同济大学：《复变函数和积分变换》课程教学资源（试卷习题）习题修订及答案

第1章复数 习题1 1.将下列表达式化简为代数形式 ω@+高o+n2-. 2.求满足《+少+i-》=2+i的实数：和y 1+i 3.(1)证明复数：为实数的充要条件是：=乏， (②)设，2为复数，若2和+2都是实数，证明1和2或者都是实数 或者互为共轭. 4设：=+机y0去，正明子是实数当且仅当时=1 5.将下列复数表示为指数形式： ()2i,(2)-1,(3)-1+iV5,(4)1-cos9+isin,这里0≤p≤2元. 6.求实数a,b,使得a1=2-V5a+ia,a=V3励-1+i(V3-b)的模相等，并 且导= 7.计算乘方 (V5+)0,(2(1-” 8.设为实数，利用Euler公式以及二项式定理证明 cos30=cos0-3cos@sin,sin30=3cossin-sin 9.在复平面上画出-1的所有六次方根. 10.求方程2+8=0的根。 业.E明由方程R会 =1确定的曲线是以连接，2的线段为直径的圆周 2设树1运明方层到 =1表示以z=0为中心，1为半径的圆周

22 1 1 Ÿ EÍ SK 1 1. ÚeLà™z{èìÍ/™© (1) 1 + i 3 + 2i , (2) 1 2i + 3i 1 + i , (3) (3 + 4i) (12 − 5i) 2i , (4)   1 + √ 3i 1 − √ 3i   2 © 2. ¶˜v (x + y) + i (x − y) 1 + i = 2 + i ¢Í x ⁄ y © 3. (1) y²EÍ z è¢Íøá^ᥠz = z¯ © (2)  z1, z2 èEÍße z1z2 ⁄ z1 + z2 —¥¢Íßy² z1 ⁄ z2 ½ˆ—¥¢Íß ½ˆpè
›© 4.  z = x + iy, y , 0, z , ±i ©y² z 1 + z 2 ¥¢ÍÖ= |z| = 1 © 5. ÚeEÍL´èçÍ/™µ (1) 2i , (2) −1 , (3) −1+i √ 3 , (4) 1−cos ϕ+i sin ϕߢp 0 6 ϕ 6 2π© 6. ¶¢Í a, b߶ z1 = 2 − √ 3a + ia,z2 = √ 3b − 1 + i  √ 3 − b  Éßø Ö arg z2 z1 = − π 2 © 7. Oé¶êµ (1)  √ 3 + i 2000 , (2) (1 − i) 99 © 8.  θ è¢Íß|^ Euler ˙™±9뙽ny² cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ , sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ . 9. 3E²°˛x— −1 §k8gêä© 10. ¶êß z 3 + 8 = 0 ä© 11. y²dêß Re z2 − z1 z − z1 = 1 (½­Ç¥±Î z1, z2 Ç„èܪ±© 12.  |a| , 1ßy²êß      z − a 1 − az¯      = 1 L´± z = 0 è•%ß1 è媱©

习题1 13.把下列函数f,写成f②=x)+i(x,)的形式 0@=++l.of@=号 14.讨论由下列方程确定的图形： )k-川=k+l,2)Re-=1, (3)lm2=2,(④Rez2=2. 15.例1.10中的曲线是否为光滑曲线，说明理由. 16求满足0<郎号<日（这里9飞Q用为常数）的点：组成的点集并作 图. 17.求下列曲线在函数w=下的映像 (1)2+y2=2,2)y=1, (3)x=1. (④x+1)2+y2=1. 18.求直线Im2=1在函数w=2下的映像 19.求区域{0<：<習}在映射w=2下的映像 20.求平面上以原点为端点的射线在Zhukovsky函数w=北+)下的映 像 21.设0,1,2,3为复平面上互不相同的四个点 ()证明0，，2,3的交比 o-是会名 为实数的充分必要条件是0,21,2,3共线或共圆. 2)证明Ptolemy定理：1-l3-z+-zla-zl≥-dk-z, 等号成立当且仅当0，，2,3共线或共圆. Piolemy(90-168,托勒，古希情天文学家、数学家

