《微分几何》课程教学资源（学习笔记）微分几何H课堂笔记.pdf_大学文库

微分几何H 笔记原生生物耪刘世平老师微分几何聈课堂笔记目录一曲线的几何 2 §耱耮耱欧氏空间耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲 §耱耮耲微分形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳 §耱耮耳平面曲线耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴 §耱耮耴空间曲线耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耶二曲面的几何 7 §耲耮耱第一基本形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耸 §耲耮耲第二基本形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耹 §耲耮耳平均曲率、局部外蕴几何耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耱 §耲耮耴特殊曲面耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耲三标架与曲面论基本定理 14 §耳耮耱活动标架与运动方程耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耴 §耳耮耲曲面结构方程耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耵 §耳耮耳正交活动标架耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耶 §耳耮耴曲面上的微分形式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耸四曲面的内蕴几何 20 §耴耮耱测地线与协变导数耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耰 §耴耮耲平行移动耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耱 §耴耮耳局部聇聡聵聳聳耭聂聯聮聮聥聴公式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耳 §耴耮耴整体聇聡聵聳聳耭聂聯聮聮聥聴公式耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耵五几个重要定理 26 耱

一曲线的几何耲一曲线的几何 §1.1 欧氏空间最早认识三维欧氏空间E3 耨点、线、面、欧氏几何公理耩向量：空间中有长度、方向的量耪欧氏空间齐次性耨不同原点无区别耩、各向同性耨不同方向无区别耩，因此向量不区分起点，由此可定义向量运算耱耮加法耨交换、结合、零元、逆元耩耲耮数乘耨结合、分配加法、单位耩耪抽象出R上的向量空间结构耳耮内积hv1, v2i耨余弦定理、交换、双线性耩耴耮外积v1 ∧ v2聛平行四边形有向面积聝耨反交换、双线性耩引入坐标：任取欧氏空间原点O，三个线性无关向量v1, v2, v3，则{O耻 v1, v2, v3}为E3以O为原点的一个一般标架耪由此欧氏空间E3与三维数组空间R 3对应为保证内积结构，需要hvi , vj i 耽 δ j i ，此时即称为正交标架，所有运算可通过坐标表示耪混合积耨v1, v2, v3耩耽 hv1, v2 ∧ v3i，代表张成平行六面体的有向体积 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 3 x 2 3 x 3 3 运算性质：耱耮 v1 ∧ 耨v2 ∧ v3耩耽 hv1, v3i v2 − hv1, v2i v3 耲耮 hv1 ∧ v2, v3 ∧ v4i 耽 hv1, v3i hv2, v4i − hv1, v4i hv2, v3i 耳耮耨v1, v2, v3耩耽耨v2, v3, v1耩耽耨v3, v1, v2耩耪坐标坏处：不同点不同方向标架未必一致坐标变换：若   e 0 1 e 0 2 e 0 3   耽 T   e1 e2 e3   聛T为正交阵，行列式耱代表两标架定向相同，否则相反聝，则{O耻 e1, e2, e3}下的坐标与{O0 耻 e 0 1 , e0 2 , e0 3}下的坐标耨y 1 , y2 , y3 耩关系为耨x 1 , x2 , x3 耩耽耨c 1 , c2 , c3 耩耫耨y 1 , y2 , y3 耩T。耪保持欧氏空间结构耨度量耩的变换称合同变换定理 1.1. T 为E3的合同变换，则存在T ∈ O3耨R耩与P ∈ E3使得∀X ∈ E3 , T 耨X耩耽 XT 耫 P。证明. 由平移不妨设保原点，通过保距离由余弦定理可推出保内积，由坐标定义可推出线性，从而得结果。耪欧氏空间中正交标架全体与合同变换群一一对应对向量值函数~a耨t耩耽耨a1耨t耩, a2耨t耩, a3耨t耩耩，有微分性质：耱耮 d dt 耨λ~a耩耽 dλ dt ~a 耫 λ d~a dt

曲线的几何 2.是(a,0=(照，0+(a,) 3.击aAi=A6+aA盟 4.品(a,6,可=(6，司+(a,票，司+(a,6) 定理1.2.光滑向量值函数)长度不支一(@()，()》=0。证明.(@)，a)》恒定←→是〈@)，()》=0，由此得结论 ◇ 练习.设()为光滑非零向量值函数，则 1.方向不变→()A()=0: 2.若a()与某因定方向垂直，那么(@()，()，a”()=0:反之，若(t),a(),a"()=0且处处因A )≠0，则)与某固定方向垂直。证明.假设a为每问里提到的特殊方向： 1.左推右：由于aA()=0,对求导即有aA()=0,从而()方向与()相同，即得证右推左：设()=f)a(),其中a为单位向量，则计算知a()Aa()=f()a()Aa),由条件f≠0，因此a()Aa=0，由a()模长不变可知(a(),a()=0,由a()为单位向量可知必须a()=0,从而得证。 2.第一句：通过对(@)，a求导可知(@()，a)=0,同理("（④），a)=0,于是三者共面，原命题得证。第二句：设a)=ft)a(),其中a为单位向量，计算知(@(t),(),a"()=f(t)(a(),a(t),a"(): 由条件f)≠0得(a(),a(),a"()=0,有(a(),a()Aa"(》=0,结合条件知a”()Aa()=0, 由此计算可得(a()Aa()A(a(Aa)y=(a(Aa)A(a(Aa"()=0,利用1知a(Aa)方向恒定，因此()与某固定方向垂直。 ◇ S1.2微分形式定义1.3.切向量切向量，包含一个向量与起点，而向量场是给每一个点赋一个切向量，的函数性质：设u1m)=(1,0,0p,2(p)=(0,1,0p,()=(0,0,1)p,则任何向量场每点都可以表示为u1,2,组合。定义14.3上的一形式、光滑一形式 E3一形式o是定义在E3所有切向量上的函数，使得对任意a,b∈R,p∈E3,U,心∈TE(仰以p为起点的切向量)，有d(au+bw)=a(u)+b(w)。给定一形式与向量场V,有实函数(W):E3→R,(V))=(Vp,若对任何光滑向量场V都有(V)是光滑画数，则称为光滑一形式。运算：给定一形式0，，∫：E3→R,则(o+中)(u)=()+(),()(e)=fp)() 关于函数的线性性质：V,W为切向量场，人，g为空间函数，则(fV+gW)=fo(V)+9(W)。给定空间光滑函数∫，可定义一形式d,满足df(,)=品lofp+t,),由于其即为(grad∫，p》,因此良定。对投影函数x:E3→R,计算发现有dr（,)=

