教学内容 无穷小 1定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1:如果对于任意给定的正数E(不论它多么小)总存在正数d(或正数X),使 得对于适合不等式0<x-x<6(或>x)的一切x,对应的函数值f(x)都满足 不等式(x)<E,那末称函数f(x)当x→>x(或x→)时为无穷小记作 imf(x)=0(或lmf(x)=0) 例如,: lim sin x=0,∴函数snx是当x0时的无穷小 im-=0,∴函数是当x→∞时的无穷小 m(D=0,:数列)是当n→时的无穷小 注意 无穷小是变量不能与很小的数混淆; 2零是可以作为无穷小的唯一的数 2无穷小与函数极限的关系 定理1lmf(x)=A分f(x)=A+a(x),其中a(x)是当x→x时的无穷小 证:必要性 设mnf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,则有ma(x)=0 f(x)=A+a(r) 充分性 设f(x)=A+a(x),其中a(x)是当x→>x时的无穷小 AI lim f(x)=lim(A+a(x)=A+ lim a(x)=A 意义 1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小) 给出了函数(x)在x附近的近似表达式f(x)≈A误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证:设a及是当x→O时的两个无穷小, yE>0,3N1>0,N,>0,使得2 教 学 内 容 一、无穷小 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义 1：如果对于任意给定的正数  (不论它多么小),总存在正数  (或正数 X ),使 得对于适合不等式 0  x − x0   (或 x  X )的一切 x ,对应的函数值 f (x) 都满足 不等式 f (x)   ,那末 称函数 f (x) 当 0 x → x (或 x → )时为无穷小,记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 例如, lim sin 0, 0 = → x x  函数sin x是当x →0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x  . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n  } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 −  n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x =  = + → 其中 (x) 是当 0 x → x 时的无穷小. 证：必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令(x) = f (x)− A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有   f (x) = A+(x). 充分性 设 f (x) = A+(x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x  → = + = A. 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 2. ( ) ( ) , ( ). 0 给出了函数f x 在x 附近的近似表达式f x  A 误差为 x 3.无穷小的运算性质: 定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证： 设及是当x →时的两个无穷小,   0,N1  0,N2  0,使得