长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第七讲 矩阵及其运算（二）

第七讲，矩阵及其运算（二） 一特殊矩阵 1.定义Amxm,或(a)m×m:方阵：m=n的矩阵；行矩阵（又称行向量）：m=1的矩阵A=(a1,a2,…,an)列 矩阵（又称列向量）：n=1的矩阵A=(a1,2,…,an)T规定当m=n=1时，A=(a)=a11: 2.单位矩阵单位矩阵的特征：主对角线上元素全是1，其余元素均为0的阶方阵 3.对角矩阵对角阵的特征：不在主对角线上的元素全为零. 4.对称矩阵 设A+(a)为n阶方阵，若AT=A,则称A为对称矩阵，其特征为：a写=a,6,j= 1,2,…,n ()若A.B对称.则kA,A+B对称：()对任意m×n矩阵，AFA,AAT对称.()对任意矩阵A r(ATA)=r(A). 5.正交矩阵满足ATA=A4T=E的矩阵称为正交矩阵， 6.矩阵多项式设f) +a1x+为一个m次多项式，A为n阶方阵，称f(A=amAm+ …+a1A+nE为A的m次矩阵多项式 二，矩阵的运算及算律 1,矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法 2.矩阵的方幂 ()若A=B+C且BC=CB,则Am=(B+C)n=Bm+CBm-1C+…+Cm-1BCm-1+Cm (i)若AB=BA.则(AB)k=AkBk 3.矩阵的转置 三逆矩阵 1.逆矩阵定义 2.矩阵可逆的性质及判断 ()n阶方阵A可逆 二存在n阶矩阵B使得AB=BA=E(定义) 一存在n阶矩阵B使得AB=E =A≠0. (位)若4B可逆，数k≠0.则 四A=向 -1也可逆，且(4)1=A(3)(kA)-1= 04B里B推r4g…A=:5其中.， (5)A-1=4-1(6)A)-1=(A-1)n. ()若AB=AC,且A可逆，则B=C 四.伴贿矩阵 A11A21··An1 (四)A=(a)为n阶方阵，4的各个元素的代数余子式构成如下的矩阵A 为A的伴随矩阵」 重要就0A-E国苏A-(:）则r-( d -b -c a 注2阶矩阵的件随矩阵具有“对角线互换，副对角线反号”的规律。 2.关于伴随矩阵的运算规律 1

1‘˘, › 9Ÿ$é() ò Aœ› 1. ½¬ Am×n, ½(aij )m×n; ê :m = n› ; 1› (q°1ï˛): m = 1› A = (a1, a2, · · · , an); › (q°ï˛):n = 1› A = (a1, a2, · · · , an) T .5½m = n = 1û, A = (a11) = a11. 2.¸†› ¸†› A:ÃÈDzÉ¥1,Ÿ{ɲè0nê . 3.È› È A: ÿ3ÃÈDzÉè". 4. È°› A + (aij )ènê ,eAT = A, K°AèÈ°› ,ŸAè:aij = aji,(i, j = 1, 2, · · · , n). (i) eA, BÈ°, KkA, A + BÈ°; (ii) È?øm × n› , AT A, AATÈ°. (iii) È?ø› A, r(AT A) = r(A). 5. › ˜vAT A = AAT = E› °è› . 6. › ıë™ f(x) = amx m + · · · + a1x + a0èòámgıë™,Aènê ,°f(A) = amAm + · · · + a1A + a0EèAmg› ıë™. ,› $é9éÆ 1. › \{,› Ͷ,› ¶{ 2. › êò (i) eA = B + CÖBC = CB, KAn = (B + C) n = Bn + C 1 nBn−1C + · · · + C n−1 n BCn−1 + C n. (ii) eAB = BA, K(AB) k = AkBk . 3. › =ò n _› 1. _› ½¬ 2. › å_5ü9‰ (i) nê Aå_ 3n› B¶AB = BA = E(½¬) 3n› B¶AB = E |A| 6= 0. (ii) eA, Bå_, Ík 6= 0. K (1) A−1 = 1 |A|A∗ (2) A−1èå_,Ö(A−1 ) −1 = A (3) (kA) −1 = 1 kA−1 (4) (AB) −1 = B−1A−1 , Ì2(A1A2 · · · An) −1 = A−1 n · · · A −1 2 A −1 1 , Ÿ•A1, A2, · · · , Anå_. (5) |A−1 | = |A| −1 (6) (An) −1 = (A−1 ) n. (iii) eAB = AC, ÖAå_, KB = C. o. äë› (1) A = (aij )ènê ,|A|àáÉìÍ{f™§Xe› A∗ =   A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann   ° èAäë› . ­á™ (i) AA∗ = A∗A = |A|E. (ii) eA = a b c d ! , KA∗ = d −b −c a ! . 5 2› äë› ‰k“ÈÇpÜ,BÈÇá“”5Æ. 2. 'uäë› $é5Æ 1

