章节题目 第五节函数的极值及其求法 函数极值的定义 函数极值的求法 内容提要 极值的概念 求函数极值的步骤 重点分析 函数极值点的确定 难点分析 189:1(3)(9)(12)(14)、2、3 题布置 备注
1 章 节 题 目 第五节 函数的极值及其求法 内 容 提 要 函数极值的定义 函数极值的求法 重 点 分 析 极值的概念 求函数极值的步骤 难 点 分 析 函数极值点的确定 习 题 布 置 P189：1（3）（9）（12）（14）、2、3 备 注
教学内容 函数极值的定义 y 定义: 设函数f(x)在区间(ab内有定义,x是(a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的任何点x除了点x0外 f(x)f(x0)均成立就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点 、函数极值的求法 定理1(必要条件):设f(x)在点x处具有导数,且在x处取得极值那末必定 f(x0)=0 定义 使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫做函数 f(x)的驻点 注意 可导函数∫(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却 不一定是极值点 例如,y=x3,y1l-0=0,但x=0不是极值点 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-δ,x0)有∫(x)>0,而x∈(x0,x+)有∫(x)<0,则f(x)在
2 教 学 内 容 一、函数极值的定义 定义： ( ) ( ) , ( ) ( ) . , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) ; , , , ( ) ( , ) , ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 均成立 就称 是函数 的一个极小值 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 均成立 就称 是函数 的一个极大值 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 设函数 在区间 内有定义 是 内的一个点 f x f x f x f x x x x f x f x f x f x x x x f x a b x a b 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 二、函数极值的求法 定理 1(必要条件)：设 f (x) 在点 0 x 处具有导数,且在 0 x 处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = 定义： ( ) . ( ( ) 0 ) 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫做函数 f x f x = 注意: . ( ) , 不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但x = 0不是极值点. 定理 2(第一充分条件) (1)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + ,有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x) 在 o x y a b y = f (x) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y 0 x o x y 0 x
x0处取得极大值 (2)如果x∈(x-6,x)有f(x)0,则f(x)在 x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x2x+δ)时,∫(x)符号相同,则∫(x)在x处 无极值 (是极值点情形) (不是极值点情形) 求极值的步骤 (1)求导数f(x) (2)求驻点,即方程f(x)=0的根; (3)检查f(x)在驻点左右的正负号,判断极值点 (4)求极值 例1求出函数f(x)=x32-3x2-9x+5的极值 解:f(x)=3x2-6x-9=3(x+1x-3) 令∫(x)=0,得驻点x=-1x2=3列表讨论
3 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), 0 0 x x − x 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x) 在 0 x 处取得极小值. (3)如果当 ( , ) 0 0 x x − x 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x) 在 0 x 处 无极值. (是极值点情形) (不是极值点情形) 求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值. 例 1 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x 3 − x 2 − x + 的极值 解： ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − = 3(x +1)(x −3) 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x y o x y o 0 x 0 x + − − + x y o x y o 0 x 0 x + − − +
(-∞,-1) (-1,3) (3+∞) 0 f(x) 30极小值 极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22 f(x)=x3-3x2-9x+5图形如下 定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数,且∫(x0)=0 f(x0)≠0,那末 (1)当f(x0)0时,函数f(x)在x处取得极小值 证:(1)∵∫"(x)=mf(x0+△x)-f(x)∠0, 故f(x0+△x)-f(x)与△x异号, 当Axf(x0)=0 当Ax>0时,有f(x0+△x)<f(x)=0 所以,函数f(x)在x处取得极大值 例2求出函数f(x)=x3+3x2-24x-20的极值 解:f(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2)
4 极大值 f (−1) =10, 极小值 f (3) = −22. ( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + 图形如下 定 理 3( 第二充分条件 ) 设 f (x) 在 0 x 处具有二阶导数 , 且 ( 0 ) 0 ' f x = , ( 0 ) 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x) 在 0 x 处取得极小值. 证: (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 0 有f x + x f x =0 当x 0时， ( ) ( ) 0 0 有f x + x f x =0 所以,函数 f (x) 在 0 x 处取得极大值 例 2 ( ) 3 24 20 . 求出函数 f x = x 3 + x 2 − x − 的极值 解: ( ) 3 6 24 2 f x = x + x − = 3(x + 4)(x − 2) x (−,−1) −1 (−1,3) 3 (3,+) f (x) f (x) + − + 0 0 极 大 值 极 小 值
令f(x)=0,得驻点x1=-4,x2=2 ∫"(x)=6x+6,∵∫"(-4)=-180,故极小值f(2)=-48 f(x)=x3+3x2-24x-20图形如下 注意:∫"(x)=0时,∫(x)在点x处不一定取极值,仍用定理2 注意函数的不可导点也可能是函数的极值点 例3:求出函数∫(x)=1-(x-2)3的极值 解:f(x)=--(x-2)3(x≠2 当x=2时,f(x)不存在但函数(x)在该点连续 当x0, 当x>2时,f(x)<0.∴f(2)=1为(x)的极大值
5 令 f (x) = 0， 4, 2. 得驻点 x1 = − x2 = f (x) = 6x + 6, f (−4) = −18 0, 故极大值 f (−4) =60 f (2) = 18 0, 故极小值 f (2) = −48. ( ) 3 24 20 3 2 f x = x + x − x − 图形如下 注意: ( ) 0 , ( ) , 2. f x0 = 时 f x 在点x0处不一定取极值 仍用定理 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例 3: ( ) 1 ( 2) . 3 2 求出函数 f x = − x − 的极值 解: ( 2) ( 2) 3 2 ( ) 3 1 = − − − f x x x 当x = 2时, f (x)不存在. 但函数f (x)在该点连续. 当x 2时， f (x) 0; 当x 2时， f (x) 0. f (2) =1为f (x)的极大值. M m
y 0.25 0.25 0.5 三、小结 极值是函数的局部性概念极大值可能小于极小值极小值可能大于极大值 驻点和不可导点统称为临界点 函数的极值必在临界点取得 判别法:1、第一充分条件2、第二充分条件;(注意使用条件) 思考题 下命题正确吗? 如果x为∫(x)的极小值点,那么必存在x的某邻域,在此邻域内,f(x)在x的 左侧下降,而在x0的右侧上升 思考题解答 不正确 例/(功)sJ2+x2(2+sm-)x≠0 当x≠0时,f(x)-f(0)=x(2+sin-)>0 于是x=0为f(x)的极小值点 当x≠0时,f(x)=2x(2+sn-)-cos 当x→>0时,2x(2+sn-)→>0,cos-在-1和1之间振荡 因而f(x)在x=0的两侧都不单调 故命题不成立 6
6 三、小结 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 判别法：1、第一充分条件;2、第二充分条件; (注意使用条件) 思考题 下命题正确吗？ 如果 0 x 为 f (x) 的极小值点，那么必存在 0 x 的某邻域，在此邻域内， f (x) 在 0 x 的 左侧下降，而在 0 x 的右侧上升. 思考题解答 不正确． 例 = + + = 2, 0 ), 0 1 2 (2 sin ( ) 2 x x x x f x 当 x 0 时， f (x) − f (0) = ) 1 (2 sin 2 x x + 0 于是 x = 0 为 f (x) 的极小值点 当 x 0 时， x x f x x 1 ) cos 1 ( ) = 2 (2 + sin − 当 x →0 时， ) 0, 1 2 (2 + sin → x x x 1 cos 在–1 和 1 之间振荡 因而 f (x) 在 x = 0 的两侧都不单调. 故命题不成立． M
2,0125 2.0 2.005 X 0.075-0.05-0.025
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