长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第八讲向量.pdf_大学文库

第八讲，向量一，n维向量的概念与运算 ()n维行向量：(a,2…,an),n维列向量：(a1,2…,an)T (②)如果a=(a1,2…,an)T,3=(b1,b2…,bn)T,则 ①加法：（间数乘 ()内积(a,)=a+ +…+an=aTB=a.(3)若a,)=0,称a与B正交，a的长度是用Vg90孩a80 二、线性组合与线性表出 1.向量组与矩阵 )若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组向量组中向量的个数可以是有限，也可以是无限。 (②)一个由m个n维的行（列）向量组成的向量组构成一个m×n(n×m)的矩阵A,一个m×n(n×m)的矩阵A按行（列）分块构成一个由m个维的行（列）向量组成的向量组.特别的，n个维列向量组成的向量组A:a1,02, ,n构成一个m阶方阵A=(a1,02,…,0n),其行列式A=a1,2,,n 2.线性表出 ()B可以由向量组a1,02,…,a,的线性表出台存在一组数k1,2,…,k,使得k11十22十+k,,= 3台方程101+202+…+x,0。=有解台方程(o1,a2,…,0z=3有解. (②)3可以由向量组a1,2,·,a,的唯一线性表出（或两种以上线性表出，不能线性表出）台方程r11+22 =8有一解（无穷多，无解） ÷r(B=r(A)=s(或r(B=r(A)<,r(A)<r(B). 其中A=(a1,a2,…,a,),B=(A,3). 3.向量组等价设A:a1,a2,…,am与B:31,B2,…,8.为同维数向量组，若A中每个向量都可由向量组B线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出，如两向量组可以相互线性表出.则称这两个向量组等价. …,3)为同维数列向量组则中存在矩阵Kmxn使得(3,2，…：B)=(a,a2,·,0m)Kmxn 台方程AX=B有解X=Kmxn 44B)=41. 2)向量组A与B等价存在矩阵K xn及Lnxn使得 (3,32,…,3n）=(a1,a2,…,0m)Kmxm,(a02,…,am)=(31,32,…,n)Lnxm +r(A,B)=r(A)=r(B). (3)若AB=C,则下列说法成立 )C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，表示的矩阵为B: ()若B为可逆方阵，则C与A的列向量组等价 ()C的行向量组可以由B的行向量组线性表示，表示的矩阵为A (w)若A为可逆方阵，则C与B的行向量组等价：三，向量组的线性相关与线性无关 1.线性相关与线性无关的充分必要条件

1l˘, ï˛ ò, nëï˛VgÜ$é (1) n ë1ï˛: (a1, a2 · · · , an), n ëï˛: (a1, a2 · · · , an) T , (2) XJα = (a1, a2 · · · , an) T , β = (b1, b2 · · · , bn) T ,K (i) \{;(ii) Í¶ (iii) S»:(α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = α T β = β T α.(3) e(α, β) = 0,°αÜβ,α › ¥kαk = p a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n , @oα T α = 0 ⇔ α = 0. !Ç5|‹ÜÇ5L— 1. ï˛|Ü› (1) eZá”ëÍï˛(½”ëÍ1ï˛)§|§8‹âï˛|.ï˛|•ï˛áÍå± ¥kÅ, èå±¥ÃÅ. (2) òádmánë1()ï˛|§ï˛|§òám × n(n × m)› A, òám × n(n × m) › AU1()©¨§òádmánë1()ï˛|§ï˛|. AO, nánëï˛|§ï˛ |A : α1, α2, · · · , αn §òánê A = (α1, α2, · · · , αn),Ÿ1™|A| = |α1, α2, · · · , αn|; 2. Ç5L— (1) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5L—⇔ 3ò|Ík1, k2, · · · , ks¶k1α1+k2α2+· · ·+ksαs = β ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βk)⇔ êß(α1, α2, · · · , αs)x = βk). (2) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsçòÇ5L—(½¸´±˛Ç5L—,ÿUÇ5L—) ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βkçò)(Ã°ı,Ã)) ⇔ r(B) = r(A) = s(½r(B) = r(A) < s, r(A) < r(B)). Ÿ•A = (α1, α2, · · · , αs), B = (A, β). 3. ï˛|d A : α1, α2, · · · , αmÜB:β1, β2, · · · , βnè”ëÍï˛|,eA •záï˛—ådï˛|BÇ5L—,K °ï˛|Aådï˛|BÇ5L—,X¸ï˛|å±ÉpÇ5L—,K°˘¸áï˛|d. -A = (α1, α2, · · · , αm),B = (β1, β2, · · · , βn)è”ëÍï˛|.K (1) ï˛|Bå±AÇ5L´ ⇔ 3› Km×n¶(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n ⇔êßAX = Bk)X = Km×n ⇔r(A, B) = r(A); (2) ï˛|AÜBd ⇔ 3› Km×n9Ln×n¶ (β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n,(α1, α2, · · · , αm) = (β1, β2, · · · , βn)Ln×m ⇔r(A, B) = r(A) = r(B). (3) eAB = C,Ke`{§· (i) Cï˛|å±dAï˛|Ç5L´, L´› èB; (ii) eBèå_ê , KCÜAï˛|d; (iii) C1ï˛|å±dB1ï˛|Ç5L´,L´› èA; (iv) eAèå_ê , KCÜB1ï˛|d; n,ï˛|Ç5É'ÜÇ5Ã' 1. Ç5É'ÜÇ5Ã'ø©7á^á 1

