习题解答 第七章线性变换 习题7-1 1.设V为n维线性空间，m,2,…,为V的一个基 01=h+2十…+m:2=2+…+…,am= (1)证明：a1,2,…,an为V的一个基 (②)求由基m,2, ,m到基a1,2,,am的过渡矩阵 (3)设a在基1,2，…，m下的坐标为(a1,a2,…,an,求a在基a1,a2,…,an下的坐标 解：()，（②）因为 (a1,02,…,an)=(e1,e2,…,en) 11.1/ 0… 11.,.1 则T可逆，从而a1,a2,…,an为V的基且由基c1,c2…,cn到基a1,a2,·,an的过渡矩阵为T. (3)设 a=(61,2,…,cn) a a=(a1,a2,…,an)A1 所以a在基a1,a2,…,an下的坐标为(a1,2-a1,3-a2, an an-1). 2.在K4中，求由基e1,2,S3,4到基1,2%，4的过渡矩阵，并求向量5在所给基下的坐标 (1)=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0.0,1月 m=(2.1.-1.1).2=(0.-1.1.0).3=(-1.-1.2.1).m4=(2.1,1.3): =(1,x2,x3,x4)在h,2,%,4下的坐标 (261=(1,2,-1,0,2=(1,-1,1,1),3=(-1,2,1,1),4=(-1,-1,0,1 m=(2,1,0,1),2=(0,1,2,2),g=(-3,-1,-1,1)4=(1,3,1,2: 5=(L,0,0,0)在61，2,e4下的坐标 (3)e1-(1,1,1,1,c2=(1,1,-1,-1),3=(1,-1,1,-1),e4=(1,-1,-1,1 m=(1,1,0,1)2=(2,1,2,1),g=(1,1,1,0,=(0,1,-1,-1月 1
7–1 1. V n , η1, η2, · · · , ηn V . α1 = η1 + η2 + · · · + ηn, α2 = η2 + · · · + ηn, · · · , αn = ηn (1) : α1, α2, · · · , αn V ; (2) η1, η2, · · · , ηn α1, α2, · · · , αn ; (3) α η1, η2, · · · , ηn (a1, a2, · · · , an), α α1, α2, · · · , αn . : (1), (2) (α1, α2, · · · , αn) = (ε1, ε2, · · · , εn) 1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 , T = 1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 , T !", #$ α1, α2, · · · , αn V , % ε1, ε2, · · · , εn α1, α2, · · · , αn T. (3) α = (ε1, ε2, · · · , εn) a1 . . . an , α = (α1, α2, · · · , αn)A −1 a1 . . . an , &' α α1, α2, · · · , αn (a1, a2 − a1, a3 − a2, · · · , an − an−1). 2. K4 (, ε1, ε2, ε3, ε4 η1, η2, η3, η4 , )*+ ξ &, . (1) ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1); η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (0, −1, 1, 0), η3 = (−1, −1, 2, 1), η4 = (2, 1, 1, 3); ξ = (x1, x2, x3, x4) η1, η2, η3, η4 ; (2) ε1 = (1, 2, −1, 0), ε2 = (1, −1, 1, 1), ε3 = (−1, 2, 1, 1), ε4=(−1, −1, 0, 1); η1 = (2, 1, 0, 1), η2 = (0, 1, 2, 2), η3 = (−3, −1, −1, 1), η4 = (1, 3, 1, 2); ξ = (1, 0, 0, 0) ε1, ε2, ε3, ε4 ; (3) ε1 = (1, 1, 1, 1), ε2 = (1, 1, −1, −1), ε3=(1, −1, 1, −1), ε4=(1, −1, −1, 1); η1 = (1, 1, 0, 1), η2 = (2, 1, 2, 1), η3 = (1, 1, 1, 0), η4 = (0, 1, −1, −1); · 1 ·
