目录》 01 复积分 CONTENTS 02 积分与路径的关系
目 录 01 复积分 CONTENTS 02 积分与路径的关系
01 PART 复积分
复积分 01 PART
复积分的定义 定义设C是区域D内一条有向简单曲线，起点为A,终点为B,f(z) 为定义在D内的函数.在C上依次插入分点 A=Z0,Z1,…,2n-1,Zn=B 将该曲线C分割成n个小弧段.在每个小弧段上任取一点记为？k(k= 1,2,,n),并记4zk=2Zk-Zk-1,1=max4zkl,则 ∫at=fKwa, 称为函数f(z)沿曲线C的复积分
复积分的定义 定义 设 𝐶 是区域 𝐷 内一条有向简单曲线，起点为 𝐴，终点为 𝐵，𝑓(𝑧) 为定义在 𝐷 内的函数．在 𝐶 上依次插入分点 𝐴 = 𝑧0，𝑧1，⋯，𝑧𝑛−1，𝑧𝑛 = 𝐵 将该曲线 𝐶 分割成 𝑛 个小弧段．在每个小弧段上任取一点记为 𝜁𝑘 (𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛)，并记 𝛥𝑧𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1，λ = max 𝑘 |𝛥𝑧𝑘|，则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = lim 𝜆→0 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝜁𝑘 Δ𝑧𝑘 称为函数 𝑓 𝑧 沿曲线 𝐶 的复积分．
复积分的基本性质 定理(1)Jc(f(z)+g(z)dz=Jcf(z)dz+cg(z)dz; (2)ccf(z)dz=ccf(z)dz,其中c为复常数； (3)若曲线C=CUC2,则∫cf(2)dz=c,f(2)dz+6,f(z)dz; (4)记C-为C的反向曲线，则c-f(z)dz=-cf(②)dz; (5)cf(z)dz≤elf()lldzl,这里ldzl=√dx2+dy2为弧长微元
复积分的基本性质 定理 (1) �� �� = ��d𝑓 𝑧 + 𝑔 𝑧 �� + ��d𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧)d𝑧； �� (2( �� �� = ��d𝑐𝑓(𝑧) 𝑓(𝑧)d𝑧，其中 𝑐 为复常数； (3) 若曲线 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2，则 �� 𝑓(𝑧)d𝑧 = ��1 𝑓(𝑧)d𝑧 + ��2 𝑓(𝑧)d𝑧； (4) 记 𝐶 − 为 𝐶 的反向曲线，则 (��)�� − ��d𝑧 = − �� 𝑓(𝑧)d𝑧； �� (5( �� ≥ ��d𝑓 𝑧 𝑓 𝑧 |d𝑧|，这里 d𝑧 = d𝑥 2 + d𝑦 2 为弧长微元．
复积分与实积分的关系 注1复积分可以转化为第二类曲线积分.若记f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 则 [a=-+s+u. 注2复积分可以转化为定积分.若曲线C存在光滑的参数表示z=z(t) (a≤t≤b),则 ∫Feoa:=faoou
复积分与实积分的关系 注1 复积分可以转化为第二类曲线积分．若记 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) ， 则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = න 𝐶 𝑢d𝑥 − 𝑣d𝑦 + 𝑖 න 𝐶 𝑣d𝑥 + 𝑢d𝑦 ． 注2 复积分可以转化为定积分．若曲线 𝐶 存在光滑的参数表示 𝑧 = 𝑧 𝑡 (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏)，则 න 𝐶 𝑓 𝑧 d𝑧 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑧 𝑡 𝑧′ 𝑡 d𝑡 ．
