第八讲，向量 一，n维向量的概念与运算 ()n维行向量：(a,2…,an),n维列向量：(a1,2…,an)T (②)如果a=(a1,2…,an)T,3=(b1,b2…,bn)T,则 ①加法：（间数乘 ()内积(a,)=a+ +…+an=aTB=a.(3)若a,)=0,称a与B正交，a的长度 是用Vg90孩a80 二、线性组合与线性表出 1.向量组与矩阵 )若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组向量组中向量的个数可以 是有限，也可以是无限。 (②)一个由m个n维的行（列）向量组成的向量组构成一个m×n(n×m)的矩阵A,一个m×n(n×m)的 矩阵A按行（列）分块构成一个由m个维的行（列）向量组成的向量组.特别的，n个维列向量组成的向量 组A:a1,02, ,n构成一个m阶方阵A=(a1,02,…,0n),其行列式A=a1,2,,n 2.线性表出 ()B可以由向量组a1,02,…,a,的线性表出台存在一组数k1,2,…,k,使得k11十22十+k,,= 3台方程101+202+…+x,0。=有解台方程(o1,a2,…,0z=3有解. (②)3可以由向量组a1,2,·,a,的唯一线性表出（或两种以上线性表出，不能线性表出） 台方程r11+22 =8有 一解（无穷多，无解） ÷r(B=r(A)=s(或r(B=r(A)<,r(A)<r(B). 其中A=(a1,a2,…,a,),B=(A,3). 3.向量组等价 设A:a1,a2,…,am与B:31,B2,…,8.为同维数向量组，若A中每个向量都可由向量组B线性表出，则 称向量组A可由向量组B线性表出，如两向量组可以相互线性表出.则称这两个向量组等价. …,3)为同维数列向量组则 中存在矩阵Kmxn使得(3,2，…：B)=(a,a2,·,0m)Kmxn 台方程AX=B有解X=Kmxn 44B)=41. 2)向量组A与B等价 存在矩阵K xn及Lnxn使得 (3,32,…,3n）=(a1,a2,…,0m)Kmxm,(a02,…,am)=(31,32,…,n)Lnxm +r(A,B)=r(A)=r(B). (3)若AB=C,则下列说法成立 )C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，表示的矩阵为B: ()若B为可逆方阵，则C与A的列向量组等价 ()C的行向量组可以由B的行向量组线性表示，表示的矩阵为A (w)若A为可逆方阵，则C与B的行向量组等价： 三，向量组的线性相关与线性无关 1.线性相关与线性无关的充分必要条件
1l˘, ï˛ ò, nëï˛VgÜ$é (1) n ë1ï˛: (a1, a2 · · · , an), n ëï˛: (a1, a2 · · · , an) T , (2) XJα = (a1, a2 · · · , an) T , β = (b1, b2 · · · , bn) T ,K (i) \{;(ii) Ͷ (iii) S»:(α, β) = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = α T β = β T α.(3) e(α, β) = 0,°αÜβ,α › ¥kαk = p a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n , @oα T α = 0 ⇔ α = 0. !Ç5|‹ÜÇ5L— 1. ï˛|Ü› (1) eZá”ëÍï˛(½”ëÍ1ï˛)§|§8‹âï˛|.ï˛|•ï˛áÍå± ¥kÅ, èå±¥ÃÅ. (2) òádmánë1()ï˛|§ï˛|§òám × n(n × m)› A, òám × n(n × m) › AU1()©¨§òádmánë1()ï˛|§ï˛|. AO, nánëï˛|§ï˛ |A : α1, α2, · · · , αn §òán ê A = (α1, α2, · · · , αn),Ÿ1™|A| = |α1, α2, · · · , αn|; 2. Ç5L— (1) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5L—⇔ 3ò|Ík1, k2, · · · , ks¶k1α1+k2α2+· · ·+ksαs = β ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βk)⇔ êß(α1, α2, · · · , αs)x = βk). (2) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsçòÇ5L—(½¸´±˛Ç5L—,ÿUÇ5L—) ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βkçò)(ðı,Ã)) ⇔ r(B) = r(A) = s(½r(B) = r(A) < s, r(A) < r(B)). Ÿ•A = (α1, α2, · · · , αs), B = (A, β). 