￡=(1,0,0，-1)在1,2，s,4下的坐标 1-1-11 解：(1)T= -1121 1013/ /-1-5-5 1-5r2-53+4r4 20 21+2x-2z4 T3 一4 -2x1-42-4r3+4红4 133-2/ ，z1+3z2+3x3-2z4 /1001Y 3 11-11 5 0101 ξ在所给基下的坐标为高 0。 1 4 (3)T= ,ξ在所给基下的坐标为 0-1 3 3.继上题（②），求一向量，它在基c1,2,c4,4下的坐标是在基1,2，B,4下的坐标的2倍， 解：1+2+3+n4=(0.4.2.6). 4.设K[回n表示由K[国中次数小于n的多项式组成的线性空间。 f(x）=(c-a1小…(e-a4-1)(x-a4+1)小…(e-a）,i=1,…,n 其中a∈K(位=1,2，…，n)为互不相同的数 (1)证明1(a,f2(e),…,fn(x)组成K回n的一个基 (2)取a1,2,…,an为全体n次单位根，求由基1，x,x2,…,x-1到基(，(，…，n()的过 渡矩阵 解()只要证(，2()，…，∫n()线性无关即可.设 kfi()+kf()+…+knfn(回)=0， 分别以x=a,代入上式，得 kifi(ai)=0. 因为f(a)≠0，所以=0，i=l,2.…,n.故f(),f(,…,n()线性无关.又因dimK=n,可 知(c),f(z),…,n(x)为Kn的基 (②)设全部n次单位根是1，c1,…,cn-1则 i--二--1+-2+-3+…+- T-Ei 故所求过渡矩阵为 / 1-2 1… 1 5.在K回中，记 )°=1，)=，()=x(-10（红-2…（红-k+1,k>1 (1)求K中由基1，(，(2，()3，回到基1，，x2,x3,x的过渡矩阵
ξ = (1, 0, 0, −1) η1, η2, η3, η4 . : (1) T = 2 0 −1 2 1 −1 −1 1 −1 1 2 1 1 0 1 3 , y1 y2 y3 y4 = T −1 x1 x2 x3 x4 = 1 2 −1 −5 −5 4 2 0 2 −2 −2 −4 −4 4 1 3 3 −2 x1 x2 x3 x4 = 1 2 −x1 − 5x2 − 5x3 + 4x4 2x1 + 2x3 − 2x4 −2x1 − 4x2 − 4x3 + 4x4 x1 + 3x2 + 3x3 − 2x4 . (2) T = 1 0 0 1 1 1 −1 1 0 1 0 1 0 0 2 0 , ξ &, 1 13 3 5 −2 −3 . (3) T = 1 4 3 6 3 −1 1 0 1 3 −1 2 1 −1 1 0 −1 −1 , ξ &, −2 4 −5 3 . 3. -./ (2), *+, 0 ε1, ε2, ε3, ε4 1 η1, η2, η3, η4 2 2. : η1 + η2 + η3 + η4 = (0, 4, 2, 6). 4. K[x]n 34 K[x] (5678 n 9:;( ai ∈ K (i = 1, 2, · · · , n) ?@AB6. (1) : f1(x), f2(x), · · · , fn(x) 1 (1) K[x]5 ( 1,hxi,hxi 2 ,hxi 3 ,hxi 4 1, x, x2 , x3 , x4 ; · 2 ·
(②求K[5中多项式f(x)=1+x+x2+x3+x4在基1，(，(e)2,()3,()1下的坐标 3)证明∑=++ ·4由此导出数列D。=∑的通项公式 解(1)1-1 I=() x2=0+x+x(红-1)=0+()+()2 x3=x+3x(红-1)+x(x-1)(x-2)=回)+32+)3 x4=(）+7e2+6(3+()1 故所求过渡矩阵为 10000N 01111 T=00137 00016 \00001/ (2)(1,411,7,1). (③)易知任+1)+1-()+1=(k+1)().所以 ∑-∑Ie+1- 京层 x=0 中+- =+7+1)+1 (4)因为x=()+7)2+6(3+()4,所以 Dn-∑r-∑（回+7aP+63+9 =0 =号a+1y2+了m+12+8a+1+a+1 =30nn+12m+13m2+3n-1. 习题7-2 1.给定K3的两个基 c1=(1,1,-1),1=(L,-12), 62=(1,0,-1,2=(2,-1,2), e8=(1,l,1),g=(-2,1,1). 设4为K3的线性变换使： 6=hi=1,2,3. (1)求由基e1,e2,e3到基1,2，%的过渡矩阵 (②)求在基s1,e2,c3下的矩阵 3
