01 指数函数与对数函数 目录》 02 三角函数 CONTENTS 03 幂函数
01 指数函数与对数函数 目 录 CONTENTS 02 三角函数 03 幂函数
01 PART 指数函数与对数函数
指数函数与对数函数 01 PART
指数函数 定义对z=x+iy,定义指数函数e2=ex(cosy+isiny). 注当z为实数（即y=0)时，该定义与实指数函数一致
指数函数 定义 对 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦，定义指数函数 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 (cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦)． 注 当 𝑧 为实数（即 𝑦 = 0）时，该定义与实指数函数一致．
指数函数的性质 定理(1)指数函数是整函数，且(e)'=e2: (2)lez=ex,Argez=y+2kn (3)对一切复数z,e2≠0； (4)指数函数是周期函数，ez+2πi=e2； (5)若2≠z2且lm(z1-z2川<2m,则e21≠e; (6)e21e24=e21+2,(e2)-1=ez,e2=ez
指数函数的性质 定理 (1) 指数函数是整函数，且 (𝑒 𝑧 )′ = 𝑒 𝑧； (2) 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥 ，Arg 𝑒 𝑧 = 𝑦 + 2𝑘𝜋； (3) 对一切复数 𝑧，𝑒 𝑧 ≠ 0； (4) 指数函数是周期函数，𝑒 𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒 𝑧； (5) 若 𝑧1 ≠ 𝑧2 且 |Im 𝑧1 − 𝑧2 | < 2𝜋，则 𝑒 𝑧1 ≠ 𝑒 𝑧2； (6) 𝑒 𝑧1𝑒 𝑧2 = 𝑒 𝑧1+𝑧2 ，(𝑒 𝑧 ) −1 = 𝑒 −𝑧 ，𝑒 𝑧ҧ=𝑒 𝑧 ．
对数函数 定义对一切z≠0，定义对数函数 Lnz In|z+iArg z; 以及对数函数的主值 Inz =In|z i argz 注复对数函数是多值的.当z为正实数时，对数函数的主值就是实 对数函数
对数函数 定义 对一切 𝑧 ≠ 0，定义对数函数 Ln 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖 Arg z； 以及对数函数的主值 ln 𝑧 = ln |𝑧| + 𝑖 arg z． 注 复对数函数是多值的．当 𝑧 为正实数时，对数函数的主值就是实 对数函数．
对数函数的性质 定理(1)对数函数是指数函数的反函数； (2)在沿原点和负实轴割破的复平面上，Qnz)'=1; (3)若对区域D上的一切复数z1和z2,都有Im(z1-z2)川<2π，则在 该区域上可定义指数函数的反函数（称为对数函数的一个单值分支）， 且反函数是解析的 注以下等式一般不再成立 ln(z1z2)=lnz1+lnz2·
对数函数的性质 定理 (1) 对数函数是指数函数的反函数； (2) 在沿原点和负实轴割破的复平面上， ln 𝑧 ′ = 1 𝑧 ； (3) 若对区域 𝐷 上的一切复数 𝑧1 和 𝑧2，都有 |Im 𝑧1 − 𝑧2 | < 2𝜋，则在 该区域上可定义指数函数的反函数（称为对数函数的一个单值分支）， 且反函数是解析的． 注 以下等式一般不再成立 ln 𝑧1𝑧2 = ln𝑧1 + ln 𝑧2．
02 PART 三角函数
三角函数 02 PART
三角函数 定义对任意复数z,定义 eizte-iz e iz-e-iz cOSZ sinz= 2 2i 称为余弦函数和正弦函数 注1当z为实数（即y=0)时，该定义与实三角函数一致. 注2可进一步定义复变量的正切函数tanz=sn2 和余切函数cotz= cosz cosZ 等 sinz
三角函数 定义 对任意复数 𝑧，定义 cos𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 2 ， sin 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 2𝑖 ， 称为余弦函数和正弦函数． 注1 当 𝑧 为实数（即 𝑦 = 0）时，该定义与实三角函数一致． 注2 可进一步定义复变量的正切函数 tan 𝑧 = sin𝑧 cos 𝑧 和余切函数 cot 𝑧 = cos 𝑧 sin 𝑧 等．
三角函数的零点 定理正弦函数和余弦函数在复平面上，没有增加新的零点· 证明考虑方程sinz=0,由正弦函数的定义，该方程等价于ez- eiz=0,即 e2iz =1. 于是 2iz Ln 1 In1+iArg 1=2kni, 其中k为整数，从而z=kπ. 余弦函数情形的证明是类似的
三角函数的零点 定理 正弦函数和余弦函数在复平面上，没有增加新的零点． 证明 考虑方程 sin 𝑧 = 0，由正弦函数的定义，该方程等价于 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 = 0，即 𝑒 2𝑖𝑧 = 1． 于是 2𝑖𝑧 = Ln 1 = ln 1 + 𝑖 Arg 1 = 2𝑘𝜋𝑖， 其中 𝑘 为整数，从而 𝑧 = 𝑘𝜋． 余弦函数情形的证明是类似的．
三角函数公式 定理cos2z+sin2z=1. 证明由余弦函数和正弦函数的定义， 2 =4(e2u+e2+2); sr=(色2e-e 2+e-2-2): 于是cos2z+sin2z=1. 注事实上，关于三角函数的代数恒等式，只要不涉及多值运算（例如开 根号)，对复变量仍成立·
三角函数公式 定理 cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1． 证明 由余弦函数和正弦函数的定义， cos2 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 2 2 = 1 4 𝑒 2𝑖𝑧 + 𝑒 −2𝑖𝑧 + 2 ； sin2 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 2𝑖 2 = − 1 4 𝑒 2𝑖𝑧 + 𝑒 −2𝑖𝑧 − 2 ； 于是 cos2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1． 注 事实上，关于三角函数的代数恒等式，只要不涉及多值运算（例如开 根号），对复变量仍成立．