3. ï˛| d A : α1, α2, · · · , αmÜB:β1, β2, · · · , βnè”ëÍï˛|,eA •záï˛—ådï˛|BÇ5L—,K °ï˛|Aådï˛|BÇ5L—,X¸ï˛|å±ÉpÇ5L—,K°˘¸áï˛| d. -A = (α1, α2, · · · , αm),B = (β1, β2, · · · , βn)è”ëÍï˛|.K (1) ï˛|Bå±AÇ5L´ ⇔ 3› Km×n¶(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n ⇔êßAX = Bk)X = Km×n ⇔r(A, B) = r(A); (2) ï˛|AÜB d ⇔ 3› Km×n9Ln×n¶ (β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n,(α1, α2, · · · , αm) = (β1, β2, · · · , βn)Ln×m ⇔r(A, B) = r(A) = r(B). (3) eAB = C,Ke`{§· (i) Cï˛|å±dAï˛|Ç5L´, L´› èB; (ii) eBèå_ê , KCÜAï˛| d; (iii) C1ï˛|å±dB1ï˛|Ç5L´,L´› èA; (iv) eAèå_ê , KCÜB1ï˛| d; n,ï˛|Ç5É'ÜÇ5Ã' 1. Ç5É'ÜÇ5Ã'ø©7á^á 1
()向量组a1,a2,·,a.线性相关 存在一组不全为零的数1,2 ,kn,使得a1+k22+…+kan=0(定义) ÷齐次方程组(a1,2,…,a) =0有非零解 分向量组的秩r(a1,02, nlt,则a1,a2,,a,线性相关。 等价地说：若向量组a1,a2,…,a,线性无关且可由向量组81,2.…，B,线性表出，则s≤t. 4若向量组a1,2 。可由向量组，2 ，线性表出，且a1,2,…,a,线性无关，则s≤t 5.若(a1,2,…,,) (，…，月)Kx,则 (1)若，32，…，B,则a1,a2,…,a,线性无关=Kx卡0=Kx,可逆 (2)若Kx可逆，则品1,2…，月与，2，…，B 五，向量组的秩与矩阵的秩 (一)向量组的秩与矩阵的秩的概念 1.极大线性无关组：在向量组a1,Q2,·,a,中如存在一个部分组a,a2,·,0.线性无关，而再添加 进组中任一向量（如果有的话）向量组一定线性相关则称向量组1，Q2,:·,a,是向量组的一个极大线性无 关组。 注()只有一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，规定它的秩为0.一个线性无关向量组 的极大线性无关组就是该向量组自身 2
(i) ï˛|α1, α2, · · · , αs Ç5É' ⇔ 3ò|ÿ è"Ík1, k2, · · · , kn,¶k1α1 + k2α2 + · · · + ksαn = 0(½¬) ⇔ ‡gêß|(α1, α2, · · · , αs) x1 x2 . . . xs = 0kö") ⇔ï˛|ùr(α1, α2, · · · , αs) t,Kα1, α2, · · · , αsÇ5É'. d/`:eï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'Öådï˛|β1, β2, · · · , βt Ç5L—, Ks ≤ t. 4. eï˛|α1, α2, · · · , αs ådï˛|β1, β2, · · · , βtÇ5L—,Öα1, α2, · · · , αsÇ5Ã',Ks ≤ t. 5. e(α1, α2, · · · , αs) = (β1, β2, · · · , βs)Ks×s, K (1) eβ1, β2, · · · , βs, Kα1, α2, · · · , αsÇ5Ã' |Ks×s| 6= 0 Ks×så_; (2) eKs×så_, Kβ1, β2, · · · , βsÜβ1, β2, · · · , βs. ,ï˛|ùÜ› ù (ò) ï˛|ùÜ› ùVg 1.4åÇ5Ã'|: 3ï˛|α1, α2, · · · , αs•,X3òá‹©|αi1 , αi2 , · · · , αirÇ5Ã', 2V\ ?|•?òï˛(XJk{)ï˛|ò½Ç5É',K°ï˛|α1, α2, · · · , αs¥ï˛|òá4åÇ5à '|. 5 (1) êkòá"ï˛§ï˛|ÿ34åÇ5Ã'|,5½ßùè0.òáÇ5Ã'ï˛| 4åÇ5Ã'|“¥Tï˛|g . 2
(②)一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大 线性无关组中所含向量的个数都是，即个数是由原向量组唯一确定的， 2.向量组的秩：向量组a1,a2,·,a,的极大线性无关组所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(Q1,a2,·,a,) 3.矩阵的秩：矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A) (1)矩阵A的秩r(4)=r=A中有阶子式不为0，r+1阶子式（若还有）全为0： (2)矩阵A的秩r(A)≥r=A中有r阶子式不为0： (3)矩阵A的秩r(A)<r三A中阶子式全为0 (④)若A为非零矩阵，则r(4)≥1 4,向量组的秩与矩阵的秩的关系 (1)r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）. (②)经初等变换矩阵，向量组的秩均不变因此(A)为A的行阶梯形矩阵中非零行的个数。 (③)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(4)≤r(B)特别地，等价的向量组具有相同的秩 5.如何求向量组（矩阵）的秩 a),(①利用初等行变换化A为行阶梯形矩阵.则行阶梯形矩阵的非零行的个数即 为r(A:(②)利用矩阵的秩的定义 六矩阵的秩的垂要公式 1.T(4)=r(AT);2.r(4+B)≤r(4+r(B:3.r(kA)=r(A),k≠0： 4.r(AB)≤min(r(A),r(B):5.若A是m×n矩阵，则r(A)≤mim{m,n: 5.若A可逆，则r(AB)=r(B):若B可逆，则r(AB)=r(A: 6.若A是m ×n矩阵，B是n×矩阵，如AB=0,则()+r(B)≤ ）=n 7.r(4)= 1,r(4=n-1 0,r(A)<n 8.设A为m×n矩阵.则：r(ATA)=r(A) 注()等价向量组具有传递性，对称性及反身性.但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样 (2)任 一向量组和它的极大无关组等价 (3)向量组的任意两个极大无关组等价」 ()两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同. (5)等价的向量组具有相同的秩但秩相同的向量组不一定等价 (6)如果向量组(A)可由向量组(B)线性表出且A) (B),则(A)与(B)等价 ()关于AB=0要有两种构思 是B的列向量是齐次方程组Ar=0的解一是秩r(A+r(B)≤n (8)认真体会矩阵、向量和线性方程组之间的联系. 七，Schmid正交单位化 (1)若a1.a线性无关. (正交化：」 a-8 ()单位化：记 高，=1,2 (②)若a1,2,a3线性无关两两正交，则只需单位化：记=高，i=1,2,3. 八，向量空间 1.定义设V为n维实向量的非空集合，若a+B,ka∈V对任意a,月∈V及实数k,称V为向量空间
(2) òÑ5`,ï˛|4åÇ5Ã'|ÿ¥çò,˘ 4åÇ5Ã'|¥ d,l zá4å Ç5Ã'|•§¹ï˛áÍ—¥r,=áÍr¥dï˛|çò(½. 2.ï˛|ù: ï˛|α1, α2, · · · , αs4åÇ5Ã'|§¹ï˛áÍr°èTï˛|ù,Pèr(α1, α2, · · · , αs) = r. 3.› ù: › A •ö"f™Åp Í°è› Aù,Pär(A). (1) › Aùr(A) = r A•kr f™ÿè0, r + 1 f™(eÑk) è0; (2) › Aùr(A) ≥ r A •kr f™ÿè0; (3) › Aùr(A) < r A •r f™ è0; (4) eAèö"› ,Kr(A) ≥ 1. 4. ï˛|ùÜ› ù'X (1) r(A) = A1ù(› A1ï˛|ù)= Aù(› A ï˛|ù). (2) ²– CÜ› ,ï˛|ù˛ÿC.œdr(A)èA1 F/› •ö"1áÍ. (3) eï˛|Aådï˛|BÇ5L—,Kr(A) ≤ r(B) AO/, dï˛|‰kÉ”ù. 5. X¤¶ï˛|(› )ù -A = (α1, α2, · · · , αn), (1) |^– 1CÜzAè1 F/› ,K1 F/› ö"1áÍ= èr(A); (2) |^› ù½¬. 8,› ùá˙™ 1. r(A) = r(AT ); 2. r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 3. r(kA) = r(A), k 6= 0; 4. r(AB) ≤ min(r(A), r(B)); 5. eA¥m × n› ,Kr(A) ≤ min{m, n}; 5. eAå_,Kr(AB) = r(B);eBå_,Kr(AB) = r(A); 6. eA¥m × n› , B¥n × p› ,XAB = 0,Kr(A) + r(B) ≤ n. 7. r(A∗ ) = n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n 8. Aèm × n› , K: r(AT A) = r(A). 5 (1) dï˛|‰kD45,È°59á 5.ï˛áÍå±ÿò,Ç5É'5èå±ÿò. (2)?òï˛|⁄ß4åÃ'| d. (3)ï˛|?ø¸á4åÃ'| d. (4)¸á dÇ5Ã'ï˛|§¹ï˛áÍÉ”. (5) dï˛|‰kÉ”ù,ùÉ”ï˛|ÿò½ d. (6)XJï˛|(A)ådï˛|(B)Ç5L—Ör(A) = r(B),K(A)Ü(B) d. (7)'uAB = 0 ák¸´g:ò¥Bï˛¥‡gêß|Ax = 0),ò¥ùr(A) + r(B) ≤ n. (8)@˝N¨› !ï˛⁄Ç5êß|ÉmÈX. ‘,Schmidt¸†z (1) eα1, α2Ç5Ã', (i) z: β1 = α1, β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1. (ii) ¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2. (2) eα1, α2, α3Ç5Ã'¸¸,KêI¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2, 3. l,ï˛òm 1. ½¬ V ènë¢ï˛öò8‹, eα + β, kα ∈ V È?øα, β ∈ V 9¢Ík, °V èï˛òm. 3
