数学分析A3课堂笔记 原生生物 目录 历史回顾 微积分 2 实数与连续性 一数项级数 3 正项级数 十任意项级数。 二函数项级数 十重要问题 4 一致收敛判据 幂级数 十特殊例子......... 6 三傅里叶分析 6 十定义与计算 6 敛散性判 傅里叶变换 7 四含参变量积分 8 反常积分的一致收敛 重要问题……………8 I函数与B函数
数学分析A3 课堂笔记 原生生物 目录 历史回顾 2 † 微积分 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伲 † 实数与连续性 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伲 一 数项级数 3 † 正项级数 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伳 † 任意项级数 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伴 二 函数项级数 4 † 重要问题 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伴 † 一致收敛判据 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伵 † 幂级数 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伵 † 特殊例子 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伶 三 傅里叶分析 6 † 定义与计算 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伶 † 敛散性判别 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伷 † 傅里叶变换 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伷 四 含参变量积分 8 † 反常积分的一致收敛 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伸 † 重要问题 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伸 † 伀函数与佂函数 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伮 伹 伱
目录 历史回顾 十微积分 在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数： 三类初等函数微积分的历史： 1.多项式函数 牛顿将函数（事实上此处应为初等函数）视为幕级数展开f)=∑4r”,又引入二项式定理计算 出x”的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。 莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法Calculus)(如(af+bg=af'+bg,(UgY= 'g+∫g,∫(g(x)Y=∫g(x)g(x),其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用)。 *此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函 数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。 2.三角函数 欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号（重要极限：血=1） *和角公式sin(a+)=sina cos+cos a sin等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角 函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。 3.对数函数、指数函数 对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减(log(a1a2)=log(a1)+log(a2)。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。 