章节题目 第九节曲率 弧微分公式 曲率定义与计算 内|曲率圆与曲率半径 容提要 曲率的定义及其计算 重点分析 曲率的定义 难点分析 P 题布置 备注
1 章 节 题 目 第九节 曲率 内 容 提 要 弧微分公式 曲率定义与计算 曲率圆与曲率半径 重 点 分 析 曲率的定义及其计算 难 点 分 析 曲率的定义 习 题 布 置 P223：2、3 备 注
教学内容 弧微分 设函数f(x)在区间a,b)内具有连续导数基点:A(x,y) M(x,y)为任意一点, R 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致 (2)AM=当A的方向与曲线正向一致时,s取正号 相反时,s取负号 单调增函数s=s(x).如图,设N(x+Ax,y+△y) M<MN<M1+M当Ax→0时, MN=V(△x)2+(△y) MN Mr=v(x)+(dy)'=V1+y2ldx M=4y-d→0故=1+y2 s=s(x)为单调增函数, 故d=√1+y2dx,(弧微分公式) 二、曲率及其计算公式 1曲率的定义:曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量
2 教 学 内 容 一、弧微分 设函数f (x)在区间(a,b)内具有连续导数. : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; , . (2) , , , 相反时 取负号 当 的方向与曲线正向一致时 取正号 s AM = s AM s 单调增函数 s = s(x). 如图， 设N(x + x, y + y), MN MN MT + NT 当x →0时, 2 2 MN = (x) +(y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y −dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx （弧微分公式） 二、曲率及其计算公式 1.曲率的定义：曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 N R T A 0 x M x x+x x y o
弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 设曲线C是光滑的, M′ S M 0 M0是基点MM1=,M→M切线转角为△a 定义:弧段M的平均曲率为K=曲线C在点M处的曲率 K=lm/ 4al 在im △ada 存在的条件下 注意 (1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数且半径越小曲率越大 2曲率的计算公式 设y=f(x)阶可导tna=y,有a= arctan y,d=,)ax d=√1+y2d.∴k (1+y
3 设曲线 C 是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定 义 ： . s MM K = 弧段 的平均曲率为 曲 线 C 在 点 M 处的曲率 s K s = → 0 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K = 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 2.曲率的计算公式 设y = f (x)二阶可导,tan = y , 有 = arctan y , , 1 2 dx y y d + = 1 . 2 ds = + y dx . (1 ) 2 3 2 y y k + = M1 M3 ) 2 M2 S2 S1 M M 1 S S2 N N ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1 ) ) + S S ) . M . M C M0 y o x
设 jx=g(口) 二阶可导 y=v() dy y(o dy p(oy(o-o(Ow'(t) dx () p(y()-g(y( [q2(m)+y2() 例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解:y=2ax+b,y"=2a,∴k= 1+(2ax+b)]2 显然,当x 2G时,最大又(b_62-4)为抛物线的顶点 抛物线在顶点处的曲率最大 例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处的曲率突然改变,容易发生 事故,为了行驶平稳,往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段(如 图使曲率连续地由零过渡到(R为圆弧轨道的半径) R 通常用三次抛物线y6x,x∈[0,x作为缓冲段OA,其中1 为OA的长度,验证缓冲段OA在始端O的曲率为零,并且当很 小(1<1)时,在终端A的曲率近似为1 R R llIlIllIlllIlIllIlI C(x0,0) 证:如图
4 , ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = 例 1 ? 抛物线 y = ax 2 +bx + c 上哪一点的曲率最大 解： y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大. 例 2 ( ). 1 ), ( , 图 使曲率连续地由零过渡到 为圆弧轨道的半径 事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段缓冲段 如 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处的曲率突然改变 容易发生 R R . 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA OA O x x x OA l Rl y 小 时，在终端 的曲率近似为 为 的长度，验证缓冲段 在始端 的曲率为零 并且当 很 通常用三次抛物线 ， ．作为缓冲段 ，其中 = 证：如图 x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x l