SK 1 23 13. reºÍ f(z)ߧ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) /™µ (1) f(z) = z 2 + z + 1ß(2) f(z) = 1 z © 14. ?ÿdeêß(½„/µ (1) |z − 1| = |z + 1| , (2) Re 1 z = 1 , (3) Im z 2 = 2 , (4) Re z 2 = 2 . 15. ~ 1.10 •­Ç¥ƒè1w­Çß`²nd© 16. ¶˜v 0 |z2 − z0| · |z3 − z1|ß “§·Ö= z0, z1, z2, z3
ǽ
© 6Ptolemy (90–168)ߘVóßF1U©Æ[!ÍÆ[.

习题2 习题2 1.设定义在复平面上的函数f似)满足1imf)=A,证明存在的某个邻域， 使得fe)在该邻域内有界. 2.设定义在复平面上的函数f2)在点0连续且f(o)≠0，证明存在0的一个 邻域，使得在这个邻域内f阳≠0. 3.设定义在复平面上的函数f)在z趋于无穷远点时，极限存在且不为零 (或极限为无穷远点)，证明存在正数R,使当以>R时，f阳)≠0. 4.指出下列函数f)在何处可导，并在可导点求其导数： 0f@=+ig、@@=3n+时，6f@-g台 5.讨论下列函数的解析性： (0fe)=x2-3y2+i(3y-y）.(2f)=2x2-i3y2 (3)f(z)=Rez. (4fa)= 6.证明若函数f)在上半平面内解析，则函数在下半平面内解析 7.证明若函数f包)在区域D内解析，并满足下列条件之一，则f阳)在D内是 常值函数. ()f2恒取实数. (2)V1是一个常数 (3)Refa)是一个常数 8.设f似在点解析且f)≠0，并记f似)=x)+i(x,，证明f作为 映射的Jacobi矩阵 wn-化g】 ac804185.雅可比，德国数学家

SK 2 75 SK 2 1. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) ˜v lim z→z0 f(z) = Aßy²3 z0 ,áçß ¶ f(z) 3TçSk.© 2. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) 3: z0 ÎYÖ f(z0) , 0ßy²3 z0 òá ç߶3˘áçS f(z) , 0 © 3. ½¬3E²°˛ºÍ f(z) 3 z ™uð:ûß4Å3Öÿè" £½4Åèð:§ßy²3Í R߶ |z| > R ûßf(z) , 0 . 4. ç—eºÍ f(z) 3¤?åßø3å:¶Ÿ͵ (1) f(z) = x 2 y + ixy2 , (2) f(z) = 3x 3 + i2y 3 , (3) f(z) = az + b cz + d . 5. ?ÿeºÍ)¤5µ (1) f(z) = x 3 − 3xy2 + i  3x 2 y − y 3  , (2) f(z) = 2x 3 − i3y 3 , (3) f(z) = Re z, (4) f(z) = |z|. 6. y²eºÍ f(z) 3˛å²°S)¤ßKºÍ f (z¯) 3eå²°S)¤© 7. y²eºÍ f(z) 3´ç D S)¤ßø˜ve^áÉòßK f(z) 3 D S¥ ~äºÍ© (1) f(z) ð¢Í© (2) | f(z)| ¥òá~Í© (3) Re f(z) ¥òá~Í© 8.  f(z) 3 z0 :)¤Ö f 0 (z0) , 0ßøP f(z) = u(x, y) + iv(x, y)ßy² f äè N Jacobi10› Jacobi (f) =   ux vx uy vy   10Jacobi (1804–1851)߉å'ßIÍÆ[©

