数学分析A1 作者：原生生物QQ:3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意」 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义1实数完各性：全体无尽小数口实数（教材P3) 可定义为此推出下方6条等价定义（定理） 无穷递降法的应用 结论1neN”,meZ,n+m2→V斤Q(教材P5) 证明思路反证，考虑√万整数部分 定义2极限的E-N定义（教材P9) 补充可替换为e(0,1)或Ian-al<Me(M为正常数)或lan-al≤ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论21im元=1（谢惠民P16) 证明思路算术-几何均值放大为1+后 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为0等等） 结论31im尝=0→m"=0(做材P12) 证明思路分am有无最大值，有易证，无则先考虑max增大时子列。再放缩其余 定义3数列有界性（教材P9) 定义4数列单调性（教材P26) 补充收敛数列性质（谢惠民P17起，均由定义证明）： 极限唯 有界性 *保序性（蕴含保号性、夹通定理） (注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于) (保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内) 结论4ima=c<1→mam=0(谢惠民P28) 证明思路考虑牛
数学分析 A1 作者：原生生物 QQ：3257527639 使用资料：任广斌老师讲义（下称讲义）、数学分析教程（上册）（下称教材）、谢惠民习题 课讲义（上册）（下称谢惠民） 注意： 1、文档顺序按照讲义编排，定义均依照教材 2、无缩进的结论是个人认为可以直接使用的定义/定理，不太确定的均已缩进 3、结论能否使用最终解释权在老师与助教 一、数列极限 定义 1 实数完备性：全体无尽小数 ⇔ 实数（教材 P3） *可定义为此推出下方 6 条等价定义（定理） *无穷递降法的应用 结论 1 n ∈ ℕ ∗ , ∀m ∈ Z, n ≠ m2 ⇒ √n ∉ ℚ（教材 P5） 证明思路 反证，考虑√𝑛整数部分 定义 2 极限的 ϵ − N 定义（教材 P9） 补充 可替换为 ∀ϵ ∈ (0 , 1) 或 |𝑎𝑛 − 𝑎| < Mϵ（M 为正常数）或 |𝑎𝑛 − 𝑎| ≤ ϵ *此为唯一定义方式 *去掉有限项后近似常值 *适当放大法 结论 2 lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑛 = 1（谢惠民 P16） 证明思路 算术-几何均值放大为1 + 2 √𝑛 *分类思想（讨论：有无最大，极限是否为无穷，极限是否为 0 等等） 结论 3 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑚𝑎𝑥𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 𝑛 = 0（教材 P12） 证明思路 分𝑎𝑛有无最大值，有易证，无则先考虑 max 增大时子列，再放缩其余 定义 3 数列有界性（教材 P9） 定义 4 数列单调性（教材 P26） 补充 收敛数列性质（谢惠民 P17 起，均由定义证明）： *极限唯一 *有界性 *保序性（蕴含保号性、夹逼定理） （注意保序将严格大于小于变为不严格的大于等于小于等于） （保序性经典用法：取某个数和极限的中点，都在此微小区域内） 结论 4 lim 𝑛→∞ | 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 | = c < 1 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0（谢惠民 P28） 证明思路 考虑 𝑐+1 2
结论5收敛数列必含最大项或最小项（谢惠民P18) 证明思路任取两不等项考察 *保四则运算（注意除法条件） 定义5子列定义（数材P14) 补充数列收敛台一切子列收敛 证明思路左推右由定义，右推左任取一极限说明（讲义2） 结论6 若数列可被分划为有限个子列（即子列互相不交，并集为原数列），则数列存 在极限一这些子列存在相同极限 证明思路右推左利用定义（教材P14类似证明） 定义6极限推广，无穷大与无穷小（教材P24) 补充无穷小相关定理（教材P17) *a>1,t>0,lnn《n《an《l《nn(谢惠民P53.实质是阶的概念】 *分段证明无穷小（以下三结论均可以使用此证明方式） 结论7巴=c中偏=c(Ce0平均威柯西命愿，数材P1 +此平均可改写为秦法形式 结论8n,keN,k>0,2设-1tnk=1,=0,lim an=a→lim21nkak=a(特 普利茨定理，教材P23) 结论91imn=0,3K,w∈，lbyl≤K,2m=1yn-l→im2n=0 (谢惠民P58) *特普利茨和$t02定理应用范围有不少重合，但仍有其独特作用 *这类方法对涉及两个数列极限生成的无穷和式时尤其有用 结论10So2定理（教材P51,讲义3） 二型b>bmb=+m,m=Am= bn b0.d 0.ling 证明思路合分比不等式或特普利茨定理 证明技巧：用定义取出一列数累加（与函数极限联系） 定要注意是否可以直接使用 *几乎是求极限题中最常用的技巧 *使用技巧：取对数 结论11im痘=e +使用技巧：用来去除n(感觉不满足条件时可取倒数)（谢惠民P274第3题） 结论12ma,21听=1→imma=1(徽材P54 证明思路令1a说=Sn后进行处理