一曲线的几何耳耲耮 d dt ~a,~b 耽 d~a dt , ~b 耫 ~a, d~b dt 耳耮 d dt ~a ∧~b 耽 d~a dt ∧~b 耫 ~a ∧ d~b dt 耴耮 d dt ~a,~b, ~c 耽 d~a dt , ~b, ~c 耫 ~a, d~b dt , ~c 耫 ~a,~b, d~c dt 定理 1.2. 光滑向量值函数~a耨t耩长度不变⇐⇒ h~a耨t耩, ~a0 耨t耩i 耽耰。证明. h~a耨t耩, ~a耨t耩i恒定⇐⇒ d dt h~a耨t耩, ~a0 耨t耩i 耽耰，由此得结论。练习. 设~a耨t耩为光滑非零向量值函数，则 1. 方向不变⇐⇒ ~a0 耨t耩 ∧~a耨t耩耽耰； 2. 若~a耨t耩与某固定方向垂直，那么耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽耰；反之，若耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽耰且处处~a0 耨t耩 ∧ ~a耨t耩 6耽耰，则~a耨t耩与某固定方向垂直。证明. 假设α为每问里提到的特殊方向：耱耮左推右：由于α ∧~a耨t耩耽耰，对t求导即有α ∧~a0 耨t耩耽耰，从而~a0 耨t耩方向与~a耨t耩相同，即得证。右推左：设~a耨t耩耽 f耨t耩α耨t耩，其中α为单位向量，则计算知~a耨t耩 ∧ ~a0 耨t耩耽 f 2 耨t耩α耨t耩 ∧ α 0 耨t耩，由条件f耨t耩 6耽耰，因此α耨t耩 ∧ α 0 耨t耩耽耰，由α耨t耩模长不变可知hα耨t耩, α0 耨t耩i 耽耰，由α耨t耩为单位向量可知必须α 0 耨t耩耽耰，从而得证。耲耮第一句：通过对h~a耨t耩, αi求导可知h~a0 耨t耩, αi 耽耰，同理h~a00耨t耩, αi 耽耰，于是三者共面，原命题得证。第二句：设~a耨t耩耽 f耨t耩α耨t耩，其中α为单位向量，计算知耨~a耨t耩, ~a0 耨t耩, ~a00耨t耩耩耽 f 3 耨t耩耨α耨t耩, α0 耨t耩, α00耨t耩耩，由条件f耨t耩 6耽耰得耨α耨t耩, α0 耨t耩, α00耨t耩耩耽耰，有hα 0 耨t耩, α耨t耩 ∧ α 00耨t耩i 耽耰，结合条件知α 00耨t耩 ∧ α耨t耩耽耰，由此计算可得耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩∧耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩0 耽耨α耨t耩∧α 0 耨t耩耩∧耨α耨t耩∧α 00耨t耩耩耽耰，利用耱知α耨t耩∧α 0 耨t耩方向恒定，因此α耨t耩与某固定方向垂直。 §1.2 微分形式定义 1.3. 切向量切向量vp包含一个向量v与起点p，而向量场是给每一个点p赋一个切向量vp的函数。性质：设u1耨p耩耽耨耱, 耰, 耰耩p, u2耨p耩耽耨耰, 耱, 耰耩p, u3耨p耩耽耨耰, 耰, 耱耩p，则任何向量场每点都可以表示为u1, u2, u3组合。定义 1.4. E3上的一形式、光滑一形式 E3一形式φ是定义在E3所有切向量上的函数，使得对任意a, b ∈ R, p ∈ E3 , v, w ∈ TpE3 (即以p为起点的切向量)，有φ耨av 耫 bw耩耽 aφ耨v耩耫 bφ耨w耩。给定一形式与向量场V ，有实函数φ耨V 耩耺 E3 → R, φ耨V 耩耨p耩耽 φ耨V 耨p耩耩，若对任何光滑向量场V 都有φ耨V 耩是光滑函数，则称φ为光滑一形式。运算：给定一形式φ, ψ，f 耺 E3 → R，则耨φ 耫 ψ耩耨v耩耽 φ耨v耩耫 ψ耨v耩，耨fφ耩耨vp耩耽 f耨p耩φ耨vp耩。关于函数的线性性质：V, W为切向量场，f, g为空间函数，则φ耨fV 耫 gW耩耽 fφ耨V 耩耫 gφ耨W耩。给定空间光滑函数f，可定义一形式聤f，满足聤f耨vp耩耽 d dt |t→0f耨p 耫 tvp耩，由于其即为h聧聲聡聤 f, vpi，因此良定。对投影函数x i 耺 E3 → R，计算发现有聤x i 耨vp耩耽 v i p

曲线的几何平面曲线的曲率对曲线的正则点t,当t <2<t充分靠近t时，r)，r),r)各不相同。假设三点不共线，令三点趋近t,设C为三点构成的圆的圆心。考察函数t→r()-C(1,2,,r(①)-C(61,2,t)》在t2.3处取值相同，求导，利用中值定理可知31∈ =0 结合以上两式，若t12.3→to时C(t1,2,ta)→C,则满足(to)y(to)-C)=0,且(”(to,y(to)-C)+ o'(to).'(to)=0。 *当(to),”(to)不共线时，C被唯一确定。弧长参数(s)下：由于((s),(s)》=1,求导可知(”(s),Y(s)》=0,因此Y(s0),"(s0)共线当且仅当"(s0)= 0.其不为0时，方程组化为o760)-9=0 ("(s).(s)-C=-1 利用方程组与"(s),Y(s》=0可推知"(s0)=a((s0)-C),a<0,同时点积y(s0)-C可知ah(s0)-CP= -1,从而h(s0)-C1=而定理1.9.设r(s)是孤长参数正则曲线，则： 1.r”()≠0时，$123充分接近时r(1,r(2),r()不共线，且在123→s时，三点所确定的圆收敛到过r(s)的圆，半径为可，国心在与r(s)处切线垂直的直钱上。 2.r"(s)=0时，即使r(s1,(2,r(g)不共线，其确定的圆也不可能收敛。证明.以下不妨设s1<2<sg: 1.若任何邻域内有r(s1),r(2),r(s3)共线，由柯西中值定理可知存在1<a<2<b<$3使得r(a)与r(⑥)同向，又由弧长参数可知其相等，从而再由中值定理知存在a<c<b使得r”()=0,再令s,s趋近s可得矛盾。设C为满足r'(s,r(s)-C)=0,r”(s,r(s)-C)=-1的一确定的圆心，下证9123构成的圆的圆心C(s1,2,)收敛到C,从而再由收敛到的圆过r(8)可知半径即为可° 类似上方取中值，由中值定理，记C(s1,2,)=Co,其满足(r(a,r(@)-Co)=((),r()-Co〉= 0,("(c,r(c)-Co)=-1。记C-Co=D,利用极限可知((a),D)=(⑥，D)=("(c),D)→0. 由连续性即可知D→0，因此得证。 2.类似1，若C收敛到C,仍然存在(r(s,r(s)-C)=0.(”(s),r(s)-C)=-1,但此时r"(s)=0,第二个式子不可能成立，从而矛盾。 *这样确定的圆称为密切圆 ◇ *设r(s)为平面弧长参数正则曲线，其s处曲率定义为”(s: 记r(s)=t(s),可发现其为单位切向量，设单位向量(s)与(s)垂直，且{t(s),n(s)}与，}定向相同，则称其为s处的单位正法向量，由(s)唯一确定。 {r(s;t(8),n(s)}是一个以r(s)为原点的正交标架，称它为沿曲线r的Frenet标架。 (s)=r”(s)=k(s)n(s),而由对t(s,n(s)》求导可算出n(s)=-(s)t(s),这里的(s)是标量函数，称为带符号曲率，与参数化有关（如记(s)=r1-),则(）=一(l-s: 定建10，对正对由成0=e00.有s=产品