(1)4'A=A4°=4E:(241=Am-1:m≥2h:(3)(4)'=4m-24 (4)kA=-1A:(⑤)若A可逆，则(A）1=向AA”=|AA-1 3.求伴随矩阵，转置和求逆矩阵三种运算之间的关系 (1)(4T)=(4T(②)(4)-1=(4-”，其中A可逆(3)(4)-1=(41，其中A可逆. 注意伴随矩阵A“,它由A的代数余子式所构成，基本关系式为AA:=A小A=AE,求逆，转置，伴随三 个运算能交换次序 五，常考颗型及解顺方法与技巧 题型一，有关矩阵的概念及运算 例7.1()设a=(a1,2,)7,B=(,b2,b2)7,求a,Ba,(8a (2)设a,B均为3维列向量，8T是3的转置矩阵，如果aBT 2-1 36-3 则a=() 24-2 (3③)(2003)设a均为3维列向量，aT是a的转置矩阵，如果aa ,则aTa=( 1-11/ 2-13 (④)设A 若存在秩大于1的3阶矩阵B使得BA=0,则4=() 4c6 例72设A=a,其中a=a4,…a,=,…,,证明E-A=- D”a6++obA (2)设a=(1,-1,0T,3=(1,1,1F,A=a3T,求AE-A. 12-1 (3)A=aBT=3 6 -3,Al. 24-2

(1)A∗A = AA∗ = |A|E; (2)|A∗ | = |A| n−1 ; (n ≥ 2); (3)(A∗ ) ∗ = |A| n−2A; (4)(kA) ∗ = k n−1A∗ ; (5)eAå_,K(A∗ ) −1 = 1 |A|A, A∗ = |A|A−1 . 3. ¶äë› ,=ò⁄¶_› n´$éÉm'X (1) (AT ) ∗ = (A∗ ) T (2) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_ (3) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_. 5ø äë› A∗ ,ßd|A|ìÍ{f™§§,ƒ'X™èAA∗ = A∗A = |A|E,¶_,=ò,äën á$éUÜgS. , ~K.9)Kê{ÜE| K.ò,k'› Vg9$é ~7.1 (1) α = (a1, a2, a2) T , β = (b1, b2, b2) T , ¶α T β, βαT ,(β T α) n. (2) α, β˛è3ëï˛, β T¥β=ò› ,XJαβT =   1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2  , Kα T β = ( ). (3) (2003)α˛è3ëï˛, α T¥α=ò› ,XJααT =   1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1  , Kα T α = ( ). (4) A =   2 −1 3 a 1 b 4 c 6  , e3ùåu13› B¶BA = 0, KAn = ( ). ~7.2 (1) A = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T , y²|λE − A| = λ n − β T αλn−1 = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ n−1 . (2) α = (1, −1, 0)T , β = (1, 1, 1)T , A = αβT ,¶|λE − A|. (3) A = αβT =   1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2  , ¶|λE − A|. 2

例7.3(1)设n维行向量a=(G,0,…,0,),矩阵A=E-aTa,B=E+2aTa,则AB= (A)0 (B)E (C)-E (D)E+aTa. (②)设AB均是m阶矩阵，下列命题中正确的是 (A)AB=0÷A=0或B=0(B)AB≠0÷A≠0且B≠0 (CAB=0台A=0或B剧=0(D)AB≠0÷1A≠0减B剧≠0 (③)设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是 (A)A'A=AA (B)A"AP=APA"(C)ATA=AAT (D)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) (④下面命题中不正确的是 (A)若A是n阶矩阵，则(A-E)4+)=(4+E(A-E): (B)若A,B均是n×1矩阵，则ATB=BA: (C)若A,B均是n阶矩阵且AB=0,则(A+B)P=A2+B2; (D)若A是n阶矩阵，则AmA=AAm,其中k,m为正整数. 题型二，求方阵的幂 解题思路对某些特殊的阶矩阵可以求其方幕求A"的基本思路： 思路一：若(4)=1，则A能分解为一列与一行两个矩阵的乘积，用结合律就可很方便地求出4； 思路二：若A能分解称两个矩阵的和A=B+C,且BC=CB,则A"=(B+C"可用二项式定理展 开当然B.C之中有一个的方幂要尽快为0： 思路三：当A有n个线性无关的特征向量时，可用相似对角化来求A” /1231 例4.4(1)已知a=(2,0,1)T,B=(0.3.-1)T,P=012,若A=P-1a8TP,求A013=(）. 001 (2)设2,2,1是3阶矩阵A的特征值，对应的特征向量依次为a1=(0,1,0)7,02-(1,0,1)T,a3-(0,1,1)T,求A及A” 0-10 (3)(2004设A 100,B=P-14P,P为3阶可逆矩阵，则B2004-242=( 00-1 3

