章节题目 第七节曲线的凹凸与拐点 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 内|曲线的拐点及其求法 容提要 曲线凹凸的判定 曲线拐点的求法 重点分析 曲线拐点的求法 难点分析 P 题布置 备注
1 章 节 题 目 第七节 曲线的凹凸与拐点 内 容 提 要 曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法 重 点 分 析 曲线凹凸的判定 曲线拐点的求法 难 点 分 析 曲线拐点的求法 习 题 布 置 P206：2、4 备 注
教学内容 曲线凹凸的定义 问题如何研究曲线的弯曲方向? y=f(x) y=f(x) 图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义: 设f(x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意两点x1,x2, 恒有f( +x2、f(x1)+f(x2) 那末称f(x)在(a,b) 2 内的图形是凹的 如果对(a,b内任意两点x1,x2, 恒有f( x1+x2、、f(x1)+f(x2) ,那末称f(x)在(a,b) 内的图形是凸的; 如果f(x)在[a,b内连续,且在(a,b)内的图形是凹(或凸)的, 那末称f(x)在{a,b内的图形是叫或凸)的; 曲线凹凸的判定 =f(x) f(x)递增y>0 f(x)递减y”0,则f(x)在[ab]上的图形是凹的 (2)∫"(x)<0,则f(x)在[a,b上的图形是凸的 例1:判断曲线y=x3的凹凸性
2 教 学 内 容 一、曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义： ; , ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ( , ) , ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 内的图形是凹的 恒有 那末称 在 设 在 内连续 如果对 内任意两点 f x a b x x f x f x f f x a b a b x x + + ; , ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( , ) , , 1 2 1 2 1 2 内的图形是凸的 恒有 那末称 在 如果对 内任意两点 f x a b x x f x f x f a b x x + + ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) ( ) , 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 内连续 且在 内的图形是凹 或凸 的 f x a b f x a b a b 二、曲线凹凸的判定 定理 1 (2) ( ) 0, ( ) [ , ] . (1) ( ) 0, ( ) [ , ] ; ( ) [ , ] , ( , ) , ( , ) 则 在 上的图形是凸的 则 在 上的图形是凹的 如果 在 上连续 在 内具有二阶导数 若在 内 f x f x a b f x f x a b f x a b a b a b 例 1： . 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 x y o y = f (x) 1 x 2 x x y o 1 x 2 x y = f (x) f (x) 递增 x y o y = f (x) a b A B y 0 x y o y = f (x) a b B A f (x) 递减 y 0
0.1 解:∵y′=3x2,y"=6x,当x0时,y">0,曲线在,+∞)为凹的 注意到,点(O,0)是曲线由凸变凹的分界点 、曲线的拐点及其求法 1定义:连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点 注意拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2拐点的求法 定理2如果f(x)在(x-6,x+6)内存在二阶导数则点(xnf(x)是拐点的必 要条件是∫(x0)=0 证:∵f(x)二阶可导,∴f(x)存在且连续 又∵(xn3f(x0)是拐点,则∫"(x)=[f(x)在x两边变号 ∫(x)在x取得极值,由可导函数取得极值的条件, f"(x)=0 方法1:设函数f(x)在x0的邻域内二阶可导,且f(x0)=0, (1)x两近旁/(x)变号,点(x0,f(x0)即为拐点 (2)x两近旁∫(x)不变号,点(x0,f(x0)不是拐点 例2求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹、凸的区间 解:∵D:(-∞,+∞)