一曲线的几何耵平面曲线的曲率对曲线的正则点t，当t1 < t2 < t3充分靠近t时，r耨t1耩, r耨t2耩, r耨t3耩各不相同。假设三点不共线，令三点趋近t，设C为三点构成的圆的圆心。考察函数t → hr耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩, r耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩i在t1,2,3处取值相同，求导，利用中值定理可知∃ξ1 ∈ 耨t1, t2耩, ξ2 ∈ 耨t2, t3耩,hγ 0 耨t耩, γ耨t耩 − C耨t1, t2, t3耩i |t=ξ1,2 耽耰。再次求导并利用中值定理，可知∃η ∈ 耨ξ1, ξ2耩，使得hγ 00耨η耩, γ耨η耩 − C耨t1, t2, t3耩i 耫 hγ 0 耨η耩, γ0 耨η耩i 耽耰结合以上两式，若t1,2,3 → t0时C耨t1, t2, t3耩 → C，则满足hγ 0 耨t0耩, γ耨t0耩 − Ci 耽耰，且hγ 00耨t0耩, γ耨t0耩 − Ci 耫 hγ 0 耨t0耩, γ0 耨t0耩i 耽耰。耪当γ 0 耨t0耩, γ00耨t0耩不共线时，C被唯一确定。弧长参数γ耨s耩下：由于hγ 0 耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耱，求导可知hγ 00耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耰，因此γ 0 耨s0耩, γ00耨s0耩共线当且仅当γ 00耨s0耩耽耰。其不为耰时，方程组化为    hγ 0 耨s0耩, γ耨s0耩 − Ci 耽耰 hγ 00耨s0耩, γ耨s0耩 − Ci 耽 −耱。利用方程组与hγ 00耨s耩, γ0 耨s耩i 耽耰可推知γ 00耨s0耩耽 a耨γ耨s0耩−C耩, a < 耰，同时点积γ耨s0耩−C可知a|γ耨s0耩−C| 2 耽 −耱，，从而|γ耨s0耩 − C| 耽 1 γ00(s0) 定理 1.9. 设r耨s耩是弧长参数正则曲线，则： 1. r 00耨s耩 6耽耰时，s1,2,3充分接近s时r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线，且在s1,2,3 → s时，三点所确定的圆收敛到过r耨s耩的圆，半径为 1 |r 00(s)|，圆心在与r耨s耩处切线垂直的直线上。 2. r 00耨s耩耽耰时，即使r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线，其确定的圆也不可能收敛。证明. 以下不妨设s1 < s2 < s3：耱耮若任何邻域内有r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩共线，由柯西中值定理可知存在s1 < a < s2 < b < s3使得r 0 耨a耩与r 0 耨b耩同向，又由弧长参数可知其相等，从而再由中值定理知存在a < c < b使得r 00耨c耩耽耰，再令s1, s3趋近s可得矛盾。设C为满足hr 0 耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽耰,hr 00耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽 −耱的唯一确定的圆心，下证s1,2,3构成的圆的圆心C耨s1, s2, s3耩收敛到C，从而再由收敛到的圆过r耨s耩可知半径即为 1 |r 00(s)|。类似上方取中值，由中值定理，记C耨s1, s2, s3耩耽 C0，其满足hr 0 耨a耩, r耨a耩 − C0i 耽 hr 0 耨b耩, r耨b耩 − C0i 耽耰,hr 00耨c耩, r耨c耩 − C0i 耽 −耱。记C − C0 耽 D，利用极限可知hr 0 耨a耩, Di 耽 hr 0 耨b耩, Di 耽 hr 00耨c耩, Di → 耰。由连续性即可知D → 耰，因此得证。耲耮类似耱，若C0收敛到C，仍然存在hr 0 耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽耰,hr 00耨s耩, r耨s耩 − Ci 耽 −耱，但此时r 00耨s耩耽耰，第二个式子不可能成立，从而矛盾。耪这样确定的圆称为密切圆耪设r耨s耩为平面弧长参数正则曲线，其s处曲率定义为|r 00耨s耩|。记r 0 耨s耩耽 t耨s耩，可发现其为单位切向量，设单位向量n耨s耩与t耨s耩垂直，且{t耨s耩, n耨s耩}与{i, j}定向相同，则称其为s处的单位正法向量，由t耨s耩唯一确定。 {r耨s耩耻t耨s耩, n耨s耩}是一个以r耨s耩为原点的正交标架，称它为沿曲线r的Frenet标架。 t 0 耨s耩耽 r 00耨s耩耽 κ耨s耩n耨s耩，而由对ht耨s耩, n耨s耩i求导可算出n 0 耨s耩耽 −κ耨s耩t耨s耩，这里的κ耨s耩是标量函数，称为带符号曲率，与参数化有关耨如记r耖耨s耩耽 r耨l − s耩，则κ耖耨s耩耽 −κ耨l − s耩耩。定理 1.10. 对正则曲线r耨t耩耽耨x耨t耩, y耨t耩耩，有κ 耽 x 0y 00 − x 00y 0 耨x 02 耫 y 02耩 3/2

