目录》 01 复数的定义 CONTENTS 02 复数的四则运算
目 录 CONTENTS 01 复数的定义 02 复数的四则运算
01 PART 复数的定义
复数的定义 01 PART
为什么要写引进复数？ 计数的需要，引进自然数 为了解决自然数不能小数减大数的问题，引进负数 为了解决整数不能整除情形下的除法定义问题，引进有理数 为了解决有理数的开方问题，以及某些几何量不是有理数，引进实数 为了解决负数不能开平方的问题，引进复数
为什么要引进复数？ • 计数的需要，引进自然数 • 为了解决自然数不能小数减大数的问题，引进负数 • 为了解决整数不能整除情形下的除法定义问题，引进有理数 • 为了解决有理数的开方问题，以及某些几何量不是有理数，引进实数 • 为了解决负数不能开平方的问题，引进复数
复数的定义 定义形如z=x+iy的数称为复数，这里x,y∈R.x称为z的实部，记 为Rez,y称为z的虚部，记为lImz,i称为虚数单位 注1全体复数的集合记为C.当y=0时，将x+0与实数x等同，在这 一意义下，实数集R可以看作复数集C的子集. 注2当x=0时，将0+iy简记为y,若此时y≠0，则y称为纯虚数. 定义两个复数x1+iy1和x2+iy2称为相等的，当且仅当x1=x2且y1= y2 ·
复数的定义 定义 形如 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 的数称为复数，这里 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐑． 𝑥 称为 z 的实部，记 为 Re z，y 称为 z 的虚部，记为 Im z， 𝑖 称为虚数单位． 注1 全体复数的集合记为 𝐂．当 y = 0 时，将 𝑥 + 𝑖0 与实数 𝑥 等同，在这 一意义下，实数集 𝐑 可以看作复数集 𝐂 的子集． 注2 当 𝑥 = 0 时，将 0 + 𝑖𝑦 简记为 𝑖𝑦，若此时 𝑦 ≠ 0，则 𝑖𝑦 称为纯虚数． 定义 两个复数 𝑥1 + 𝑖𝑦1 和 𝑥2+𝑖𝑦2 称为相等的，当且仅当 𝑥1= 𝑥2 且 𝑦1 = 𝑦2．
02 PART 复数的四则运算
复数的四则运算 02 PART
加法和乘法 定义对两个复数z1=x1+y1和z2=x2+iy2,定义加法和乘法如下 Z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2): Z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y). 注复数的加法和乘法，形式上等同于将复数看作关于的多项式，进行加 法与乘法，并将2替换为一1·虚数单位i的引入，解决了负数在实数范 围内不能开平方的问题
加法和乘法 定义 对两个复数 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 和 𝑧2 = 𝑥2+𝑖𝑦2，定义加法和乘法如下 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2 ； 𝑧1𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 ． 注 复数的加法和乘法，形式上等同于将复数看作关于 𝑖 的多项式，进行加 法与乘法，并将 𝑖 2 替换为 −1 ．虚数单位 𝑖 的引入，解决了负数在实数范 围内不能开平方的问题．
数域 定理复数关于加法和乘法满足以下性质 (1)加法交换律：Z1+z2=22+21; (2)加法结合律：（亿1+22）+23=21+(22+23)； (3)有零元素：对任何z,0+z=z； (4)有负元素：对任何z,存在-z,使得z+(-z)=0; (5)乘法交换律：2122=22z1氵 (6)乘法结合律：(21z2)z3=z1(z223);
数域 定理 复数关于加法和乘法满足以下性质 (1) 加法交换律：𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1； (2) 加法结合律：(𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)； (3) 有零元素：对任何 𝑧， 0 + 𝑧 = 𝑧； (4) 有负元素：对任何 𝑧，存在 −𝑧，使得 𝑧 + −𝑧 = 0； (5) 乘法交换律：𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1； (6) 乘法结合律：(𝑧1𝑧2)𝑧3 = 𝑧1(𝑧2𝑧3)；
数域（续） (7有单位元：对任何z,1z=z; (8)有逆元：对任何z≠0，存在z1,使得zz-1=1; (9)分配律：Z1(Z2+23)=21z2+z123· 证明只证明(4)与(8)，其他直接验证易得.事实上对z=x+y,可取 -z=(-x)+i(-y),z-1= 一y 注z~1的选取，采用了分母实数化的想法
数域（续） (7) 有单位元：对任何 𝑧， 1𝑧 = 𝑧； (8) 有逆元：对任何 𝑧 ≠ 0，存在 𝑧 −1，使得 𝑧𝑧 −1 = 1； (9) 分配律：𝑧1(𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1𝑧2 + 𝑧1𝑧3． 证明 只证明 (4) 与 (8)，其他直接验证易得．事实上对 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，可取 −𝑧 = −𝑥 + 𝑖 −𝑦 ，𝑧 −1 = 𝑥 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑖 −𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 ． 注 𝑧 −1 的选取，采用了分母实数化的想法．
数域（续） 根据这一定理，可定义复数的减法和除法如下 z1-z2=21+(-22), =1221, Z2 其中在除法的定义式中，要求除数不为零 注对四则运算都封闭的数集，称为数域.特别，有理数集、实数集和复数 集都是数域，但整数集不是数域，因为整数对除法运算不是封闭的
数域（续） 根据这一定理，可定义复数的减法和除法如下 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧1 + −𝑧2 ， 𝑧1 𝑧2 = 𝑧1𝑧2 −1 , 其中在除法的定义式中，要求除数不为零． 注 对四则运算都封闭的数集，称为数域．特别，有理数集、实数集和复数 集都是数域，但整数集不是数域，因为整数对除法运算不是封闭的．
共轭复数 定义对复数z=x+iy,定义z=x-y,称为z的共轭复数. 定理共轭运算满足以下性质： (1)Z1+z2=五+五2，z1z五=Z五； (2)z1=z-1; (3)艺=z; ④Rez=g,mz=受； (5)z∈R,当且仅当z=z
共轭复数 定义 对复数 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，定义 𝑧ҧ= 𝑥 − 𝑖𝑦，称为 𝑧 的共轭复数． 定理 共轭运算满足以下性质： (1) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧ഥ1 + 𝑧ഥ2，𝑧1𝑧2 = 𝑧ഥ1𝑧ഥ2； (2) 𝑧ҧ −1 = 𝑧 −1； (3) 𝑧ҧҧ= 𝑧； (4) Re 𝑧 = 𝑧+𝑧ҧ 2 ，Im 𝑧 = 𝑧−𝑧ҧ 2𝑖 ； (5) 𝑧 ∈ 𝐑，当且仅当 𝑧 = 𝑧ҧ．
