《数学分析》课程教学资源（学习笔记）数学分析A2题纲.pdf_大学文库

数学分析A2 作者：原生生物QQ:3257527639 +资料来源为课本（为主）与谢惠民（为辅）一、点集拓扑基础 1、极限定义：n维欧氏空间、向量的范数与夹角、矩阵范数、球、有界、点列极限基本性质：点列收敛等价于按分量收敛。实数性质可推广：柯西收敛准则、有界存收敛子列、闭集套定理、有限开覆盖定理（后两个推广的证明需运用点集的性质)。其他可推广数列极限性质：极限唯一、有界性、局部保序性（此处可指平面某侧等）。 *不可直接推广：单调有界定理、确界原理（序关系问题）。证明极限技巧：一般可以仿制数列极限的证明方法（如取出收敛的子列、利用保序等）。 2、点集定义：开集、闭集、内点、外点、凝聚点、孤立点、导集、闭包、边界、*直径、*距离（在 8.7习题中) 一些公式（出现的+号实际表示无交并）：内点+边界+外点=全空间：内点+边界=导集+孤立点=与点集距离为0的点=闭包：有界=直径有限注意开集闭集互为补集的原始定义。集合序关系的定义（书上未具体写出）在一些集合中，某集合极大指其不被其他任何集合真包含，最大指其包含其他所有集合：极小指其不真包含其他任何集合，最大指其被其他所有集合包含。例如，E的内点是包含于E的最大开集即是说，一切包含于E的开集都是E的内点的子集。证明最大的其中一个常见方法是，证明此集合为所有这些集合的并。证明开闭集：虽然有多个等价定义，实际应用时绝大部分情况需写出定义证明。补集相关：注意对偶法则的使用。推导时需特别注意条件是否真的等价（例如，某点任作开球，一定有A或B中的点，无法直接推出其属于A的闭包或B的闭包，事实上这一步反证较方便说明)。 3、有界闭集&连通性定义：列紧、紧致、连通、道路连通、连续曲线、区域列紧和紧致类似实数中有界闭区间的性质开集/实数中，连通与道路连通等价；一般情况下，道路连通可推出连通 *既开又闭只能是全空间或空集，这提供了证明不存在的一个思路有界闭集不交等价于距离大于0，而对无界闭集（考虑渐近线）与开集，未必如此列紧和紧致有关问题：可以考虑直接由定义出发，亦可等价为有界闭集处理，一般后者会使问题简化

数学分析 A2 作者：原生生物 QQ：3257527639 *资料来源为课本（为主）与谢惠民（为辅）一、点集拓扑基础 1、极限定义：n 维欧氏空间、向量的范数与夹角、*矩阵范数、球、有界、点列极限基本性质：点列收敛等价于按分量收敛。实数性质可推广：柯西收敛准则、有界存收敛子列、闭集套定理、有限开覆盖定理（后两个推广的证明需运用点集的性质）。其他可推广数列极限性质：极限唯一、有界性、局部保序性（此处可指平面某侧等）。 *不可直接推广：单调有界定理、确界原理（序关系问题）。证明极限技巧：一般可以仿制数列极限的证明方法（如取出收敛的子列、利用保序等）。 2、点集定义：开集、闭集、内点、外点、凝聚点、孤立点、导集、闭包、边界、*直径、*距离（在 8.7 习题中）一些公式（出现的+号实际表示无交并）：内点+边界+外点=全空间；内点+边界=导集+孤立点=与点集距离为 0 的点=闭包；有界=直径有限 *注意开集闭集互为补集的原始定义。 *集合序关系的定义（书上未具体写出）：在一些集合中，某集合极大指其不被其他任何集合真包含，最大指其包含其他所有集合；极小指其不真包含其他任何集合，最大指其被其他所有集合包含。例如，𝐸的内点是包含于𝐸的最大开集即是说，一切包含于𝐸的开集都是𝐸的内点的子集。证明最大的其中一个常见方法是，证明此集合为所有这些集合的并。