曲线的几何 6 证明.弧长参数下，其为r(s),r”(s)张成的有向面积，即x(sy”(s)-x”(s)y(s),再化为一般参数。 *常曲率曲线只能为直线（曲率为0）或圆（曲率非0）证明.前者由定义易得，后者通过求导可说明(s)=r(s)+(s)为常向量，从而得证。定理1.11.设K:(a,)→R为连续函数，则存在孤长参数曲线r(s)使得s处曲率为(s),且若存在两条这样的曲钱r,元，则有刚体变换A使得F=Aor。 r'(s)=t(s】证明.存在性也即寻找r(8)满足 =m=p-】 s)T ,利用微分方程中的Picard存 0 在唯一性定理，由任给的满足(s0训=1的初值可以解出t,进而解出r。对于维生，的初位相差平移矩库，的切位相差旋转知阵，而关转矩阵与（日。）品均可交热。从而可以提出，得唯一性。 S1.4空间曲线幸正则曲线、曲率("(s川=（化，），n定义见下)、密切圆的定义与平面曲线相同定理1.12.设r:(a,)→E为弧长参数的正则曲线，且r"(s)处处非零，则： 1.$1,2,3充分靠近时，T(s1),r(s2),r(s3)不共线： 2.123→s时，此三点确定的平面收敛到过r(s0),由(s0),"(s0)张成的平面。证明.与平面情况类似可知1成立，记P(1,2,)为三点唯一确定的平面，假设其单位法向量(s1,2,g), p为其上一点，考虑函数s→r(s)-卫，a(s1,s2,s3)》,利用两次中值定理可取出((51,2，a)=("(,a)= 0。由于方向不定，可不妨假设{r(),"(a成右手系，有收敛时 r'(s),d）=("(s=0 (r(8)Ar"(s),a)=r(s)r"(s) 空间中，法向量不唯一，当”≠0时，令n=号为主法向量，（句）=（入n()为副法向量，则有空间中的Frenet标架{r(s:t(s),n(s),b(s)},其中t-n平面称为密切平面，n-b平面称为法平面，tb平面称为从切平面。类似定义曲率，对m,求导，定义r=().称为挠率，有品计算：利用r=-a,与定文可以化出r=s"s,进一步化为一般参数可知，=二， r"2 ∧r" *计算可知，一点处K,T不依赖参数化的选取挠率的几何意义：W(s训=r(儿，为空间曲线离开密切平面的速度。定理113.空间正则曲线r=r()曲率处处大于0，则其在某个平面上的充要条件是r=0

一曲线的几何耶证明. 弧长参数下，其为r 0 耨s耩, r00耨s耩张成的有向面积，即x 0 耨s耩y 00耨s耩 − x 00耨s耩y 0 耨s耩，再化为一般参数。耪常曲率曲线只能为直线耨曲率为耰耩或圆耨曲率非耰耩证明. 前者由定义易得，后者通过求导可说明p耨s耩耽 r耨s耩耫 1 a n耨s耩为常向量，从而得证。定理 1.11. 设κ 耺耨a, b耩 → R为连续函数，则存在弧长参数曲线r耨s耩使得s处曲率为κ耨s耩，且若存在两条这样的曲线r, r耖，则有刚体变换A使得r耖耽 A ◦ r。证明. 存在性也即寻找r耨s耩满足    r 0 耨s耩耽 t耨s耩 t 0 耨s耩耽 κ耨s耩n耨s耩耽 κ耨s耩   耰 −耱耱耰   t耨s耩 T ，利用微分方程中的聐聩聣聡聲聤存在唯一性定理，由任给的满足|t耨s0耩| 耽耱的初值可以解出t，进而解出r。对于唯一性，r的初值相差平移矩阵，t的初值相差旋转矩阵，而旋转矩阵与耰 −耱耱耰 ! 、聤聤s 均可交换，从而可以提出，得唯一性。 §1.4 空间曲线耪正则曲线、曲率耨|r 00耨s耩| 耽 ht 0 , ni，n定义见下耩、密切圆的定义与平面曲线相同定理 1.12. 设r 耺耨a, b耩 → E3为弧长参数的正则曲线，且r 00耨s耩处处非零，则： 1. s1,2,3充分靠近时，r耨s1耩, r耨s2耩, r耨s3耩不共线； 2. s1,2,3 → s时，此三点确定的平面收敛到过r耨s0耩，由r 0 耨s0耩, r00耨s0耩张成的平面。证明. 与平面情况类似可知耱成立，记P耨s1, s2, s3耩为三点唯一确定的平面，假设其单位法向量a耨s1, s2, s3耩， p为其上一点，考虑函数s → hr耨s耩 − p, a耨s1, s2, s3耩i，利用两次中值定理可取出hr 0 耨ξ1,2耩, ai 耽 hr 00耨η耩, ai 耽耰。由于a方向不定，可不妨假设{r 0 耨ξ1耩, r00耨η耩, a}成右手系，有收敛时    hr 0 耨s耩, ai 耽 hr 00耨s耩, ai 耽耰 hr 0 耨s耩 ∧ r 00耨s耩, ai 耽 |r 0 耨s耩 ∧ r 00耨s耩| 。耪空间中，法向量不唯一，当r 00耨s耩 6耽耰时，令n耨s耩耽 r 00(s) |r 00(s)|为主法向量，b耨s耩耽 t耨s耩 ∧ n耨s耩为副法向量，则有空间中的聆聲聥聮聥聴标架{r耨s耩耻t耨s耩, n耨s耩, b耨s耩}，其中t耭n平面称为密切平面，n耭b平面称为法平面，t耭b平面称为从切平面。类似定义曲率，对hn, bi求导，定义τ 耨s耩耽 hn 0 耨s耩, b耨s耩i，称为挠率，有聤聤s   t n b   耽   耰 κ 耰 −κ 耰 τ 耰 −τ 耰     t n b  。计算：利用τ 耽 − hn, bi与定义可以化出τ 耨s耩耽耨r 0 耨s耩, r00耨s耩, r000耨s耩耩 |r 00| 2 ，进一步化为一般参数可知τ 耽耨r 0 , r00, r000耩 |r 0 ∧ r 00| 2 ，而空间曲率可类似算得κ 耽 |r 0 ∧ r 00| |r 0 | 3 。耪计算可知，一点处κ, τ不依赖参数化的选取挠率的几何意义：|b 0 耨s耩| 耽 |τ 耨s耩|，为空间曲线离开密切平面的速度。定理 1.13. 空间正则曲线r 耽 r耨t耩曲率处处大于0，则其在某个平面上的充要条件是τ ≡ 耰