结论 5 收敛数列必含最大项或最小项（谢惠民 P18） 证明思路 任取两不等项考察 *保四则运算（注意除法条件） 定义 5 子列定义（教材 P14） 补充 数列收敛 ⇔ 一切子列收敛 证明思路 左推右由定义，右推左任取一极限说明（讲义 2） 结论 6 若数列可被分划为有限个子列（即子列互相不交，并集为原数列），则数列存 在极限 ⇔ 这些子列存在相同极限 证明思路 右推左利用定义（教材 P14 类似证明） 定义 6 极限推广，无穷大与无穷小（教材 P24） 补充 无穷小相关定理（教材 P17） *𝑎 > 1, 𝑡 > 0, ln 𝑛 ≪ 𝑛 𝑡 ≪ 𝑎 𝑛 ≪ 𝑛! ≪ 𝑛 𝑛（谢惠民 P53，实质是阶的概念） *分段证明无穷小（以下三结论均可以使用此证明方式） 结论 7 lim 𝑛→∞ an = c ⇒ lim 𝑛→∞ ∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 = c （Cesàro 平均或柯西命题，教材 P18） *此平均可改写为乘法形式 结论 8 n, k ∈ ℕ ∗ ,𝑡𝑛𝑘 > 0, ∑ 𝑡𝑛𝑘 𝑛 𝑘=1 = 1, lim 𝑛→∞ 𝑡𝑛𝑘 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = a ⇒ lim 𝑛→∞ ∑ 𝑡𝑛𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑎𝑘 = a（特 普利茨定理，教材 P23） 结论 9 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0, ∃𝐾, ∀𝑁 ∈ ℕ ∗ , ∑ |𝑦𝑖 | 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝐾, 𝑧𝑛 = ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑦𝑛−𝑖 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 0 （谢惠民 P58） *特普利茨和 Stolz 定理应用范围有不少重合，但仍有其独特作用 *这类方法对涉及两个数列极限生成的无穷和式时尤其有用 结论 10 Stolz 定理（教材 P51，讲义 3） ∞ ∞型 𝑏𝑛+1 > 𝑏𝑛, lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = +∞, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 = A ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = A 0 0型 𝑏𝑛+1 < 𝑏𝑛, lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0, lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛−𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−𝑏𝑛−1 = A ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = A 证明思路 合分比不等式或特普利茨定理 *证明技巧：用定义取出一列数累加（与函数极限联系） *一定要注意是否可以直接使用 *几乎是求极限题中最常用的技巧 *使用技巧：取对数 结论 11 lim 𝑛→∞ 𝑛 √𝑛! 𝑛 = e *使用技巧：用来去除 n（感觉不满足条件时可取倒数）（谢惠民 P274 第 3 题） 结论 12 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ∑ 𝑎𝑛 𝑛 2 𝑖=1 = 1 ⇒ lim 𝑛→∞ √3𝑛 3 𝑎𝑛 = 1（教材 P54） 证明思路 令 ∑ 𝑎𝑛 𝑛 2 𝑖=1 = 𝑆𝑛 后进行处理
不要忘记基本的代数变形处理！ 定义7m(1+月”=e(做材P31 证明思路利用单调有界定理 一常利用此式与(1+)”放缩e(如下方结论3) 结论13e=lim-0京（教材P31) 证明思路直接展开定义式 结论14eEQ(教材P33) 证明思路反证法 注意此两极限的精准程度差异巨大，第一个约为品，第二个约为，证明可通过归 纳等 定义8lim1员-ln(n+1)=y(教材P35) 证明思路仍然利用单调有界 结论15a4=1,a+1=a+中m品=万 证明思路平方后利用Stolz将lnn转化为n,再利用代数消去n 实数完备性的六个等价定理 结论16单调有界数列存极限（教材P26) 证明思路（由完备性）写出实数的小数表示后上升 证明有界性时可由估算或是猜测极限得到合理的界，如1+√2+…V元<2 结论17闭区间套定理（教材P28) 证明思路 (由单调有界定理)考虑区间两端点极限 定义9确界定义（教材P41) 结论18有界实数集存在确界（教材P41) 证明思路（由闭区间套定理）二分法构造区间套 结论19有跟开覆盖定理（教材P43】 证明思路 (由确界原理)勒贝格方法，考虑上确界 补充可改进为存在勒贝格数（谢惠民P82) 结论20有界数列必有收敛子列（教材P38) 证明思路（由有限覆盖定理）反证，若否，任意数存邻域只有有限项，矛盾 补充可改讲为单调收敛 结论21柯西收敛准则（教材P38) 证明思路 (由列紧定理)取出有界数列 结论15可由柯西收敛准则推出，故此六定理等价 *事实上，此六定理之间均可互相推导
*不要忘记基本的代数变形处理！ 定义 7 lim 𝑛→∞ (1 + 1 𝑛 ) 𝑛 = e（教材 P31） 证明思路 利用单调有界定理 *常利用此式与(1 + 1 𝑛 ) 𝑛+1 放缩 e（如下方结论 33） 结论 13 e = lim 𝑛→∞ ∑ 1 𝑖! 