例题 例计算复积分∫c dz (z-zo)n 其中C为正向圆周z-z0l=r,n为正整数 解选取C的参数方程z=Z0+re0(0≤0≤2m),从而当n=1时 2π dz ireie re d=2ni; 当n≥2时， 2π 2π dz =0
例题 例 计算复积分 �� d𝑧 𝑧−𝑧0 𝑛 ，其中 𝐶 为正向圆周 𝑧 − 𝑧0 = 𝑟，𝑛 为正整数． 解 选取 𝐶 的参数方程 𝑧 = 𝑧0 + 𝑟𝑒 𝑖𝜃 (0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋)，从而当 𝑛 = 1 时 න 𝐶 d𝑧 𝑧 − 𝑧0 = න 0 2𝜋 𝑖𝑟𝑒 𝑖𝜃 𝑟𝑒 𝑖𝜃 d𝜃 = 2𝜋𝑖； 当 𝑛 ≥ 2 时， න 𝐶 d𝑧 𝑧 − 𝑧0 𝑛 = න 0 2𝜋 𝑖𝑟𝑒 𝑖𝜃 𝑟𝑒 𝑖𝑛𝜃 d𝜃 = 𝑖 න 0 2𝜋 𝑒 𝑖(1−𝑛)𝜃d𝜃 = อ 𝑒 𝑖 1−𝑛 𝜃 1 − 𝑛 0 2𝜋 = 0．
02 PART 积分与路径的关系
积分与路径的关系 02 PART
积分与路径 定义设f(z)为定义在区域D内的函数，若对D内任意给定两点z1和 z2,以及D内任意两条起点为Z1,终点为z2的简单曲线C1和C2,都 有 ro-row 则称积分∫f(z)dz在D内与路径无关. 定理积分cf(z)dz在D内与路径无关，当且仅当f(z)沿D内任何 闭曲线的积分为零
积分与路径 定义 设 𝑓(𝑧) 为定义在区域 𝐷 内的函数，若对 𝐷 内任意给定两点 𝑧1 和 𝑧2，以及 𝐷 内任意两条起点为 𝑧1，终点为 𝑧2 的简单曲线 𝐶1 和 𝐶2，都 有 න 𝐶1 𝑓(𝑧)d𝑧 = න 𝐶2 𝑓(𝑧)d𝑧 ， �� 则称积分 𝑓(𝑧)d𝑧 在 𝐷 内与路径无关． 定理 积分 �� 𝑓(𝑧)d𝑧 在 𝐷 内与路径无关，当且仅当 𝑓(𝑧) 沿 𝐷 内任何 闭曲线的积分为零．
积分与原函数 定理积分∫f(z)dz在区域D内与路径无关，当且仅当存在定义在区 域D内的解析函数F(z),满足F'(z)=f(z).此时，若曲线C以z1和 z2为起点和终点，则 f(z)dz F(z2)-F(z). C 注该定理可看作复积分的Newton-Leibniz公式，定理中的F(z)也称 为f(z)在区域D内的原函数
积分与原函数 定理 积分 �� 𝑓(𝑧)d𝑧 在区域 𝐷 内与路径无关，当且仅当存在定义在区 域 𝐷 内的解析函数 𝐹 𝑧 ，满足 𝐹′ 𝑧 = 𝑓(𝑧)．此时，若曲线 𝐶 以 𝑧1 和 𝑧2 为起点和终点，则 න 𝐶 𝑓(𝑧)d𝑧 = 𝐹 𝑧2 − 𝐹(𝑧1)． 注 该定理可看作复积分的 Newton-Leibniz 公式，定理中的 𝐹 𝑧 也称 为 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内的原函数．
定理的证明 证明先证明充分性.此时不妨设C为光滑曲线，z=z(t)(a≤t≤b) 为其参数方程，此时21=z(α)，22=z(b)且 b b ∫faz=jfeo)zodt=J是r(ae)at=F氏(eo)-Peao) Q =F(z2)-F(z1). 再证明必要性.取定D内一点z,因积分cf(z)dz在D内与路径无 关，故可定义F(z)为f(z)沿由z0到z的复积分，记为 F(z)=f(w)dw. 20
定理的证明 证明 先证明充分性．此时不妨设 𝐶 为光滑曲线，𝑧 = 𝑧(𝑡) (𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏) 为其参数方程，此时 𝑧1 = 𝑧(𝑎)，𝑧2 = 𝑧(𝑏) 且 න 𝐶 𝑓(𝑧)d𝑧 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑧 𝑡 𝑧′(𝑡)d𝑡 = න 𝑎 𝑏 d d𝑡 𝐹 𝑧 𝑡 d𝑡 = 𝐹 𝑧 𝑏 − 𝐹(𝑧 𝑎 ) = 𝐹 𝑧2 − 𝐹(𝑧1)． 再证明必要性．取定 𝐷 内一点 𝑧0，因积分 �� 𝑓(𝑧)d𝑧 在 𝐷 内与路径无 关，故可定义 𝐹 𝑧 为 𝑓(𝑧) 沿由 𝑧0 到 𝑧 的复积分，记为 𝐹 𝑧 = න 𝑧0 𝑧 𝑓(𝑤)d𝑤 ．