二曲面的几何证明.对左推右，设弧长参数化后有r(s)-r(so),)=0恒成立，求导即可知t(s),n(s)亦在此平面，组合可知r(s)((s,d)=0,从而得证。右推左时，由b(s)=0可知6(s)为常向量，求导可验证r(s)与恒垂直。 (s)符号的意义：离开密切平面的方向与b相同/相反 *反向参数化后，挠率不变计算得0处展开r(s)可得r(s)=r0)+(s-0)t(0)+(0+0)n(O)+Ozob(0)+o(s),从而可得Frenet标架下点的坐标。定理1.14.曲线的孤长、曲率、挠率在刚体运动下不变。证明.设刚体运动将变为T+x,直接进行计算可发现旋转矩阵T由于行列式为1被合并消去，x在求导中消去，从而不变。定理1.15.空间曲线基本定理设K,T:(a,b)→R连续，且>0，则存在孤长参数曲钱r:(a,)→E3以，r为曲率，挠率，若有两条不同，则可以通过刚体变换使之重合。证明。类似平面时的讨论，化为常微分方程控制。 ◇ 对s∈(a,)作为弧长参数的曲线，心(s)ds称为全曲率令r:0,!→E为正则曲线（闭区间光滑指能光滑延拓到某开区间上），且(O)与r()各阶导数相等，则称其为闭曲线。若其在0，)上为一一映射，则称简单闭曲线。练习。标索平面简单闭曲线的全曲率。对空间曲线，由定义(9)≥0，由此全曲率必然非负。 Fenchel,1929:任何空间简单闭曲线有k(s)ds≥2r,取等等价于曲线为平面简单凸闭曲线。 Fary,1949/Milnar,.1950:若曲线具非平凡扭结，则(s)ds≥4r。二曲面的几何 *研究怎样的曲面曲面可作以下映射：r:DCE2→E3,且满足每个分量函数光滑且ru=(器，器，)，。=（器，器，）线性无关即外积非零)，则称为正则曲面片。点r(u0,)处，考虑曲线r(,)与r(,)可得到两个切向量r.(,),(u0,0)。 *曲面上过(o,0)的所有光滑曲线在此处的切向量构成二维线性空间，即为r。,r张成的平面，定义为切平面。证明.定义光滑函数t→(u(),》,则曲面上的光滑曲线可写成t→r(u(),),不妨设u(0)=o,0= r(O),求导可知r(uo,o)处的切向量为是ru+器r。另一个推论：留，需，号不可能同时为0，于是由反函数定理：不妨设(uo,)处哥非零，则存在(o,o)邻域，其上(u,)→（，）有反函数（红，）→(u,),于是r(u,心)= (r,,2(x,)）a 法向量

二曲面的几何耷证明. 对左推右，设弧长参数化后有hr耨s耩 − r耨s0耩, ai 耽耰恒成立，求导即可知t耨s耩, n耨s耩亦在此平面，组合可知τ 耨s耩hb耨s耩, ai 耽耰，从而得证。右推左时，由b 0 耨s耩耽耰可知b耨s耩为常向量，求导可验证r耨s耩与b恒垂直。 τ 耨s耩符号的意义：离开密切平面的方向与b相同耯相反耪反向参数化后，挠率不变计算得耰处展开r耨s耩可得r耨s耩耽 r耨耰耩耫耨s − κ(0)2 s 3 6 耩t耨耰耩耫耨 κ(0)s 2 2 耫 κ 0 (0)s 3 6 耩n耨耰耩耫 κ(0)τ(0)s 3 6 b耨耰耩耫 o耨s 3 耩，从而可得聆聲聥聮聥聴标架下点的坐标。定理 1.14. 曲线的弧长、曲率、挠率在刚体运动下不变。证明. 设刚体运动将p变为pT 耫x，直接进行计算可发现旋转矩阵T由于行列式为耱被合并消去，x在求导中消去，从而不变。定理 1.15. 空间曲线基本定理设κ, τ 耺耨a, b耩 → R连续，且κ > 耰，则存在弧长参数曲线r 耺耨a, b耩 → E3以κ, τ为曲率，挠率，若有两条不同，则可以通过刚体变换使之重合。证明. 类似平面时的讨论，化为常微分方程控制。对s ∈ 耨a, b耩作为弧长参数的曲线， R b a κ耨s耩聤s称为全曲率。令r 耺聛耰, l聝 → E3为正则曲线耨闭区间光滑指能光滑延拓到某开区间上耩，且r耨耰耩与r耨l耩各阶导数相等，则称其为闭曲线。若其在聛耰, l耩上为一一映射，则称简单闭曲线。练习. 探索平面简单闭曲线的全曲率。对空间曲线，由定义κ耨s耩 ≥ 耰，由此全曲率必然非负。聆聥聮聣聨聥聬耬耱耹耲耹：任何空间简单闭曲线有 R l 0 κ耨s耩聤s ≥ 耲π，取等等价于曲线为平面简单凸闭曲线。聆聡聲聹耬耱耹耴耹耯聍聩聬聮聡聲耬耱耹耵耰：若曲线具非平凡扭结，则 R l 0 κ耨s耩聤s ≥ 耴π。二曲面的几何耪研究怎样的曲面？曲面可作以下映射：r 耺 D ⊂ E2 → E3，且满足每个分量函数光滑且ru 耽 ∂x ∂u , ∂y ∂u , ∂z ∂u , rv 耽 ∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v 线性无关耨即外积非零耩，则称为正则曲面片。一点r耨u0, v0耩处，考虑曲线r耨u, v0耩与r耨u0, v耩可得到两个切向量ru耨u0, v0耩, rv耨u0, v0耩。耪曲面上过r耨u0, v0耩的所有光滑曲线在此处的切向量构成二维线性空间，即为ru, rv张成的平面，定义为切平面。证明. 定义光滑函数t → 耨u耨t耩, v耨t耩耩，则曲面上的光滑曲线可写成t → r耨u耨t耩, v耨t耩耩，不妨设u耨耰耩耽 u0, v0 耽 v耨耰耩，求导可知r耨u0, v0耩处的切向量为du dt ru 耫 dv dt rv。另一个推论：∂(x,y) ∂(u,v) , ∂(y,z) ∂(u,v) , ∂(z,x) ∂(u,v)不可能同时为耰，于是由反函数定理：不妨设耨u0, v0耩处∂(x,y) ∂(u,v)非零，则存在耨u0, v0耩邻域，其上耨u, v耩 → 耨x, y耩有反函数耨x, y耩 → 耨u, v耩，于是r耨u, v耩耽耨x, y, z聾耨x, y耩耩。法向量