𝑛 𝑖=0 （教材 P31） 证明思路 直接展开定义式 结论 14 e ∉ ℚ（教材 P33） 证明思路 反证法 *注意此两极限的精准程度差异巨大，第一个约为 3 2𝑛 ，第二个约为 1 (𝑛+1)! ，证明可通过归 纳等 定义 8 lim n→∞ ∑ 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 − 𝑙𝑛(𝑛 + 1) = 𝛾（教材 P35） 证明思路 仍然利用单调有界 结论 15 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1 ∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑎𝑛 √𝑙𝑛 𝑛 = √2 证明思路 平方后利用 Stolz 将 ln n 转化为 n，再利用代数消去 n 实数完备性的六个等价定理 结论 16 单调有界数列存极限（教材 P26） 证明思路 （由完备性）写出实数的小数表示后上升 *证明有界性时可由估算或是猜测极限得到合理的界，如√1 + √2 + ⋯ √𝑛 < 2 结论 17 闭区间套定理（教材 P28） 证明思路 （由单调有界定理）考虑区间两端点极限 定义 9 确界定义（教材 P41） 结论 18 有界实数集存在确界（教材 P41） 证明思路 （由闭区间套定理）二分法构造区间套 结论 19 有限开覆盖定理（教材 P43） 证明思路 （由确界原理）勒贝格方法，考虑上确界 补充 可改进为存在勒贝格数（谢惠民 P82） 结论 20 有界数列必有收敛子列（教材 P38） 证明思路 （由有限覆盖定理）反证，若否，任意数存邻域只有有限项，矛盾 补充 可改进为单调收敛 结论 21 柯西收敛准则（教材 P38） 证明思路 （由列紧定理）取出有界数列 *结论 15 可由柯西收敛准则推出，故此六定理等价 *事实上，此六定理之间均可互相推导
*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论223A,B,R=AUB,Va∈A,beB,a0,x>0,+1=→1imxn=V万（谢惠民P53) 正明思路注意到：一-识由压缩数列可得给论，或由选代现律证明 定义10极限点、数列上下极限（教材P45) 补充上下极限具有对偶关系、亦有保号性 (讲义6、教材P47、P50) 结论29上、下极限为数列极限点（教材P46) 证明思路任意小邻域内可取数列中的点 结论30皿a=mak(教材P48) 证明思路分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法证明有界等结论时可应 用) 结论31与上下极限相关的不等式（教材P49、P50) 证明思路由上个结论可以推得 以极值思想看待上下极限 结论321im(xrm+ax)=A,f(n+1)>fn),a>1,xn有界→mx= 证明思路不妨设A=0,对xn的任意极限点t,取出子列xkn,则x化)亦为子列.极限 点为-at,考虑xyrk》,极限点为a2t,若xn不收敛，当t为最大时，可证t>0,代入 条件可加强为fm)单射 若f(m)于n充分大时在正整数中存在反函数则只需正数a不为1（如f(n)=n+t) 结论33Vm,na+m≤a+am→m告=月（徽材P47、谢惠民P90)
*连续函数的一些性质证明与实数完备直接相关 结论 22 ∃𝐴,𝐵, ℝ = 𝐴 ∪ 𝐵, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑎 0, 𝑥1 > 0, 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 2+3𝐴 3𝑥𝑛 2+𝐴 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = √𝐴（谢惠民 P53） 证明思路 注意到 𝑥𝑛+1 − √𝐴 = (𝑥𝑛−√𝐴) 3 3𝑥𝑛 2+𝐴 由压缩数列可得结论，或由迭代规律证明 定义 10 极限点、数列上下极限（教材 P45） 补充 上下极限具有对偶关系、亦有保号性（讲义 6、教材 P47、P50） 结论 29 上、下极限为数列极限点（教材 P46） 证明思路 任意小邻域内可取数列中的点 结论 30 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ inf 𝑘≥𝑛 𝑎𝑘（教材 P48） 证明思路 分别说明大于等于、小于等于成立（注意取子列的方法，证明有界等结论时可应 用） 结论 31 与上下极限相关的不等式（教材 P49、P50） 证明思路 由上个结论可以推得 *以极值思想看待上下极限 结论 32 lim 𝑛→∞ (𝑥𝑓(𝑛) + 𝑎𝑥𝑛) = A, f(𝑛 + 1) > f(𝑛), a > 1, xn有界 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝐴 𝑎+1 证明思路 不妨设𝐴 = 0，对𝑥𝑛的任意极限点𝑡，取出子列𝑥𝑘𝑛，则𝑥𝑓(𝑘𝑛)亦为子列，极限 点为−𝑎𝑡，考虑𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))，极限点为𝑎 2 𝑡，若𝑥𝑛不收敛，当𝑡为最大时，可证𝑡 > 0，代入 知𝑥𝑓(𝑓(𝑘𝑛))的极限更大，矛盾 *注意有界性条件的运用（极限点存在最大值） *条件可加强为𝑓(𝑛)单射 *若𝑓(𝑛)于𝑛充分大时在正整数中存在反函数则只需正数 a 不为 1（如f(n) = n + t） 结论 33 ∀𝑚, n, 𝑎𝑛+𝑚 ≤ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑛 = inf 𝑛≥1 { 𝑎𝑛 𝑛 }（教材 P47、谢惠民 P90）
证明思路仍考虑证明大于等于且小于等于 *以整体思想看待上下极限 结论34xn>0→m(色a)”≥e(谢惠民P95.教材P84) 证明思路若否，某项后均小于e,将e放缩推知矛盾 *存在无限多项满足的反面为某项之后均不满足 结论35，=1a+1=1+左→man=警（谢惠民P63) 证明思路两边取上下极限.得到两个方程求解 +以夹逼思想看待上下极限 结论36如，≤四年：≤而≤面x,(谢惠民P91) 证明思路考虑一切收敛子列（此结论可通过乘积式得到关于“与√的结论） 二、函数极限 定义1集合的势（等价关系）（教材P59) 补充有限、可数、不可数定义，Q可数，R不可数 康托对角线法思路的应用（应用举例：证明上极限为极限点） 结论1fn:(0,+m)→R,m,imnx)=m→昕，m,im得=m(教材P89)》 证明思路构造每段与一定个数fn乘积相关的f 结论2可数个可数集并集可数（教材P60) 证明思路斜线行进法 定义2函数的运算、反函数、单调性、奇偶性（教材P66) 补充不动点与n周期点定义（教材P67、P115) 结论3严格单调函数存严格单调反函数 证明思路反证法.利用f。f1=id 定义3标准型函数极限∈一6定义（教材P68) 补充仍可类似数列极限替换条件 6与N均为多值对应.不为函数 结论4K、g为周期函数1im(f(x)-g(x)=0→f(x)=g)(谢惠民P156、讲义12) 证明思路将极限式拆分为三项之和，用绝对值适当放大得结论 结论5海涅归结原理（数列极限与函数极限关系）（教材P70、讲义8） 证明思路必要性易得，充分性通过逆否证明 可方便地用干说明极限不存在 条件可加强为单调数列（谢惠民P122) 可用数列极限说明函数极限性质：唯 局部有界、保序（保号/夹逼）、保四则运算 *函数的柯西收敛原理（仍由归结原理说明） *保复合性（注意条件！）