(2) K[x]5 (9:; f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 1,hxi,hxi 2 ,hxi 3 ,hxi 4 ; ∗ (3) : Xn x=0 hxi k = 1 k + 1 hn + 1i k+1; ∗ (4) XYZ6[ Dn = Xn k=0 k 4 \:];. : (1) 1 = 1 x = hxi x 2 = 0 + x + x(x − 1) = 0 + hxi + hxi 2 x 3 = x + 3x(x − 1) + x(x − 1)(x − 2) = hxi + 3hxi 2 + hxi 3 x 4 = hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 S& T = 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 3 7 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 . (2) (1, 4, 11, 7, 1). (3) ^U hx + 1i k+1 − hxi k+1 = (k + 1)hxi k . &' Xn x=0 hxi k = 1 k + 1 Xn x=0 [hx + 1i k+1 − hxi k+1] = 1 k + 1 " nX +1 x=1 hxi k+1 − Xn x=0 hxi k+1# = 1 k + 1 (hn + 1i k+1 − h0i k+1) = 1 k + 1 hn + 1i k+1 . (4) x 4 = hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 , &' Dn = Xn x=0 x 4 = Xn x=0 ¡ hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 ¢ = 1 2 hn + 1i 2 + 7 3 hn + 1i 3 + 6 4 hn + 1i 4 + 1 5 hn + 1i 5 = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1). 7–2 1. ,_ K3 `: ε1 = (1, 1, −1), ε2 = (1, 0, −1), ε3 = (1, 1, 1), η1 = (1, −1, 2), η2 = (2, −1, 2), η3 = (−2, 1, 1). A K3 ab, c: Aεi = ηi i = 1, 2, 3. (1) ε1, ε2, ε3 η1, η2, η3 ; (2) A ε1, ε2, ε3 ; · 3 ·
(3求1在基1,2，%下的矩阵 (④设a=(2,-1,3),分别求a在基1，2,3与基m,m,3下的坐标 解：设K3标准基为=(1,0,0)，2=(0,1,0)3=(0,0,1)，令 -4)-6) 111 -1-11/ 则有 (e1,e2,3)=(,2,53)B,(m,2,g)=(,2,)C. ()由于(1,2，%)=（传，，3）C=(e1,c2,6a)B-1C,故由基1，c2,c3到基m,2,g的过渡矩阵为 --3 T=B-IC= 3 3 2-1 (2)由于(e,(e2es》=(n,2,) (,2,3)BC,故在基e1,2,e下的矩阵为 A=B-C= 2 (3)设在基1，m,g下的矩阵为A,则 A'=T-1AT=(B-1C-1(B-1C)(B-1C)=B-1C= (4)a基e1,2,3与基m,2,3下的坐标分别为 因此a在基1,2,3下的坐标为 ()- 1在基1,2，下的坐标为 s()-(】 2.设A~C,BD,证明： (6)(6) 证明：存在可逆矩阵了，T2,使得 C.D. 因此7=（否分）可递且 r(6)r-(Fm)-(6） 所以 )-(68) 3.设A可逆，证明：AB与BAM似 4
(3) A η1, η2, η3 ; (4) α = (2, −1, 3), NO Aα ε1, ε2, ε3 d η1, η2, η3 . : K3 e ξ1 = (1, 0, 0), ξ2 = (0, 1, 0), ξ3 = (0, 0, 1), f B = 1 1 1 1 0 1 −1 −1 1 , C = 1 2 −2 −1 −1 1 2 2 1 , g (ε1, ε2, ε3) = (ξ1, ξ2, ξ3)B, (η1, η2, η3) = (ξ1, ξ2, ξ3)C. (1) 8 (η1, η2, η3) = (ξ1, ξ2, ξ3)C = (ε1, ε2, ε3)B−1C, S ε1, ε2, ε3 η1, η2, η3 T = B −1C = − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2 . (2) 8 (A(ε1),A(ε2),A(ε3)) = (η1, η2, η3) = (ε1, ε2, ε3)B−1C, S A ε1, ε2, ε3 A = B −1C = − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2 . (3) A η1, η2, η3 A0 , A 0 = T −1AT = (B −1C) −1 (B −1C)(B −1C) = B −1C == − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2 . (4) α ε1, ε2, ε3 d η1, η2, η3 NO B −1 2 −1 3 d C −1 2 −1 3 , X Aα ε1, ε2, ε3 AB−1 2 −1 3 = 1 2 7 −11 −1 , A η1, η2, η3 A 0B −1 2 −1 3 = 1 2 −7 6 5 . 