(①)齐次线性方程组的解集S={z4缸=0}是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间，非齐次 线性方程组的解集3={4x=}不是一个向量空间. …,a,∈V,L(a1,2,…,)={1a1+k22++k,ak1,…,k∈称为由a1,a2,…,a,V生 2.基和坐标 ()设V为向量空间，V作为向量组其极大线性无关组成为V的一个基，极大线性无关组中向量的个 数（即V的秩）称为v维数，记为di 得B=1a1+202+…+工r0r,称x=(1,2,…,)F为3关于基01，…，ar的坐标. 令A=(a,…,ar),则x=c1,2,…,工，)T为B关于基a1,…,a,的坐标当且仅当r=(c1,2,…,工)T为 线性方程组Ax=的解 (i)dimL(o, 3.即变换和坐标变换 设设V为r维向量空间，a1,…,a,月1，…，B,为V的两个基，则品1，…，3，与a1,…,a,等价，因此存在r阶 矩阵P,Q使得(1, 8) 到8 ,的 一定为可逆矩阵 九，常考题型及解题方法与技巧 题型一，线性组合，线性相关的判别 例8.1)若a1=1,0,5,2T,a2=(3,-2,3,-4T,a3=(-1,1.,3)T线性相关则t=( (②)若a1=(1,-1,2,4)T,2=(0,3,1,2)T,ag=(3,0,7,a),a4-(1,-2,2,0)F线性无关则a的取值 范围为(). (3)(2005)若a1=(2,1,1,1)T,a2=2,1,a,a)T,a4=(3,2,1,a)T,a4=(4,3,2,1)T线性相关且a≠ 1.则a=」 雅00浪a=名-10.o西-109，=21oP若生度的的是空间的 例8.21)(2006)设a,a2,a,为n维列向量，4是m×n矩阵，下列选项正确的是 (A)若a4,a2,a,线性相关，则Aa4,Aa2,Aa,线性相关 (B)若a1,2,a,线性相关，则Aa1,Aa2,Aa,线性无关 (C若a1,a2,a,线性无关则Aa1Aa2,Aa,线性相关 (D)若a1,2,a,线性无关，则A1,Aa2,Aa,线性无关 (2)(2006)设向量组1：a1,a2, ,,可以由向量组1：，32，…，3，线性表示。 ()若rs,则向量组I线性相关： 4
(1) ‡gÇ5êß|)8S = {x|Ax = 0}¥òáï˛òm, °è‡gÇ5êß|)òm,ö‡g Ç5êß|)8S = {x|Ax = b}ÿ¥òáï˛òm. (2) α1, α2, · · · , αs ∈ V ,L(α1, α2, · · · , αs) = {k1α1+k2α2+· · ·+ksαs|k1, · · · , ks ∈ R}°èdα1, α2, · · · , αsV ) §ï˛òm. 2. ƒ⁄ãI (i) V èï˛òm, V äèï˛|Ÿ4åÇ5Ã'|§èV òáƒ, 4åÇ5Ã'|•ï˛á Í(=V ù)°èV ëÍ, Pèdim(V ), œddim(V ) = r(V ). (ii) V èrëï˛òm, åα1, · · · , αrèV òáƒ, È?øβ ∈ V , 3çòò|Íx1, x2, · · · , xr¶ β = x1α1 + x2α2 + · · · + xrαr, °x = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãI. -A = (α1, · · · , αr),Kx = (x1, x2, · · · , xr) Tèβ'uƒα1, · · · , αrãIÖ=x = (x1, x2, · · · , xr) Tè Ç5êß|Ax = β). (iii) dimL(α1, α2, · · · , αs) = r(α1, α2, · · · , αs). 3. =CÜ⁄ãICÜ V èrëï˛òm, α1, · · · , αr, β1, · · · , βrèV ¸áƒ,Kβ1, · · · , βrÜα1, · · · , αr d, œd3r › P, Q¶(β1, · · · , βr) = (α1, · · · , αr)P,(α1, · · · , αr) = (β1, · · · , βr)Q°Pèdα1, · · · , αrβ1, · · · , βr Lfi› , Qèdβ1, · · · , βrα1, · · · , αrLfi› . åP Q = E, œdLfi› ò½èå_› . , ~K.9)Kê{ÜE| K.ò, Ç5|‹,Ç5É'O ~8.1(1) eα1 = (1, 0, 5, 2)T , α2 = (3, −2, 3, −4)T , α3 = (−1, 1, t, 3)TÇ5É',Kt = ( ). (2) eα1 = (1, −1, 2, 4)T , α2 = (0, 3, 1, 2)T , α3 = (3, 0, 7, a) T , α4 = (1, −2, 2, 0)T .