为获取中间的值，需要编制对数表。 1617年，英国人Briggs编制了首张对数表（做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小 数次方)。 *计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过(x+△x)2≈x2+2x△x计算。 另一个重要极限：+，化为计算(+)极限，由此出发定义自然底数，进而得出对 数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。 费马：极值点导数若存在，必然为0，新问题：函数是否存在极值？（涉及连续性理论与实数） 牛顿莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。 十实数与连续性 正整数的构造-表达整数（十进制）九章算术前 负整数的构造刘澈之前 加入零公元7世纪 *加法与乘法满足基本运算律（交换、结合、分配等） 分数的构造·？，)的等价类将单位变小，仍可满足基本规则 实数的构造·任意小数（单位无穷减小） *事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则 *实数可具有全序关系 实数的完备性（拓扑概念）：任一柯西列(an,e>0,3N,n,m>N,la-am<e)必有极限
目录 伲 历史回顾 † 微积分 在老师工作的基础下，为求函数在区间上的最值，费马构造差分，发明了导数。 三类初等函数微积分的历史： 伱伮 多项式函数 牛顿将函数伨事实上此处应为初等函数伩视为幂级数展开f伨x伩 伽 X∞ n=0 anx n，又引入二项式定理计算 出x n的微分与积分，从而只要掌握多项式微积分即可算出任何初等函数微积分。 莱布尼茨将微积分看作满足一定计算规则的计算方法伨佃佡佬佣併佬併佳伩 伨如伨af 伫 bg伩 ′ 伽 af′ 伫 bg′ ,伨fg伩 ′ 伽 f ′ g 伫 fg′ , f伨g伨x伩伩′ 伽 f ′ g伨x伩g ′ 伨x伩，其中第二条被称为莱布尼茨公式，推广到流形上有重要作用伩。 伪此处微分上的公式通过同积分即可推广到积分上，莱布尼茨公式对应分部积分。此外，通过复合函 数求导公式可推出反函数求导公式。通过莱布尼茨公式可递推出多项式函数的微分。 伲伮 三角函数 欧拉用弧长定义弧度，进而定义角度，并给出了三角函数的定义与记号伨重要极限：佬佩佭x→0 佳佩佮 x x 伽 伱伩。 伪和角公式佳佩佮伨α 伫 β伩 伽 佳佩佮 α 佣佯佳 β 伫 佣佯佳 α 佳佩佮 β等出发可进行平面坐标上的旋转，由此亦可计算三角 函数的导数，再结合反函数求导公式可推出反三角函数的导数。 伳伮 对数函数、指数函数 对数函数出现先于指数函数，发明目的是将乘除变为加减伨佬佯佧伨a1a2伩 伽 佬佯佧伨a1伩 伫 佬佯佧伨a2伩伩。 “等差数列”与“等比数列”之间的对应即为某种意义上的对数函数与指数函数在整数上的取值。 为获取中间的值，需要编制对数表。 伱伶伱伷年，英国人Briggs编制了首张对数表伨做法：通过二进制反复计算平方根逼近，组合出对应的小 数次方伩。 伪计算平方根方式：先找到逼近的值，再通过伨x 伫 企x伩 2 ≈ x 2 伫 伲x企x计算。 另一个重要极限：佬佩佭x→0 佬佯佧伨伱 伫 t伩 t ，化为计算 伱 伫 伱 t t 极限，由此出发定义自然底数e，进而得出对 数函数的导数，而对数函数结合反函数求导公式可推出指数函数的导数。 费马：极值点导数若存在，必然为估，新问题：函数是否存在极值？伨涉及连续性理论与实数伩 牛顿-莱布尼茨公式联系了微分与积分，从求导出发即可进行一些积分的计算。 † 实数与连续性 正整数的构造 伭 表达整数伨十进制伩 九章算术前 负整数的构造 刘徽之前 加入零 公元伷世纪 伪加法与乘法满足基本运算律伨交换、结合、分配等伩 分数的构造 伭 伨p, q伩的等价类 将单位变小，仍可满足基本规则 实数的构造 伭 任意小数伨单位无穷减小伩 伪事实上是将实数看成了有理数的极限，由此可知仍满足基本规则 伪实数可具有全序关系 实数的完备性伨拓扑概念伩：任一柯西列伨{an}, ∀ε > 估, ∃N, ∀n, m > N, |an − am| < ε伩必有极限
