目录》 01 级数及其应用 CONTENTS 02 奇点与留数
目 录 CONTENTS 01 级数及其应用 02 奇点与留数
01 PART 级数及其应用
级数及其应用 01 PART
例题 例1考虑Fibonacci数列ao=a1=1,an+2=an+1+an· (1)定义f(z)=∑%=0anz”,证明(1-z-z2)f(z)=1. (2)求Fibonacci数列的通项公式. 解(1)根据f(z)的定义 f(z)=a0+a1z+a2z2+…+anzn+… zf(Z)= a0z+a1z2+…+an+1zn+… 22f(z)= a0z2+…+an+2zn+… 根据递推公式，有(1-z-z2)f(z)=a0=1. (2)由（得f()=1-22,记1-z-z2的零点为z和2，则
例题 例1 考虑 Fibonacci 数列 𝑎0 = 𝑎1 = 1， 𝑎𝑛+2 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 ． (1) 定义 𝑓 𝑧 = σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧 𝑛，证明 1 − 𝑧 − 𝑧 2 𝑓 𝑧 = 1． (2) 求 Fibonacci 数列的通项公式． 解 (1) 根据 𝑓 𝑧 的定义 𝑓 𝑧 = 𝑎0 + 𝑎1𝑧 + 𝑎2𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑧 𝑛 + ⋯ 𝑧𝑓 𝑧 = 𝑎0𝑧 + 𝑎1𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛+1𝑧 𝑛 + ⋯ 𝑧 2𝑓 𝑧 = 𝑎0𝑧 2 + ⋯ + 𝑎𝑛+2𝑧 𝑛 + ⋯ 根据递推公式，有 1 − 𝑧 − 𝑧 2 𝑓 𝑧 = 𝑎0 = 1． (2) 由 (1) 得 𝑓 𝑧 = 1 1−𝑧−𝑧 2 ，记 1 − 𝑧 − 𝑧 2 的零点为 𝑧1 和 𝑧2，则
例题 C11 21 f(z)= C1C2= .十 Z-z Z2-Z 1之+ Z1 221-Z 00 00 n+1 n+1 1 +C2 n=0 n=0 于是根据幂级数的唯一性，有 n+1 )+c(因 1 m+1 an Ci 为求通项公式，只需计算C1,C2,z1和z2即可.易得 2s、 1±5 2—,C12二千
例题 𝑓 𝑧 = 𝐶1 𝑧1 − 𝑧 + 𝐶2 𝑧2 − 𝑧 = 𝐶1 𝑧1 1 1 − 𝑧 𝑧1 + 𝐶2 𝑧2 1 1 − 𝑧 𝑧2 = 𝑛=0 ∞ 𝐶1 𝑧1 𝑧 𝑧1 𝑛 + 𝑛=0 ∞ 𝐶2 𝑧2 𝑧 𝑧2 𝑛 = 𝑛=0 ∞ 𝐶1 1 𝑧1 𝑛+1 + 𝐶2 1 𝑧2 𝑛+1 𝑧 𝑛 . 于是根据幂级数的唯一性，有 𝑎𝑛 = 𝐶1 1 𝑧1 𝑛+1 + 𝐶2 1 𝑧2 𝑛+1 . 为求通项公式，只需计算 𝐶1，𝐶2，𝑧1 和 𝑧2 即可．易得 𝑧1|2 = −1 ± 5 2 ，𝐶1|2 = ∓ 1 5
例题 从而 11千V5 Z112 2 于是通项公式为 n+1 n+1 an 注本题的做法对一般的线性递推数列(an+2=pan+1+qan)都有效， 此时幂级数f(z)=∑m=0anzn称为数列{an}的母函数
例题 从而 1 𝑧1|2 = 1 ∓ 5 2 ， 于是通项公式为 𝑎𝑛 = 1 5 1 + 5 2 𝑛+1 − 1 5 1 − 5 2 𝑛+1 ． 注 本题的做法对一般的线性递推数列（𝑎𝑛+2 = 𝑝𝑎𝑛+1 + 𝑞𝑎𝑛）都有效， 此时幂级数 𝑓 𝑧 = σ𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛𝑧 𝑛 称为数列 𝑎𝑛 的母函数．
02 PART 孤立奇点
孤立奇点 02 PART
奇点、留数和级数计算的要点 分析奇点，只需要判定奇点处Laurent级数的最低负幂次项 计算留数，只需要确定奇点处Laurent级数-1次项 计算级数，要根据需要确定较多的项 计算级数，应特别注意公式适用的条件