Ç5Ã',Kaä âåè( ). (3) (2005)eα1 = (2, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 1, a, a) T , α3 = (3, 2, 1, a) T , α4 = (4, 3, 2, 1)T .Ç5É'Öa 6= 1,Ka = . (4) (2010,1)α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òm ëÍ¥2,Ka = . ~8.2(1) (2006)α1, α2, αsènëï˛, A¥m × n› , e¿ë(¥ (A) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (B) eα1, α2, αsÇ5É', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (C) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5É'. (D) eα1, α2, αsÇ5Ã', KAα1, Aα2, AαsÇ5Ã'. (2) (2006)ï˛|I : α1, α2, · · · , αrå±dï˛|II : β1, β2, · · · , βsÇ5L´. (A) er s,Kï˛|IIÇ5É'; 4
(C若rs,则向量组1线性相关。 (3)(2007)设向量组a1,a2,网线性相关，则下列向量组线性相关的是 (A)a1-2,-a,ag-1.(B)a1+2,+a,+a (C)01-2a22-2a44ag-2a1.(B)a1+22,02+20g,g+2 (4(2010)设向量组（①a1,a2,…,a,可由向量组（山，32，…，B,线性表出，则下列命题正确的是 (A)若向量组①线性无关，则r≤(B)若向量组①线性相关则r>8, (C)若向量组(m)线性无关，则r≤(D)若向量组（四线性相关，则r> (⑤)已知向量组a1,2,a,a线性无关，则命题正确的是 ()a+a2,2+a,+a4:a4+a线性无关. (B)1-02,02-ag,0g-4,04-am线性无关 (C)a1+a2,a2+ag,ag-a4,a4-a1线性 无关 (D)a1+a2,2-3,g-a4,4-1线性无关 (6)矩阵A.B满是AB=0且A壬0.B≠0.则 A)矩阵A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关：(B)矩阵A的列向量组线性相关，B的列 向量组线性相关 (C)矩阵A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；(D)矩阵A的行向量组线性相关，B的列 向量组线性相关. ()(2012)设a1= 其中1，c2,,c为任意常 数，则下列向量组线性相关的为 (A)a1,02,ag,(B)a1,2,a4(C)a1,,a4(D)a2,ag,a4 (⑧)设向量组a,6,y线性无关，a,3,线性相关，则 ()a必可由B,,6线性表示.(B)B必不可由a,y,线性表示 (C)必可由a,月，线性表示(D)必不可由a,，线性表示. (9)向量组a1,.·,,a线性无关的充分必要条件是 (A)a1,2,·,a均不是零向量 (B)1,a2,…,a,中任意两个向量的分量不成比例 (Caa2…a +1线性无关」 (D)a1,Q2,…,0中任一个向量均不能由其余8-1个向量线性表出. (10)(2014)设a1,a2,ag为3维向量，则对任意常数1，k,向量组a1+kag线性无关是向量组a1,a2,ag线 性无关的 (A)必要非充分条件；(B)充分非必要条件：(C)充分必要条件：(D)既非充分也非必要条件
(C) er s,Kï˛|IÇ5É'. (3) (2007) ï˛|α1, α2, α3Ç5É',Keï˛|Ç5É'¥ (A) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α1. (B) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1. (C) α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1. (B) α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1. (4) (2010)ï˛|(I) α1, α2, · · · , αrådï˛|(II)β1, β2, · · · , βsÇ5L—,Ke·K(¥ (A) eï˛|(I)Ç5Ã',Kr ≤ s; (B) eï˛|(I)Ç5É',Kr > s, (C) eï˛|(II)Ç5Ã',Kr ≤ s; (D) eï˛|(II)Ç5É',Kr > s (5) Æï˛|α1, α2, α3, α4Ç5Ã',K·K(¥ (A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1Ç5Ã'. (B) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'. (C) α1 + α2, α2 + α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'. (D) α1 + α2, α2 − α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'. (6) › A, B˜vAB = 0ÖA 6= 0, B 6= 0, K (A) › Aï˛|Ç5É', B1ï˛|Ç5É'; (B) › Aï˛|Ç5É', B ï˛|Ç5É'; (C) › A1ï˛|Ç5É', B1ï˛|Ç5É'; (D) › A1ï˛|Ç5É', B ï˛|Ç5É'. (7) (2012) α1 = 0 0 c1 , α2 = 0 1 c2 , α3 = 1 −1 c3 , α4 = −1 1 c4 , Ÿ•c1, c2, c3, c4è?ø~ Í, Keï˛|Ç5É'è (A) α1, α2, α3. (B) α1, α2, α4. (C) α1, α3, α4. (D) α2, α3, α4. (8) ï˛|α, β, γ Ç5Ã',α, β, δÇ5É',K (A) α7ådβ, γ, δÇ5L´. (B) β7ÿådα, γ, δÇ5L´. (C) δ7ådα, β, γÇ5L´ (D) δ7ÿådα, β, γÇ5L´. (9) ï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'ø©7á^ᥠ(A) α1, α2, · · · , αs˛ÿ¥"ï˛ (B) α1, α2, · · · , αs•?ø¸áï˛©˛ÿ§'~. (C) α1, α2, · · · , αs, αs+1Ç5Ã'. (D) α1, α2, · · · , αs•?òáï˛˛ÿUdŸ{s − 1áï˛Ç5L—. (10) (2014) α1, α2, α3è3ëï˛,KÈ?ø~Íl, k, ï˛|α1 + kα3Ç5Ã'¥ï˛|α1, α2, α3Ç 5Ã' (A) 7áöø©^á; (B) ø©ö7á^á; (C) ø©7á^á; (D) Qöø©èö7á^á. 5
例3.3判断a1=(1,0,2,3)T,a2=(1,1,3.5)7,g=(1,-1,a+2,1)T,4=(1,2,4,a+9)T的线性相关 性 例8.4()若3=(1,2，)7可由am=2,1,1)7,2=(-1,2,7,a3=(1,-1,-4P线性表出，则t=（ (山)设a1=(1,2,1)T,2=(2,3,a)7,g=(1,a+2,-2)T,若=(1,3,4)T可由a1,a2,ag线性表出，= (0,1,2)T不能由a1,a2,a3线性表出，则a=(） 例8.5己知a1=(1,-1,1)T,2=(1,t,-1)T,ag=(:,1,2)T,B=(4,t,-4)T,若8可以由a1,2,ag线性 表出且表示法不唯一，求t及的表达式. 例8.6(2003)设有向量组（四a1=(1,0,2)7,a2=(1,1,3)7,ag=(1,-1,a+2)7和（四月=(1,2，a+ 3)T.B=2.1.0+6T.B=2.1.a+4T )为何值时，向量组)与（四等价：（）a为何值时，向量组()与不等价 6
~3.3 ‰α1 = (1, 0, 2, 3)T , α2 = (1, 1, 3, 5)T , α3 = (1, −1, a + 2, 1)T , α4 = (1, 2, 4, a + 9)TÇ5É' 5. ~8.4 (I)eβ = (1, 2, t) Tådα1 = (2, 1, 1)T , α2 = (−1, 2, 7)T , α3 = (1, −1, −4)TÇ5L—,Kt = ( ). (II) α1 = (1, 2, 1)T , α2 = (2, 3, a) T , α3 = (1, a+2, −2)T ,eβ1 = (1, 3, 4)Tådα1, α2, α3Ç5L—,β2 = (0, 1, 2)TÿUdα1, α2, α3Ç5L—,Ka = ( ). ~8.5 Æα1 = (1, −1, 1)T , α2 = (1, t, −1)T , α3 = (t, 1, 2)T , β = (4, t2 , −4)T ,eβå±dα1, α2, α3 Ç5 L—ÖL´{ÿçò,¶t9βLà™. ~8.6 (2003)kï˛|(I)α1 = (1, 0, 2)T , α2 = (1, 1, 3)T , α3 = (1, −1, a + 2)T⁄(II)β1 = (1, 2, a + 3)T , β2 = (2, 1, a + 6)T , β3 = (2, 1, a + 4)T . (i) aè¤äû, ï˛|(I)Ü(II) d; (ii) aè¤äû, ï˛|(I)Ü(II)ÿ d. 6