一数项级数 3 (证明：回顾实数完备性的六个等价定理) *实数的其他构造方式：Dedekind分割、柯西列等价类等（注意回到原始定义证明的重要性） 由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等（回项A2中相关的点集拓扑基础） 上的开集是可数个不交开区间的并（证明：对任何a∈E,考虑infta,(a,)C E即可) 连续函数等价定义：任意开集的原象是开集（可转化为：一语言，回顾连续等价条件》 连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理（回顾连续相关性质） 数项级数 本质与数列等价（级数的部分和数列） 由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为0：级数增减有限多项不影响敛散性。 重要问题：判别敛散（判别法综合运用） 十正项级数 1.积分判别法 原理：比较面积可证明，单调下降且极限为0的函数，∑f与厂广f山同敛散。 会nPs收敛的条件为柳<询-1<1（利用为比任何商阶的无穷大， 2.比较判别法 原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛：若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛 散。 判别法化为极限形式：回忆Al,利用imsupa:=imsp{an},可将“存在无穷多个”与“至多 有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。 3.柯西判别法 原理：与等比数列比较，考虑an与1的大小关系。 :收敛的条件为-1≤工<1（西判别法处理☑非负时情况，为负时须后续知 4.达朗贝尔判别法 原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与1的大小关系。 例：三后必然收敛（此时用此判别法可规避斯特林公式。 与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用 5.拉贝判别法 原理：与，己比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 6.△高斯判别法 原理：与山比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况
一 数项级数 伳 伨证明：回顾实数完备性的六个等价定理伩 伪实数的其他构造方式：佄佥佤佥佫佩佮佤分割、柯西列等价类等伨注意回到原始定义证明的重要性伩 由此出发可定义开集、闭集、聚点、连通性等伨回顾佁伲中相关的点集拓扑基础伩 伪R上的开集是可数个不交开区间的并伨证明：对任何a ∈ E，考虑佩佮佦 t t a,伨a, t伩 ⊂ E即可伩 连续函数等价定义：任意开集的原象是开集伨可转化为ε − δ语言，回顾连续等价条件伩 连续函数性质：闭区间上有界、存在极值、介值定理伨回顾连续相关性质伩 一 数项级数 本质与数列等价伨级数的部分和数列伩 由此有直接的结论：若数项级数收敛，其通项极限必为估；级数增减有限多项不影响敛散性。 重要问题：判别敛散伨判别法综合运用伩。 † 正项级数 伱伮 积分判别法 原理：比较面积可证明，单调下降且极限为估的函数f伨x伩， X∞ n=1 f伨n伩与 Z ∞ 1 f伨x伩佤x同敛散。 例： X∞ i=1 伱 n伨佬佮 n伩 p伨佬佮 佬佮 n伩 q 收敛的条件为p < 伱或p 伽 伱, q < 伱伨利用n为比任何伨佬佮 n伩 α高阶的无穷大伩。 伲伮 比较判别法 原理：正项级数对应单调上升数列，有界即收敛；若两不同正项级数的通项之比有界，则必然同敛 散。 判别法化为极限形式：回忆佁伱，利用佬佩佭 佳併佰 n→∞ an 伽 佬佩佭n→∞ 佳併佰 m≥n {am}，可将“存在无穷多个”与“至多 有限多个”表示为上下极限。有时为方便使用，直接采取极限形式。 伳伮 柯西判别法 原理：与等比数列比较，考虑 √n an与伱的大小关系。 例： X∞ n=1 x n n 收敛的条件为−伱 ≤ x < 伱伨柯西判别法处理x非负时情况，为负时须后续知识伩。 伴伮 达朗贝尔判别法 原理：与等比数列比较，考虑相邻项之比与伱的大小关系。 例： X∞ n=1 x n n伡 必然收敛伨此时用此判别法可规避斯特林公式伩。 与柯西判别法关系：效果更弱，但有时好用。 伵伮 拉贝判别法 原理：与 伱 nσ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况。 伶伮 △高斯判别法 原理：与 伱 n伨佬佮 n伩 σ 比较，考虑相邻项之比减一的无穷小情况