证明思路 仍考虑证明大于等于且小于等于 *以整体思想看待上下极限 结论 34 𝑥𝑛 > 0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ ( 𝑥1+𝑥𝑛+1 𝑥𝑛 ) 𝑛 ≥ 𝑒（谢惠民 P95，教材 P84） 证明思路 若否，某项后均小于 e，将 e 放缩推知矛盾 *存在无限多项满足的反面为某项之后均不满足 结论 35 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛+1 = 1 + 1 𝑎𝑛 ⇒ lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = √5+1 2 （谢惠民 P63） 证明思路 两边取上下极限，得到两个方程求解 *以夹逼思想看待上下极限 结论 36 lim n→∞ xn ≤ lim n→∞ ∑ ai n i=1 n ≤ lim n→∞ ∑ ai n i=1 𝑛 ≤ lim n→∞ xn（谢惠民 P91） 证明思路 考虑一切收敛子列（此结论可通过乘积式得到关于𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 与√𝑎𝑛 𝑛 的结论） 二、函数极限 定义 1 集合的势（等价关系）（教材 P59） 补充 有限、可数、不可数定义，ℚ可数，ℝ不可数 *康托对角线法思路的应用（应用举例：证明上极限为极限点） 结论 1 𝑓𝑛: (0,+∞) → ℝ, ∀𝑛, lim 𝑥→∞ 𝑓𝑛 (𝑥) = ∞ ⇒ ∃𝑓, ∀𝑛, lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥) = ∞（教材 P89） 证明思路 构造每段与一定个数𝑓𝑛乘积相关的𝑓 结论 2 可数个可数集并集可数（教材 P60） 证明思路 斜线行进法 定义 2 函数的运算、反函数、单调性、奇偶性（教材 P66） 补充 不动点与 n 周期点定义（教材 P67、P115） 结论 3 严格单调函数存严格单调反函数 证明思路 反证法，利用f ∘ 𝑓 −1 = 𝑖𝑑 定义 3 标准型函数极限ϵ − δ定义（教材 P68） 补充 仍可类似数列极限替换ϵ条件 *δ与𝑁均为多值对应，不为ϵ函数 结论 4 f、g为周期函数, lim 𝑥→∞ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = g(𝑥)（谢惠民 P156、讲义 12） 证明思路 将极限式拆分为三项之和，用绝对值适当放大得结论 结论 5 海涅归结原理（数列极限与函数极限关系）（教材 P70、讲义 8） 证明思路 必要性易得，充分性通过逆否证明 *可方便地用于说明极限不存在 *条件可加强为单调数列（谢惠民 P122） *可用数列极限说明函数极限性质：唯一、局部有界、保序（保号/夹逼）、保四则运算 *函数的柯西收敛原理（仍由归结原理说明） *保复合性（注意条件！）
结论6f在x>0止单调递增，m得-1a>0一m需-1（谢惠民P123) 证明思路利用夹定理 定义4迪利克雷函数与黎曼函数（教材P71、P77) 补充迪利克雷函数处处极限不存在，黎曼函数有理点不连续无理点连续，处处极限为0， 处处不可导 +很多反例都可以靠两个函数进行变形构造（如乘x 定义5函数单边极限（教材P76) 定义6函数上下极限（教材P112、讲义9） 补充函数此点有极限一左右极限存在且相等一上下极限存在且相等 *函数上下极限存在类似数列上下极限性质（结论28-30）（教材P112-114) 结论7m-1(教材P76) 证明思路几何+代数证明 结论8四（兴-）=受（谢惠民P120) 证明思路先考虑n为1时.再分解为两极限之差 定义7极限推广，无穷大与无穷小及阶的概念、记号 补充等价无穷小在乘积中可替换 +记忆x一sinx-tanx-台-lhn+)- 带记号0的等式实质并不是等价关系，而是序关系，如0(x2)=o(x),o(x)≠o(x2) 结论91imΠ=cos=（教材P79) 证明思路补充后替换，注意常数与极限数的区别 结论10只f)=0aE(01.妈@-a=A→妈=六（美似教材Pe9) 证明思路用定义表述此式。将等比数列累加（注意严谨性，不能直接极限表述） 定义8函数的多种类型极限与统一定义（讲义10）（注意逻辑表述） 结论11函数极限的Stol2定理（讲义10、谢惠民P123)(同样注意需求条件） 证明思路可取出数列说明 需求条件实质上稍弱于连续 *若想通过任意右端成立推左则需一致连续（见结论19） 常直接使用洛必达法则 定义9函数连续性（教材P90)、上下左右连续（讲义11）、开区间上连续（教材P93) 定义10闭区间上连续（利用左右连续）（讲义12） 补充注意讲义1中连续性的多个等价定义（基本等价定义与振幅刻画、开集原象刻画】 定义11上半连续与下半连线 (将单点向上提于 形响 半连续)（讲义14） 补充闭区间上的凸函数必然上半连续，连续一上半连续+下半连续 结论12若í定义在开区间上，每个开区间的像集仍为开区间，则f在区间上连续 证明思路用类似闭区间套定理的方式构造区间套套住某个点