~7.3 (1) në1ï˛α = ( 1 2 , 0, · · · , 0, 1 2 ),› A = E − α T α, B = E + 2α T α, KAB = (A) 0 (B) E (C) −E (D) E + α T α. (2) A, B˛¥n› ,e·K•(¥ (A) AB = 0 ⇔ A = 0½B = 0 (B) AB 6= 0 ⇔ A 6= 0 ÖB 6= 0 (C) AB = 0 ⇔ |A| = 0 ½|B| = 0 (D) AB 6= 0 ⇔ |A| 6= 0½|B| 6= 0 (3) A¥?òn › , eÜÜÿ¥ (A) A∗A = AA∗ (B) AmAp = ApAm (C) AT A = AAT (D) (A + E)(A − E) = (A − E)(A + E) (4) e°·K•ÿ(¥ (A) eA¥n› , K(A − E)(A + E) = (A + E)(A − E); (B) eA, B˛¥n × 1 › , KAT B = BT A; (C) eA, B˛¥n› ÖAB = 0, K(A + B) 2 = A2 + B2 ; (D) eA¥n› ,KAmAk = AkAm, Ÿ•k, mèÍ. K.,¶ê ò )Kg¥ È, Aœn› 屶Ÿêò.¶Anƒg¥: g¥ò:er(A) = 1 ,KAU©)èòÜò1¸á› ¶»,^(‹Æ“åÈêB/¶—An; g¥:eAU©)°¸á› ⁄A = B + C,ÖBC = CB,KAn = (B + C) n å^뙽n– m,,B, CÉ•kòáêòá¶Øè0; g¥n:AknáÇ5Ã'Aï˛û,å^ÉqÈz5¶An. ~4.4 (1) Æα = (2, 0, 1)T , β = (0, 3, −1)T , P =   1 2 3 0 1 2 0 0 1  , eA = P −1αβT P, ¶A2013 = ( ). (2) 2, 2, 1¥3› AAä, ÈAAï˛ùgèα1 = (0, 1, 0)T , α2 = (1, 0, 1)T , α3 = (0, 1, 1)T ,¶A9An . (3) (2004)A =   0 −1 0 1 0 0 0 0 −1  ,B = P −1AP, Pè3å_› , KB2004 − 2A2 = ( ). 3

4)(2007)设矩阵 则4的秩为一 题型四，有关初等变换的问题 例7.5（①）(2006)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C 110 记P-010,则 001 (A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PT AP.(D)C=PAPT 100 (②)(2009)设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置，且PTAP= 010 若P=(a1,a2,a3,Q= 002 (a1+a2,a2,a3),则QTAQ为 210 110 200 100 110©120©010 (D)020 002/ 002 002 002 (3)(2011)设A为3阶矩阵将A的第2列加到第1列得到矩阵B,再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵 100) 71001 记乃=110，乃=001，则A= 001 010/ (A)P.P2 (B)P-P2 (C)P2P (D)P2P- 4

(4) (2007) › A =   0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   , KA3ùè . K.o,k'–CÜØK ~7.5 (1) (2006) Aè3› , ÚA121\111B, 2ÚB11−1\12C, PP =   1 1 0 0 1 0 0 0 1  , K (A) C = P −1AP. (B) C = P AP −1 . (C) C = P T AP. (D) C = P AP T . (2) (2009)A, P˛è3› ,P TèP=ò,ÖP T AP =   1 0 0 0 1 0 0 0 2  . eP = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3),KQT AQè (A)   2 1 0 1 1 0 0 0 2   . (B)   1 1 0 1 2 0 0 0 2   . (C)   2 0 0 0 1 0 0 0 2   . (D)   1 0 0 0 2 0 0 0 2   . (3) (2011) Aè3› ,ÚA12\11› B,2ÜB121Ü131¸†› . PP1 =   1 0 0 1 1 0 0 0 1  ,P2 =   1 0 0 0 0 1 0 1 0  ,KA = (A) P1P2 (B) P −1 1 P2 (C) P2P1 (D) P2P −1 1 4