二函数项级数 十任意项级数 *由数项级数而定义：收敛、发散点集 1.柯西收敛准则 原理：直接对部分和数列利用柯西收敛准则即得结果，是任意项级数收敛的充分必要条件 例：若某级数所有项取绝对值后得到的正项级数收敛，则此级数必然收敛（此时称此级数绝对收敛） 反之，若级数收敛但取绝对值得到的级数不收敛（如(~1）”)，则称此级数条件收敛。 2.莱布尼茨判别法 原理：类似积分判别的证明方式，估算交错级数部分和不同子列。 3.迪利克雷判别法 证明：利用分部求和公式改写和式，从而放缩知收敛 作用：考虑乘积是否收敛时可拆分判定。 %立严-倒发微，香则令-0四肛么-片可计单空。.-匹学兰如乒有界， 2sin克 因此原级数收敛。 4.阿贝尔判别法 原理：变形，∑a=∑asa-)+b∑as 与迪利克雷判别法关系：互有强弱，根据具体情况运用。 黎曼定理：条件收敛的特殊性质，安排顺序收敛到任意目标。 证明：取出其中的正项与负项，由条件知正项与负项的和均发散，从而可安排顺序构造出结果。 △其他内容：绝对收敛可交换次序、级数相乘、无穷乘积（取后化为求和，利用与1差距计算） 二函数项级数 十重要问题 若函数Sx)为函数Sn(c)极限（可看作函数项级数∑u.(工）： n=1 (由此出发须定义一致收敛) 1.5(e)连续，极限是否连续？ 反例：Snm(e)=x,x∈0,1 加条件：Sn(x)一致收敛，则成立。 证明：由定义估算。 2.Sn(x)可积，积分是否可与求和交换？ 反例：Sn(倒)=2n2rem2x,x∈(0,1) 加条件：5()一致收敛，则成立。 证明：利用保连续，由不连续点零测集可数并零测可证明。 另一种“加条件”做法：黎曼可积拓展为勒贝格可积
二 函数项级数 伴 † 任意项级数 伪由数项级数而定义：收敛、发散点集 伱伮 柯西收敛准则 原理：直接对部分和数列利用柯西收敛准则即得结果，是任意项级数收敛的充分必要条件。 例：若某级数所有项取绝对值后得到的正项级数收敛，则此级数必然收敛伨此时称此级数绝对收敛伩； 反之，若级数收敛但取绝对值得到的级数不收敛伨如伨−伱伩n 伱 n 伩，则称此级数条件收敛。 伲伮 莱布尼茨判别法 原理：类似积分判别的证明方式，估算交错级数部分和不同子列。 伳伮 迪利克雷判别法 证明：利用分部求和公式改写和式，从而放缩知收敛。 作用：考虑乘积是否收敛时可拆分判定。 例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n ，x 伽 估时发散，否则令an 伽 佣佯佳 nx, bn 伽 伱 n ，可计算出 X k n=1 an 伽 佣佯佳 k+1 2 x 佳佩佮 k 2 x 伲 佳佩佮 x 2 有界， 因此原级数收敛。 伴伮 阿贝尔判别法 原理：变形， Xn k=1 akbk 伽 Xn k=1 ak伨bk − b伩 伫 b Xn k=1 ak。 与迪利克雷判别法关系：互有强弱，根据具体情况运用。 黎曼定理：条件收敛的特殊性质，安排顺序收敛到任意目标。 证明：取出其中的正项与负项，由条件知正项与负项的和均发散，从而可安排顺序构造出结果。 △其他内容：绝对收敛可交换次序、级数相乘、无穷乘积伨取佬佮后化为求和，利用与伱差距计算伩 二 函数项级数 † 重要问题 若函数S(x伩为函数Sn伨x伩极限伨可看作函数项级数 X∞ n=1 un伨x伩伩： 伨由此出发须定义一致收敛伩 伱伮 Sn伨x伩连续，极限是否连续？ 反例：Sn伨x伩 伽 x n , x ∈ 佛估, 伱佝 加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。 证明：由定义估算。 伲伮 Sn伨x伩可积，积分是否可与求和交换？ 反例：Sn伨x伩 伽 伲n 2x佥 −n 2x 2 , x ∈ 伨估, 伱伩 加条件：Sn伨x伩一致收敛，则成立。 证明：利用保连续，由不连续点零测集可数并零测可证明。 另一种“加条件”做法：黎曼可积拓展为勒贝格可积