例8.7(2005)确定常数a,使向量组a1=(1,1,a)T,a2=(1,a,1)T,a3=(a,1.1)T能由向量组81=(1,1，a)T,A2= (-2,a,4)T,3=(-2,a,a)T线性表示，但，2，不能由a1,02,0g线性表示. 例3.8(2011,12,3)设向量组1=(1,0,1)T,2=(0,1,1),a3=(1,3,5)不能由向量组3=(1,1,1),= 1.2,3)7, ,4T线性表示. (1)求a的值；(2)将a,2,用a1,a2,3线性表示。 题型二、线性相关与线性无关的证明 例8.9已知a1,a2,线性无关，证明2a1+3a2,a2-ag,a1+a2+a线性无关 例8.10(20082,3,4)设4为三阶矩阵，a1,a2为4的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量ag满足Aag= 2+3 ()证明a1,2,ag线性无关；()P=(a1,2,ag,求P-1AP
~8.7 (2005)(½~Ía,¶ï˛|α1 = (1, 1, a) T , α2 = (1, a, 1)T , α3 = (a, 1, 1)TUdï˛|β1 = (1, 1, a) T , β2 = (−2, a, 4)T , β3 = (−2, a, a) TÇ5L´,β1, β2, β3ÿUdα1, α2, α3Ç5L´. ~3.8 (2011,1,2,3)ï˛|α1 = (1, 0, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (1, 3, 5)TÿUdï˛|β1 = (1, 1, 1)T , β2 = (1, 2, 3)T , β3 = (3, 4, a) TÇ5L´. (1) ¶aä; (2) Úβ1, β2, β3^α1, α2, α3Ç5L´. K.!Ç5É'ÜÇ5Ã'y² ~8.9 Æα1, α2, α3Ç5Ã',y²2α1 + 3α2, α2 − α3, α1 + α2 + α3 Ç5Ã'. ~8.10 (2008,2,3,4) Aèn › ,α1, α2èA©O·uAä−1, 1Aï˛,ï˛α3˜vAα3 = α2 + α3. (i) y²α1, α2, α3Ç5Ã'; (ii) P = (α1, α2, α3), ¶P −1AP. 7
题型三、求秩与极大线性无关组 例8.11(1)己知a1=(2,3,4,5)7,2=(3,4,5,6)T,ag=(4,5,6,7)7,a4=(5,6,7,8)T,则r(a1,a2,ag,a4)= /123.. 010. (2)已知已知n阶矩阵A 则秩r(A2-A)=(. 000 132a 例8.12(1)已知A 27a3 如果秩r(A)=2,则a必为 0a5-5 (A)多(B)5(C)-1(D)1 1 aa a a1a (②)设n(n≥3)阶矩阵A= 如伴随矩阵A的秩r(A)=1,则a为 (A)1(B)(C)-1(D)点 a bb 己知A=bab ,(A°=1)，则 bb a (A)a=b=0(B)a≠b且a+2b=0(C)a+2b≠0(D)a≠b且a+2b≠0 (3)(2010,1,)设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵.若AB=E,则 (A)秩r(A)=m,秩rB)=m.(B)秩r(A)=m,秩r(B)=n (C)株r(A=n,扶r(B)=m.(D)秩r(A)=n,秩r(B)=n. 8
K.n!¶ùÜ4åÇ5Ã'| ~8.11 (1) Æα1 = (2, 3, 4, 5)T , α2 = (3, 4, 5, 6)T , α3 = (4, 5, 6, 7)T , α4 = (5, 6, 7, 8)T ,Kr(α1, α2, α3, α4) = ( ). (2) ÆÆn › A = 1 2 3 · · · n 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 ,Kùr(A2 − A) = ( ). ~8.12 (1) ÆA = 1 3 2 a 2 7 a 3 0 a 5 −5 , XJùr(A) = 2,Ka7è (A) 5 2 (B) 5 (C) −1 (D) 1 (2) n(n ≥ 3) › A = 1 a a · · · a a 1 a · · · a a a a · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1 , Xäë› A∗ùr(A∗ ) = 1,Kaè (A) 1 (B) 1 1−n (C) −1 (D) 1 n−1 ÆA = a b b b a b b b a , r(A∗ = 1) ,K (A) a = b = 0 (B) a 6= bÖa + 2b = 0(C) a + 2b 6= 0 (D) a 6= bÖa + 2b 6= 0 (3) (2010, 1,)Aèm × n› ,Bèn × m› ,Eèm ¸†› .eAB = E,K (A) ùr(A) = m,ùr(B) = m. (B) ùr(A) = m,ùr(B) = n. (C) ùr(A) = n,ùr(B) = m. (D) ùr(A) = n,ùr(B) = n. 8