证明开闭集：虽然有多个等价定义，实际应用时绝大部分情况需写出定义证明。补集相关：注意对偶法则的使用。 *推导时需特别注意条件是否真的等价（例如，某点任作开球，一定有 A 或 B 中的点，无法直接推出其属于 A 的闭包或 B 的闭包，事实上这一步反证较方便说明）。 3、有界闭集&连通性定义：列紧、紧致、连通、道路连通、连续曲线、区域列紧和紧致类似实数中有界闭区间的性质开集/实数中，连通与道路连通等价；一般情况下，道路连通可推出连通 *既开又闭只能是全空间或空集，这提供了证明不存在的一个思路 *有界闭集不交等价于距离大于 0，而对无界闭集（考虑渐近线）与开集，未必如此列紧和紧致有关问题：可以考虑直接由定义出发，亦可等价为有界闭集处理，一般后者会使问题简化

证明连通性：对开集一般使用非空开分割的等价定义，其他情况除定义外可以考虑从集合中取出一个点，得到所有与它连诵的点，再证明这个集合即是原来的点集】若想说明不连通，得到满足条件的分割后不要忘了证明AB非空（问题8.5-1答案就犯了这个错误，答案事实上说明了E一定被A或B包含（不妨设为A),必须补充一步，此时A的闭包即为E的闭包。故B为空，矛盾)。证明道路连通：构造出对应的曲线，注意曲两条头尾重合的连续曲线可得新的连续曲线。证明不道路连通：可以考虑连续曲线段是有界闭集，利用极限等性质说明。构浩性问颗：经常需要老虑利用距离的性质（最关键：距离函数是利普西茨连续函数） 4、连续函数&连续映射定义：重极限、连续、一致连续、*利普西茨连续（类似单变量函数定义）重极限存在需严格按照定义，而累次极限则与单变量相同。连续函数处有很多原本有界闭区间上连续函数性质在紧集上的推广，如介值性等，而连续映射时推广会受更严格的限制注意海涅归结原理仍可使用证明重极限存在：定义说明，有时转化为极坐标更方便说明。证明重极限不存在：找到两个不同的逼近方式值不同（或不存在）即可。注意分次叠加的思路：f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=(f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)+ (f(x+△x,y)-fx,y)）(这个思路在偏导相关命题时也非常有意义)。证明连续性：仿照单变量时的思路，或直接定义出发。证明不连续：由归结原理构造两列点得反例。注意连续映射的等价定义（开集原像于闭集原象闭、闭包的像含于像的闭包) +证明不存在连续双射：可考虑从介值性出发得到反例。二、偏导数 1、导数与赏分 :方向导数、偏导数、全微分、雅可比矩阵各偏导存在连续（事实上某一个不连续亦可，利用分次叠加证明）知全微分存在：全微分存在可知各方问导数存在、函数连续。记忆经典反例的构造 *当固定多变量的一些值得到单变量情况时，中值定理等单变量结论可直接使用计算方向导数：可微时利用雅可比矩阵和方向内积，否则按照定义计算证明全微分存在：偏导若存在连续可直接得，否则依靠重积分计算。证明全微分不存在：一殷证明不连续或方向导数不存在，有时需依靠重极限 *映射的微分相关：可考虑按分量化为函数微分问题说明，或直接计算矩阵」 2、求导方法内容：复合求导、隐映射求导、逆映射求导、高阶导数 *主要掌握计算，尽量熟悉证明 *选取求导对象十分重要