二函数项级数 5 3.Sn(e)可导且导数连续，求导是否可与求和交换 反例：S.(回=reR 加条件：S()一致收敛，且S()至少某一点收敛，则成立。 证明：利用保积分，使用牛顿莱布尼茨公式证明。 十一致收敛判据 1.柯西判别法 原理：类似柯西准则，为充要条件。 2△已知收敛结果f时，在上一致收敛等价于职理()-=0。 证明：利用柯西准则。 3.魏尔斯特拉斯判别法 原理：利用柯西判别法，与数列比较。 4.迪利克雷判别法 原理：类似数列的迪利克雷判别法，注意利用一致有界条件。 气云严：低2红-0<<可类蓝臂用造有克司能一致欲 5.阿贝尔判别法 原理：类似数列的阿贝尔判别法（注意此时无法由迪利克雷判别法直接推得）。 6.Dimi定理 原理：类似证明闭集连续函数闭一致连续，利用有限覆盖，可控制全区间大小。 *证明一致收敛技巧：分段估计（若在两段均一致收敛则并集仍一致收敛、注意两个充要条件 例：∑1-到二i血r)一致收敛，通过拆分为0，a(此段可放大为如)与a,(此段sn()一致有 界)两段可以说明。 证明不一致收敛技巧：从原始定义出发、考虑边界处、利用柯西准则找反例 例：考虑工 中四，对任何N,可以：了第N+项到第2N项均大于尝图此和大于鸟 由定义知其不一致收敛。 十幂级数 (复变函数中有重要推广) 考虑∑a,利用柯西判别知<R=mpVa-1时收敛，大于则发散（等于时无法确定）。 *定义满足这样条件的R为级数的收敛半径（复变函数中成为圆）。 *对任何0<r<R,∑ax”在-r,上一致收敛（内闭一致收敛） 证明：将x放大为，利用魏尔斯特拉斯判别法。 由此其满足之前所述的保求和、保导数、保积分等性质。 +--2-a-2- n
二 函数项级数 伵 伳伮 Sn伨x伩可导且导数连续，求导是否可与求和交换？ 反例：Sn伨x伩 伽 佳佩佮 nx √ x , x ∈ R 加条件：S ′ n 伨x伩一致收敛，且Sn伨x伩至少某一点收敛，则成立。 证明：利用保积分，使用牛顿伭莱布尼茨公式证明。 † 一致收敛判据 伱伮 柯西判别法 原理：类似柯西准则，为充要条件。 伲伮 △已知收敛结果f时，fn在I上一致收敛等价于 佬佩佭n→∞ 佳併佰 x∈I |fn伨x伩 − f伨x伩| 伽 估。 证明：利用柯西准则。 伳伮 魏尔斯特拉斯判别法 原理：利用柯西判别法，与数列比较。 伴伮 迪利克雷判别法 原理：类似数列的迪利克雷判别法，注意利用一致有界条件。 例： X∞ n=1 佣佯佳 nx n , x ∈ 佛δ, 伲π − δ佝伨估 < δ < π伩类似数列时利用迪利克雷判别法可判定一致收敛。 伵伮 阿贝尔判别法 原理：类似数列的阿贝尔判别法伨注意此时无法由迪利克雷判别法直接推得伩。 伶伮 佄佩佮佩定理 原理：类似证明闭集连续函数闭一致连续，利用有限覆盖，可控制全区间大小。 伪证明一致收敛技巧：分段估计伨若在两段均一致收敛则并集仍一致收敛伩、注意两个充要条件 例： X∞ n=1 伨伱 − x伩 x n 伱 − x 2n 佳佩佮伨nx伩一致收敛，通过拆分为佛估, a佝伨此段可放大为a n 伩与佛a, 伱佝伨此段佳佩佮伨nx伩一致有 界伩两段可以说明。 伪证明不一致收敛技巧：从原始定义出发、考虑边界处、利用柯西准则找反例 例：考虑 X∞ n=1 佳佩佮伨nx伩 n 。对任何N，可以取x 伽 伱 N 伫 伱 ，第N 伫伱项到第伲N项均大于 佳佩佮 伱 伲N ，因此和大于 佳佩佮 伱 伲 ， 由定义知其不一致收敛。 † 幂级数 伨复变函数中有重要推广伩 考虑 X∞ n=0 anx n，利用柯西判别知|x| < R 伽 伨佬佩佭 佳併佰 n→∞ pn |an|伩 −1时收敛，大于则发散伨等于时无法确定伩。 伪定义满足这样条件的R为级数的收敛半径伨复变函数中成为圆伩。 伪对任何估 < r < R， X∞ n=0 anx n在佛−r, r佝上一致收敛伨内闭一致收敛伩。 证明：将x放大为r，利用魏尔斯特拉斯判别法。 由此其满足之前所述的保求和、保导数、保积分等性质。 例：佬佮伨x 伫 伱伩 伽 Z x 0 伱 t 伫 伱 佤t 伽 Z x 0 X∞ n=0 伨−伱伩n t n佤t 伽 X∞ n=1 伨−伱伩n−1 x n n
傅里叶分析 6 *初等函数可用多项式逼近，因此其幂级数相当于无穷阶泰勒展开，回忆中值定理所推导出的几种余项形 式（拉格朗日余项、柯西余项、多重积分余项）： *记忆基本初等函数的幂级数展开形式。 △一般地说，无穷阶可导未必可以表示为幂级数展开，若可表示则称为实解析函数 魏尔斯特拉斯通近定理：闭区间上函数可用多项式一致逼近÷函数连续。 证明：构造伯恩斯旧多项式，观察其性质，并估算、控制误差。 △Abel定理与Tauber定理：判定幂级数在边界上的性质 十特殊例子 *利用函数项级数可构造出一些特殊的映射 1.存在处处连续，处处不可微的函数 最早构造魏尔斯特拉斯利用三角函数级数 范德瓦尔登“化曲为直”，更直观构造。 证明：级数的每项都是连续函数，利用魏尔斯特拉斯判别法可知一致收敛，从而极限处处连续。计 算导数可发现极限可写为某个士1组成的级数，由于通项不趋向0，级数不可能收敛，故处处不可微。 2.填充正方形的曲线 存在线段到正方形的连续映射（皮亚诺曲线） 证明：仍利用魏尔斯特拉斯判别法推出此映射连续。