结论 6 𝑓在𝑥 > 0上单调递增， lim 𝑥→+∞ 𝑓(2𝑥) 𝑓(𝑥) = 1, 𝑎 > 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑎𝑥) 𝑓(𝑥) = 1（谢惠民 P123） 证明思路 利用夹逼定理 定义 4 迪利克雷函数与黎曼函数（教材 P71、P77） 补充 迪利克雷函数处处极限不存在，黎曼函数有理点不连续无理点连续，处处极限为 0， 处处不可导 *很多反例都可以靠两个函数进行变形构造（如乘𝑥） 定义 5 函数单边极限（教材 P76） 定义 6 函数上下极限（教材 P112、讲义 9） 补充 函数此点有极限⇔左右极限存在且相等⇔上下极限存在且相等 *函数上下极限存在类似数列上下极限性质（结论 28-30）（教材 P112-114） 结论 7 lim𝑥→0 sin𝑥 𝑥 = 1（教材 P76） 证明思路 几何+代数证明 结论 8 lim𝑥→1 ( 𝑚 1−𝑥𝑚 − 𝑛 1−𝑥 𝑛 ) = 𝑚−𝑛 2 （谢惠民 P120） 证明思路 先考虑 n 为 1 时，再分解为两极限之差 定义 7 极限推广，无穷大与无穷小及阶的概念、记号 补充 等价无穷小在乘积中可替换 *记忆 𝑥 ∽ sin 𝑥 ∽ tan 𝑥 ∽ 𝑎 𝑥−1 ln𝑎 ∽ ln(𝑥 + 1) ∽ (1+𝑥) 𝑎 𝑎 *带记号𝑜的等式实质并不是等价关系，而是序关系，如𝑜(𝑥 2 ) = 𝑜(𝑥), 𝑜(𝑥) ≠ 𝑜(𝑥 2 ) 结论 9 lim 𝑛→∞ ∏ cos 𝑥 2 𝑘 𝑛 𝑘=1 = sin 𝑥 𝑥 （教材 P79） 证明思路 补充后替换，注意常数与极限数的区别 结论 10 lim𝑥→0 𝑓(𝑥) = 0, 𝑎 ∈ (0,1), lim𝑥→0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎𝑥) 𝑥 = 𝐴 ⇒ lim𝑥→0 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝐴 1−𝑎（类似教材 P89） 证明思路 用定义表述此式，将等比数列累加（注意严谨性，不能直接极限表述） 定义 8 函数的多种类型极限与统一定义（讲义 10）（注意逻辑表述！） 结论 11 函数极限的 Stolz 定理（讲义 10、谢惠民 P123）（同样注意需求条件） 证明思路 可取出数列说明 *需求条件实质上稍弱于连续 *若想通过任意右端成立推左则需一致连续（见结论 19） *常直接使用洛必达法则 定义 9 函数连续性（教材 P90）、上下左右连续（讲义 11）、开区间上连续（教材 P93） 定义 10 闭区间上连续（利用左右连续）（讲义 12） 补充 注意讲义 11 中连续性的多个等价定义（基本等价定义与振幅刻画、开集原象刻画） 定义 11 上半连续与下半连续（将单点向上提升不影响上半连续）（讲义 14） 补充 闭区间上的凸函数必然上半连续，连续⇔上半连续+下半连续 结论 12 若 f 定义在开区间上，每个开区间的像集仍为开区间，则 f 在区间上连续 证明思路 用类似闭区间套定理的方式构造区间套套住某个点
初等函数（教材P94)均为连续函数 *连续性保四则运算、复合、max、min(可反向考虑复合，即变量代换下的连续性) +考虑黎曼函数知连续性为点概念（一致连续为区间概念) 连续函数可以替换极限运算和函数的顺序 结论13f(x)无理点值有理，有理点值无理，则不连续（教材P110) 证明思路f(x)+x值域为无理数 定义12间断点与间断点类型（教材P94) 结论14单调函数只有至多可数个跳跃间新点（教材P95) 证明思路先利用数列证明单侧极限存在（类似可证明凸函数每点存在左右导数】 单调且值域联通必连续，严格单调且值域联通反函数必连续 结论15柯西法解函数方程（以下f∈C(-m,+m)》(教材P97、谢惠民P129) f(r+y)=f(x)+f(v)f(x)=f(1)r f(x+y)=f(x)f(y) fx)= f1)或fx)=0 f(y)=f)+fy)→fx)=xa或fx)=0 f(停）=@型-f)=f四-f0r+f0 证明思路猜出函数后先归纳得整数满足，推出有理数满足，结合连续证明实数满足 结论16非常值连续周期函数必有最小正周期（讲义12） 证明思路先证明周期下界为0，再推出常仁 结论17利用连续性计算1。型极限（教材P98) 证明思路等价无穷小替换法 结论18m =/呢e1a 证明思路利用上述方式计算 定义13一致连续性（教材P102) 补充利普西茨连续（教材P106)(此条件若可导则与导函数有界等价】 证明思路可直接 通过定义说明 +善用定义说明一致连续 *注意一致连续的等价定义（谢惠民P156) *利普西茨连续的性质（教材P106) *一致连续为区间上概念（由公共δ体现） 结论193x,1im(xn-n)=0,1im(f(xn)-f0n)≠0→f非-致连续 证明思路可直接通过定义说明 结论20f在实数一致连续-a,b20,f(x川≤alx+b 证明思路若否。则，m受=。 +一致连续函数可以被夹在一次函数之间 结论21f-致连续，收∈[0,1)，n∈么mf+刊=0，mf代)=0（教材P106)
*初等函数（教材 P94）均为连续函数 *连续性保四则运算、复合、max、min（可反向考虑复合，即变量代换下的连续性） *考虑黎曼函数知连续性为点概念（一致连续为区间概念） *连续函数可以替换极限运算和函数的顺序 结论 13 𝑓(𝑥)无理点值有理，有理点值无理，则不连续（教材 P110） 证明思路 𝑓(𝑥) + 𝑥值域为无理数 定义 12 间断点与间断点类型（教材 P94） 结论 14 单调函数只有至多可数个跳跃间断点（教材 P95） 证明思路 先利用数列证明单侧极限存在（类似可证明凸函数每点存在左右导数） *单调且值域联通必连续，严格单调且值域联通反函数必连续 结论 15 柯西法解函数方程（以下𝑓 ∈ 𝐶(−∞, +∞)）（教材 P97、谢惠民 P129） 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) 𝑥 或 f(x) = 0 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎 或 𝑓(𝑥) = 0 𝑓 ( 𝑥+𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) 2 ⇒ 𝑓(𝑥) = [𝑓(1) − 𝑓(0)]𝑥 + 𝑓(0) 证明思路 猜出函数后先归纳得整数满足，推出有理数满足，结合连续证明实数满足 结论 16 非常值连续周期函数必有最小正周期（讲义 12） 证明思路 先证明周期下界为 0，再推出常值 结论 17 利用连续性计算 1 ∞ 型极限（教材 P98） 证明思路 等价无穷小替换法 结论 18 lim𝑥→0 (∑ 𝑎𝑖 𝑛 𝑥 𝑖=1 ) 1 𝑥 𝑛 = √∏ 𝑎𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 证明思路 