二曲面的几何耸耪ru ∧ rv定义为法向量，与切平面垂直，{r耻 ru, rv, ru ∧ rv}构成耨未必正交的耩标架对光滑参数变换耨耖u, v耖耩 → 耨u, v耩，记J 耽 ∂u ∂u¯ ∂v ∂u¯ ∂u ∂v¯ ∂v ∂v¯ ! ，则 ru rv ! 耽 J ru rv ! ，计算得ru ∧ rv 耽聤聥聴耨J耩ru ∧ rv，由此不同参数化下法向量可能反向。 §2.1 第一基本形式记E 耽 hru, rui, F 耽 hru, rvi, G 耽 hrv, rvi：耱耮曲面上曲线的长度记r 耽 r耨u, v耩, r耨t耩耽 r耨u耨t耩, v耨t耩耩曲线长度s耨a耩耽 R a 0 |r 0 耨t耩|聤t 而s 0 耨a耩耽 p hr 0耨t耩, r0耨t耩i，代入可发现根号内为Eu2 t 耫耲F utvt 耫 Gv2 t 耲耮切向量ν 耽 λru 耫 µrv, ω 耽 λr耖 u 耫耖µrv，则hν, ωi 耽 λ µ E F F G! λ耖 µ耖 ! 构成TpS × TpS → R的映射，其中TpS代表S在P处的切平面。耳耮计算可验证，在不同参数化下， E耖 F耖 F耖 G耖 ! 耽 J E F F G! J T。定义I 耽 E聤u ⊗ 聤u 耫 F聤u ⊗ 聤v 耫 F聤v ⊗ 聤u 耫 G聤v ⊗ 聤v，可发现其在坐标变换下保持不变，称为第一基本形式。耪它是一个由一形式聤u, 聤v张量积得到的二形式定义说明：对f 耺 S → R曲面上的光滑函数耨可看作对u, v光滑耩，可定义一形式聤f耨p耩耺 TpS → R, v → 聤f耨v耩耨p耩耺耽聤聤t t=0 f耨r耨t耩耩其中r耨t耩耽 r耨u耨t耩, v耨t耩耩满足r耨耰耩耽 p, r0 耨耰耩耽 v。其具有线性性，事实上只与p, v有关，与r耨t耩选取无关。于是，r耨u, v耩 → u的映射耨不妨记为u耩，有聤u耨ru耩耨p耩耽 d du u=u0 u耨r耨u, v0耩耩耽耱，聤u耨rv耩耽耰，同理聤v耨ru耩耽耰, 聤v耨rv耩耽耱。于是，对任何V 耽 λru 耫 µrv, W 耽 λr耖 u 耫耖µrv，即有I耨V, W耩耽 λ µ E F F G! λ耖 µ耖 ! 。耪第一基本形式在合同变换下不变面积：设r 耺 D → E3为正则曲面片，其面积定义为RR D |ru ∧ rv|聤u聤v 耪|ru ∧ rv| 2 耽 hru, rui hrv, rvi − hru, rvi 2 曲率：高斯曲率定义为K耨p耩耽 nu∧nv ru∧rv ，其中nu, nv代表ru ∧rv归一化后对u, v偏导，由于两者平行可作商。耪验证可知面积、曲率均不依赖参数选取，且在合同变换下不变例：计算耨u, v, f耨u, v耩耩的高斯曲率。 ru 耽耨耱, 耰, fu耩, rv 耽耨耰, 耱, fv耩 ⇒ ru ∧ rv 耽耨−fu, −fv, 耱耩 n 耽 p −fu f 2 u 耫 f 2 v 耫耱 , p −fv f 2 u 耫 f 2 v 耫耱 , 耱 p f 2 u 耫 f 2 v 耫耱 K耨p耩耽 fuufvv − f 2 uv 耨f 2 u 耫 f 2 v 耫耱耩2 参数变换

二曲面的几何由，r,不共线，对某点附近可参数化使得r(u,)=(u,t,f(u,》,下面不妨考虑(0,0)处高斯曲率：在(0,0)处切平面上取标准正交基e1,e2,记 h(u,)=(r(u,)-r(0,0),n(0,0》 a(u,)=(r(u,w)-r(0,0)-h(u,)n(0,0),e) u,)=r(u,)-r(0,0)-h(u,)n0,0),e2) 可以发现(u,)=(a,元，h)是r在平移(0,0，f0,0)至(0,0,0)后将切平面转到xy平面的结果。计算知哥=(ru A re,e1Ae2）≠0，局部可存在(a,)=(a,元，j(a,)。由于h(0,0)=hu(0,0)=0, 利用复合函数求导可知后=后 =0,从而R(0,0)=a 另一方面，由于此时切平面己经在xy平面上，考虑适当的绕轴的旋转，也即成为(a,可，了。R(a,),这 icos8-0sin8=元 usin9+tcos9=元 f(u.)=f(i,) 计算可知a=了COs28+(订o-了aa)si血9cos9,从而可选取合适的角度使得fa=0。于是，经过合适的合同变换与参数变换，正则曲面片在一点处周围总可以写成(u,)=(u,u,∫(u,)使得K(uo,w)=ujm 不妨设这点为(0,0)，此时由于f(0,0)=0,计算可得u-z平面上截线(0,0)处带符号曲率为f(0,0),u z平面上则为fm(0,0). *一般做不到参数,使得r,点点标准正交，除非曲面“平坦” 定义2.1.法曲率取0点处任何单位切向量与单位法向量，将张成平面对曲面的戴线参数化孤长参数、正确方向)使得O点切向量为巴，则此时的定向{O,}对应藏得的带符号曲率K(侧)称为O点处单位切向量的法曲率。 *由于取相反的时参数化方向与定向同时反向，K(-)=K(包) 一点处参数化使得K(o,to)=厂m后，考虑任何v=cos Or十sinr,可计算发现以u一n为平面标架时r()=(，化f(tcos8,tsim8)即为所需的参数化曲线，此时Kn(o)即为ucos20+了esim20=Kn(e1)cos20+ 定理2.2.Elr:若Kn()不全相等，则不区分士u的意义下存在唯一方向1使得k1=Kn()达到最大值：唯一方向使得2=Kn()达到最大值，且两方向相互垂直。若u与成角度日，则K()=c0s2队十 sin20k2。 §2.2第二基本形式考虑r(u,)与一点P=r(uo,to,取过P点的一条弧长参数化的曲线r(s)=r(u(s),(s》考虑rs,n)=ru,n)+2re,川u。+(,n)=II(,V),其中V=rn4。+r,而I1即为第二基本形式，由L=(rw,n),M=(ruu,n),N=(r,n决定。 *II=Ldu⑧du+Mdu⑧du+Md⑧du+Ndudu 对P一切v-+有-咖-（亿(C 面对v=从+即=6红+，有cw門=(6月（低州）（付第=套未影式是对带双缕性的 *当V为单位切向量时，K(W)=II(化，V)即为沿V的法曲率