证明连通性：对开集一般使用非空开分割的等价定义，其他情况除定义外可以考虑从集合中取出一个点，得到所有与它连通的点，再证明这个集合即是原来的点集。 *若想说明不连通，得到满足条件的分割后不要忘了证明𝐴𝐵非空（问题 8.5-1 答案就犯了这个错误，答案事实上说明了𝐸一定被𝐴或𝐵包含（不妨设为𝐴），必须补充一步，此时𝐴的闭包即为𝐸的闭包，故𝐵为空，矛盾）。证明道路连通：构造出对应的曲线，注意曲两条头尾重合的连续曲线可得新的连续曲线。证明不道路连通：可以考虑连续曲线段是有界闭集，利用极限等性质说明。构造性问题：经常需要考虑利用距离的性质（最关键：距离函数是利普西茨连续函数）。 4、连续函数&连续映射定义：重极限、连续、一致连续、*利普西茨连续（类似单变量函数定义）重极限存在需严格按照定义，而累次极限则与单变量相同。连续函数处有很多原本有界闭区间上连续函数性质在紧集上的推广，如介值性等，而连续映射时推广会受更严格的限制。 *注意海涅归结原理仍可使用证明重极限存在：定义说明，有时转化为极坐标更方便说明。证明重极限不存在：找到两个不同的逼近方式值不同（或不存在）即可。 *注意分次叠加的思路：𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦)) + (𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦))（这个思路在偏导相关命题时也非常有意义）。证明连续性：仿照单变量时的思路，或直接定义出发。证明不连续：由归结原理构造两列点得反例。 *注意连续映射的等价定义（开集原像开、闭集原象闭、闭包的像含于像的闭包） *证明不存在连续双射：可考虑从介值性出发得到反例。二、偏导数 1、导数与微分定义：方向导数、偏导数、全微分、雅可比矩阵各偏导存在连续（事实上某一个不连续亦可，利用分次叠加证明）知全微分存在；全微分存在可知各方向导数存在、函数连续。 *记忆经典反例的构造 *当固定多变量的一些值得到单变量情况时，中值定理等单变量结论可直接使用计算方向导数：可微时利用雅可比矩阵和方向内积，否则按照定义计算。证明全微分存在：偏导若存在连续可直接得，否则依靠重积分计算。证明全微分不存在：一般证明不连续或方向导数不存在，有时需依靠重极限。 *映射的微分相关：可考虑按分量化为函数微分问题说明，或直接计算矩阵。 2、求导方法内容：复合求导、隐映射求导、逆映射求导、高阶导数 *主要掌握计算，尽量熟悉证明 *选取求导对象十分重要

复合求导：利用矩阵桑积运算，注意每个函数中代入的值（类似单变量复合时需代入中间变量而不是直接x 证明：利用可微写出雅可比矩阵，复合后估算误差大小得重极限结果。 *复合求导常用于变量代换的情况，需注意视何为自变量何为因变量 *基本处理思路为，不含导数的等式求导得到新等式，含导数的等式代换得到新等式证明隐映射存在：套用定理条件验证即可隐函数存在性定理证明：局部单调性说明至多一解，再由介值得存在解 *隐映射定理中存在性部分依靠归纳分步说明存在。隐映射求导：先将方程组化为函数形式，再选取自变量因变量（注意个数限制）得到雅可比矩阵。弃用公式计算（注意负号）。隐函数可导性：直接利用定义可计算出导数：隐映射定理中可导性部分利用复合求导公式进行归纳运算逆映射求导：直接计算逆矩阵即可。局部逆映射定理：通过隐映射定理得到局部存在逆映射。逆映射定理：利用整体行列式不为0。从而将解扩展至整体性质。点处雅可比矩阵可逆→这点附近存在逆映射开集上点点可逆→开映射点点可逆+单射→存在整体逆映射高阶求导：核心为注意与复合混合时不要漏项（二元函数求偏导后仍为二元函数）。注意混合求导记法为从右到左当各导数都连续时混合求导结果与次序无关证明：利用分次叠加后微分中值定理将结果收缩于一点。 *证明微分方程时可利用代换简化.如证明u(x,)=fx)g0)只需说明=0 3、曲线/曲面曲线切线方向：参数方程表示则直接求导，+平面交点表示则使用雅可比行列式（谢惠民拓展内容，可由切平面交点证明)。曲线切线：切线方向结合过点的坐标。曲面法线方向：一般方程表示则声接求导，参数方程表示则使用雅可比行列式曲面切平面：法线方向结合过点的坐标证明：切线由定义说明，推导得出曲面上一点处曲线的切线共面并计算一般方程时的情况。再由链式法则得出参数方程时情况。 *这揭示了曲线与曲面的某种对偶性注意方向向量可以放缩，不影响表示的方向曲线弧长：见下方第一型曲线积分曲线曲率：代入公式即可。证明：先得到曲线以弧长表示的参数方程，再结合定义计算

复合求导：利用矩阵乘积运算，注意每个函数中代入的值（类似单变量复合时需代入中间变量𝑢而不是直接𝑥）证明：利用可微写出雅可比矩阵，复合后估算误差大小得重极限结果。 *复合求导常用于变量代换的情况，需注意视何为自变量何为因变量 *基本处理思路为，不含导数的等式求导得到新等式，含导数的等式代换得到新等式证明隐映射存在：套用定理条件验证即可。隐函数存在性定理证明：局部单调性说明至多一解，再由介值得存在解。 *隐映射定理中存在性部分依靠归纳分步说明存在。隐映射求导：先将方程组化为函数形式，再选取自变量因变量（注意个数限制）得到雅可比矩阵，套用公式计算（注意负号）。隐函数可导性：直接利用定义可计算出导数。 *隐映射定理中可导性部分利用复合求导公式进行归纳运算。逆映射求导：直接计算逆矩阵即可。局部逆映射定理：通过隐映射定理得到局部存在逆映射。逆映射定理：利用整体行列式不为 0，从而将解扩展至整体性质。 *一点处雅可比矩阵可逆⇒这点附近存在逆映射开集上点点可逆⇒开映射点点可逆+单射⇒存在整体逆映射高阶求导：核心为注意与复合混合时不要漏项（二元函数求偏导后仍为二元函数）。 *注意混合求导记法为从右到左 *当各导数都连续时混合求导结果与次序无关证明：利用分次叠加后微分中值定理将结果收缩于一点。 *证明微分方程时可利用代换简化，如证明𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)只需说明∂ ln𝑢 ∂𝑥 ∂𝑦 = 0 3、曲线/曲面曲线切线方向：参数方程表示则直接求导，*平面交点表示则使用雅可比行列式（谢惠民拓展内容，可由切平面交点证明）。曲线切线：切线方向结合过点的坐标。曲面法线方向：一般方程表示则直接求导，参数方程表示则使用雅可比行列式。曲面切平面：法线方向结合过点的坐标。证明：切线由定义说明，推导得出曲面上一点处曲线的切线共面并计算一般方程时的情况。再由链式法则得出参数方程时情况。 *这揭示了曲线与曲面的某种对偶性 *注意方向向量可以放缩，不影响表示的方向曲线弧长：见下方第一型曲线积分。曲线曲率：代入公式即可。证明：先得到曲线以弧长表示的参数方程，再结合定义计算

曲面基本量：按照参数方程对应计算。 =()++() P-光需+染+光 6=++ 单位法向量：利用，×，为法向量得到方向，基本量VEG一F严控制模长证明：利用外积性质可直接计算。 4、泰勒展开&极值定义：泰勒展开与余项、Hesse方阵、极值由于泰勒展开式的形状，雅可比方阵对应一阶导数，Hese方阵对应二阶导数，正定负定对应原有的正负，可迁移一些结论（如凸函数性质等）。泰勒展开（拉格朗日余项）：按公式计算即可，但仍可以像单变量时一样运用复合等技巧。证明：将差量定义为单变量函数，利用一元函数泰勒展开得到结果。 +利用估算大小可得到皮亚诺余项中值定理的推广利用差量定义单变量可证明拟微分平均值定理，为其中一种推广方式，其他推广基本均可化为单变量而得出。 :使用中值定理证明的结论，也常可以化为单变量分步解决。极值：可导处先解驻点，再用Hesse方阵判断，必要时结合其他判断方法；注意讨论不可导处的点的情况。证明：利用泰勒展开写出展开式，并取足够小区间忽略余项。最值：将所有极值点取出讨论即可。条件极值：由拉格朗日乘数法公式得出点的情况再结合Hesse方阵判断证明：对辅助函数利用隐映射定理，并结合极值条件。接着与之前类似泰勒展开。 *注意此时在Hesse矩阵不定时仍可能取极值。 *证明不等式时应选取方便计算的条件与值 *集合内最值：由一般极值方法得到内部的最值，再对边界采用条件极值的方式分析，最后综合两部分的最值三、重积分 1、可积性定义：黎曼和、上下积分、零测集、零面积集、有面积、累次积分 *注意零测集包含零面积集，零面积集是有面积的 ,有面积等价于边界零面积注意熟悉闭矩形与有界集合上可积的条件保证有界时，改变一零面积集上的值不改变可积性/积分结果 *熟悉累次积分相关的经典反例

曲面基本量：按照参数方程对应计算。 𝐸 = ( ∂𝑥 ∂𝑢 ) 2 + ( ∂𝑦 ∂𝑢 ) 2 + ( ∂𝑧 ∂𝑢 ) 2 𝐹 = ∂𝑥 ∂𝑢 ∂𝑥 ∂𝑣 + ∂𝑦 ∂𝑢 ∂𝑦 ∂𝑣 + ∂𝑧 ∂𝑢 ∂𝑧 ∂𝑣 𝐺 = ( ∂𝑥 ∂𝑣 ) 2 + ( ∂𝑦 ∂𝑣 ) 2 + ( ∂𝑧 ∂𝑣 ) 2 单位法向量：利用𝑟𝑢 × 𝑟𝑣为法向量得到方向，基本量√𝐸𝐺 − 𝐹2控制模长。证明：利用外积性质可直接计算。 4、泰勒展开&极值定义：泰勒展开与余项、Hesse 方阵、极值 *由于泰勒展开式的形状，雅可比方阵对应一阶导数，Hesse 方阵对应二阶导数，正定负定对应原有的正负，可迁移一些结论（如凸函数性质等）。泰勒展开（拉格朗日余项）：按公式计算即可，但仍可以像单变量时一样运用复合等技巧。证明：将差量定义为单变量函数，利用一元函数泰勒展开得到结果。 *利用估算大小可得到皮亚诺余项中值定理的推广：利用差量定义单变量可证明拟微分平均值定理，为其中一种推广方式，其他推广基本均可化为单变量而得出。 *使用中值定理证明的结论，也常可以化为单变量分步解决。极值：可导处先解驻点，再用 Hesse 方阵判断，必要时结合其他判断方法；注意讨论不可导处的点的情况。证明：利用泰勒展开写出展开式，并取足够小区间忽略余项。最值：将所有极值点取出讨论即可。条件极值：由拉格朗日乘数法公式得出点的情况，再结合 Hesse 方阵判断。证明：对辅助函数利用隐映射定理，并结合极值条件。接着与之前类似泰勒展开。 *注意此时在 Hesse 矩阵不定时仍可能取极值。 *证明不等式时应选取方便计算的条件与值 *集合内最值：由一般极值方法得到内部的最值，再对边界采用条件极值的方式分析，最后综合两部分的最值。三、重积分 1、可积性定义：黎曼和、上下积分、零测集、零面积集、有面积、累次积分 *注意零测集包含零面积集，零面积集是有面积的，有面积等价于边界零面积 *注意熟悉闭矩形与有界集合上可积的条件 *保证有界时，改变一零面积集上的值不改变可积性/积分结果 *熟悉累次积分相关的经典反例