利用上述方式计算 定义 13 一致连续性（教材 P102） 补充 利普西茨连续（教材 P106）（此条件若可导则与导函数有界等价） 证明思路 可直接通过定义说明 *善用定义说明一致连续 *注意一致连续的等价定义（谢惠民 P156） *利普西茨连续的性质（教材 P106） *一致连续为区间上概念（由公共δ体现） 结论 19 ∃𝑥𝑛, 𝑦𝑛, lim 𝑛→∞ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑛→∞ (𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑦𝑛 )) ≠ 0 ⇒ 𝑓非一致连续 证明思路 可直接通过定义说明 结论 20 𝑓在实数一致连续⇒ ∃𝑎, 𝑏 ≥ 0, |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑎|𝑥| + 𝑏 证明思路 若否，则 lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = ∞ *一致连续函数可以被夹在一次函数之间 结论 21 𝑓一致连续，∀𝑥 ∈ [0,1), 𝑛 ∈ ℤ, lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑥 + 𝑛) = 0 ⇒ lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 0（教材 P106）
证明思路利用一致连续性拆分f(x)为三段无穷小 仅连续不能推出此结论。反例如一一 *实质是函数极限Sto忆定理的逆定理 将条件改为1 im f(nx)=0则只需f连续便能成立结论（谢惠民P156 有界闭区间上连续函数的性质 结论22有界闭区间上的连续函数必一致连续（康托定理.教材P106) 证明思路凝聚定理出发，利用反证法说明 有界开区间一致连续一连续+端点存在有限极限 连续+无限点存在有限极限→有界开区间一致连续（另一侧反例：sx) 一致连续风间可以拼接 有界的一致连续函数柔积仍一致连续 *注意以上推论证明过程中的严谨性（谢惠民P141) *感觉说不清楚时就用定义表述（此方式可行于大部分证明题） 结论23连续周期函数必一致连续（讲义13） 证明思路利用上方结论拼接连续风域即可 :此结论可反面使用即连续非一致连续则无周期 结论24f@=fo,a<69国-=限+b-0 x≤a →g保留f的连续/一致连续 证明思路连续由定义，一致连续由拼接可立刻得 直观地看，σ即为从f上挖去一个区间后拼接 此结论有时可用于归纳，如谢惠民P155第二题 结论25有界闭区间连续函数有最大值、 最小值（教材P108) 补充此结论蕴含有界性 证明思路反证有界，考虑趋向上界的点，列紧得成立 +若此点非边界且可导，则导数为0（即Role定理的经典证法） ,两次使用有界性可推出最值（谢南民P135) 推论台 若此点有二阶 ,则最大值处≤0.最小值处≥0 也即，非边界处的最值点必为极值点 结论26连续函数的零值定理、介值定理（教材P108) 补充介值定理的另一个表述：区间上的连续函数值域为区间 证明思路零值由实数完备多个等价定理可推得（谢惠民P129),证明介值需构造铺助函数 个值姓质并不需要连续即连续是更器的各件 满足介值性的函数若存在趋向无穷的极限，则必为正或负无究 零值可直接说明根的存在性 *两零点处导函数符号相同可知中间存在零点（可看成零值定理弱化条件】 结论27fECa.bl.f(a)=f(b)=0.任两零点之间存在零点f(x)=0 证明思路先用确界定理说明任一子区间(m,)上有f零点 *此结论即 连续函数存在不同零点，则某 子区间为0或能取出相邻零点 此任一子区间上有f零点即为f零点稠密，与稠密性相关的另一重要结论 结论28xQ.记{t=t-[tl.则对neZ{nx在(0,1)上稠密 证明思路无理数不同倍数必然不等，考虑抽屉原理得可任意接近0，作倍数得结论
证明思路 利用一致连续性拆分𝑓(𝑥)为三段无穷小 *仅连续不能推出此结论，反例如 sinπ𝑥 1+𝑥 2 sin2 π𝑥 *实质是函数极限 Stolz 定理的逆定理 *将条件改为 lim 𝑛→∞ 𝑓(𝑛𝑥) = 0则只需𝑓连续便能成立结论（谢惠民 P156） 有界闭区间上连续函数的性质 结论 22 有界闭区间上的连续函数必一致连续（康托定理，教材 P106） 证明思路 凝聚定理出发，利用反证法说明 *有界开区间一致连续⇔连续+端点存在有限极限 *连续+无限点存在有限极限⇒有界开区间一致连续（另一侧反例：sin 𝑥） *一致连续区间可以拼接 *有界的一致连续函数乘积仍一致连续 *注意以上推论证明过程中的严谨性（谢惠民 P141） *感觉说不清楚时就用定义表述（此方式可行于大部分证明题） 结论 23 连续周期函数必一致连续（讲义 13） 证明思路 利用上方结论拼接连续区域即可 *此结论可反面使用，即连续非一致连续则无周期 结论 24 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑎 𝑎 ⇒ 𝑔保留𝑓的连续/一致连续 证明思路 连续由定义，一致连续由拼接可立刻得 *直观地看，𝑔即为从𝑓上挖去一个区间后拼接 *此结论有时可用于归纳，如谢惠民 P155 第二题 结论 25 有界闭区间连续函数有最大值、最小值（教材 P108） 补充 此结论蕴含有界性 证明思路 反证有界，考虑趋向上界的点，列紧得成立 *若此点非边界且可导，则导数为 0（即 Rolle 定理的经典证法） *两次使用有界性可推出最值（谢惠民 P135） *在上一个推论的条件中，若此点有二阶导，则最大值处≤ 0，最小值处≥ 0 *也即，非边界处的最值点必为极值点 结论 26 连续函数的零值定理、介值定理（教材 P108） 补充 介值定理的另一个表述：区间上的连续函数值域为区间 证明思路 零值由实数完备多个等价定理可推得（谢惠民 P129），证明介值需构造辅助函数 *介值性质并不需要连续，即连续是更强的条件 *满足介值性的函数若存在趋向无穷的极限，则必为正或负无穷 *零值可直接说明根的存在性 *两零点处导函数符号相同可知中间存在零点（可看成零值定理弱化条件） 结论 27 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 0, 任两零点之间存在零点⇒ 𝑓(𝑥) = 0 证明思路 先用确界定理说明任一子区间(𝑚, 𝑛)上有𝑓零点 *此结论即：连续函数存在不同零点，则某一子区间为 0 或能取出相邻零点 *此任一子区间上有𝑓零点即为𝑓零点稠密，与稠密性相关的另一重要结论： 结论 28 𝑥 ∉ ℚ，记{𝑡} = 𝑡 − [𝑡]，则对𝑛 ∈ ℤ, {𝑛𝑥}在(0,1)上稠密 证明思路 无理数不同倍数必然不等，考虑抽屉原理得可任意接近 0，作倍数得结论