100 (④)(2012)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP 若P=(a1,2,g).Q (a1+a2,a2,ag,则Q-14Q= 100 100 200 200 A020®010g010 @)020 002 001 一)已阶加车可递将A的苏2店茶交换剂B再把B的第的-之洛加至第3得C则情足PAP C-1的矩阵P为 102 12010-2120 (A)001(B)001(C)001(D)010 010 010 010 001 (6)(②2004)设A为3阶矩阵，交换A的第1列与第2列得矩阵B,将B的第2列加到第3列得矩阵C,则满足AQ= C的矩阵Q :gf)） 101 00 (7)(2001,2004)若n阶矩阵A与B等价，则下列说法正确的是 (A)当|4=a(a≠0)时，IB=a.(B)当14=a(a≠0)时，IB=-a (C)当1A≠0时，B1=0.(D)当A=0时，1B吲=0. （8() 5

(4) (2012) Aè3› ,Pè3å_› , ÖP −1AP =   1 0 0 0 1 0 0 0 2  . eP = (α1, α2, α3),Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = (A)   1 0 0 0 2 0 0 0 1   . (B)   1 0 0 0 1 0 0 0 2   . (C)   2 0 0 0 1 0 0 0 2   . (D)   2 0 0 0 2 0 0 0 1  . (5) Æ3› Aå_,ÚA12Ü13ÜB,2rB11−2\ñ13C,K˜vP A−1 = C −1 › Pè (A)   1 0 2 0 0 1 0 1 0   (B)   1 2 0 0 0 1 0 1 0   (C)   1 0 −2 0 0 1 0 1 0   (D)   1 2 0 0 1 0 0 0 1   (6) (2004) Aè3› ,ÜA11Ü12› B,ÚB12\13› C, K˜vAQ = C› Q = . (A)   0 1 0 1 0 0 1 0 1   (B)   0 1 0 1 0 1 0 0 1   (C)   0 1 0 1 0 0 0 1 1   (D)   0 1 1 1 0 0 0 0 1   (7) (2001,2004) en› AÜBd, Ke`{(¥ (A) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = a. (B) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = −a. (C) |A| 6= 0û, |B| = 0. (D) |A| = 0û, |B| = 0. ~7.6   0 1 0 1 0 0 0 0 1   2011   1 2 3 4 5 6 7 8 9     0 0 1 0 1 0 1 0 0   2012 = ( ). 5

题型五，关于伴随矩阵的命题 例7.7(1)）(2005)设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A,B”分别为A,B的伴 随矩阵，则 (交换的第1列与第2列得矩阵B,)交换A的第1行与第2行得矩阵B (C)交换A的第1列与第2列得矩阵-B*.(D)交换4A“的第1行与第2行得矩阵-B” (2)(2009,12.3)设AB均为2阶矩阵4“，B分别为A,B的伴随矩阵.若4=2,1B1=3,则分块矩 时（日。）的件结矩*为 w(6）回(”8)o(g6@(8） 份四花AB是价泡床C-(。8）的准随矩库是 (4④设A是n(m≥3)阶方阵，A是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0士1则必有(kA)°= (A)A (B)kn-1A (C)k"A (D)k-1A-. ()(2003)设A=(a)为3阶矩阵，且A"=4T,a11=a12=a13=a>0,则a=() (A)(B)3(C专(D). 111 例7.8(1)设A 022,(4-是A-1的伴随矩阵，则(4-=(） 003 (2)(2012)设A为3阶矩阵，1A=3,A为A的伴随矩阵.交换A的第1行与第2行得矩阵B,则BAI (3)设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，A=,则(A)-1-8A1=(片 111 (④设4=022 ,(4-是A-1的伴随矩阵，则(4-=(） 003 (⑤)设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，A=吉，则(A)-1-8A1=（方 11-1 (⑥)(2003)己知A--111,矩阵X满足AX=A-1+2X,其中A是A的伴随矩阵，则X 1-11 ()