3 解： 3 , 2 y = x y = 6x, 当x 0时，y 0, 曲线在(−,0]为凸的； 当x 0时，y 0,曲线在[0,+)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点. 三、曲线的拐点及其求法 1.定义: 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 定理 2 如果 f (x) 在 ( , ) x0 − x0 + 内存在二阶导数,则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是拐点的必 要条件是 ( 0 ) 0 " f x = . 证: f (x) 二阶可导, f (x) 存在且连续, ( , ( ) ) , 又 x0 f x0 是拐点 ( ) [ ( )] , 则 f x = f x 在x0两边变号 ( ) , f x 在x0取得极值 由可导函数取得极值的条件, f (x) = 0. 方法 1: ( ) , ( ) 0, 设函数f x 在x0的邻域内二阶可导 且f x0 = (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁f x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点 例 2 3 4 1 . 求曲线 y = x 4 − x 3 + 的拐点及凹、凸的区间 解：D :(−,+)
y=12x3-12x2,y"=36x(x-5) 令y”=0,得x=0,X23 (0, f"(x) 0 拐点 四的(0)凸的|(3)凹的 凹凸区间为(201023(3+) 方法2.设函数f(x)在x0的邻域内三阶可导,且(x)=0 而∫"(x0)≠0,那末(x023f(x0)是曲线y=f(x)的拐点 例3求曲线y=snx+cosx([02内的拐点 A: y=cosx-sin x, y"=-sin x-cosx, cosx+sin x 令y”=0,得 3兀x f"(-)=√2≠0,f"()=-√2≠0 0.5 -0,5
4 12 12 , 3 2 y = x − x ). 3 2 y = 36x(x − 令y = 0, . 3 2 0, 得 x1 = x2 = , ). 3 ], [2 3 凹凸区间为(−,0], [0, 2 + 方法 2: ( ) 0, ( , ( )) ( ) . ( ) , ( ) 0, 0 0 0 0 0 而 那末 是曲线 的拐点 设函数 在 的邻域内三阶可导 且 f x x f x y f x f x x f x = = 例 3 求曲线 y = sin x +cos x ([0,2]内)的拐点. 解： y = cos x −sin x , y = −sin x − cos x , y = −cos x + sin x . 令 y = 0, . 4 7 , 4 3 1 2 得 x = x = ) 2 4 3 ( = f 0, ) 2 4 7 ( = − f 0, x (−,0) , ) 3 ) (2 + 3 (0, 2 0 3 2 f (x) f (x) + − 0 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 , 11 3 (2
在0,2m内曲线有拐点为(,0),(,0) .若f"(x0)不存在点(x,f(x)也可能是 连续曲线y=f(x)的拐点 例4求曲线y=√x的拐点 解:当x≠0时,y=x3,y”=-x3, x=0是不可导点y,y”均不存在 但在(一∞O内,y”>0,曲线在(∞0上是凹的 在(0,+∞内y2<0,曲线在[0,+∞)上是凸的 点(00)是曲线y=x的拐点 四、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1,2 思考题 设f(x)在(ab)内二阶可导,且∫"(x)=0,其中x0∈(a,b),则(x0,f(x0)是 否一定为曲线∫(x)的拐点?举例说明 思考题解答 因为∫(x0)=0只是(x0,f(x0)为拐点的必要条件,故(x0,f(x0))不一定是拐点 例:f(x)=xx∈(-∞,+∞)f"(0)=0但(0,0)并不是曲线f(x)的拐点
5 在[0,2]内曲线有拐点为 ,0). 4 7 ,0), ( 4 3 ( 注意: ( ) . ( ) , ( , ( )) 0 0 0 连续曲线 的拐点 若 不存在 点 也可能是 y f x f x x f x = 例 4 . 求曲线 y = 3 x 的拐点 解：当x 0时, , 3 1 3 2 − y = x , 9 4 3 5 − y = − x x = 0是不可导点, y , y 均不存在. 但在(−,0)内, y 0, 曲线在(−,0]上是凹的; 在(0,+)内, y 0, 曲线在[0,+)上是凸的. (0,0) . 点 是曲线 y = 3 x的拐点 四、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法 1, 2. 思考题 设 f (x) 在 (a,b) 内二阶可导，且 f (x0 ) = 0 ，其中 ( , ) x0 a b ，则 ( , 0 x ( )) 0 f x 是 否一定为曲线 f (x) 的拐点？举例说明. 思考题解答 因为 f (x0 ) = 0 只是 ( , 0 x ( )) 0 f x 为拐点的必要条件，故 ( , 0 x ( )) 0 f x 不一定是拐点. 例： 4 f (x) = x x(−,+) f (0) = 0 但 (0,0) 并不是曲线 f (x) 的拐点