+此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民P155第13题） 结论29feC(0,+m)有界→M,3xm→+，imfQ+x)-fxn)=0(教材P111 证明思路反证。由恒大于正数（成小于负数）推出无牙 结论30f∈C(),f0cI或1cf0)→f(x)存在不动点（谢惠民P132、P148) 证明思路构造f(x)-x,考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义1导数定义、左右导数、区间可导（教材P125)、光滑函数（讲义15） 补充可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民P159、P161) *导数是美商的极限（在分段承数表示时有时只能利用定义） 导数最常用的几何观点：切线斜率， 一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民P160) *可导是 点处的 念（仅一点可导：黎曼函数乘x) *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民P186) 结论1奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若0点存在则必为0） 证明思路由定义推得成立 此结论可通过归纳推论出n阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论2 的链式法则（教材P131 证明思路利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到阶情况（讲义16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 注意反函数求导法刚使用时自变量的不同 结论3莱布尼茨公式（教材P141 证明思路利用乘积求导公式归纳 结论4)={8产之0则在0处任意阶左号数为0 证明思路说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义24），其泰勒多项式恒为0 结论5n为奇数时arctan(例(0)=(-1)号(n-1)！(n为偶数是0可由奇偶性推知) 证明思路y=arctan'(x)=中，可利用(1+x2)y=0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为y=(-)直接计算n阶导数 第二种思路的合理性需要由复变函数论说明。因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民P168例题、P176前三道练习题） 注意拆项法的使用 关干这个函数的n阶导数有不少可通讨归纳得出的结论（教材P143第4、5题） 结论6隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民P171、P174) 证明思路利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数】
*此结论在说明一些周期函数的性质时很有用（如谢惠民 P155 第 13 题） 结论 29 f ∈ 𝐶(0, +∞)有界 ⇒ ∀λ, ∃𝑥𝑛 → +∞, lim 𝑛→+∞ (𝑓(λ + 𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛 )) = 0（教材 P111） 证明思路 反证，由恒大于正数（或小于负数）推出无界 结论 30 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐼或𝐼 ⊂ 𝑓(𝐼) ⇒ 𝑓(𝑥)存在不动点（谢惠民 P132、P148） 证明思路 构造𝑓(𝑥) − 𝑥，考虑定义域/值域的端点处 三、导数 定义 1 导数定义、左右导数、区间可导（教材 P125）、光滑函数（讲义 15） 补充 可导必连续，连续未必可导（存在连续处处不可导的连续函数），此结论亦可推出微 分中的无穷小增量公式（谢惠民 P159、P161） *导数是差商的极限（在分段函数表示时有时只能利用定义） *导数最常用的几何观点：切线斜率，一阶导数是最准确的线性逼近（谢惠民 P160） *可导是一点处的概念（仅一点可导：黎曼函数乘𝑥） *函数的左右导数具有保号性（本质是极限保号性）（谢惠民 P186） 结论 1 奇函数导函数为偶，偶函数导函数为奇（若 0 点存在则必为 0） 证明思路 由定义推得成立 *此结论可通过归纳推论出𝑛阶导数的情况，也可说明泰勒公式中只含奇/偶项 结论 2 求导的链式法则（教材 P131） 证明思路 利用定义构造函数说明或利用无穷小增量公式 *链式法则亦可推广到𝑛阶情况（讲义 16，实际应用很少） *求导还有一些基础结论，如四则运算与导数混合、初等函数导数、反函数求导法则 *注意反函数求导法则使用时自变量的不同 结论 3 莱布尼茨公式（教材 P141） 证明思路 利用乘积求导公式归纳 结论 4 f(𝑥) = {𝑒 − 1 𝑥2 𝑥 > 0 0 𝑥 = 0 ，则𝑓在 0 处任意阶左导数为 0 证明思路 说明指数收敛速度高于任意阶多项式后归纳得结论 *此函数为任意阶可导但非实解析函数的典型案例（讲义 24），其泰勒多项式恒为 0 结论 5 𝑛为奇数时𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑛) (0) = (−1) 𝑛−1 2 (𝑛 − 1)!（𝑛为偶数是 0 可由奇偶性推知） 证明思路 𝑦′ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛’(𝑥) = 1 1+𝑥 2，可利用(1 + 𝑥 2 )𝑦’ = 0使用莱布尼茨公式递推，或 分解为𝑦’ = 1 2𝑖 ( 1 𝑥−𝑖 − 1 𝑥+𝑖 )直接计算𝑛阶导数 *第二种思路的合理性需要由复变函数论说明，因此暂不适合写过程 *事实上，第一种解法更为本质也更为常用（谢惠民 P168 例题、P176 前三道练习题） *注意拆项法的使用 *关于这个函数的𝑛阶导数有不少可通过归纳得出的结论（教材 P143 第 4、5 题） 结论 6 隐函数与参数方程的求导法则（谢惠民 P171、P174） 证明思路 利用反函数求导法则与链式法则 微分学中值定理（范围：有界闭区间连续、有界开区间可导的函数）