(②)一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组中所含向量的个数都是，即个数是由原向量组唯一确定的， 2.向量组的秩：向量组a1,a2,·,a,的极大线性无关组所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(Q1,a2,·,a,) 3.矩阵的秩：矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A) (1)矩阵A的秩r(4)=r=A中有阶子式不为0，r+1阶子式（若还有）全为0： (2)矩阵A的秩r(A)≥r=A中有r阶子式不为0： (3)矩阵A的秩r(A)<r三A中阶子式全为0 (④)若A为非零矩阵，则r(4)≥1 4,向量组的秩与矩阵的秩的关系 (1)r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）. (②)经初等变换矩阵，向量组的秩均不变因此(A)为A的行阶梯形矩阵中非零行的个数。 (③)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(4)≤r(B)特别地，等价的向量组具有相同的秩 5.如何求向量组（矩阵）的秩 a),(①利用初等行变换化A为行阶梯形矩阵.则行阶梯形矩阵的非零行的个数即为r(A:(②)利用矩阵的秩的定义六矩阵的秩的垂要公式 1.T(4)=r(AT);2.r(4+B)≤r(4+r(B:3.r(kA)=r(A),k≠0： 4.r(AB)≤min(r(A),r(B):5.若A是m×n矩阵，则r(A)≤mim{m,n: 5.若A可逆，则r(AB)=r(B):若B可逆，则r(AB)=r(A: 6.若A是m ×n矩阵，B是n×矩阵，如AB=0,则()+r(B)≤ ）=n 7.r(4)= 1,r(4=n-1 0,r(A)<n 8.设A为m×n矩阵.则：r(ATA)=r(A) 注()等价向量组具有传递性，对称性及反身性.但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样 (2)任一向量组和它的极大无关组等价 (3)向量组的任意两个极大无关组等价」 ()两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同. (5)等价的向量组具有相同的秩但秩相同的向量组不一定等价 (6)如果向量组(A)可由向量组(B)线性表出且A) (B),则(A)与(B)等价 ()关于AB=0要有两种构思是B的列向量是齐次方程组Ar=0的解一是秩r(A+r(B)≤n (8)认真体会矩阵、向量和线性方程组之间的联系. 七，Schmid正交单位化 (1)若a1.a线性无关. (正交化：」 a-8 ()单位化：记高，=1,2 (②)若a1,2,a3线性无关两两正交，则只需单位化：记=高，i=1,2,3. 八，向量空间 1.定义设V为n维实向量的非空集合，若a+B,ka∈V对任意a,月∈V及实数k,称V为向量空间

(1) ‡gÇ5êß|)8S = {x|Ax = 0}¥òáï˛òm, °è‡gÇ5êß|)òm,ö‡g Ç5êß|)8S = {x|Ax = b}ÿ¥òáï˛òm. (2) α1, α2, · · · , αs ∈ V ,L(α1, α2, · · · , αs) = {k1α1+k2α2+· · ·+ksαs|k1, · · · , ks ∈ R}°èdα1, α2, · · · , αsV ) §ï˛òm. 2. ƒ⁄ãI (i) V èï˛òm, V äèï˛|Ÿ4åÇ5Ã'|§èV òáƒ, 4åÇ5Ã'|•ï˛á Í(=V ù)°èV ëÍ, Pèdim(V ), œddim(V ) = r(V ). (ii) V èrëï˛òm, åα1, · · · , αrèV òáƒ, È?øβ ∈ V , 3çòò|Íx1, x2, · · · , xr¶ β = x1α1 + x2α2 + · · · + xrαr, °x = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãI. -A = (α1, · · · , αr),Kx = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãIÖ=x = (x1, x2, · · · , xr) Tè Ç5êß|Ax = β). (iii) dimL(α1, α2, · · · , αs) = r(α1, α2, · · · , αs). 3. =CÜ⁄ãICÜ V èrëï˛òm, α1, · · · , αr, β1, · · · , βrèV ¸áƒ,Kβ1, · · · , βrÜα1, · · · , αrd, œd3r › P, Q¶(β1, · · · , βr) = (α1, · · · , αr)P,(α1, · · · , αr) = (β1, · · · , βr)Q°Pèdα1, · · · , αrβ1, · · · , βr Lfi› , Qèdβ1, · · · , βrα1, · · · , αrLfi› . åP Q = E, œdLfi› ò½èå_› . , ~K.9)Kê{ÜE| K.ò, Ç5|‹,Ç5É'O ~8.1(1) eα1 = (1, 0, 5, 2)T , α2 = (3, −2, 3, −4)T , α3 = (−1, 1, t, 3)TÇ5É',Kt = ( ). (2) eα1 = (1, −1, 2, 4)T , α2 = (0, 3, 1, 2)T , α3 = (3, 0, 7, a) T , α4 = (1, −2, 2, 0)T .Ç5Ã',Kaä âåè( ). (3) (2005)eα1 = (2, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 1, a, a) T , α3 = (3, 2, 1, a) T , α4 = (4, 3, 2, 1)T .Ç5É'Öa 6= 1,Ka = . (4) (2010,1)α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òm ëÍ¥2,Ka = . ~8.2(1) (2006)α1, α2, αsènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥ (A) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (B) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (C) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (D) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (2) (2006)ï˛|I : α1, α2, · · · , αrå±dï˛|II : β1, β2, · · · , βsÇ5L´. (A) er s,Kï˛|IIÇ5É'; 4

长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第八讲 向量

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