2. A ∼ C, B ∼ D, : µ A 0 0 B ¶ ∼ µ C 0 0 D ¶ . : h!" T1, T2, cR T −1 1 AT1 = C, T −1 2 BT2 = D, X T = µ T1 0 0 T2 ¶ !", % T −1 µ A 0 0 B ¶ T = µ T −1 1 AT1 0 0 T −1 2 BT2 ¶ = µ C 0 0 D ¶ . &' µ A 0 0 B ¶ ∼ µ C 0 0 D ¶ . 3. A !", : AB d BA Ai. · 4 ·
证明：由于A-1(AB)A=BA,故AB~BA. 4.设A可逆，且A~B,证明：B也可逆，且A1~B- 证明由于T,A皆可逆，所以B可逆，且 B-1=(T-1AT)-1=TAT-1 故A1~B- 5.设A心B,证明4TBT. 证明存在可逆矩阵T,使得T-1AT-B.故BT=(T-1AT)T-TTATT-T. 6.设AB,f)∈K,证明：fA~f(B) 证明存在可逆矩阵T,使得T-1AT=B.故 T-(f(A))T=f(T-AT)=f(B). 7.证明 其中(，2，…，n)是(1,2，…，n的一个排列 证明：设V是n维线性空间，e1,…,n是V的基为V的线性变换，定义为 E=入ei 则在基e1,…,n下的矩阵为 A= 由于（仿，2，…，in)是(1,2，…，n)的一个排列因此…，.仍为V的基，而 e,=入ye,j=1,…,n 故在基e,…,e。下的矩阵为 从而A~B 8.设A,B∈Mn(®)，证明：如果存在可逆矩阵U∈Mn(C),使A=U-1BU,则必存在可逆矩阵 T∈Mn(R),使A=T-1BT. 注本题是下述结论的特例： 设K,F是两个习题。其中F是K的解题（即KCF),A,B是习题K上的两个设为.如 线A,B性F上空间，的一个基性K上空间 证明设U=1+2,T1,2∈M(R).则(1+T2)4=B(T1+2).又因A,B∈M.(®)，可证出 5
: 8 A−1 (AB)A = BA, S AB ∼ BA. 4. A !", % A ∼ B, : B j!", % A−1 ∼ B−1 . : 8 T, A k!", &' B !", % B −1 = (T −1AT) −1 = T AT −1 , S A−1 ∼ B−1 . 5. A ∼ B, : AT ∼ BT. : h!" T, cR T −1AT = B. S BT = (T −1AT) T = T TATT −T. 6. A ∼ B, f(x) ∈ K[x], : f(A) ∼ f(B). : h!" T, cR T −1AT = B. S T −1 (f(A))T = f(T −1AT) = f(B). 7. : λ1 λ2 . . . λn ∼ λi1 λi2 . . . λin , >( (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[. : V 1 n , ε1, · · · , εn 1 V . A V ab, _m Aεi = λiεi , A ε1, · · · , εn A = λ1 λ2 . . . λn . 8 (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[, X εi1 , · · · , εin n V , $ Aεij = λij εij , j = 1, · · · , n. S A εi1 , · · · , εin B = λi1 λi2 . . . λin , #$ A ∼ B. 8. A, B ∈ Mn(R), : oph!" U ∈ Mn(C), c A = U −1BU, qh!" T ∈ Mn(R), c A = T −1BT. r: stuvwxyz{|: } K, F u~, F u K z ( K ⊆ F), A, B u K z~. A, B F , K . : U = T1 + iT2, T1, T2 ∈ Mn(R). (T1 + iT2)A = B(T1 + iT2). T A, B ∈ Mn(R), !Z T1A = BT1, T2A = BT2. · 5 ·
