目录》 01 调和函数的定义 CONTENTS 02 调和函数的性质
目 录 01 调和函数的定义 CONTENTS 02 调和函数的性质
01 PART 调和函数的定义
调和函数的定义 01 PART
调和函数的定义 定义若定义在区域D内的二元实值函数H(x,y)二阶连续可导，且满足 ∂2H∂2H 0y2 =0, 则称H(x,y)为区域D内的调和函数. 注1记aH-装+票，其中4=积 + 称为Laplace算子. 02 注2在n维欧氏空间，定义△= a2,a2 十…十 称为n维 Laplace算子，从而也可定义n元调和函数
调和函数的定义 定义 若定义在区域 𝐷 内的二元实值函数 𝐻(𝑥, 𝑦) 二阶连续可导，且满足 𝜕 2𝐻 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2𝐻 𝜕𝑦 2 = 0， 则称 𝐻(𝑥, 𝑦) 为区域 𝐷 内的调和函数． 注1 记 𝚫𝐻 = 𝜕 2𝐻 𝜕𝑥2 + 𝜕 2𝐻 𝜕𝑦2，其中 𝚫 = 𝜕 2 𝜕𝑥2 + 𝜕 2 𝜕𝑦2 称为 Laplace 算子． 注2 在 𝑛 维欧氏空间，定义 𝚫 = 𝜕 2 𝜕𝑥1 2 + 𝜕 2 𝜕𝑥2 2 + ⋯ + 𝜕 2 𝜕𝑥𝑛 2， 称为 𝑛 维 Laplace 算子，从而也可定义 𝑛 元调和函数．
解析函数与调和函数 定理函数f(z)在区域D内解析，则其实部u(x,y)和虚部v(x,y)均在 D内调和，其中v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数. 证明因f(z)解析，故无穷次可导，从而其实部u(x,y)和虚部v(x,y) 也无穷次可偏导.再由Cauchy-Riemann方程 △u= 品 =0; △ =0. 问题对区域D内的调和函数u(x,y),是否存在其共轭调和函数v(x,y)?
解析函数与调和函数 定理 函数 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析，则其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 均在 𝐷 内调和，其中 𝑣(𝑥, 𝑦) 称为 𝑢(𝑥, 𝑦) 的共轭调和函数． 证明 因 𝑓(𝑧) 解析，故无穷次可导，从而其实部 𝑢(𝑥, 𝑦) 和虚部 𝑣(𝑥, 𝑦) 也无穷次可偏导．再由 Cauchy-Riemann 方程， 𝚫𝑢 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 − 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 0； 𝚫𝑣 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 0． 问题 对区域 𝐷 内的调和函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，是否存在其共轭调和函数 𝑣(𝑥, 𝑦)？
共轭调和函数的存在性 定理对单连通区域D内的调和函数u(x,y),其共轭调和函数v(x,y) 存在，即存在在区域D内解析的函数f(z),使得u(x,y)=Ref(z)· 证明考虑一阶微分式-uydx+uxdy,因u(x,y)在单连通区域D内调 和，从而-4ydx+uxdy在D内积分与路径无关，从而可定义 (x,y) vx)=∫-山ydx+udy, (xo.Yo) 其中(xoyo)为D内一固定点.此时v(x,y)可微且dv=-uvdx+ uxdy,即y=ux,x=-y,Cauchy-Riemann方程成立，从而 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析
共轭调和函数的存在性 定理 对单连通区域 𝐷 内的调和函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，其共轭调和函数 𝑣(𝑥, 𝑦) 存在，即存在在区域 𝐷 内解析的函数 𝑓(𝑧)，使得 𝑢 𝑥, 𝑦 = Re 𝑓(𝑧)． 证明 考虑一阶微分式 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦，因 𝑢(𝑥, 𝑦) 在单连通区域 𝐷 内调 和，从而 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 在 𝐷 内积分与路径无关，从而可定义 𝑣 𝑥, 𝑦 = න 𝑥0,𝑦0 𝑥,𝑦 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 ， 其中 𝑥0, 𝑦0 为 𝐷 内一固定点．此时 𝑣 𝑥, 𝑦 可微且 d𝑣 = −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦，即 𝑣𝑦 = 𝑢𝑥，𝑣𝑥 = −𝑢𝑦，Cauchy-Riemann 方程成立，从而 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 在 𝐷 内解析．