K. ,'uäë› ·K ~7.7 (1) (2005)Aèn(n ≥ 2)å_› , ÜA111Ü121› B, A∗ , B∗©OèA, Bä ë› , K (A) ÜA∗11Ü12› B∗ . (B) ÜA∗111Ü121› B∗ . (C) ÜA∗11Ü12› −B∗ . (D) ÜA∗111Ü121› −B∗ . (2) (2009,1,2,3) A, B˛è2› ,A∗ , B∗©OèA, Bäë› .e|A| = 2, |B| = 3, K©¨› 0 A B 0 ! äë› è (A) 0 3B∗ 2A∗ 0 ! . (B) 0 2B∗ 3A∗ 0 ! . (C) 0 3A∗ 2B∗ 0 ! . (D) 0 2A∗ 3B∗ 0 ! (3) (2002) A, B¥n› , KC = A 0 0 B ! äë› ¥ (A) |A|A∗ 0 0 |B|B∗ ! (B) |B|B∗ 0 0 |A|A∗ ! (C) |A|B∗ 0 0 |B|A∗ ! (D) |B|A∗ 0 0 |A|B∗ ! . (4) A¥n(n ≥ 3)ê ,A∗¥Ÿäë› ,qkè~Í,Ök 6= 0, ±1 K7k(kA) ∗ = (A) kA∗ (B) k n−1A∗ (C) k nA∗ (D) k −1A∗ . (5) (2003) A = (aij )è3› , ÖA∗ = AT , a11 = a12 = a13 = a > 0, Ka = ( ). (A) √ 3 3 (B) 3 (C) 1 3 (D) √ 3. ~7.8 (1) A =   1 1 1 0 2 2 0 0 3   , (A−1 ) ∗¥A−1äë› ,K(A−1 ) ∗ = ( ) (2) (2012) Aè3› , |A| = 3,A∗èAäë› . ÜA111Ü121› B,K|BA∗ | = . (3) Aè3› ,A∗ èAäë› , |A| = 1 8 ,K( 1 3A) −1 − 8A∗ | = ( ); (4) A =   1 1 1 0 2 2 0 0 3   , (A−1 ) ∗¥A−1äë› , K(A−1 ) ∗ = ( ). (5) Aè3› ,A∗ èAäë› , |A| = 1 8 ,K( 1 3A) −1 − 8A∗ | = ( ); (6) (2003) ÆA =   1 1 −1 −1 1 1 1 −1 1  , › X˜vA∗X = A−1+2X, Ÿ•A∗¥Aäë› , KX = ( ). 6

()若A= 030、 8)若A1 则3A=() -212 题型六，矩阵可逆的计算 逆矩阵的求法 )利用定义：若AB=E,则A1=B 回利用件延矩降小一向特别的，看A一(：)则一去(。）其 中ad-bc≠0. (曲)利用行初等变换：(4E)→(E41) (v)分块矩阵的逆：若A,B可逆，则 (6)() = 0B-1 -1 A-1 0 A C A-1-A-1CB- 0B-1 (-（-)() 0 B-1 B C A-1 0 A-1-A-1CB-1 分块矩阵公式(2)中C对应位置的矩阵适用“行左列右，添负号”法则. 例7.8()(2008)设A为m阶非零矩阵，E为m阶单位矩阵，若43-0，则 (A)E一A不可逆，E+A不可逆.(B)E一A不可逆，E+A可逆. (C)E-A可逆，E+A可逆.(D)E-A可逆，E+A不可逆. (2)设A,B,A+B,A1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A1+B-1)1= 7

(7) eA = 1 2   2 0 0 0 0 1 0 3 0  ,K(A∗ ) −1 = ( ). (8) eA−1 =   1 −2 2 2 2 1 −2 1 2  , K(3A) ∗ = ( ) K.8,› å_Oé _› ¶{ (i) |^½¬: eAB = E, KA−1 = B. (ii) |^äë› : A−1 = 1 |A|A∗ , AO, eA = a b c d ! , KA−1 = 1 ad−bc d −b −c a ! , Ÿ •ad − bc 6= 0. (iii) |^1–CÜ: (A|E) → (E|A−1 ). (iv) ©¨› _: eA, Bå_, K (1) A 0 0 B !−1 = A−1 0 0 B−1 ! , 0 A B 0 !−1 = 0 B−1 A−1 0 ! (2) A 0 C B !−1 = A−1 0 −A−1CB−1 B−1 ! , A C 0 B !−1 = A−1 −A−1CB−1 0 B−1 ! (3) 0 A B C !−1 = −B−1CA−1 B−1 A−1 0 ! , C A B 0 !−1 = 0 B−1 A−1 −A−1CB−1 ! ©¨› ˙™(2)•CÈA†ò› ·^“1Üm,VK“”{K. ~7.8 (1) (2008) Aènö"› ,Eèn¸†› ,eA3 = 0,K (A) E − Aÿå_,E + Aÿå_. (B) E − Aÿå_,E + Aå_. (C) E − Aå_,E + Aå_. (D) E − Aå_,E + Aÿå_. (2) A, B, A + B, A−1 + B−1˛ènå_› ,K(A−1 + B−1 ) −1 = 7