第2章解析函数的微积分 在点可逆.由此，根据多元微积分中的逆映射定理（定义在平面区域上 的光滑映射在一点局部可逆的充分条件是该映射的Jacobi矩阵在该点可逆， 参见参考文献2)可证得f)在点0的某个邻域内存在反函数， 9.计算下列各式的值： (1)cosi,(2)Ln(1+i),(3)1. 10.求以下方程在复数范围内的一切解： (1)sinz+cosz=2,(2)coshz=0.(3)25+3z2+2=0. 1山.举反例说明，以下等式一般不成立 (1)ln2=nlnz(（n为正整数且n≥2，(2)ln12=lnz1+ln2 (3)4=(y 12.若函数fe)在0点解析，且fo)≠0，n为正整数.证明存在函数g) 与h),使得ga)与h()在0点解析的，且在0点的某个邻域中，fe)= (g(z))"=e. 13.计算积分2止，其中积分路径L分别取： (1)自0到1的线段： (2)自0经i再到1的折线段 14.计算积分厂货，其中积分路径L分别为： ()自1到i的线段： (2)自1经1+i到i的折线段： (3)自1沿单位圆周逆时针方向到i的圆弧。 15.设函数f)在0<日<1)内解析，且沿任何圆周d=r0<r<1)的积分 为零，问f)在原点是否解析？ 16.()在Arctanz的单值分支上，计算其导数

76 1 2 Ÿ )¤ºÍứ 3 z0 :å_©ddßä‚ıứ•_N½n£½¬3²°´ç˛ 1wN3ò:¤‹å_ø©^á¥TN Jacobi › 3T:å_ß ÎÑΩz [2]§åy f(z) 3: z0 ,áçS3áºÍ© 9. Oéeà™äµ (1) cos i, (2) Ln (1 + i) , (3) 1i . 10. ¶±eêß3EÍâåSòÉ)µ (1) sin z + cosz = 2, (2) cosh z = 0, (3) z 6 + 3z 3 + 2 = 0. 11. fiá~`²ß±e™òÑÿ§·© (1) ln z n = n ln z  n èÍÖ n > 2  , (2) ln z1z2 = ln z1 + ln z2, (3) z αβ = (z α ) β . 12. eºÍ f(z) 3 z0 :)¤ßÖ f(z0) , 0ßn èÍ©y²3ºÍ g(z) Ü h(z)߶ g(z) Ü h(z) 3 z0 :)¤ßÖ3 z0 :,áç•ß f(z) = (g(z)) n = e h(z) © 13. O黩 Z L z¯ dzߟ•»©¥ª L ©Oµ (1) g 0  1 Ç„¶ (2) g 0 ² i 2 1 ÚÇ„© 14. O黩 Z L dz z 2 ߟ•»©¥ª L ©Oèµ (1) g 1  i Ç„¶ (2) g 1 ² 1 + i  i ÚÇ„¶ (3) g 1 ˜¸†±_ûêï i l© 15. ºÍ f(z) 3 {0 < |z| < 1} S)¤ßÖ˜?¤± |z| = r (0 < r < 1) »© è"ßØ f(z) 3:¥ƒ)¤º 16. (1) 3 Arctan z ¸ä©|˛ßOéŸÍ.

习题2 77 (2)设之为右半平面内单位圆周上任意一点，用在右半平面内任意一条简单 线C连接点0与证明平 17.沿指定曲线的正向，计算下列积分的值： 告 dz 2+-2 a* 2 dz *可e+e+西 d止 e -Pe+ +2=2 人 e-「-+2 (13)「sm 18.计算下列积分的值： ，中L为减<日<利的正边 回儿石5二女，其中L为环线2<H<利的正向边果 ©名：英中L为环城1<日<3引的正向边界 19.设0为区域D内一点，fe)在D1{o内解析，在D1{o}上连续，且 1imk-o)f②=0，证明nf阳d=0. 20.若f似)在简单光滑闭曲线L上及其外部区域G内解析，且1imf似=a,证 明 a-”a”8 a-fol.2∈G 21.设fa)为整函数，a,b为复数

