章节题目 第五节无穷大与无穷小 无穷小与无穷大的概念 无穷大与无穷小的关系 内容提要 无穷小的运算性质 重点分析 无穷小的概念 难点分析 习题布置 2(1)、3、4、7 备注
1 章 节 题 目 第五节 无穷大与无穷小 内 容 提 要 无穷小与无穷大的概念 无穷大与无穷小的关系 重 点 分 析 无穷小的运算性质 难 点 分 析 无穷小的概念 习 题 布 置 P54 ：2（1）、3、4、7 备 注
教学内容 无穷小 1定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1:如果对于任意给定的正数E(不论它多么小)总存在正数d(或正数X),使 得对于适合不等式0x)的一切x,对应的函数值f(x)都满足 不等式(x)x(或x→)时为无穷小记作 imf(x)=0(或lmf(x)=0) 例如,: lim sin x=0,∴函数snx是当x0时的无穷小 im-=0,∴函数是当x→∞时的无穷小 m(D=0,:数列)是当n→时的无穷小 注意 无穷小是变量不能与很小的数混淆; 2零是可以作为无穷小的唯一的数 2无穷小与函数极限的关系 定理1lmf(x)=A分f(x)=A+a(x),其中a(x)是当x→x时的无穷小 证:必要性 设mnf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,则有ma(x)=0 f(x)=A+a(r) 充分性 设f(x)=A+a(x),其中a(x)是当x→>x时的无穷小 AI lim f(x)=lim(A+a(x)=A+ lim a(x)=A 意义 1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小) 给出了函数(x)在x附近的近似表达式f(x)≈A误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小 证:设a及是当x→O时的两个无穷小, yE>0,3N1>0,N,>0,使得
2 教 学 内 容 一、无穷小 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 定义 1：如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 (或正数 X ),使 得对于适合不等式 0 x − x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值 f (x) 都满足 不等式 f (x) ,那末 称函数 f (x) 当 0 x → x (或 x → )时为无穷小,记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → → f x f x x x x 或 例如, lim sin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x →0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 − n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中 (x) 是当 0 x → x 时的无穷小. 证：必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令(x) = f (x)− A, lim ( ) 0, 0 = → x x x 则有 f (x) = A+(x). 充分性 设 f (x) = A+(x), ( ) , 其中 x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + → → 则 lim ( ) 0 A x x x → = + = A. 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 2. ( ) ( ) , ( ). 0 给出了函数f x 在x 附近的近似表达式f x A 误差为 x 3.无穷小的运算性质: 定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证： 设及是当x →时的两个无穷小, 0,N1 0,N2 0,使得
当>N时恒有kN时恒有(M时,恒有 土B≤+|0(x→∞) 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 例如n→∞时,是无穷小,但n个之和为不是无穷小 定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证:设函数u在U°(x,)有界 则M>0>0,使得当0x时的无穷小 v>0.363>0使得当0-xx)的一切x所对应的函数值/x)都满 足不等式(x)>M,则称函数f(x)当x→x0(或x→)时为无穷小,记作 imf(x)=∞(或lmf(x)=∞) 特殊情形:正无穷大,负无穷大 imf(x)=+∞(或lmf(x)=-∞)
3 ; 2 1 当 x N 时恒有 ; 2 2 当 x N 时恒有 max{ , }, 取 N = N1 N2 当 x N时,恒有 + 2 2 + = , → 0 (x → ) 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 时 是无穷小， n n 1 , → , 1 . 1 但 个 之和为 不是无穷小 n n 定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证： 设函数u在U 0 (x0 , 1 )内有界， 0, 0, 0 . 则M 1 使得当 x − x0 1时恒有u M , 又设是当x → x0时的无穷小 0, 0, 0 . 2 0 2 M x x 使得当 − 时恒有 min{ , }, 取 = 1 2 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. x x x x x 1 , arctan 1 , 0 , sin 例如 当 → 时 2 都是无穷小 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么小),总存在正数 (或正数 X ),使 得对于适合不等式 0 x − x0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数值 f (x) 都满 足不等式 f (x) M ,则称函数 f (x) 当 0 x → x (或 x → )时为无穷小,记作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或 特殊情形：正无穷大，负无穷大． lim ( ) ( lim ( ) ) ( ) ( ) 0 0 = + = − → → → → f x f x x x x x x x 或
注意: 1无穷大是变量,不能与很大的数混淆 2切勿将lmf(x)=∞认为极限存在 3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大 例如,当x→0时,y=-sn-是一个无界变量,但不是无穷大 (1)取x (k=0,1,2,3,…) 2k丌+ y(x0)=2kx+,当k充分大时,y(x)>M无界, (2)取x0= (k=0,1,2,3,… 2k丌 当k充分大时,x0.要使 只要x-1
4 注意: 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2. lim ( ) . 0 切勿将 = 认为极限存在 → f x x x 3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. , . 1 sin 1 例如,当 0时, 是一个无界变量 但不是无穷大 x x x → y = ( 0,1,2,3, ) 2 2 1 (1) 0 = + = k k x 取 , 2 ( 0 ) 2 y x = k + , ( ) . 当k充分大时 y x0 M 无界， ( 0,1,2,3, ) 2 1 (2) 0 = k = k x 取 , , k 当k充分大时 x 但 y(xk ) = 2k sin 2k = 0 M. 不是无穷大． . 1 1 lim 1 = x→ x − 例 证明 证: M 0. , 1 1 M x − 要使 , 1 1 M 只要 x −
取=1,当0M 定义:如果imf(x)=∞,则直线x=x是函数y=f(x) 的图形的铅直渐近线 三、无穷小与无穷大的关系 定理4在同一过程中无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷 证:设mf(x)=∞ VE>0,3>0,使得当0,即∠E f(x) 当x→x时,一为无穷小 反之,设mf(x)=0,且f(x)≠0. M>036>0使得当0M f(x) 当x→x时,为无穷大 意义关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论 四、小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论 2、几点注意: (1)无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数 (2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小 (3)无界变量未必是无穷大
5 , 1 M 取 = , 1 当0 1 时 M x − = . 1 1 M x − 就有 . 1 1 lim 1 = − x→ x . : lim ( ) , ( ) 0 0 的图形的铅直渐近线 定义 如果 f x 则直线x x 是函数y f x x x = = = → 三、无穷小与无穷大的关系 定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷 大. 证: lim ( ) . 0 = → f x x x 设 0, 0,使得当0 x − x0 时 , 1 ( ) 恒有 f x . ( ) 1 f x 即 . ( ) 1 , 当 0时 为无穷小 f x x → x , lim ( ) 0, ( ) 0. 0 = → f x f x x x 反之 设 且 M 0, 0,使得当0 x − x0 时 , 1 ( ) M 恒有 f x 由于 f (x) 0, . ( ) 1 M f x 从而 . ( ) 1 , 当 0时 为无穷大 f x x → x 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 四、小结 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: (1) 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数； （2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大
思考题 若f(x)>0,且imf(x)=A,问:能否保证有A>0的结论?试举例说明 思考题解答 不能保证.例f(x)=-Vx>0,f(x)=->0imf(x)=lim=A=0
6 思考题 若 f (x) 0 ，且 f x A x = →+ lim ( ) ，问：能否保证有 A 0 的结论？试举例说明. 思考题解答 不能保证. 例 x f x 1 ( ) = x 0, 0 1 ( ) = x f x = →+ lim f (x) x 0. 1 lim = = →+ A x x