01 Taylor级数 目录》 02 初等函数的Taylor级数 CONTENTS 03 解析函数的零点
01 Taylor级数 目 录 CONTENTS 02 初等函数的Taylor级数 03 解析函数的零点
01 PART Taylor级数
Taylor级数 01 PART
Taylor级数定理 定理设f(z)在区域D内解析，zo为D内一点，则只要圆盘Iz-zol<R}c D,就有 00 fo)=∑ an (z-20)n n=0 在该圆盘内成立，其中an= m,称为fa在n点的Taylor系数，该 n! 幂级数称f(z)在zo点的Taylor级数
Taylor 级数定理 定理 设 𝑓(𝑧) 在区域 𝐷 内解析，𝑧0 为 𝐷 内一点，则只要圆盘 { 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅} ⊂ 𝐷，就有 𝑓(𝑧) = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 在该圆盘内成立，其中 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ，称为 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的 Taylor 系数， 该 幂级数称 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 点的 Taylor 级数．
证明 对圆盘z-zol<R)内任何一点z,取正数r使得|z-20l< r<R,记C为圆周I?-zol=r,由Cauchy积分公式得 注意到<1，从而 00 1 1 1 2-01- (2-z)m (-zo)n+ n=0 将上式右端代入积分得
证明 对圆盘 {|𝑧 − 𝑧0| < 𝑅} 内任何一点 𝑧，取正数 𝑟 使得 |𝑧 − 𝑧0| < 𝑟 < 𝑅，记 𝐶 为圆周 |𝜁 − 𝑧0| = 𝑟，由 Cauchy 积分公式得， 𝑓 𝑧 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧 d𝜁 , 注意到 𝑧−𝑧0 𝜁−𝑧0 < 1 ，从而 1 𝜁 − 𝑧 = 1 𝜁 − 𝑧0 ∙ 1 1 − 𝑧 − 𝑧0 𝜁 − 𝑧0 = 𝑛=0 ∞ 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1． 将上式右端代入积分得
证明（续） 00 1 f(z)= f(3)(z-2o) 2ni (3-z0)n+1 d, n=0 交换积分与求和的次序，得到 00 n=0 器小以 f(3)(z-20)n 记 an= f() 《-2o)n+dk, 由导数公式，得an= f(n(zo) . 证毕 n!
证明（续） 𝑓 𝑧 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 , 交换积分与求和的次序，得到 𝑓 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 = 𝑛=0 ∞ 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁 𝑧 − 𝑧0 𝑛 , 记 𝑎𝑛 = 1 2𝜋i න 𝐶 𝑓 𝜁 𝜁 − 𝑧0 𝑛+1 d𝜁, 由导数公式，得 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ． 证毕．
Taylor级数的唯-一性 定理若f(z)在圆盘|z-z|<R内可表示为 0 fa)=∑ an (z-20)n n=0 则f(z)在圆盘|z-zol<R内解析，且an= f(n(zo) n! 证明f(z)的解析性可根据幂级数的逐项求导得到，对f(z)的幂级数表达式两 边求n阶导数，并在z0点取值即可得到a,= n!
Taylor 级数的唯一性 定理 若 𝑓(z) 在圆盘 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 内可表示为 𝑓(𝑧) = 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑛 𝑧 − 𝑧0 𝑛 则 𝑓(z) 在圆盘 𝑧 − 𝑧0 < 𝑅 内解析，且 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ． 证明 𝑓(z) 的解析性可根据幂级数的逐项求导得到，对 𝑓(z) 的幂级数表达式两 边求 n 阶导数，并在 𝑧0 点取值即可得到 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑧0 𝑛! ．
02 PART 初等函数的Taylor级数
初等函数的Taylor级数 02 PART
直接利用公式求Taylor级数 例1几个初等函数在0点的Taylor级数 00 zn e2=m=1+z+ 2+ ”十… 6 0 coSz >D2 22 (2m)！ 2m=1- 2+24 n=0 00 (-1)n sin= n=0 由于上述函数都在全平面解析，从而上述级数的收敛半径都是无穷大·
直接利用公式求 Taylor 级数 例1 几个初等函数在 0 点的 Taylor 级数 𝑒 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 𝑧 𝑛 𝑛! = 1 + 𝑧 + 𝑧 2 2 + 𝑧 3 6 + ⋯ cos𝑧 = 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 (2𝑛)! 𝑧 2𝑛 = 1 − 𝑧 2 2 + 𝑧 4 24 − ⋯ sin 𝑧 = 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 (2𝑛 + 1)! 𝑧 2𝑛+1 = 𝑧 − 𝑧 3 6 + 𝑧 5 120 − ⋯ 由于上述函数都在全平面解析，从而上述级数的收敛半径都是无穷大．
利用已有结果求Taylor级数（续） 例2求函数，-m在0点的Ty1or级数的前4项，并指出其收敛半径. 解(1)在等比级数公式中以sinz代z,得 00 1 1-sinz (sin z)T=1+sin z sin2z+sin3 z+... n=0 再将sinz的Taylor级数代入，得 1 1-sinz 1+-+）+(-若++-+广+ 5z3 =1+z+z2+ 6 1 1-sin z 函数在圆盘☑<三内解析（且半径不能再增大了），故收敛半径为三
利用已有结果求Taylor级数（续） 例2 求函数 1 1−sin 𝑧 在 0 点的 Taylor 级数的前 4 项，并指出其收敛半径． 解 (1) 在等比级数公式中以 sin 𝑧 代 𝑧，得 1 1 − sin 𝑧 = 𝑛=0 ∞ (sin 𝑧) 𝑛 = 1 + sin 𝑧 + sin2 𝑧 + sin3 𝑧 + ⋯ 再将 sin 𝑧 的 Taylor 级数代入，得 1 1 − sin 𝑧 = 1 + 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ + 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ 2 + 𝑧 − 𝑧 3 6 + ⋯ 3 + ⋯ = 1 + 𝑧 + 𝑧 2 + 5𝑧3 6 + ⋯ 1 1−sin 𝑧 函数在圆盘 𝑧 < 𝜋 2 内解析（且半径不能再增大了），故收敛半径为 𝜋 2 ．
03 PART 解析函数的零点
解析函数的零点 03 PART