01 数列的极限 目录》 02 函数的极限 CONTENTS 03 连续函数
01 数列的极限 目 录 CONTENTS 02 函数的极限 03 连续函数
01 PART 数列的极限
数列的极限 01 PART
数列的极限 实数列情形对实数列{xn},若存在实常数xo,使得对任何ε>0，存在 N>0,使当n>N时，有|xn-xol0，存在 N>0,使当n>N时，有|zn-zol<e,则称数列{zn}收敛或存在 极限，zo称为数列{zn}的极限，记为lim Zn=z0·
数列的极限 实数列情形 对实数列 {𝑥𝑛}，若存在实常数 𝑥0，使得对任何 ε > 0，存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 |𝑥𝑛 − 𝑥0| 0，存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 |𝑧𝑛 − 𝑧0| < 𝜀，则称数列 {𝑧𝑛} 收敛或存在 极限，𝑧0 称为数列 {𝑧𝑛} 的极限，记为 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = 𝑧0．
数列极限的性质 定理设{zn}和{wn}为复数列，且极限1imzn和lim wn都存在，则 11→00 1m→00 (1)数列{zn}和{wn}均为有界的； (2)lim(zn±wn)=lim Zn±lim Wn,lim ZnWn=lim Zn·lim wni n-→0o n→0o n→00 n-→00 n-→00 (3)对-切复常数c,有lim cZn=c lim Zn; n-→00 n→00 (4)若1imzn≠0，则存在N>0,使当n>N时，有zn≠0，进一步， n-→00 n→oZn
数列极限的性质 定理 设 {𝑧𝑛} 和 {𝑤𝑛} 为复数列，且极限 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 和 lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛 都存在，则 (1) 数列 {𝑧𝑛} 和 {𝑤𝑛} 均为有界的； (2) lim 𝑛→∞ (𝑧𝑛 ± 𝑤𝑛) = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ± lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛 ， lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛𝑤𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ⋅ lim 𝑛→∞ 𝑤𝑛； (3) 对一切复常数 𝑐 ，有 lim 𝑛→∞ 𝑐𝑧𝑛 = 𝑐 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛； (4) 若 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 ≠ 0，则存在 𝑁 > 0，使当 𝑛 > 𝑁 时，有 𝑧𝑛 ≠ 0，进一步， lim 𝑛→∞ 1 𝑧𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 −1 ．
复数列极限的判定与计算 定理对复数列{zk},记xk=Rezk,yk=Imzk,Iim2n存在，当目仅 当lim xn和lim yn都存在，且lim Zn=lim xn+ilim yn· 证明只需注意到 max{lxn-xol,lyn-yol}s Izn -zol s Ixn -xol lyn -yol 即可
复数列极限的判定与计算 定理 对复数列 {𝑧𝑘}，记 𝑥𝑘 = Re 𝑧𝑘，𝑦𝑘 = Im 𝑧𝑘， lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 存在，当且仅 当 lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 和 lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛 都存在，且 lim 𝑛→∞ 𝑧𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑥𝑛 + 𝑖 lim 𝑛→∞ 𝑦𝑛． 证明 只需注意到 max 𝑥𝑛 − 𝑥0 , 𝑦𝑛 − 𝑦0 ≤ 𝑧𝑛 − 𝑧0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝑥0 + 𝑦𝑛 − 𝑦0 ， 即可．
02 PART 函数的极限
函数的极限 02 PART
复变函数 定义定义在复平面的子集D,取值为复数的单值映射称为复变函数，D 称为函数的定义域.在本课程中，定义域均为平面上的区域 与实变量函数的关系对复变函数f(z),记z=x+iy,u=Ref(z), v=Imf(z),则u与v均由(x,y)唯一确定，故均可看作依赖于x,y 的二元函数
复变函数 定义 定义在复平面的子集 𝐷，取值为复数的单值映射称为复变函数， 𝐷 称为函数的定义域．在本课程中，定义域均为平面上的区域． 与实变量函数的关系 对复变函数 𝑓(𝑧)，记 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦， 𝑢 = Re 𝑓(𝑧) ， 𝑣 = Im 𝑓(𝑧)，则 𝑢 与 𝑣 均由 (𝑥, 𝑦) 唯一确定，故均可看作依赖于 𝑥, 𝑦 的二元函数．
函数的极限 实变量函数情形对定义在区间I上的函数f(x),xo为区间I或其边界 上的一点，若存在常数A,使得对任何ε>0，存在6>0，使对区间1 上一切满足00，存在6>0，使对区域 D上一切满足0<Iz-z0l<6的z,都有If(z)-A<ε，则称函数 f(z)在点zo存在极限，记为limf(z)=A. Z→Z0
函数的极限 实变量函数情形 对定义在区间 𝐼 上的函数 𝑓(𝑥)，𝑥0 为区间 𝐼 或其边界 上的一点，若存在常数 𝐴，使得对任何 𝜀 > 0，存在 𝛿 > 0，使对区间 𝐼 上一切满足 0 0，存在 𝛿 > 0，使对区域 𝐷 上一切满足 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 的 𝑧，都有 |𝑓(𝑧) − 𝐴| < 𝜀，则称函数 𝑓(𝑧) 在点 𝑧0 存在极限，记为 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝐴．
函数极限的性质 定理对函数f(z)和g(z),若极限limf(z)和limg(z)都存在，则 z→Z0 2→Z0 (1)函数f(z)和g(z)在zo的某个邻域内有界； (2)1im(f(z)±g(z)=1imf(z)±1img(z), Z→Z Z-→Z0 Z→Z0 lim f(z)g(z)=lim f(z).lim g(z) Z→Z0 2→Z0 Z→Z0 (3)对一切复常数c,有lim cf(z)=cl1imf(z); Z→Z0 (4)若limf(z)≠0，则f(z)在zo的某个邻域内恒不为零，进一步 Z-→Z0 m高=(g
函数极限的性质 定理 对函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧)，若极限 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 和 lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧) 都存在，则 (1) 函数 𝑓(𝑧) 和 𝑔(𝑧) 在 𝑧0 的某个邻域内有界； (2) lim 𝑧→𝑧0 (𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧)) = lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) ± lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧)， lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧)𝑔(𝑧) = lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) ⋅ lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧)； (3) 对一切复常数 𝑐 ，有 lim 𝑧→𝑧0 𝑐𝑓(𝑧) = 𝑐 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧)； (4) 若 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) ≠ 0，则 𝑓(𝑧) 在 𝑧0 的某个邻域内恒不为零，进一步， lim 𝑧→𝑧0 1 𝑓(𝑧) = lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) −1．
函数极限的判定与计算 定理对函数f(z),记z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则 limf(z)存在，当且仅当limu(x,y)和limv(x,y)都存在，且 →Z0 Z→Za lim f(z)=lim u(x,y)+i lim v(x,y). Z→Z0 →Z0 2→Z0 证明与数列极限的判定定理类似：
函数极限的判定与计算 定理 对函数 𝑓(𝑧)，记 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 ，则 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) 存在，当且仅当 lim 𝑧→𝑧0 𝑢(𝑥, 𝑦) 和 lim 𝑧→𝑧0 𝑣(𝑥, 𝑦) 都存在，且 lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧) = lim 𝑧→𝑧0 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 lim 𝑧→𝑧0 𝑣(𝑥, 𝑦)． 证明 与数列极限的判定定理类似．