例题 例求调和函数u(x,y)=x3-3xy2的满足v(0,0)=1的共轭调和函数 v(x,y)以及解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y). 解选取自(0,0)经(x,0)到(x,y)的折线段为积分路径，得 (xy) x》=了-%，dr++1=-4yx,0ix+4x0西+1 (0,0) =302-9炒+1=33y-y+1. 此时f(z)=(x3-3xy2)+i(3x2y-y3+1)=z3+i. 注在f(z)解析的前提下，可以令x=z,y=0进行化简
例题 例 求调和函数 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 的满足 𝑣 0,0 = 1 的共轭调和函数 𝑣 𝑥, 𝑦 以及解析函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)． 解 选取自 0,0 经 𝑥, 0 到 𝑥, 𝑦 的折线段为积分路径，得 𝑣 𝑥, 𝑦 = න 0,0 𝑥,𝑦 −𝑢𝑦d𝑥 + 𝑢𝑥d𝑦 + 1 = න 0 𝑥 −𝑢𝑦(𝑥, 0)d𝑥 + න 0 𝑦 𝑢𝑥(𝑥, 𝑦)d𝑦 + 1 = න 0 𝑦 3(𝑥 2 − 𝑦 2 )d𝑦 + 1 = 3𝑥 2𝑦 − 𝑦 3 + 1． 此时 𝑓 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2 + 𝑖 3𝑥 2𝑦 − 𝑦 3 + 1 = 𝑧 3 + 𝑖． 注 在 𝑓 𝑧 解析的前提下，可以令 𝑥 = 𝑧，𝑦 = 0 进行化简．
02 PART 调和函数的性质
调和函数的性质 02 PART
平均值性质 定理若函数f在w的r-邻域B,(w)内解析，则对任何ε<r,有 f0w0-元fw+e)0. 2π 证明在Be(w)的边界上使用Cauchy积分公式，得 z-W=E 代入参数方程，得 2元 2π fw)= 1「 9. 0
平均值性质 定理 若函数 𝑓 在 𝑤 的 𝑟-邻域 𝐵𝑟 𝑤 内解析，则对任何 ε < 𝑟，有 𝑓 𝑤 = 1 2𝜋 න 0 2𝜋 𝑓 𝑤 + 𝜀𝑒 𝑖𝜃 d𝜃 ． 证明 在 𝐵𝜀 𝑤 的边界上使用 Cauchy 积分公式，得 𝑓 𝑤 = 1 2𝜋𝑖 න 𝑧−𝑤 =𝜖 𝑓 𝑧 𝑧 − 𝑤 d𝑧 ． 代入参数方程，得 𝑓 𝑤 = 1 2𝜋𝑖 න 0 2𝜋 𝑓 𝑤 + 𝜀𝑒 𝑖𝜃 𝜀𝑒 𝑖𝜃 𝑖𝜀𝑒 𝑖𝜃d𝜃 = 1 2𝜋 න 0 2𝜋 𝑓 𝑤 + 𝜀𝑒 𝑖𝜃 d𝜃 ．
平均值性质 定理若函数u在x,y)的r-邻域内调和，则对任何ε<r,有 1 、2π u(x,y)= u(x +gcos0,y+ssin0)de 证明因r-邻域为单连通域，故存在其上的解析函数f(z),使得 u(x,y)=Ref(z).在解析函数的平均值性质 =云o 两边同取实部即得结论，这里w=x+y
平均值性质 定理 若函数 𝑢 在 (𝑥, 𝑦) 的 𝑟-邻域内调和，则对任何 ε < 𝑟，有 𝑢 𝑥, 𝑦 = 1 2𝜋 න 0 2𝜋 𝑢 𝑥 + 𝜀 cos𝜃 , 𝑦 + 𝜀 sin 𝜃 d𝜃 ． 证明 因 𝑟-邻域为单连通域，故存在其上的解析函数 𝑓(𝑧)，使得 𝑢 𝑥, 𝑦 = Re 𝑓(𝑧)．在解析函数的平均值性质 𝑓 𝑤 = 1 2𝜋 න 0 2𝜋 𝑓 𝑤 + 𝜀𝑒 𝑖𝜃 d𝜃 两边同取实部即得结论，这里 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦．
极值原理 定理若非常值函数u在有界区域D内调和并连续到边界，则u的最大 值和最小值只能在D的边界取到 证明思想反证法.设函数u在D的内点(x,y)取到最大值，则由平均 值性质 1 ,2 u(x,y)= u(x+s cos0,y+ssin0)de, 最大值等于圆周上取值的平均值，从而圆周上的函数值也都是最大值， 即u在(x,y)的r-邻域内的所有点都取到最大值！于是u取到最大值 的所有点构成的集合既是开集，又是闭集，从而由D的连通性，该集合 只能是D本身，即u为常值函数，矛盾！
极值原理 定理 若非常值函数 𝑢 在有界区域 𝐷 内调和并连续到边界，则 𝑢 的最大 值和最小值只能在 𝐷 的边界取到． 证明思想 反证法．设函数 𝑢 在 𝐷 的内点 (𝑥, 𝑦) 取到最大值，则由平均 值性质 𝑢 𝑥, 𝑦 = 1 2𝜋 න 0 2𝜋 𝑢 𝑥 + 𝜀 cos𝜃 , 𝑦 + 𝜀 sin 𝜃 d𝜃 ， 最大值等于圆周上取值的平均值，从而圆周上的函数值也都是最大值， 即 𝑢 在 (𝑥, 𝑦) 的 𝑟-邻域内的所有点都取到最大值！于是 𝑢 取到最大值 的所有点构成的集合既是开集，又是闭集，从而由 𝐷 的连通性，该集合 只能是 𝐷 本身，即 𝑢 为常值函数，矛盾！