考虑正方形中某点的二进制表示，可构造合适 的to收敛至此点 △由于厂f=厂广厂f(此处可为)，反常积分可与级数类似方法处理 三傅里叶分析 十定义与计算 关心重点：周期函数（周期足够大可通近任何函数） 一般函数用级数f因=∑A.sin(nwt+pn)=∑(a.sin(nwt)+bcos(nwt)通近 =0 =0 标准展开形式：f俐-罗+∑a,m(u)+6,ot》(此处f以2x为周期 性质：正交性 cos(n)cos(mz)dz=sin(n)sin(mz)dz= }0om地=0 由此可计算系数：e)casr出=a厂e)sn(ar山=d,(注意对aw亦成立) 例1：考虑函数口]在-，止为，以2为周期，计算可得a,=0,6。=(一1-1子，可发现逼近的结果 在(-，)上为f),端点处为0，而f()=一 例2（锯齿波）：考虑函数f(x)在-元，)上为，以2x为周期，此时b=0,a. n2示2n 4 21ng (考虑边界处可得丁
三 傅里叶分析 伶 伪初等函数可用多项式逼近，因此其幂级数相当于无穷阶泰勒展开，回忆中值定理所推导出的几种余项形 式伨拉格朗日余项、柯西余项、多重积分余项伩。 伪记忆基本初等函数的幂级数展开形式。 △一般地说，无穷阶可导未必可以表示为幂级数展开，若可表示则称为实解析函数。 魏尔斯特拉斯逼近定理：闭区间上函数可用多项式一致逼近⇔函数连续。 证明：构造伯恩斯坦多项式，观察其性质，并估算、控制误差。 △ Abel定理与佔佡併佢佥佲定理：判定幂级数在边界上的性质 † 特殊例子 伪利用函数项级数可构造出一些特殊的映射 伱伮 存在处处连续，处处不可微的函数 最早构造伭魏尔斯特拉斯利用三角函数级数 范德瓦尔登“化曲为直”，更直观构造。 证明：级数的每项都是连续函数，利用魏尔斯特拉斯判别法可知一致收敛，从而极限处处连续。计 算导数可发现极限可写为某个±伱组成的级数，由于通项不趋向估，级数不可能收敛，故处处不可微。 伲伮 填充正方形的曲线 存在线段到正方形的连续映射伨皮亚诺曲线伩 证明：仍利用魏尔斯特拉斯判别法推出此映射连续。考虑正方形中某点的二进制表示，可构造合适 的t0收敛至此点。 △ 由于 Z b a f 伽 佬佩佭 A→b− Z A a f 伨此处b可为∞伩，反常积分可与级数类似方法处理 三 傅里叶分析 † 定义与计算 关心重点：周期函数伨周期足够大可逼近任何函数伩 一般函数用级数f伨t伩 伽 X∞ n=0 An 佳佩佮伨nωt 伫 φn伩 伽 X∞ n=0 伨an 佳佩佮伨nωt伩 伫 bn 佣佯佳伨nωt伩伩逼近 标准展开形式：f伨t伩 伽 a0 伲 伫 X∞ n=1 伨an 佳佩佮伨nωt伩 伫 bn 佣佯佳伨nωt伩伩 伨此处f以伲π为周期伩 性质：正交性 Z π −π 佣佯佳伨nx伩 佣佯佳伨mx伩佤x 伽 Z π −π 佳佩佮伨nx伩 佳佩佮伨mx伩佤x 伽 π m 伽 n 估 m ̸伽 n , Z π −π 佣佯佳伨nx伩 佳佩佮伨mx伩佤x 伽 估 由此可计算系数： Z π −π f伨x伩 佣佯佳伨nx伩佤x 伽 πan, Z π −π f伨x伩 佳佩佮伨nx伩佤x 伽 πbn 伨注意对a0亦成立伩 例伱：考虑函数f伨x伩在佛−π, π伩上为x，以伲π为周期，计算可得an 伽 估, bn 伽 伨−伱伩n−1 伲 n ，可发现逼近的结果 在伨−π, π伩上为f伨x伩，端点处为估，而f伨π伩 伽 −π。 例伲伨锯齿波伩：考虑函数f伨x伩在佛−π, π伩上为|x|，以伲π为周期，此时bn 伽 估, an 伽 − 伴 n2π 伲 ∤ n 估 伲 | n , a0 伽 π。 伨考虑边界处可得 X∞ n=0 伱 伨伲n 伫 伱伩2 伽 π 2 伸 伩
三傅里叶分析 3：考虑函数f在-，对上为r,2为周期，此时,=0=1ro=2 (传虑边界处可和之品-司 例4：f)=cos(am,a￥乙，re(←，，计算可.=0.a=-1少2 T二pina,ao=话sin(:) (传虑边界处可得了（一l”a3 a 0-网+1=a} *考虑边界处可发现恒等式 十敛散性判别 *分段可微，间断点有限，则傅里叶级数逐点收敛于 [f(ro) xo为连续点 (((o)+f(姑》xo为间断点 △黎曼勒贝格引理证明：等分区间，由定义估算。 收敛性证明：利用三角恒等式代换为迪利克雷积分，将问题转化为积分的极限是香存在。 平方可积意文下的收敛性：若一厂S。-P让=0，则称为S,积分意义下收敛于形 (此处由完备性应采取勒贝格积分，目前先以黎曼积分讨论) -学+公aa)+aa,计算得s-f-厂了-曾-户d+阅≥0此 即为帕塞瓦尔不等式。 