SK 2 77 (2)  z èmå²°S¸†±˛?øò:ß^3må²°S?øò^{¸ ­Ç C Î: 0 Ü z ©y² Re "Z z 0 dζ 1 + ζ 2 # = π 4 . 17. ˜ç½­ÇïßOée»©äµ (1) Z |z|=1 dz z + 2 , (2) Z |z|=1 dz z 2 + z − 12 , (3) Z |z|=2 dz (z + 1) 2 , (4) Z |z|=1 dz z 2 (z + 2) , (5) Z |z|=3 dz ￾ z 2 + 4
￾z 2 + 16
, (6) Z |z−i|=1 dz z 2 + 2 , (7) Z |z|=2 1 − cosz z 2 dz, (8) Z |z|=2 e z (z − 1)2 (z + 1) 3 dz, (9) Z |z+2i|=2 e iz dz z 2 + 1 , (10) Z |z|=2 z − 1 (z + 1) 2 dz, (11) Z |z|=4 (2z + 3) dz z 3 − 3z 2 + 2z , (12) Z x 2+y 2=2y dz z 4 + 1 , (13) Z |z|=4 sin z (z − π) 2 dz, (14) Z |z|=2 (z − 1)50(z + 2)50 z 102 dz, (15) Z |z|=2 cosz (z + 1) 3 dz. 18. Oée»©äµ (1) Z L 2z − 5 z(z − 5) dz ߟ• L èÇç {2 .¶ (2) Z L z 2 + 6z − 2 (z − 3)2 (z − 5)2 dzߟ• L èÇç {2 .¶ (3) Z L e iz dz z(z 2 + 4) ߟ• L èÇç {1 .© 19.  z0 è´ç D Sò:ß f(z) 3 D \ {z0} S)¤ß3 D¯ \ {z0} ˛ÎYßÖ lim z→z0 (z − z0) f(z) = 0ßy² Z ∂D f(z) dz = 0 © 20. e f(z) 3{¸1w4­Ç L ˛9Ÿ ‹´ç G S)¤ßÖ lim z→∞ f(z) = aßy ² 1 2πi Z L f(z) z − z0 dz =    a − f(z0), z0 ∈ G; a, z0 < G. 21.  f(z) èºÍßa, b èEÍ©

第2章解析函数的微积分 ()对一切不等于4和以的实数R,计算积分 f(z)dz e-oe- 其中积分曲线的方向取为正向。 (2)利用不等式(2.23)证明，若f@)有界，R>maxl4,bl,则()中所求的 积分为零，并由此证明整函数的Liouville定理。 22.设函数f2在单位圆盘内解析，且f(训≤1.证明f(0≤1. 23.(x,y)=2-y2和(x)=y都是平面上的调和函数，但是u+iv不是解析 函数，为什么？ 24.已知调和函数x)=x2-9-y2,求满足条件f①=-1+i的解析函数 f(2)=u+iv. 25.求定义在第二象限的解析函数fe,使得mf=acam 26.根据调和函数的定义证明定理2.44. 27.设（仁，）为平面极坐标，证明以下结论. ()二元函数“在不包含原点的区域内调和，当且仅当在该区域内 182w 即酸程不、e用子o茶技 (2)函数f阳=“+v在不包含原点的区域内解析，当且仅当在该区域内 该方程组即为Cauchy-Riemann方程在极坐标下的形式. 28.证明最大模原理。 29.利用例2.36的结论证明代数学基本定理（定理2.37）