(A)A+B(B)A-1+B-1(CA(4+B-1B(D)(A+B)-1 (3)设A,B,C是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵且ABC=E,则必有 (A)CBA=E (B)BCA=E (C)BAC=E (D)ACB=E (④设A,B,C是n阶矩阵，且ABC=E,则必有 (A)CBA=E (B)BCA=E (C)BAC=E (D)ACB=E (⑤)设A,B,C为n阶矩阵，E为m阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA,则B-C= (A)E (B)-E (C)A (D)-A 300 例7.91)设A=140,则(A-2E)-1=(方 003 1 ②设A,B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A-2B,B= 2E)-1=(） (3)设A为n阶矩阵若24(A-E)=A3,则(E-A)-1=(）,若A2-A-2E=0,则(A+4E)-1=（) ()已知PA=BP,其中P 题型七，求解矩阵方程 三种基本类型：()AX=B,A可逆，得X=A-1B,求法：(4B)→(EAB)=(EX)(利用初等行 变换) (②)XA=B,A可逆，得X=BA1,求法：(TBT)→(E(AT)-1B)=(EXT)(利用初等行变换) (③)AXB=C,A,B可逆，得X=A-lBC-1,求法：先求Y=A-1B,再求YC-1(利用初等行变换) 8

(A) A + B (B) A−1 + B−1 (C) A(A + B) −1B (D) (A + B) −1 (3) A, B, C¥n› , Eèn¸†› ÖABC = E, K7k (A) CBA = E (B) BCA = E (C) BAC = E (D) ACB = E (4) A, B, C¥n› ,ÖABC = E ,K7k (A) CBA = E (B) BCA = E (C) BAC = E (D) ACB = E (5) A, B, Cèn› ,Eèn¸†› , eB = E + AB, C = A + CA, KB − C = (A) E (B) −E (C) A (D) −A ~7.9(1) A =   3 0 0 1 4 0 0 0 3  , K(A − 2E) −1 = ( ); (2) A, B˛èn› , E¥n¸†› ,ÆAB = A − 2B, B =   1 0 −2 0 −1 0 −2 0 1   ,K(A + 2E) −1 = ( ) (3) Aèn› , e2A(A−E) = A3 , K(E −A) −1 = ( ),eA2−A−2E = 0, K(A+4E) −1 = ( ). (4) ÆP A = BP, Ÿ•P =   0 −1 0 2 0 0 0 0 3   , B =   1 0 0 0 −1 0 0 0 1  , KA2013 = ( ). K.‘,¶)› êß n´ƒa.: (1) AX = B, Aå_, X = A−1B, ¶{: (A|B) → (E|A−1B) = (E|X)(|^–1 CÜ). (2) XA = B, Aå_, X = BA−1 , ¶{: (AT |BT ) → (E|(AT ) −1BT ) = (E|XT )(|^–1CÜ). (3) AXB = C, A, Bå_,X = A−1BC−1 , ¶{: k¶Y = A−1B, 2¶Y C−1 (|^–1CÜ). ~7.10(1) (2006) A = 2 1 −1 2 ! , Eè2¸†› , B˜vBA = B + 2E, K|B| = ( ); 8

(②)设A,B为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，满足AB-A-B=E,A= 则B剧=()方 ④设AB为阶矩阵为A的件随矩阵，满足BA=6A+BAA日0名？则引=（片

(2) A, Bè3› , Eè3¸†› ,˜vA2B − A − B = E, A =   1 0 1 0 2 0 −2 0 1  , K|B| = ( ); (3) A, Bè3› ,A∗ èAäë› , Eè3¸†› ,˜vABA∗ = 2BA∗+E, A =   1 0 1 0 2 0 −2 0 1  , K|B| = ( ); (4) A, Bè3› ,A∗ èAäë› , ˜vA−1BA = 6A+BA, A =   1 0 0 0 2 0 0 0 3  , K|B| = ( ); 9