证明可积：由定义上下积分估算，或直接通过勒贝格定理考虑不连续点集。高重数可积性：仿照二维定义零体积集等、零测集，定义与勒贝格定理均仍可以使用。 2、二重积分计算核心步骤：先通过换元调整积分区域，再选择合适积分次序进行运算 *注意换元要求一一映射（否则只能拆分区域），且对应雅可比行列式除孤立点外非 0 *注意极坐标换元的使用（当区域为圆形/椭圆形） *注意正交换元的使用（当式子中有较多关于𝑥𝑦的一次关系） *注意使用对称性简化运算（尤其是旋转对称性，有时可直接规避正交换元）求某些面积（对多重则为体积等）：看作区域内对 1 的积分，并换元调整区域。 3、n 重积分计算核心步骤：通过换元、调整次序等，化为更低阶情形进行运算 *仍注意换元要求，并熟悉与二重积分类似推广的换元方式 *注意极坐标换元时角度的对应含义（记忆换元方式与行列式值以提升速度） *利用等值面剖分等其他切割技巧（实质为巧用正交换元将对称性旋转为理想方向） *注意换元后符号的检查 *不要忘了单变量积分时的对称、换元、分部等计算技巧！ *切记区分某段的变量与参数！四、曲线积分 *此处以平面为例以更好与 Green 公式对照，空间的计算直接增添一个分量即可 1、第一型曲线积分基本操作：𝑑𝑠 = √(𝑑𝑥) 2 + (𝑑𝑦) 2 = √( ∂𝑥 ∂𝑡 ) 2 + ( ∂𝑦 ∂𝑡 ) 2 𝑑𝑡 = √1 + 𝑦 ′2 𝑑𝑥 *不需要定向 *注意对称性在简化运算时的作用 2、第二型曲面积分基本操作：𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = (𝑃 ∂𝑥 ∂𝑡 + 𝑄 ∂𝑦 ∂𝑡 ) 𝑑𝑡 = (𝑃 + 𝑄𝑦 ′ )𝑑𝑥 定向：𝑡增加的方向为正，否则为负与第一型联系：𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = (𝑃 cos(𝒕,𝒊) + 𝑄 cos(𝒕,𝒋))𝑑𝑠 = (𝑃,𝑄) ∙ 𝒕𝑑𝑠 *𝒕为参数增加方向的切向量，𝒊,𝒋为𝑥, 𝑦轴的方向向量事实上，如果𝒕为单位向量，有cos(𝒕,𝒊) = 𝑡𝑥，cos(𝒕,𝒋) = 𝑡𝑦为其两个分量 3、Green 公式基本操作：𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ( ∂𝑄 ∂𝑥 − ∂𝑃 ∂𝑦 ) 𝑑σ 另一种表述：(𝑃,𝑄) ∙ 𝒏𝑑𝑠 = (𝑃𝑐𝑜𝑠(𝑛, 𝑖) + 𝑄𝑐𝑜𝑠(𝑛,𝑗))𝑑𝑠 = ( ∂𝑃 ∂𝑥 + ∂𝑄 ∂𝑦 ) 𝑑σ

定向：沿线绕转区域在左手边为正（最外圈为逆时针） *n为平面封闭曲线的外法向量，i,j为x,y轴的方向向量实 ,如果n为单位向量右c =nx.cos(n.f) =y为其两个分量由此有，若t为逆时针绕转的切向量有tx=一n,5y=nx(两种表述转化) 面积计算：c(D)=fopxdy=-fap ydx=Ja加xdy-ydx +当y=f(e)x时xdy-ydx=x2df(c)=x2f(c)dt,因此最后-个式子更常用 +注意连续性条件（若某点处不连续，可考虑对挖去这点的多连通区域使用）积分与路径无关的条件（注意和三维空间的势函数对照）单连通区域：闭曲线为0一积分与路径无关（保守场）合要求函数存在（有势场）Green 为0（无旋场）多连通区域：闭曲线为0一积分与路径无关一合要求函数存在→Green为0 *只有有限点不连续时，封闭曲线积分（不触及不连续点）的值只与曲线中包围哪些点有关，积分与路径必无关（可以绕开），由此可以取包围点区域的极限五、曲面积分 1、第一型曲面积分基本操作：do=lu×odudv=VEG-F严dudw=1+()+()dxdy 不需要定向注意选取容易计算的参数（仍常见球坐标换元) 