奇点、留数和级数计算的要点 • 分析奇点，只需要判定奇点处 Laurent 级数的最低负幂次项 • 计算留数，只需要确定奇点处 Laurent 级数 -1 次项 • 计算级数，要根据需要确定较多的项 • 计算级数，应特别注意公式适用的条件
例题 例1考虑函数f(z)=,乙 1-cosz (1)确定0点的奇点类型. (2)计算Res(f(z),0) (3)计算f(z)在0点的去心邻域内的Laurent级数（至少写出3个非 零项)· 解因需要研究0点的相关信息，从而需考虑f(z)在0点的去心邻域内 的Laurent级数，为此将分母改写为 1-=1-1-+名）-0-+高）
例题 例1 考虑函数 𝑓 𝑧 = 𝑧 1−cos𝑧 ． (1) 确定 0 点的奇点类型． (2) 计算 Res(𝑓 𝑧 , 0) ． (3) 计算 𝑓 𝑧 在 0 点的去心邻域内的 Laurent 级数（至少写出 3 个非 零项）． 解 因需要研究 0 点的相关信息，从而需考虑 𝑓 𝑧 在 0 点的去心邻域内 的 Laurent 级数，为此将分母改写为 1 − cos 𝑧 = 1 − 1 − 𝑧 2 2 + 𝑧 4 4! − ⋯ = 𝑧 2 2 1 − 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 − ⋯
例题 (1)此时 Z 2 f() a2 24 Z 1- 2+360-… 函数g(z)在0点解析且不为零，从而0为一级极点. 注g(z)≠0的条件十分重要 (2)为求Res(f(z),0),需进一步将g(z)展开，并求出常数项，为此 伤斋可+后斋后高了 2 g(z)= 常数项为2，从而Res(f(z),0)=2
例题 (1) 此时 𝑓 𝑧 = 𝑧 𝑧 2 2 1 − 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 − ⋯ = 𝑔(𝑧) 𝑧 ， 函数 𝑔(𝑧) 在 0 点解析且不为零，从而 0 为一级极点． 注 𝑔 𝑧 ≠ 0 的条件十分重要． (2) 为求 Res(𝑓 𝑧 , 0)，需进一步将 𝑔(𝑧) 展开，并求出常数项，为此 𝑔 𝑧 = 2 1 − 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 − ⋯ = 2 1 + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360− ⋯ + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360− ⋯ 2 + ⋯ ， 常数项为 2，从而 Res 𝑓 𝑧 , 0 = 2 ．
例题 注使用等比级数公式需要条件，此时在0点，蓝色字体级数在0点值为 零，从而存在0点的小邻域，使得函数值的模小于1· (3)为求f(z)0点去心邻域内的Laurent级数，进一步确定后续项 回=2+假+斋）+信+高ヅ+小+金+（高+别） 从而 f(a) 引++(+)小+最++)+ = 注收敛级数的乘法公式与多项式类似，应小心不要遗漏项
例题 注 使用等比级数公式需要条件，此时在 0 点，蓝色字体级数在 0 点值为 零，从而存在 0 点的小邻域，使得函数值的模小于 1． (3) 为求 𝑓(𝑧) 0 点去心邻域内的 Laurent 级数，进一步确定后续项 𝑔 𝑧 = 2 1 + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 − ⋯ + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 − ⋯ 2 + ⋯ = 2 1 + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 + 𝑧 4 144 ⋯ ， 从而 𝑓 𝑧 = 2 𝑧 1 + 𝑧 2 12 + 𝑧 4 360 + 𝑧 4 144 ⋯ = 2 𝑧 + 𝑧 12 + 1 360 + 1 144 𝑧 3 + ⋯ 注 收敛级数的乘法公式与多项式类似，应小心不要遗漏项．