考察f()=四+AT.由于f0=U≠0，说明f(a)不是零多项式，必有o∈R使f(Ao)≠0.从而 T-T+0可逆.由TA=BT,TA=BT可得TA=BT.故A-T-1BT. 9.设，名∈K,令 9s-(:9-:) 证明A,B,C彼此相似. 其中：取置换矩阵 010 001 -9o-(6 则P,Q皆可逆，且 P-1AP=C,Q-1AQ=B, 所以A~B,A~C.由相似关系的传递性，可得B~C *10.证明 169 11 其中：设V是n如线性空间，1,…,cn是V的基为V的线性变换，定义为 6-61+2+…+en, i-1,2…,n 则在基1，…，m下的矩阵为 又易知 a1=61+2+…+6m,a2=61-2,…,an=1-n 仍为V的基且M在基a1,·,am下的矩阵为 B 000 从而A~B. 习题7-3 1.求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，设在V的一个基下的矩阵是： 25 0 (1)A= 43 ☒A=(-a0)a≠贴 1111 111 /56-3 (3)A= 1-11 ④A=-101 1111 12-1
f(λ) = |T1 + λT2|. 8 f(i) = |U| 6= 0, f(λ) @19:;, qg λ0 ∈ R c f(λ0) 6= 0. #$ T = T1 + λ0T2 !". T1A = BT1, T2A = BT2 !R T A = BT. S A = T −1BT. 9. x, y, z ∈ K , f A = x y z y z x z x y , B = z x y x y z y z x , C = y z x z x y x y z . : A, B, C XAi. : Cb P = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , Q = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 , P, Q k!", % P −1AP = C, Q−1AQ = B, &' A ∼ B, A ∼ C. AiL , !R B ∼ C. ∗10. : 1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 n ∼ n 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 . : V 1 n , ε1, · · · , εn 1 V . A V ab, _m Aεi = ε1 + ε2 + · · · + εn, i = 1, 2, · · · , n. A ε1, · · · , εn A = 1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 n . T^U α1 = ε1 + ε2 + · · · + εn, α2 = ε1 − ε2, · · · , αn = ε1 − εn n V , % A α1, · · · , αn B = n 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 . #$ A ∼ B. 7–3 1. 6 . V ab A d *+, A V 1: (1) A = µ 2 5 4 3 ¶ ; (2) A = µ 0 a −a 0 ¶ (a 6= 0); (3) A = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 ; (4) A = 5 6 −3 −1 0 1 1 2 −1 ; · 6 ·
00 (5)A=010 100 4 30 ()A=-3-20 2-62 解数可表示标因则，逆从递而的向量且是所的一个标因向量 1)7,1,1；-25,-4. (②)ai,(1,i:-ai,6,1). (3)2,k(1,1,0,0)+11,0,1,0)+m(1,0,0,1:-2,(-1,1,1,1. (42,(-2,1,0:1+V3.(-3,1,-2+③：1-3.(-3,1，-2-V③. (⑤)1，k(1,0,1)+1(0,1,0):-1,(-1,0,1). (6)-3.(1,1,12,(1,1,-4. (7)2,(0,0.1:1,(-1,1,8). 2.设1,2是线性变换的两个不同的标因则，1,2分别是的以于标因则入1,2的标因向量 证考：1+2不是的标因向量. 证明：（仲如果c1+2是的以于某个标因则o的标因向量值 (e1+e2)=Ao(e1+e2). 又(e1+c2)=e1+e2=1e1+2e2,所以 (A-0)1+(2-A0)e2=0. 说1≠2可得c1,c2线性无关，征此 X1-A0=0,A2-A0=0, 得零入1=0=2，向量 3.证考：如果线性变换以给个继到向量上为它的标因向量，值为特量题它变换 证明：设是某个继到向量a有a=ka,是倍一个继到向量6，有3=m6.如果k≠m,值根表 示题2的次数，a+B不是的标因向量.如果a+3-0,值有3=-a=-ka=k3,与k≠m向量 征此α+B是继到向量，与题设向量 4.证考：AB与BA有同的标因则 证明根表示题4-8的小4题，于14≠0，AC-CA多，有 -D-cm. 征此 又征 F引--A (e)(F)(e)-(日) 两项取式列式，即得 |E4-AE-BA-EB-AE-AB 征此AB与BA有同的标因多项式，从而有同的标因则. 7
