可否对此随机变量序列使用大数定律？ 【提示】本题考查切比晓夫大数定律的条件. 解： 例 10.在抽样检查某种产品质量时，如果发现次品多于 10 个，则拒绝接受这批产品.设产品 的次品率为 10%，问：至少应抽取多少个产品进行检查，才能保证拒绝接受这批产品的概率 达到 0.9？ 【提示】本题考查棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理. 解： 四.考研真题选讲 1.(89(4))设随机变量 X 的数学期望为 EX = ，方差 2 DX = ，则由切比晓夫不等 式, P X( − 3 ) ________. 答案： 1 9 2.(88(4))某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%.以 X 表示在随 意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出 X 的概率分布；（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率. 答案：0.927 *重点考核点 中心极限定理