2、第二型曲面积分基本操作：Pydz=P是dudv,其余两分量同理（此处u,v地可取x,y等）定向：法向量方向决定 *取u,v为y,z可知当x=fy,z)时Pdydzi积分结果与yz平面上投影中Pf0y,z),y,z)dydz 相同或异号与第一型联系：Pdydz+Odzdx+Rdxdy=(P.O.R)ndo n为积分定向对应的法向量 *注意此处对称性与第一型的不同情况（如：球面上zdo积分为0，而zdxdy积分非0） 3、Gauss公式基本操作：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(++dn 定向：封闭曲面指向外为 *由于与第一型联系中已经为法向量，此处不像平面会有符号和求导对象的相反 *注意增补曲面使其封闭，Gauss后再减去(Green也可如此操作，但不常用) 4、Stokes公式基本操作：Pdx+Qdy+Rdz=(假-)dydz+(假-明)dzdr+(e-)dxdy 定向：曲线与曲面协调（面朝法向对应逆时针） *三维空间积分与路径无关的条件见势函数

定向：沿线绕转区域在左手边为正（最外圈为逆时针） *𝒏为平面封闭曲线的外法向量，𝒊,𝒋为𝑥, 𝑦轴的方向向量事实上，如果𝒏为单位向量，有cos(𝒏,𝒊) = 𝑛𝑥，cos(𝒏,𝒋) = 𝑛𝑦为其两个分量由此有，若𝒕为逆时针绕转的切向量有𝑡𝑥 = −𝑛𝑦,𝑡𝑦 = 𝑛𝑥（两种表述转化）面积计算：σ(𝐷) = ∫ 𝑥𝑑𝑦 ∂𝐷 = − ∫ 𝑦𝑑𝑥 ∂𝐷 = 1 2 ∫ 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 ∂𝐷 *当𝑦 = 𝑓(𝑡)𝑥时xdy − ydx = 𝑥 2df(𝑡) = 𝑥 2 f′(𝑡)dt，因此最后一个式子更常用 *注意连续性条件（若某点处不连续，可考虑对挖去这点的多连通区域使用） *积分与路径无关的条件（注意和三维空间的势函数对照）单连通区域：闭曲线为 0⇔积分与路径无关（保守场）⇔合要求函数存在（有势场）⇔Green 为 0（无旋场）多连通区域：闭曲线为 0⇔积分与路径无关⇔合要求函数存在⇒Green 为 0 *只有有限点不连续时，封闭曲线积分（不触及不连续点）的值只与曲线中包围哪些点有关，积分与路径必无关（可以绕开），由此可以取包围点区域的极限五、曲面积分 1、第一型曲面积分基本操作：𝑑σ = ||𝑟𝑢 × 𝑟𝑣 ||𝑑𝑢𝑑𝑣 = √𝐸𝐺 − 𝐹2𝑑𝑢𝑑𝑣 = √1 + ( ∂𝑧 ∂𝑥 ) 2 + ( ∂𝑧 ∂𝑦 ) 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 *不需要定向 *注意选取容易计算的参数（仍常见球坐标换元） 2、第二型曲面积分基本操作：Pdydz = P ∂(𝑦,𝑧) ∂(𝑢,𝑣) dudv，其余两分量同理（此处𝑢, 𝑣也可取𝑥, 𝑦等）定向：法向量方向决定 *取𝑢, 𝑣为𝑦, 𝑧可知当𝑥 = 𝑓(𝑦, 𝑧)时𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧积分结果与𝑦𝑧平面上投影中𝑃(𝑓(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 相同或异号与第一型联系：𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = (𝑃, 𝑄,𝑅) ∙ 𝒏𝑑σ *𝒏为积分定向对应的法向量 *注意此处对称性与第一型的不同情况（如：球面上𝑧𝑑σ积分为 