78 1 2 Ÿ )¤ºÍứ (1) ÈòÉÿu |a| ⁄ |b| ¢Í RßO黩 Z |z|=R f(z) dz (z − a) (z − b) , Ÿ•»©­Çêïèï© (2) |^ÿ™ (2.23) y²ße f(z) k.ßR > max {|a|, |b|}ßK (1) •§¶ »©è"ßøddy²ºÍ Liouville ½n© 22. ºÍ f(z) 3¸†S)¤ßÖ | f(z)| 6 1 ©y² | f 0 (0)| 6 1 © 23. u(x, y) = x 2 − y 2 ⁄ v(x, y) = xy —¥²°˛N⁄ºÍߥ u + iv ÿ¥)¤ ºÍßèüoº 24. ÆN⁄ºÍ u(x, y) = x 2 − xy − y 2߶˜v^á f (i) = −1 + i )¤ºÍ f(z) = u + iv © 25. ¶½¬31ñÅ)¤ºÍ f(z)߶ Im f(z) = arctan y x © 26. ä‚N⁄ºÍ½¬y²½n 2.44 . 27.  (r, θ) è²°4ãIßy²±e(ÿ. (1) ºÍ u 3ÿù¹:´çSN⁄ßÖ=3T´çS ∂ 2 u ∂r 2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2 u ∂θ 2 = 0, =34ãIeß Laplace éf 4 = ∂ 2 ∂r 2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ 2 . (2) ºÍ f(z) = u + iv 3ÿù¹:´çS)¤ßÖ=3T´çS ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ , ∂v ∂r = − 1 r ∂u ∂θ . Têß|=è Cauchy-Riemann êß34ãIe/™. 28. y²Åån© 29. |^~ 2.36 (ÿy²ìÍƃ½n£½n 2.37§©

习题2 19 30.证明最小模原理：设f()在有界区域D内解析，在D上连续，且f)≠0， 如果训在D内部取得最小值，则f阳)是一个常值函数 3L.设f似=“+v在有界区域D内解析，在D上连续且不取零值，证明 n(u2+)在D上的最大值和最小值只能在边界D上取到，除非f@)为 常值函数

SK 2 79 30. y²Ånµ f(z) 3k.´ç D S)¤ß3 D¯ ˛ÎYßÖ f(z) , 0ß XJ | f(z)| 3 D S‹ÅäßK f(z) ¥òá~äºÍ© 31.  f(z) = u + iv 3k.´ç D S)¤ß3 D¯ ˛ÎYÖÿ"äßy² ln  u 2 + v 2  3 D¯ ˛Ååä⁄ÅäêU3>. ∂D ˛ßÿö f(z) è ~äºÍ©

习题3 139 再证明必要性.由f)在o局部单叶解析，则存在和的邻域U,使得函数 f)-w在U内至多只有1个零点.显然fa)非常值函数，若f'()≠0不成立， 则0为函数f)-o的2重以上零点，则根据定理3.38，在0的任何充分小的 E-邻域B()内，存在%的6邻域B(o,使对一切w∈B6(o),fe)-w都至 少有2个互不相同的零点，矛盾.证毕。 注3.16定理3.40再次揭示了复可导函数与实可导函数的差别.例如函数 f)=,如果将定义域限制在实数范围内，虽然该函数在原点导数为零，但依 然存在反函数.然而当定义域扩充到复平面后，在原点的任何一个邻域内都不能 定义该函数的反函数.事实上，在原点的任何一个圆环邻域内，∫是3对1的映 射，任意模相同，幅角相差的两个复数，经∫作用后对应到同一个值. 习题3 1.求下列幂级数的收敛圆盘： 点02茶w 四e-时.②2点 2.写出下列函数在m=0的Tyor级数的前三个非零项，指出收敛半径 (1)tanz.(2)sin (3)e 3.求下列函数在给定点的Taylor级数，并指出收敛半径： (2)fa)=sinz2,在o=0: (3)f)=V+,其中根号函数取主值，在0=0： (4)fe)=lnx,在0=i. 4.求下列函数在指定点的去心邻域内的Laurent级数，并指出最大收敛区域： 0f@=e-2+D'=2与-1： ②f8=e-m=0与i:

SK 3 139 2y²7á5©d f(z) 3 z0 ¤‹¸ì)¤ßK3 z0 ç U߶ºÍ f(z) − w 3 U Sñıêk 1 á":©w, f(z) ö~äºÍße f 0 (z0) , 0 ÿ§·ß K z0 èºÍ f(z) − w0  2 ­±˛":ßK䂽n 3.38ß3 z0 ?¤ø© ε -ç Bε(z0) Sß3 w0  δ-ç Bδ(w0)߶ÈòÉ w ∈ Bδ(w0)ßf(z) − w —ñ k 2 ápÿÉ”":ßgÒ©y.© 5 3.16 ½n 3.40 2g´ EåºÍÜ¢åºÍO©~XºÍ f(z) = z 3ßXJÚ½¬çÅõ3¢ÍâåSßè,TºÍ3:Íè"ßù ,3áºÍ©, ½¬ç*øE²°￾ß3:?¤òáçS—ÿU ½¬TºÍáºÍ©Ø¢˛ß3:?¤òáÇçSß f ¥ 3 È 1 N ß?øÉ”ßÃÉ 2π 3 ¸áEÍß² f ä^￾ÈA”òáä. SK 3 1. ¶eò?ͬҵ (1) X∞ k=1 1 k (z − i) k , (2) X∞ k=1 z k k 22 k , (3) X∞ k=1 z k k k , (4) X∞ k=1 k! k k z k . 2. —eºÍ3 z0 = 0  Taylor ?Ícnáö"ë, ç—¬Ò媵 (1) tan z, (2) sin 1 1 − z , (3) e 1 1−z . 3. ¶eºÍ3â½: Taylor ?Íßøç—¬Ò媵 (1) f(z) = z − 1 z + 1 ß3 z0 = 1 ¶ (2) f(z) = sin z 2ß3 z0 = 0 ¶ (3) f(z) = √ z + 1ߟ•ä“ºÍÃäß3 z0 = 0 ¶ (4) f(z) = ln zß3 z0 = i © 4. ¶eºÍ3ç½:%çS Laurent ?Íßøç—Åå¬Ò´çµ (1) f(z) = 1 (z − 2)(z + 1) ßz0 = 2 Ü −1 ¶ (2) f(z) = 1 z 2 (z − i) ßz0 = 0 Ü i ¶

140 第3章解析函数的级数理论与留数定理 (3)f)=ea,o=1 5.求下列函数在指定点为中心的一切可能的Laurent级数，并指出各自的收敛 环域： (0f@=e-2-2万'0=0： 1 (②f8=k+2,m=-2: (8@=2-Dw=1 6.求下列函数在复平面上的所有奇点，并判断每个奇点的类型： 2 (4④)fa=cos oma=2a片9@--ae-山 1 7.求下列函数在无穷远点邻域内的Laurent级数，并由此判别无穷远点作为孤 立奇点的类型： @=6 afo=2sin} 僩f@=a-e-2雪④f@=e 8.判别无穷远点是否是下列函数的孤立奇点？若是，判别孤立奇点的类型. 1 1 ④f)=+ (1)=z (⑧)fa=ecosz, (()=sin 9.求下列函数在复平面上所有奇点的留数：