二曲面的几何耹由ru, rv不共线，对某点附近可参数化使得r耨u, v耩耽耨u, v, f耨u, v耩耩，下面不妨考虑耨耰, 耰耩处高斯曲率：在耨耰, 耰耩处切平面上取标准正交基e1, e2，记    h耨u, v耩耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩, n耨耰, 耰耩i u耖耨u, v耩耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩 − h耨u, v耩n耨耰, 耰耩, e1i v耖耨u, v耩耽 hr耨u, v耩 − r耨耰, 耰耩 − h耨u, v耩n耨耰, 耰耩, e2i 可以发现r耖耨u, v耩耽耨耖u, v, h 耖耩是r在平移耨耰, 耰, f耨耰, 耰耩耩至耨耰, 耰, 耰耩后将切平面转到xy平面的结果。计算知∂(¯u,v¯) ∂(u,v) 耽 hru ∧ rv, e1 ∧ e2i 6耽耰，局部可存在r耖耨耖u, v耖耩耽耨耖u, v, 耖耖f耨耖u, v耖耩耩。由于hu耨耰, 耰耩耽 hv耨耰, 耰耩耽耰，利用复合函数求导可知耖fu¯ 耽耖fv¯ 耽耰，从而K耖耨耖r耨耰, 耰耩耩耽耖fu¯u¯ 耖fv¯v¯ − 耖f 2 u¯v¯。另一方面，由于此时切平面已经在xy平面上，考虑适当的绕z轴的旋转，也即成为耨耖u, v, 耖耖f ◦ Rθ耨耖u, v耖耩耩，这时    u聾聣聯聳 θ − v聾聳聩聮 θ 耽耖u u聾聳聩聮 θ 耫聾v 聣聯聳 θ 耽耖v 耖f耨耖u, v耖耩耽聾f耨聾u, v聾耩计算可知聾fu˜v˜ 耽耖fu¯v¯ 聣聯聳耲θ 耫耨耖fv¯v¯ − 耖fu¯u¯耩聳聩聮 θ 聣聯聳 θ，从而可选取合适的角度使得聾fu˜v˜ 耽耰。于是，经过合适的合同变换与参数变换，正则曲面片在一点处周围总可以写成r耨u, v耩耽耨u, v, f耨u, v耩耩使得K耨u0, v0耩耽 fuufvv。不妨设这点为耨耰, 耰耩，此时由于fv耨耰, 耰耩耽耰，计算可得v − z平面上截线耨耰, 耰耩处带符号曲率为fvv耨耰, 耰耩，u − z平面上则为fuu耨耰, 耰耩。耪一般做不到参数u, v使得ru, rv点点标准正交，除非曲面“平坦” 定义 2.1. 法曲率取O点处任何单位切向量v与单位法向量n，将张成平面对曲面的截线参数化(弧长参数、正确方向)使得O点切向量为v，则此时的定向{O耻 v, n}对应截得的带符号曲率Kn耨v耩称为O点处单位切向量的法曲率。耪由于取相反的v时参数化方向与定向同时反向，Kn耨−v耩耽 Kn耨v耩一点处参数化使得K耨u0, v0耩耽 fuufvv后，考虑任何v 耽聣聯聳 θru 耫聳聩聮 θrv，可计算发现以v − n为平面标架时r耨t耩耽耨t, f耨t 聣聯聳 θ, t聳聩聮 θ耩耩即为所需的参数化曲线，此时Kn耨v耩即为fuu 聣聯聳2 θ耫fvv 聳聩聮2 θ 耽 Kn耨e1耩聣聯聳2 θ耫 Kn耨e2耩聳聩聮2 θ。定理 2.2. Euler: 若Kn耨v耩不全相等，则不区分±v的意义下存在唯一方向v1使得k1 耽 Kn耨v1耩达到最大值；唯一方向v2使得k2 耽 Kn耨v2耩达到最大值，且两方向相互垂直。若v与v1成角度θ，则Kn耨v耩耽聣聯聳2 θk1 耫聳聩聮2 θk2。 §2.2 第二基本形式考虑r耨u, v耩与一点P 耽 r耨u0, v0耩，取过P点的一条弧长参数化的曲线r耨s耩耽 r耨u耨s耩, v耨s耩耩。考虑hrss, ni 耽 hruu, ni u 2 s 耫耲 hruv, ni usvs 耫 hrvv, ni v 2 s 耽 II耨V, V 耩，其中V 耽 ruus 耫 rvvs，而II即为第二基本形式，由L 耽 hruu, ni, M 耽 hruv, ni, N 耽 hrvv, ni决定。耪II 耽 L聤u ⊗ 聤u 耫 M聤u ⊗ 聤v 耫 M聤v ⊗ 聤u 耫 N聤v ⊗ 聤v 对P点任一切向量V 耽 λru 耫 µrv，有Kn耨V 耩耽 hrss, niP 耽 λ µ L M M N ! λ µ ! 。而对V 耽 λru 耫 µrv, W 耽 ξru 耫 ηrv，有II耨V, W耩耽 λ µ L M M N ! ξ η ! ，第二基本形式是对称双线性的。耪当V 为单位切向量时，Kn耨V 耩耽 II耨V, V 耩即为沿V 的法曲率