0，而𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦积分非 0） 3、Gauss 公式基本操作：𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 = ( 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜕𝑄 𝜕𝑦 + 𝜕𝑅 𝜕𝑧) 𝑑μ 定向：封闭曲面指向外为正 *由于与第一型联系中𝒏已经为法向量，此处不像平面会有符号和求导对象的相反 *注意增补曲面使其封闭，Gauss 后再减去（Green 也可如此操作，但不常用） 4、Stokes 公式基本操作：𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ( 𝜕𝑅 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑧) 𝑑𝑦𝑑𝑧 + ( 𝜕𝑃 𝜕𝑧 − 𝜕𝑅 𝜕𝑥) 𝑑𝑧𝑑𝑥 + ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 定向：曲线与曲面协调（面朝法向对应逆时针） *三维空间积分与路径无关的条件见势函数

*可由行列式形式方便记忆 *构造技巧由于𝑓 ∂𝑓 ∂𝑥 对𝑥的偏导为( ∂f ∂x ) 2 + f ∂ 2𝑓 ∂𝑥 2，利用 Gauss 公式等可联系二阶导与导数平方，从而进行构造，可用于通过边界对内部大小估算等。例题：Ω为𝑅 3中的有界区域，∂Ω光滑，𝑢为单位向量，𝑐 ≥ 1 4为实数；已知𝑓在含Ω某开集上二次连续可导，且有∑ ∂ 2𝑓 ∂𝑥𝑖 2 3 𝑖=1 = ∂𝑓 ∂𝑢 + 𝑐𝑓, 𝑓(∂Ω) = 0，求证𝑓(Ω) = 0。解法：设𝑢 = (𝑝, 𝑞, 𝑟)，边界上𝑓 ∑ ∂𝑓 ∂𝑥𝑖 3 𝑖=1 恒为 0，因此积分为 0，利用 Gauss 公式可得在Ω上 ∑ ( ∂𝑓 ∂𝑥𝑖 ) 2 3 𝑖=1 + f ∑ ∂ 2 f ∂𝑥𝑖 2 3 𝑖=1 = ∑ ( ∂𝑓 ∂𝑥𝑖 ) 2 3 𝑖=1 + 𝑓 ∂𝑓 ∂𝑢 + 𝑐𝑓 2积分为 0。配方可发现此式即为 ( ∂𝑓 ∂𝑥1 + 𝑝𝑓) 2 + ( ∂𝑓 ∂𝑥2 + 𝑞𝑓) 2 + ( ∂𝑓 ∂𝑥3 + 𝑟𝑓) 2 + (𝑐 − 1 4 ) 𝑓 2 ≥ 0 由于积分为 0 且连续，只能每点处均为 0，将𝑓在某条线上看作𝑥1的函数，则由∂𝑓 ∂𝑥1 + 𝑝𝑓 = 0 知其为𝑒 −𝑝𝑥1 + 𝐶，因此单调，但由于在有界区域边界上为 0，因此恒为 0，由此类似推得𝑓 恒为 0。 5、外微分定义：微分形式、外微分运算 *Green、Gauss、Stokes 均可写作外微分形式（事实上梯度、旋度、散度也可看作 0 到 1、1 到 2、2 到 3 阶外微分）六、场 1、梯度、散度、旋度定义：梯度、散度、旋度、Nabla 算子、Laplace 算子 *注意有心场（即练习题 13.1 中𝑓(𝒑)）梯散旋的结果 *注意可以简化运算的公式 *注意三者的物理意义 *调和函数 *问题 11.3 与 13.2 有二维和三维调和函数的主要性质 *注意二维与三维中调和函数的不同构造 2、势函数定义：有势场、保守场、无旋场、空间单/多连通、曲面单连通、势函数、势能、恰当微分曲面单连通区域：保守场⇔有势场⇔无旋场 *势函数唯一性：可加减常数构造势函数：由保守场可以沿方便计算的路径积分恰当微分方程解法：类似势函数构造