定义2极值点、极大值、极小值（教材P144) 补充连续函数的严格极值点至多可数（谢惠民P156第16到18题） 证明思路对于大小确定的邻域，大于邻域内所有其余点的点至多可数，取邻域大小为 则可数个至多可数的并仍为至多可数 结论7极值点处可导则导数为0（费马定理）（教材P144) 证明思路利用保号性推知成立 关于函数极值的基本定理，中值定理的成立基础 *由此可知区间无极值台单 定义3驻点（教材P145) 补充驻点涵义：函数值变化为自变量变化的高阶无穷小（微分看法） 结论8Role中值定理（一些难题往往直接通过此定理构造）（教材P145) 证明思路利用费马定理说明（其实说明了必存在极值驻点） 区间上的非端点最值必为极值 事实上只需端点值相等 +定理亦可扩充为无穷区间（通过构造有限映射到无穷的函数即可说明）（讲义17） *萨缪尔森证明涵盖了非极值点的驻点（谢惠民P189),例如f(x)={ 虑包含0的含两零点区间 此定理的几何意义为：两零点间存在水平切线 *注意此定理的归纳性使用（原函数的个零点确定n一1阶导函数的一个零点） *此定理常用于说明根的个数 结论90(x)=xn(1-x)n→0m(x)在(01)中存在n个互不相同根（教材P145】 证明思路n次使用Roe定理，注意每次的边界新增零点 结论10fx) 1ket至多有n-1个实根（材P152) 证明思路注意到秉不改变根，故可将一项变为常数归纳 结论11拉格朗日中值定理（教材P146) 补充此定理可写为有限增量公式（谢惠民P191),引出泰勒展开中的拉格朗日余项 证明思路构造函数通过Role中值定理说明 几何意 函数制线斜率等于其中某点切线斜率 *此定理为利用导数研究函数时的常用工具 割线斜率至少为切线斜率最小值，且若为最小。则切线斜率恒定 结论12f0)=0,c≠0，f(x)1≤Icf(x)1→f(x)=0(谢惠民P224) 证明思路先利用构造无穷数列+单调有界定理说明0，上恒成立 “注意说明小区间恒成立后组合区间的技巧 *亦可通过对数构造函数以说明（更快捷且更本质的方法）（需利用下文结论18）】 *此结论可推广为贝尔曼不等式（讲义21），证法为对数构造函数 结合单调性，可由拉格朗日中值定理定理证明不等式，但一定注意是否可使用 结论13a>b>0,<arctana-arctan 证明思路将反三角函数通过变量代换变回三角函数直接变形为平凡结论 *变量代换仍为基本操作方式 结论14柯西中值定理（教材P149)
定义 2 极值点、极大值、极小值（教材 P144） 补充 连续函数的严格极值点至多可数（谢惠民 P156 第 16 到 18 题） 证明思路 对于大小确定的邻域，大于邻域内所有其余点的点至多可数，取邻域大小为1 𝑛 ， 则可数个至多可数的并仍为至多可数 结论 7 极值点处可导则导数为 0（费马定理）（教材 P144） 证明思路 利用保号性推知成立 *关于函数极值的基本定理，中值定理的成立基础 *由此可知区间无极值⇔单调 定义 3 驻点（教材 P145） 补充 驻点涵义：函数值变化为自变量变化的高阶无穷小（微分看法） 结论 8 Rolle 中值定理（一些难题往往直接通过此定理构造）（教材 P145） 证明思路 利用费马定理说明（其实说明了必存在极值驻点） *区间上的非端点最值必为极值 *事实上只需端点值相等 *定理亦可扩充为无穷区间（通过构造有限映射到无穷的函数即可说明）（讲义 17） *萨缪尔森证明涵盖了非极值点的驻点（谢惠民 P189），例如𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 sin 1 𝑥 𝑥 ≠ 0 0 𝑥 = 0 考 虑包含 0 的含两零点区间 *此定理的几何意义为：两零点间存在水平切线 *注意此定理的归纳性使用（原函数的𝑛个零点确定𝑛 − 1阶导函数的一个零点） *此定理常用于说明根的个数 结论 9 𝑄(𝑥) = 𝑥 𝑛(1 − 𝑥) 𝑛 ⇒ 𝑄 (𝑛) (𝑥)在(0,1)中存在𝑛个互不相同根（教材 P145） 证明思路 n 次使用 Rolle 定理，注意每次的边界新增零点 结论 10 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑒 λ𝑘𝑥至多有 n-1 个实根（教材 P152） 证明思路 注意到乘𝑒 𝑐𝑥不改变根，故可将一项变为常数归纳 结论 11 拉格朗日中值定理（教材 P146） 补充 此定理可写为有限增量公式（谢惠民 P191），引出泰勒展开中的拉格朗日余项 证明思路 构造函数通过 Rolle 中值定理说明 *几何意义：函数割线斜率等于其中某点切线斜率 *此定理为利用导数研究函数时的常用工具 *割线斜率至少为切线斜率最小值，且若为最小，则切线斜率恒定 结论 12 𝑓(0) = 0, 𝑐 ≠ 0, |𝑓’(𝑥)| ≤ |𝑐𝑓(𝑥)| ⇒ 𝑓(𝑥) = 0（谢惠民 P224） 证明思路 先利用构造无穷数列+单调有界定理说明[0, 1 2|𝑐| ]上恒成立 *注意说明小区间恒成立后组合区间的技巧 *亦可通过对数构造函数以说明（更快捷且更本质的方法）（需利用下文结论 18） *此结论可推广为贝尔曼不等式（讲义 21），证法为对数构造函数 *结合单调性，可由拉格朗日中值定理定理证明不等式，但一定注意是否可使用 结论 13 ∀𝑎 > b > 0, 𝑎−𝑏 √1+𝑎2√1+𝑏 2 < arctan 𝑎 − arctan 𝑏 证明思路 将反三角函数通过变量代换变回三角函数直接变形为平凡结论 *变量代换仍为基本操作方式 结论 14 柯西中值定理（教材 P149）