由于是厂了-受-∑(+候)单调有界，极限必然存在，因此积分意义下只需说明极限不能大于0， 定理：黎曼积分下，连续可推出此式极限为0（勒贝格积分下：只需∫可积且平方可积）。 证明：令红=受+(awc(kz)+Ama小可发现工-Pu=s-Pu+ lSn-fPdx,也即Sn为n阶三角多项式下的最佳逼近。 由此，只要∫可用三角多项式逼近（积分意义下），即可说明结论。 *任何连续函数∫可用三角多项式逐点通近。 引理：连续函数的傅里叶级数在Cso意义上一致收敛于原函数（利用迪利克雷积分计算）。 由引理出发可以直接构造出逐点逼近序列。 十傅里叶变换 *由于三角函数求导周期性，傅里叶级数展开在微分方程中有重要应用。 例热传导方程器=0习=写出对：的特里叶级数可第出解的级数表示。 *从-，上展开拓展到(-0，+∞)上展开，由此得出傅里叶积分公式 由绝对可积出发可说明此积分在有限时的和，趋向无穷时的收敛性可由Dii定理判别。 *绝对可积与广义左右导数存在可推出傅里叶积分收敛结果 由此得出傅里叶正弦、余弦变换公式，写为复数形式即得傅里叶变换公式。 *傅里叶展开可看作离散形式的变换 *傅里叶变换可将卷积化为乘积
三 傅里叶分析 伷 例伳：考虑函数f伨x伩在佛−π, π伩上为x 2，以伲π为周期，此时bn 伽 估, an 伽 伨−伱伩n 伴 n2 , a0 伽 伲π 2 伳 。 伨考虑边界处可得 X∞ n=1 伱 n2 伽 π 2 伶 伩 例伴：f伨x伩 伽 佣佯佳伨ax伩, a /∈ Z, x ∈ 伨−π, π伩，计算可得bn 伽 估, an 伽 伨−伱伩n π a 2 a 2 − n2 佳佩佮伨aπ伩, a0 伽 伲 aπ 佳佩佮伨aπ伩。 伨考虑边界处可得 X∞ n=1 伨−伱伩na 2 π伨a 2 − n2伩 伫 伱 伽 a 佳佩佮伨aπ伩 伩 伪考虑边界处可发现恒等式 † 敛散性判别 伪f分段可微，间断点有限，则傅里叶级数逐点收敛于 f伨x0伩 x0为连续点 伱 伲 伨f伨x − 0 伩 伫 f伨x + 0 伩伩 x0为间断点 △ 黎曼伭勒贝格引理证明：等分区间，由定义估算。 收敛性证明：利用三角恒等式代换为迪利克雷积分，将问题转化为积分的极限是否存在。 平方可积意义下的收敛性：若 佬佩佭n→∞ 伱 π Z π −π |Sn − f| 2佤x 伽 估，则称为Sn积分意义下收敛于f。 伨此处由完备性应采取勒贝格积分，目前先以黎曼积分讨论伩 Sn 伽 a0 伲 伫 Xn k=1 伨ak 佣佯佳伨kx伩 伫 bk 佳佩佮伨kx伩伩，计算得 伱 π Z π −π |Sn − f| 2佤x 伽 伱 π Z π −π f − a 2 0 伲 − Xn k=1 伨a 2 k 伫 b 2 k 伩 ≥ 估，此 即为帕塞瓦尔不等式。 由于 伱 π Z π −π f − a 2 0 伲 − Xn k=1 伨a 2 k 伫 b 2 k 伩单调有界，极限必然存在，因此积分意义下只需说明极限不能大于估。 定理：黎曼积分下，f连续可推出此式极限为估 伨勒贝格积分下：只需f可积且平方可积伩。 证明：令Tn 伽 α0 伲 伫 Xn k=1 伨αk 佣佯佳伨kx伩 伫 βk 佳佩佮伨kx伩伩，可发现 伱 π Z π −π |Tn − f| 2佤x 伽 伱 π Z π −π |Sn − f| 2佤x 伫 伱 π Z π −π |Sn − Tn| 2佤x ≥ 伱 π Z π −π |Sn − f| 2佤x，也即Sn为n阶三角多项式下的最佳逼近。 由此，只要f可用三角多项式逼近伨积分意义下伩，即可说明结论。 伪任何连续函数f可用三角多项式逐点逼近。 引理：连续函数的傅里叶级数在佃佥佳伒佡佲佯意义上一致收敛于原函数伨利用迪利克雷积分计算伩。 由引理出发可以直接构造出逐点逼近序列。 † 傅里叶变换 伪由于三角函数求导周期性，傅里叶级数展开在微分方程中有重要应用。 例：热传导方程 ∂u ∂t 伽 ∂ 2u ∂x2 , u伨估, x伩 伽 φ伨x伩，写出u对x的傅里叶级数可算出解的级数表示。 伪从佛−l, l佝上展开拓展到伨−∞, 伫∞伩上展开，由此得出傅里叶积分公式。 由绝对可积出发可说明此积分在有限时的和，趋向无穷时的收敛性可由Dini定理判别。 伪绝对可积与广义左右导数存在可推出傅里叶积分收敛结果 由此得出傅里叶正弦、余弦变换公式，写为复数形式即得傅里叶变换公式。 伪傅里叶展开可看作离散形式的变换 伪傅里叶变换可将卷积化为乘积