x的负半轴表示直道,OA是缓冲段AB是圆弧轨道在缓冲段上 2Ry=x.在x=0处y=0,y”=0, 故缓冲始点的曲率k=0.实际要求l≈x 有y=0=2R02R2R RI RI R 故在终端的曲率为k=-2 R x=To (1+,n) 4R2 1、略去二次项 得kA 三、曲率圆与曲率半径 定义: 设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k(k≠0)在点M处的 曲线的法线上,在凹的一侧取一点D使围DMk p以D为圆 心p为半径作圆(如图)称此圆为曲线在点M处的曲率圆 y=f(x) D---曲率中心,p---曲率半径 注意 1曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数 即 k k 2曲线上一点处的曲率半径越大曲线在该点处的曲率越小曲线越平坦;曲率半径 越小,曲率越大曲线越弯曲
5 x的负半轴表示直道，OA是缓冲段, AB是圆弧轨道. 在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y = . 1 x Rl y = 在x = 0处, y = 0, y = 0, 0. 故缓冲始点的曲率 k0 = 实际要求 , 0 l x 2 0 2 1 0 x Rl y 有 x=x = 2 2 1 l Rl , 2R l = 0 1 0 x Rl y x=x = l Rl 1 , 1 R = 故在终端A的曲率为 0 2 3 2 (1 ) A x x y y k = + = 2 3 2 2 ) 4 (1 1 R l R + 1, R l , 4 2 2 R l 略去二次项 . 1 R k 得 A 三、曲率圆与曲率半径 定义： , ( ), . . 1 , , ( ) ( , ) ( 0). 心 为半径作圆 如图 称此圆为曲线在点 处的曲率圆 曲线的法线上 在凹的一侧取一点 使 以 为圆 设曲线 在点 处的曲率为 在点 处的 M D k D DM y f x M x y k k M = = = D−−−曲率中心, −−−曲率半径. 注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数. . 1 , 1 = k = k 即 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径 越小,曲率越大(曲线越弯曲). D y = f (x) M k 1 = x y o
曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧称为曲线在该点附近的二 次近似) 例3 飞机沿抛物线y=(单位为米)俯冲飞行,在原点O处速度为 4000 v=400米/秒,飞行员体重70千克求俯冲到原点时,飞行员对座 椅的压力 解:如图,受力分析F=Q-P P 视飞行员在点o作匀速圆周运动,∴F (p为O点处抛物线轨道的曲率半 径) 0=0,y 2000 2000 得曲率为 曲率半径为p=2000米 2000 F、70×400 200 5600)≈5714(千克) Q≈70(千克力+5714(千克力,=641.5(千克力) 即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力 四、小结 运用微分学的理论研究曲线和曲面的性质的数学分支—微分几何学 基本概念:弧微分,曲率,曲率圆 曲线弯曲程度的描述——曲率 曲线弧的近似代替曲率圆(弧) 6
6 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二 次近似). 例 3 . 400 / , 70 . , ( ) , 4000 2 椅的压力 米 秒 飞行员体重 千克求俯冲到原点时 飞行员对座 飞机沿抛物线 单位为米 俯冲飞行 在原点 处速度为 = = v O x y 解：如图,受力分析 F = Q − P, 视飞行员在点 o 作匀速圆周运动, . 2 mv F = （ 为 O 点处抛物线轨道的曲率半 径） 0 0 2000 = = = x x x y = 0, . 2000 1 y x=0 = 得曲率为 . 2000 1 0 k x=x = 曲率半径为 = 2000 米. 2000 70 4002 F = = 5600(牛) 571.4(千克), Q 70(千克力)+571.4(千克力), = 641.5(千克力). 即:飞行员对座椅的压力为 641.5 千克力. 四、小结 运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆. 曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧). x y o Q P
思考题 椭圆x=2cost,y=3snt上哪些点处曲率最大? 思考题解答 k=|y”= 6 6 [1+(y)](4sn2t+9cos2)2(4+5cos2)2 要使k最大,必有(4+5c0s21)2最小,→t= 此时k最大
7 思考题 椭圆 x = 2cost, y = 3sin t 上哪些点处曲率最大？ 思考题解答 2 3 2 [1 ( ) ] | | y y k + = 2 3 2 2 (4sin 9cos ) 6 t + t = 2 3 2 (4 5cos ) 6 + t = 要使 k 最大，必有 2 3 2 (4+5cos t) 最小， 2 3 , 2 t = 此时 k 最大