(5) A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ; (6) A = 0 −2 −1 −2 0 −1 −1 −3 1 ; (7) A = 4 3 0 −3 −2 0 2 −6 2 . : 6!34 , "#$*+%1A& *+. (1) 7, (1, 1); −2, (5, −4). (2) ai, (1, i); −ai, (i, 1). (3) 2, k(1, 1, 0, 0) + l(1, 0, 1, 0) + m(1, 0, 0, 1); −2, (−1, 1, 1, 1). (4) 2, (−2, 1, 0); 1 + √ 3, (−3, 1, −2 + √ 3); 1 − √ 3, (−3, 1, −2 − √ 3). (5) 1, k(1, 0, 1) + l(0, 1, 0); −1, (−1, 0, 1). (6) −3, (1, 1, 1); 2, (1, 1, −4). (7) 2, (0, 0, 1); 1, (−1, 1, 8). 2. λ1, λ2 1 ab A `@B , ε1, ε2 NO1 A '8 λ1, λ2 *+. : ε1 + ε2 @1 A *+. : (() op ε1 + ε2 1 A '8) λ0 *+, A(ε1 + ε2) = λ0(ε1 + ε2). T A(ε1 + ε2) = Aε1 + Aε2 = λ1ε1 + λ2ε2, &' (λ1 − λ0)ε1 + (λ2 − λ0)ε2 = 0. λ1 6= λ2 !R ε1, ε2 KL, X λ1 − λ0 = 0, λ2 − λ0 = 0, R λ1 = λ0 = λ2, *+. 3. : op ab A ',-*+.0 *+, A +/0ab. : 1)-*+ α g Aα = kα, 12-*+ β, g Aβ = mβ. op k 6= m, H3 4/ 2 56, α + β @1 A *+. op α + β = 0, g Aβ = −Aα = −kα = kβ, d k 6= m *+. X α + β 1-*+, d/*+. 4. : AB d BA gAB . : H34/ 4–8 7 4 /, 8 |A| 6= 0, AC = CA 9, g ¯ ¯ ¯ ¯ A B C D ¯ ¯ ¯ ¯ = |AD − CB|. X ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. T µ 0 E E 0 ¶ µ λE B A E ¶ µ 0 E E 0 ¶ = µ E A B λE ¶ , `:C;[;, MR ¯ ¯ ¯ ¯ E A B λE ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − BA| = ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. X AB d BA gAB 9:;, #$gAB . · 7 ·
5.证明：欧几里得空间的正不变换的特征值（如有的）只同是士1. 证明：设α是以于正不变换相的特征值0的特征向量，则 0≠(a,a)=(相，)=(a,a), 因此=1，。=1. 6.证明：取零矩阵的特征值全为零. 证明设a是以于取零矩阵A的特征值的特征向量，则Aa=Aoa.由于 0=A*a =Ata. 可得=0,0=0. 7.设A=(a1,a2,·,an)∈R”(a,不全为零)，求矩阵ATA的特征值与特征向量 解设4≠0.特征值0是所的特征向量是a=0,…,0…-a,00 =l…,i-1计1，…，m的线性组合特征值三的特征向量是a,…am小 *8.设A=(a)∈Mn(K),子式 … (1≤i1<2<…<i≤n a4,a4···ad 称为A的一个k阶根子式.令特征多项式 XA()=AE-A=X-a1A-1+…+(-1)m-1a-1入+(-1)an 证明：k等于A的全部k阶根子式之无， 证明：关AE一A川的每列 1j -dj ani 即分成两列： -01 0 则式列式AE-A可分别为2”个n阶式列式之无其中每个式列式的列即是上述两种得式之一， 设A为任一又有k个入的子式列式，其入处于1，·，列，将A按此k列展开，得 Ak =.(-1)"-k Dn-k; 其中Dn-k为在A中列去第j1,…,.列、第1，·，jk式而得到的n-k阶根子式.于此k个入取遍n 阶式列式中所有可同的k个位置，则D-k就取遍所有C个根子式.从而XA()中X-的系数等于 8