四含参变量积分 四含参变量积分 *按照常义积分与反常积分分别讨论 十反常积分的一致收敛 定义：本质与函数项级数一致收敛相同 判别： 1.△关于(4A)的充要条件 与函数项级数时充要条件类似，可以此直接计算说明是否一致收敛 2.柯西收敛原理 充要条件，常用于反例构造 3.魏尔斯特拉斯判别法 与连续函数的无穷积分比较，柯西收敛原理说明 *条件较强，难以使用 4.迪利克雷判别法 利用积分中值定理分段放缩可说明 5.阿贝尔判别法 利用分部积分计算 *当只有单个因子包含时情况更加简化 十重要问题 *重点观察：关于u的函数p四=厂f红，山性质（可看作函数项级数处理） 1.()是否连续？ 对常义积分：二元函数∫连续时，中必然连续。 △此处事实上可弱化为在区间上可积（难证，利用可积函数由连续函数逼近说明）。 对反常积分：添加一致收敛后连续成立（通过拆分逼近）。 2.p()是否可导？ 对常义积分：∫与存在且连续时，可由定义直接计算导数 *,b为常数时，可直接交换求导，否则考虑拆分为复合函数可计算出导数 对反常积分：求导后连续且一致收敛可推出求导与积分可交换 3.(u)是否可积？ 对常义积分：连续时积分号可以交换顺序(A2知识) 对反常积分：添加一致收敛，拆分通近知对常义积分可与广义积分交换 △对u广义积分时，首先需对工，u分别的广义积分均一致收敛，再添加绝对可积条件 △非负时，利用Dii定理可弱化条件
四 含参变量积分 伸 四 含参变量积分 伪按照常义积分与反常积分分别讨论 † 反常积分的一致收敛 定义：本质与函数项级数一致收敛相同 判别： 伱伮 △ 关于η伨A伩的充要条件 与函数项级数时充要条件类似，可以此直接计算说明是否一致收敛 伲伮 柯西收敛原理 充要条件，常用于反例构造 伳伮 魏尔斯特拉斯判别法 与连续函数的无穷积分比较，柯西收敛原理说明 伪条件较强，难以使用 伴伮 迪利克雷判别法 利用积分中值定理分段放缩可说明 伵伮 阿贝尔判别法 利用分部积分计算 伪当只有单个因子包含u时情况更加简化 † 重要问题 伪重点观察：关于u的函数φ伨u伩 伽 Z b a f伨x, u伩佤x性质伨可看作函数项级数处理伩 伱伮 φ伨u伩是否连续？ 对常义积分：二元函数f连续时，φ必然连续。 △ 此处事实上可弱化为f在区间上可积伨难证，利用可积函数由连续函数逼近说明伩。 对反常积分：添加一致收敛后连续成立伨通过拆分逼近伩。 伲伮 φ伨u伩是否可导？ 对常义积分：f与 ∂f ∂u存在且连续时，可由定义直接计算导数 伪a, b为常数时，可直接交换求导，否则考虑拆分为复合函数可计算出导数 对反常积分：求导后连续且一致收敛可推出求导与积分可交换 伳伮 φ伨u伩是否可积？ 对常义积分：f连续时积分号可以交换顺序伨佁伲知识伩 对反常积分：添加一致收敛，拆分逼近知对u常义积分可与广义积分交换 △ 对u广义积分时，首先需对x, u分别的广义积分均一致收敛，再添加绝对可积条件 △ 非负时，利用佄佩佮佩定理可弱化条件
四含参变量积分 *积分计算 例：1a)= 广。子山，分部可第得r回=1+O,由此直接积分有o=-m0+受 02 特别地，10-7 十「函数与B函数 ro=厂-e-at s>0时，T(s)收敛，可任意阶求导（一致收敛性）· 「函数性质： 1.S>0上恒正且r(1)=1 2.分部积分可得递推T(s+1)=s(s),由此T()=(m-1川 3.利用赫尔德不等式可说明l血T(s)为凸函数 △真正的性质在复变函数中 *与之相对，由此三条可唯一确定出Γ函数 B(m,q)=tP-(1-t)9-1dt 分部积分知有递推B(P+1,9)= .1) 两政联系一记于号何通过分析三条性质或直接计算说明别 r(p)r(q *可推出斯特林公式
四 含参变量积分 伹 伪积分计算 例：I伨α伩 伽 Z ∞ 0 佥 −αx 佳佩佮 x x 佤x，分部可算得I ′ 伨α伩 伽 − 伱 伫 I ′ 伨α伩 α2 ，由此直接积分有I伨α伩 伽 − 佡佲佣佴佡佮 α 伫 π 伲 。 特别地，I伨估伩 − π 伲 。 † Γ函数与B函数 伀伨s伩 伽 Z ∞ 0 t s−1 e −t佤t s > 估时，伀伨s伩收敛，可任意阶求导伨一致收敛性伩。 伀函数性质： 伱伮 S > 估上恒正且伀伨伱伩 伽 伱 伲伮 分部积分可得递推伀伨s 伫 伱伩 伽 s伀伨s伩，由此伀伨n伩 伽 伨n − 伱伩伡 伳伮 利用赫尔德不等式可说明佬佮 伀伨s伩为凸函数 △真正的性质在复变函数中 伪与之相对，由此三条可唯一确定出伀函数 佂伨p, q伩 伽 Z 1 0 t p−1 伨伱 − t伩 q−1佤t 分部积分知有递推佂伨p 伫 伱, q伩 伽 p p 伫 q 佂伨p, q 伫 伱伩 两函数联系：佂伨p, q伩 伽 伀伨p伩伀伨q伩 伀伨p 伫 q伩 伨可通过分析三条性质或直接计算说明伩 伪可推出斯特林公式