140 1 3 Ÿ )¤ºÍ?ÍnÿÜ3ͽn (3) f(z) = e 1 1−zßz0 = 1 © 5. ¶eºÍ3ç½:è•%òÉåU Laurent ?Íßøç—àg¬Ò Ççµ (1) f(z) = z (z − 1)(z − 2) ßz0 = 0 ¶ (2) f(z) = 1 z(z + 2)3ßz0 = −2 ¶ (3) f(z) = 1 z 2 (z − 1) ßz0 = 1 . 6. ¶eºÍ3E²°˛§k¤:ßø‰zá¤:a.µ (1) f(z) = z 2 (z + 1)3 , (2) f(z) = 1 sin z , (3) f(z) = 1 − cosz z 2 , (4) f(z) = cos 1 z , (5) f(z) = ze − 1 z 2 , (6) f(z) = cosz z 4 + 8z 2 + 16 , (7) f(z) = z 3 sin 1 z , (8) f(z) = 1 e z − 1 − 1 z , (9) f(z) = (1 − cosz)(ez 2 − 1) z 4 . 7. ¶eºÍ3ð:çS Laurent ?ÍßøddOð:äè ·¤:a.µ (1) f(z) = z 2 + 1 z − 6 , (2) f(z) = z 2 sin 1 z , (3) f(z) = 1 (z − 1) (z − 2) , (4) f(z) = 1 z 2 e z . 8. Oð:¥ƒ¥eºÍ·¤:º e¥ßO·¤:a.. (1) f(z) = 1 sin z , (2) f(z) = 1 e z − 1 − 1 z , (3) f(z) = 1 1 + cosz , (4) f(z) = z 2 + 4 z , (5) f(z) = 1 (z − 1)(z − 2) , (6) f(z) = z 2 sin 1 z , (7) f(z) = 1 z 2 e z (8) f(z) = e z cosz, (9) f(z) = e z sin 1 z . 9. ¶eºÍ3E²°˛§k¤:3͵

习题3 141 (1)f(a)=1-cosz (②fa=2-sinz 2 阳 @=4 2 6)fa=e-2e2+ (6)f(z)=cotz. (7)f(a)=eitanz. 8)f阳=1+2 (n为正整数)， 9f阳=+52 2-3 10f@=+2 22 (山@=（n为正整数)，2)=(n为正整数) 13)f=2 (4)fa=c, a51@=e-s (16f()=cosT' 1 a)@=sm千 (18)f(a)=e 10.求下列函数在无穷远点的留数 0=中a为正整数回=e ,(n为正整数) 1L.当无穷远点为函数fe)的可去奇点时，是否有Res(fe,o)=0?为什么？ 12.证明定理3.31. 13.利用留数定理计算下列积分： 0Je+e- a∫sind l ©a-克而c=ce+f=2+明 o女为正整致，C=时=p<川 14.利用留数定理计算下列积分

SK 3 141 (1) f(z) = 1 − cosz z 2 , (2) f(z) = z − sin z z 3 , (3) f(z) = 2z + 3 z 2 − 4 , (4) f(z) = e z z 2 + a 2 , (5) f(z) = z 2 (z − 2)￾ z 2 + 1
, (6) f(z) = cotz, (7) f(z) = e z tan z, (8) f(z) = 1 1 + z n £ n èͧ, (9) f(z) = z − 3 z 3 + 5z 2 , (10) f(z) = 1 z(z + 2) 3 , (11) f(z) = z 2n (z + 1) n £ n èͧ, (12) f(z) = 1 e zz n £ n èͧ, (13) f(z) = 1 z 2 sin z , (14)f(z) = ze 1 (z−1) 2 , (15) f(z) = (z − 1) 2 sin 1 z , (16) f(z) = z 2 cos 1 z − 1 , (17) f(z) = sin z z + 1 , (18) f(z) = e z+1 z−1 . 10. ¶eºÍ3ð:3͵ (1) f(z) = 1 1 + z 2n £n èͧ, (2) f(z) = e 1 z z n 1 + z £n èͧ. 11. ð:èºÍ f(z) å¤:ûߥƒk Res (f(z), ∞) = 0º èüoº 12. y²½n 3.31© 13. |^3ͽnOée»©µ (1) Z |z|=3 dz ￾ z 2 + 1
￾z 2 − 4
, (2) Z |z|=1 sin 1 z dz, (3) Z C dz (z − 1) 2 ￾ z 2 + 1
, C = n (x, y)|x 2 + y 2 = 2 (x + y) o , (4) Z C z n e 1 z 1 + z dz, n èÍßC = {|z| = ρ < 1} . 14. |^3ͽnOée»©µ