目录》 01 复变函数的两种形式 CONTENTS 02 计算解析函数的级数
目 录 CONTENTS 01 复变函数的两种形式 02 计算解析函数的级数
01 PART 复变函数的两种形式
复变函数的两种形式 01 PART
两种形式互化的要点 对函数f(z),令z=x+iy,可将f(z)化为关于x,y的函数 对函数u(x,y),令 2+z z-2 x= 2，y 2i 可将u(x,y)化为关于z的函数 。 对解析函数，有特别的技巧
两种形式互化的要点 • 对函数 𝑓(𝑧)，令 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，可将 𝑓(𝑧) 化为关于 𝑥，𝑦 的函数 • 对函数 𝑢(𝑥, 𝑦)，令 𝑥 = 𝑧 + 𝑧ҧ 2 ，𝑦 = 𝑧 − 𝑧ҧ 2𝑖 可将 𝑢(𝑥, 𝑦) 化为关于 𝑧 的函数 • 对解析函数，有特别的技巧
例题 刷1设f回)=u(x,)+ix,)解析，以x=变，y=受代入将f形 式地看作关于z,z的函数.证明f关于z的形式导数为零，即 of ax,of ay 1of i of =0. 0x0z'0yaz 20x20y 证明直接计算有 1of iof 1 2+2=2+i)+(4+i,)=(u-y)+山，+)， 由f(z)解析，故根据Cauchy-Riemann方程，上式为零. 注由本题可知，若f(z)解析，则f(z)形式上将不依赖于z,这为解析 函数的形式转化提供了一条简洁的途径·
例题 例1 设 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 解析，以 𝑥 = 𝑧+𝑧ҧ 2 ，𝑦 = 𝑧−𝑧ҧ 2𝑖 代入将 𝑓 形 式地看作关于 𝑧, 𝑧ҧ的函数．证明 𝑓 关于 𝑧ҧ的形式导数为零，即 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧ҧ + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧ҧ = 1 2 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝑖 2 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 0． 证明 直接计算有 1 2 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝑖 2 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 1 2 𝑢𝑥 + 𝑖𝑣𝑥 + 𝑖 2 𝑢𝑦 + 𝑖𝑣𝑦 = 1 2 𝑢𝑥 − 𝑣𝑦 + 𝑖 2 𝑢𝑦 + 𝑣𝑥 ， 由 𝑓 𝑧 解析，故根据 Cauchy-Riemann 方程，上式为零． 注 由本题可知，若 𝑓 𝑧 解析，则 𝑓 𝑧 形式上将不依赖于 𝑧ҧ，这为解析 函数的形式转化提供了一条简洁的途径．
例题 例2求调和函数u(x,y)=excosy-ey cosx的满足v(0,0)=0的共轭 调和函数v(x,y)以及解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)· 解由于u(x,y)在全平面调和，全平面是单连通的，故存在整函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y).此时根据Cauchy--Riemann方程， f'(z)=ux(x,y)+ivx(x,y)=ux(x,y)-iuy(x,y) =(ex cosy +ey sinx)+i(exsiny +ey cosx). 由于f'(z)解析，从而f'(z)形式上将不依赖于z,故可令z=z(即x= z,y=0),得
例题 例2 求调和函数 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos𝑦 − 𝑒 𝑦 cos𝑥 的满足 𝑣 0,0 = 0 的共轭 调和函数 𝑣 𝑥, 𝑦 以及解析函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)． 解 由于 𝑢 𝑥, 𝑦 在全平面调和，全平面是单连通的，故存在整函数 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)．此时根据 Cauchy-Riemann 方程， 𝑓′ 𝑧 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑥, 𝑦 − 𝑖𝑢𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos𝑦 + 𝑒 𝑦 sin 𝑥 + 𝑖(𝑒 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 cos𝑥)． 由于 𝑓′ 𝑧 解析，从而 𝑓′ 𝑧 形式上将不依赖于 𝑧ҧ，故可令 𝑧ҧ= 𝑧（即 𝑥 = 𝑧，𝑦 = 0），得
例题 f'(z)=ux(z,0)-iuy(z,0)=ez+sinz+icosz=ez+ie-iz. 于是 fe-ro=rwaw=e2-e0i=e-ea, 而f(0)=u(0,0)+iv(0,0)=0,从而f(z)=e2-e-iz,其共轭调和函 v(x,y)=Im f(z)=exsiny+ey sinx
例题 𝑓′ 𝑧 = 𝑢𝑥 𝑧, 0 − 𝑖𝑢𝑦 𝑧, 0 = 𝑒 𝑧 + sin 𝑧 + 𝑖 cos𝑧 = 𝑒 𝑧 + 𝑖𝑒 −𝑖𝑧． 于是 𝑓 𝑧 − 𝑓 0 = න 0 𝑧 𝑓′ 𝑤 d𝑤 = (𝑒 ቚ 𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧) 𝑤=0 𝑤=𝑧 = 𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 ， 而 𝑓 0 = 𝑢 0,0 + 𝑖𝑣 0,0 = 0，从而 𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧，其共轭调和函 数 𝑣 𝑥, 𝑦 = Im 𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 sin 𝑥．
02 PART 初等函数
初等函数 02 PART
例题 例3公式lnz1z2=lnz1+lnz2对复变量是否正确？ 解一般不正确.例如取z1=z2=-1,右边=21n(-1)=2ln-1+ iarg(-1)=2mi,而左边=ln1=0,不相同. 注涉及主值的公式，应特别小心.主值经过四侧运算后，可能不再是 主值
例题 例3 公式 ln 𝑧1𝑧2 = ln 𝑧1 + ln 𝑧2 对复变量是否正确？ 解 一般不正确．例如取 𝑧1 = 𝑧2 = −1 ，右边= 2 ln(−1) = 2(ln −1 + 𝑖 arg −1 ) = 2𝜋𝑖，而左边= ln 1 = 0，不相同． 注 涉及主值的公式，应特别小心．主值经过四则运算后，可能不再是 主值．
例题 例4公式(z)B=zB对复变量z是否正确？ 解一般不正确.例如取α=2，B=;,左边=(z2)是一个多值函数 （有两个不同的值)，右边=z1则是单值的，不相同. 注实变量函数中的公式，如果到了复变量情形，涉及到多值函数，应 特别小心
例题 例4 公式 𝑧 𝛼 𝛽 = 𝑧 𝛼𝛽 对复变量 𝑧 是否正确？ 解 一般不正确．例如取 𝛼 = 2，β = 1 2 ，左边= 𝑧 2 1 2 是一个多值函数 （有两个不同的值），右边= 𝑧 1 则是单值的，不相同． 注 实变量函数中的公式，如果到了复变量情形，涉及到多值函数，应 特别小心．