5. : R ?@ab (ogA) IB1 ±1. : α 1'8?@ab A λ0 *+, 0 6= (α, α) = (Aα,Aα) = λ 2 0 (α, α), X λ 2 0 = 1, λ0 = ±1. 6. : C D. : α 1'8C A λ0 *+, Aα = λ0α. 8 0 = A kα = λ k 0α, !R λ k 0 = 0, λ0 = 0. 7. A = (a1, a2, · · · , an) ∈ R n (ai @D), ATA d *+. : ai 6= 0. 0 1 & * + 1 αj = (0, · · · , 0,ai , · · · ,−aj , 0, · · · , 0) j i (j=1, · · · , i−1, i+1, · · · , n) (,;[;[M1.P`QR;J. Ak STg k λ E;[;, > λ U8 j1, · · · , jk [, V Ak WX k [YZ, R Ak = λ k · (−1)n−kDn−k, >( Dn−k A ([\7 j1, · · · , jk [] 7 j1, · · · , jk ;$R n − k GHE;. 8X k λ C^ n G;[;(&g!B k G, Dn−k %C^&g C k n HE;. #$ χA(λ) ( λ n−k 6I8 · 8 ·
(-1)题以A的所有k位根体式要无因此ak为A的所有k位根体式要无. 9.设A∈M.(K).证明：存在K上的一个次数不定过n2的多项式fc),使f(4)=0. 证明因为M(K)是K上n2维线性空间，故E,A,A2,…,Am-1,Am线性4关于是存在不全为 到的a:∈K,i=1,…,n2使得 aoE+aA+..+anAm-1+an2A=0. f(r)=+ana-1m1+...+az+aor 则f(4)=0. 10.设A∈Mn(C).证明：存在可逆矩阵T∈GL(n,C),使T1AT为上两变矩阵 证明：是n换数使与纳令.于n-1多次数有然成似.现设次数是n-1位矩阵成似 设d是A的一个标因则，所的标因向量是a∈C”.关1皆充成C”的基a1,a2,…,an:令 =(1,2，…，an),则可逆，且 如=（）即=（太） 其中A1∈山n-1(C).由与纳义设，存在可逆矩阵T2∈Mn-1(C),使得 /入2 0λ。 令T=n(0分)则T可逆且 0 入* T-IAT= 11.设A∈M.(C),f(工)为一下矩数多项式.证明：如果A的全部标因则为X1,2,·,入n,则f(4) 的全部标因则为f(),f(2),…,fn). 证明：由示题10，存在可逆矩阵T,使 入 T-AT= 此其，…，n是A的全部标因则从而 T-'f(A)T=f(T-'AT) 所以fA,f(2),…,f(入n)为f(A)的全部标因则. 习题7-4 1.示题7-3小一题中的矩阵仍些是可以是变化的？在可是变化的必况下，求出所的过渡矩阵 无是变矩阵 9
(−1)k /' A &g k GHE;JK. X ak A &g k GHE;JK. 9. A ∈ Mn(K). : h K .56@_ n 2 9:; f(x), c f(A) = 0. : Mn(K) 1 K . n 2 , S E, A, A2 , · · · , An 2−1 , An 2 AL. 81h@D ai ∈ K, i = 1, · · · , n2 cR a0E + a1A + · · · + an2−1A n 2−1 + an2A n 2 = 0. f f(x) = an2 x n 2 + an2−1x n 2−1 + · · · + a1x + a0, f(A) = 0. ∗10. A ∈ Mn(C). : h!" T ∈ GL(n, C), c T −1AT .`a. : 1 n b6cdef. 8 n = 1 956gh=i. j561 n − 1 G=i. λ1 1 A , A& *+1 α1 ∈ C n. L α1 kl= C n α1, α2, · · · , αn. f T1 = (α1, α2, · · · , αn), T1 !", % AT1 = T1 µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , M T −1 1 AT1 = µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , >( A1 ∈ Mn−1(C). dem, h!" T2 ∈ Mn−1(C), cR T −1 2 A1T2 = λ2 ∗ . . . 0 λn , f T = T1 µ 1 0 0 T2 ¶ , T !", % T −1AT = λ1 ∗ . . . 0 λn . 11. A ∈ Mn(C), f(x) 69:;. : op A DV λ1, λ2, · · · , λn, f(A) DV f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn). : 4/ 10, h!" T, c T −1AT = λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn , X> λ1, · · · , λn 1 A DV . #$ T −1 f(A)T = f(T −1AT) = f λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn = f(λ1) ∗ f(λ2) . . . 0 f(λn) . &' f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn) f(A) DV . 7–4 1. 4/ 7–3 7/(, no1!'1ap? !1apqr , ZA& K1a. · 9 ·