例8.13求向量组a1=2.1,4,3).a2=(-1,1,-6,6)3=(-1,-2,2,-9),a4=(1,1,-27),a6= (2,4,4,9)的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表出. 例8.14(2006,34)设4维向量组a1=(1+a1,1,1,a2=(2,2+a2,27,a=3,3,3+a,3),a (44,4,4+aj,问a 为何值时a1,a2,,线性相关？当a,a2,a,a4线性相关时，求其 个极大线性无关 组，并将其余向量用极大线性无关组线性表出. 例8.15(2008)设a,B为3维列向量，矩阵A=aaT+3T,其中aT,8分别是a,3的转置.证明：(0秩r(A)≤ 2()若a,线性相关，则秩r(A)<2. 例8.16设A为m×n矩阵，证明：r(4TA)=r(4
~8.13 ¶ï˛|α1 = (2, 1, 4, 3), α2 = (−1, 1, −6, 6), α3 = (−1, −2, 2, −9), α4 = (1, 1, −2, 7), α5 = (2, 4, 4, 9)òá4åÇ5Ã'|,øÚŸ{ï˛^4åÇ5Ã'|Ç5L—. ~8.14 (2006,3,4) 4ëï˛|α1 = (1 + a, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 2 + a, 2, 2)T , α3 = (3, 3, 3 + a, 3)T , α4 = (4, 4, 4, 4 + a) T ,Øa è¤äû,α1, α2, α3, α4Ç5É'?α1, α2, α3, α4Ç5É'û,¶Ÿòá4åÇ5Ã' |,øÚŸ{ï˛^4åÇ5Ã'|Ç5L—. ~8.15 (2008) α, βè3ëï˛,› A = ααT +ββT ,Ÿ•α T , βT©O¥α, β=ò.y²:(i) ùr(A) ≤ 2;(ii) eα, βÇ5É',Kùr(A) < 2. ~8.16 Aèm × n› , y²: r(AT A) = r(A). 9
题型四，关于AB=0 21-2 例8.17(1)设A 520 3是3阶非0矩阵，且AB=0,则a=() 3 a 4 1 (2)设A 2 0 A是A的伴随矩阵，则A'x=0的通解是() 110 123) (3)已知A是4×3的非零矩阵，若B= ;:日使得48=0则苏衣线性方程组红=喻适解 是 2 (④)已知A 2a-14 B是3阶非零矩阵，且AB=0,则 3-36 (A)a=-1时，r(B)=1.(B)a=-1时，r(B)=2.(C)a=1时，r(B)=1.(D)a=1时，r(B)=2. 123 (⑤)已知Q- 24t ,P是3阶非零矩阵，且PQ=0,则 369 (A)t=6时，r(P)=1.(B)t=6时，r(P)=2.(C)t≠6时，r(P)=1.(D)t≠6时，r(P)=2 (6)设A,B是n阶非零矩阵且AB=0,则r(4),r(B)满足 (A)必有一个等于0：(B)都小于m(C)一个小于n,一个等于n:(D)都等于n 题型四，向量空间的基与过度矩阵 例8.18(1)向量a=(1,1,1)关于R3的基a1=(1,1,1)T,a2=(0,1,1)T,g=(0,0,1)T的坐标为 (2)(2010,1)设a1=(1,2,-1,0,2=(1,1,0,2)T,g=(2,1,1a)T,若由a1,02,0g生成的向量空间的 维数是2，则a= (3)(2003)从R2的基a1=(1,0)T,a2=(1,-1)T到基8=(1,1)T,3=(1,2)Y的过度矩阵为. 10
K.o,'uAB = 0 ~8.17 (1) A = 2 1 −2 5 2 0 3 a 4 ,B¥3 ö0› ,ÖAB = 0,Ka = ( ). (2) A = 1 1 1 2 0 1 −1 1 0 , A∗¥Aäë› ,KA∗x = 0œ)¥( ). (3) ÆA¥4 × 3ö"› , eB = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¶AB = 0, K‡gÇ5êß|Ax = 0œ) ¥ . (4) ÆA = 1 −1 2 2 a − 1 4 3 −3 6 , B¥3 ö"› ,ÖAB = 0,K (A) a = −1û,r(B) = 1. (B) a = −1û,r(B) = 2. (C) a = 1û,r(B) = 1. (D) a = 1û,r(B) = 2. (5) ÆQ = 1 2 3 2 4 t 3 6 9 , P¥3 ö"› ,ÖP Q = 0,K (A) t = 6û,r(P) = 1. (B) t = 6û,r(P) = 2. (C) t 6= 6û,r(P) = 1. (D) t 6= 6û,r(P) = 2. (6) A, B¥n ö"› ÖAB = 0, Kr(A), r(B)˜v (A) 7kòá u0; (B) —un; (C) òáun, òá un; (D) — un. K.o, ï˛òmƒÜL›› ~8.18 (1) ï˛α = (1, 1, 1)'uR3ƒα1 = (1, 1, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (0, 0, 1)TãIè . (2) (2010,1)α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òm ëÍ¥2,Ka = . (3) (2003)lR2ƒα1 = (1, 0)T , α2 = (1, −1)Tƒβ1 = (1, 1)T , β1 = (1, 2)TL›› è . 10