二曲面的几何 10 而对任一切向量，沿其的法曲率为 k=尚=”- 性质：设r=r(u,),合同变换T下为r,则对r(u,)任一切向量V有II(W,V)=det(T)(T(W),T(W) 证明.利用，同=求号可得r,)=-,n小，从而利用五=二人T T(r.)AT(r.) =det(TT(n可计算L,M,N知结论成立（中间利用了dtT=士1，于是乘除无区别）： *对r(北)的任一切向量V,IVV)在同向参数变换下不变.反向参数变换下反号 *法曲率的最值也即求兴的最值，可写为器的最值（记第一基本形式对应的矩阵为S,第二基本形式为S,x为V在r,下的矩阵表示)，又由于S正定，5S对称，设S=LLT,利用线代知识可发现其即化为求L一1SL-T的最大/最小特征值，由相似进一步化为SS-1的最大/最小特征值（由于矩阵为二阶，即为所有特征值入，2)： Weingarten变换考虑Tp(M)上由I(化，W)定义内积产生的内积空间，对第二基本形式1：Tp(M)×Tp(M)→R,设存在线性算子w使得II(V,W)=(亿，W(W》,由二形式对称性可知W是自伴算子。接下来推导W的形式：考虑I(V,V)可知W(Arm+r)=-Anu-m,从而W:Tp(M→Tp(M由w(ru)= -nu,W(r)=-nn确定。 *可验证W的确满足上述条件 *高斯映射g:M→S2,r(u,)→n(u,),考虑其微分： p=r(uo,o,定义dgp:TnM→TgpS,对于V∈TnM,选M上过p的一条曲线r()使得r(O)=p,r'(O)= 计算：T(t)=ra+rwt,设V=aru+bre,则dgn(u)=(gor)m+(gor)et=a(gor)w+b(gor)e,具有线性性。由定义，dgn(r.)=nu(gp》,只需婴再平移到p点即只与Weingarten变换差符号，于是W-Po(-dgp) *由于II(心，W)=(w(W,W)=Iw(W,W),可知w在基r,r下的的矩阵表示为SS5 *由定义与上方推导，高斯曲率 )r() detS TuATu 进一步计算，由于rnA=EG-F=det So,有L=uuu,,M=uea,w,N=eeu,）通过复杂的计算可发现LN-M可以通过E,G对，求至满济导数表示，质需斋 det So 定理2.3.高斯绝妙定理高斯曲率只依懒第一基本形式。 *第一基本形式是内蕴的，第二基本形式则是外蕴的 *内蕴：将参数反向，法向量变向，但由高斯绝妙定理容易发现高斯曲率不变 *高斯曲率在等距变换下不变定义24。等距变换设M,M是E3中两正则曲面片，考虑a:M→M双射且其与其逆均光滑。若对任何M上曲钱C,C与σ(C)= C长度相等，则称其为等距变换

二曲面的几何耱耰而对任一切向量，沿其的法曲率为 Kn耨 V |V | 耩耽 II V |V | , V |V | 耽 II耨V, V 耩 |V | 2 耽 II耨V, V 耩 I耨V, V 耩性质：设r 耽 r耨u, v耩，合同变换T下为r聾，则对r耨u, v耩任一切向量V 有II耨V, V 耩耽聤聥聴耨T耩聾II耨T 耨V 耩, T 耨V 耩耩。证明. 利用hru, ni 耽耰求导可得hruu, ni 耽 − hru, nui，从而利用n聾耽 T 耨ru耩 ∧ T 耨rv耩 |T 耨ru耩 ∧ T 耨rv耩| 耽聤聥聴耨T耩T 耨n耩可计算L, 聾 M, 聾 N聾知结论成立耨中间利用了聤聥聴 T 耽 ±耱，于是乘除无区别耩。耪对r耨u, v耩的任一切向量V ，II耨V, V 耩在同向参数变换下不变，反向参数变换下反号耪法曲率的最值也即求II(V,V ) I(V,V ) 的最值，可写为xS0x T xSxT 的最值耨记第一基本形式对应的矩阵为S，第二基本形式为S0，x为V 在ru, rv下的矩阵表示耩，又由于S正定，S0对称，设S 耽 LLT，利用线代知识可发现其即化为求L −1S0L −T的最大耯最小特征值，由相似进一步化为S0S −1的最大耯最小特征值耨由于矩阵为二阶，即为所有特征值λ1, λ2耩。 Weingarten变换考虑TP 耨M耩上由I耨V, W耩定义内积产生的内积空间，对第二基本形式II 耺 TP 耨M耩 × TP 耨M耩 → R，设存在线性算子W使得II耨V, W耩耽 hV, W耨W耩i，由二形式对称性可知W是自伴算子。接下来推导W的形式：考虑II耨V, V 耩可知W耨λru耫µrv耩耽 −λnu−µnv，从而W 耺 TP 耨M耩 → TP 耨M耩由W耨ru耩耽 −nu, W耨rv耩耽 −nv确定。耪可验证W的确满足上述条件耪高斯映射g 耺 M → S 2 , r耨u, v耩 → n耨u, v耩，考虑其微分： p 耽 r耨u0, v0耩，定义聤gp 耺 TpM → Tg(p)S 2，对于V ∈ TpM，选M上过p的一条曲线r耨t耩使得r耨耰耩耽 p, r0 耨耰耩耽 V ，则聤gp耨V 耩耽 d dt t=0g耨r耨t耩耩。计算：r 0 耨t耩耽 ruut 耫 rvvt，设V 耽 aru 耫 brv，则聤gp耨v耩耽耨g ◦ r耩uut 耫耨g ◦ r耩vvt 耽 a耨g ◦ r耩u 耫 b耨g ◦ r耩v，具有线性性。由定义，聤gp耨ru耩耽 nu耨g耨p耩耩，只需要再平移到p点即只与聗聥聩聮聧聡聲聴聥聮变换差符号，于是W 耽 P ◦ 耨−聤gp耩。耪由于II耨V, W耩耽 hW耨V 耩, Wi 耽 I耨W耨V 耩, W耩，可知W在基ru, rv下的的矩阵表示为SS−1 0 耪由定义与上方推导，高斯曲率 K耨P耩耽 W耨ru耩 ∧ W耨rv耩 ru ∧ rv 耽聤聥聴耨W耩耽聤聥聴 S 聤聥聴 S0 进一步计算，由于|ru ∧rv| 2 耽 EG−F 2 耽聤聥聴 S0，有L 耽耨ruu, ru, rv耩 √ 聤聥聴 S0 , M 耽耨ruv, ru, rv耩 √ 聤聥聴 S0 , N 耽耨rvv, ru, rv耩 √ 聤聥聴 S0 ，通过复杂的计算可发现LN − M2可以通过E, F, G对u, v求至多两阶导数表示，从而有：定理 2.3. 高斯绝妙定理高斯曲率只依赖第一基本形式。耪第一基本形式是内蕴的，第二基本形式则是外蕴的耪内蕴：将参数反向，法向量变向，但由高斯绝妙定理容易发现高斯曲率不变耪高斯曲率在等距变换下不变定义 2.4. 等距变换设M, M聾是E3中两正则曲面片，考虑σ 耺 M → M聾双射且其与其逆均光滑。若对任何M上曲线C，C与σ耨C耩耽 C聾长度相等，则称其为等距变换