解四T=( ,T-AT=diag(ai,-ai). 111 (3)T= 100 ,T-1AT=diag(-2,2,2,2). 1010 1001 -2 -3 -31 (4)T=1 1 1 ,T-1AT=diag(2,1+V,1-V3. 0 -2+V3-2-3 /-110八 (⑤)T=001,T-1AT=diag(-1,1,1). 110/ (6),()不可是变化 2.递K[可n中，察微分变换全： 全(f()=fx) 的标因多项式并证考：全递故何一个基复的系传即不可同是是变系传， 解取Kn的基1，工，x2,…,xn-1.值全递此个基复的系传是 /010·0 D= 002.0 000…0/ 从而全的标因多项式为XD()=”.如果全可是变化值存递可逆系传T使得T-1AT=0,即D=0, 而全不是到变换，向量。 *3.设A∈Mn(K),证考：如果rankA+rank(A-E)=n,值A可是变化 证明：说示题4-8.13处rank A+rank(A-E)=n的充分必之条件是A2=A.即是A的故一列向 量a有Aa=a.又A(4-E)=0,任是A-E的故一列向量B有A3=0. 设A的列向量欧的极大无关欧为a1,·,r,A-E的极大无关列向量欧为3，·，3n-,(征为 rank A+rank(A-E)=n.复证a1,…,ar,，…，n-,线性无关 设有 之a,+∑A-a-2a,= 于是1=…=k,=0,进而m1=…=mn-r=0.所以a1,…,0,风，…，-r线性无关 令T=(a1,…,ar,,…,月-r,值T可逆就 Ar=4a…iA--a…aA-(68） 即 Ar=r(68) 10
: (1) T = µ 1 5 1 −4 ¶ , T −1AT = diag(7, −2). (2) T = µ 1 i i 1 ¶ , T −1AT = diag(ai, −ai). (3) T = −1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 , T −1AT = diag(−2, 2, 2, 2). (4) T = −2 −3 −3 1 1 1 0 −2 + √ 3 −2 − √ 3 , T −1AT = diag(2, 1 + √ 3, 1 − √ 3). (5) T = −1 1 0 0 0 1 1 1 0 , T −1AT = diag(−1, 1, 1). (6), (7) @!1ap. 2. K[x]n (, sNab D: D(f(x)) = f 0 (x) 9:;, ): D St M@!B11a. : C K[x]n 1, x, x2 , · · · , xn−1 . D X 1 D = 0 1 0 · · · 0 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 . #$ D 9:; χD(λ) = λ n. op D !1ap, h!" T cR T −1AT = 0, M D = 0, $ D @1ab, *+. ∗3. A ∈ Mn(K), : op rank A + rank(A − E) = n, A !1ap. : 4/ 4–8.13 U, rank A + rank(A − E) = n lNqJuv1 A2 = A. M1 A S[* + α g Aα = α. T A(A − E) = 0, S1 A − E S[*+ β g Aβ = 0. A [*+<wxKL< α1, · · · , αr, A − E wxKL[*+< β1, · · · , βn−r ( rank A + rank(A − E) = n). α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. g Xr i=1 kiαi + nX−r j=1 mjβj = 0. Xr i=1 kiAαi + nX−r j=1 mjAβj = Xr i=1 kiAαi = Xr i=1 kiαi = 0. 81 k1 = · · · = kr = 0, y$ m1 = · · · = mn−r = 0. &' α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. f T = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r), T !", % AT = A(α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) µ Er 0 0 0 ¶ , M AT = T µ Er 0 0 0 ¶ , · 10 ·
