章节题目 第一节、定积分的概念 定积分的定义 定积分的存在定理 内|定积分的几何意义 容提要 定积分的实质:特殊和式的极限 利用定义求定积分 重点分析 利用定义求定积分 难点分析 题P23:2(1)、3(2)(3) 布 备注
1 章 节 题 目 第一节、定积分的概念 内 容 提 要 定积分的定义 定积分的存在定理 定积分的几何意义 重 点 分 析 定积分的实质：特殊和式的极限 利用定义求定积分 难 点 分 析 利用定义求定积分 习 题 布 置 P281：2（1）、3（2）（3） 备 注
教学内容 问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)、x轴与两条直线x=a、x=b所围成 y=f(r) 01 b 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积 在区间[ab]内插入若干个分点,a=x0<x1<x2<…<xn<xn=b, 把区间[ab]分成n个小区间[x1,x,]长度为Ax1=x1-x1; 在每个小区间[x1,x止上任取一点5, 以[x1,x为底,f()为高的小矩形面积为A1=f(5)x 曲边梯形面积的近似值为As∑f()Ar 当分割无限加细即小区间的最大长度A=mx{△x1,Ax2…Axn} 趋近于零(→0)时, 曲边梯形面积为4=m∑5)Ax 实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间隔[TT2]上t的一个连续函数 且v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程思路:把整段时间分割成若干小段, 每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后 通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 (1)分割T1=10<1<l2<…<t1<ln=72 l1-1-1,As≈v(z1)
2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例 1 （求曲边梯形的面积） 曲边梯形由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0) 、x 轴与两条直线 x = a、x = b 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． [ , ] , 在区间 a b 内插入若干个分点，a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b [ , ] [ , ] ; i−1 i i = i − i−1 把区间 a b 分成 n 个小区间 x x ，长度为 x x x 在每个小区间[xi−1 , xi ]上任取一点 i， 以[xi−1 , xi ]为底，f ( i ) 为高的小矩形面积为 i i i A = f ( )x 曲边梯形面积的近似值为 i n i i A f x = ( ) 1 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) , max{ , , } 1 2 → = n x x x 曲边梯形面积为 i n i i A = f x = → lim ( ) 1 0 实例 2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t) 是时间间隔 [ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数， 且 v(t) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段， 每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后 通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t ， i i i s v( )t a b x y o A = ? y = f (x)
(2)求和s≈∑v(r1)M1 (3)取极限A=max{A12M2…,Mn} 路程的精确值s=lm∑v(x)M 、定积分的定义 定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x00时,和S总趋于确定的极限,我们 称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分 记为f(x)==mn∑/()Ax 注意:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关 f()dx f(odt f(u)du (2)定义中区间的分法和5的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上可积 存在定理 定理1当函数∫(x)在区间[ab]上连续时,称f(x)在区间[a,b]上可积 定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在 区间[a,b]上可积
3 （2）求和 i i n i s v t = ( ) 1 （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t 路程的精确值 i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 二、定积分的定义 定 义 设 函 数 f (x) 在 [a,b] 上有界，在 [a,b] 中任意插入 若 干 个分 点 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 把区间 [a,b] 分成 n 个小区间，各小区间的 长度依次为 i = i − i−1 x x x ，(i =1,2, ) ，在各小区间上任取一点 i （ i i x ）， 作乘积 i i f ( )x (i =1,2, ) 并作和 i i n i S = f x = ( ) 1 ， 记 max{ , , , } 1 2 n = x x x ，如果不论对 [a,b] 怎样的分法，也不论在小区间 [ , ] i 1 i x x − 上点 i 怎样的取法，只要当 →0 时，和 S 总趋于确定的极限 I ，我们 称这个极限 I 为函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分， 记为 = = b a f (x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关. b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的. （3）当函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分存在时，称 f (x) 在区间 [a,b] 上可积. 三、存在定理 定理 1 当函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续时，称 f (x) 在区间 [a,b] 上可积. 定理 2 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在 区间 [a,b] 上可积
四、定积分的几何意义 (x)>0./(x)=A曲边梯形的面积 f(x)<0,「f(x)dk=-A曲边梯形的面积的负值 f(dx=A-A, 几何意义: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a,x=b之间的各 部分面积的代数和.在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面 积取负号 例1利用定义计算定积分x 解将[0,]n等分,分点为ri.(i=12,…,n),小区间[x=1,x的长度 △x (i=1,2…,n)取5=x,(i=1,2,…,n f(4)Ax1=∑5Ax=∑xAx,=∑ 26b3+1)1mn+1(2n+1)→0→n→∞ 4AM=+2)=号 例2利用定义计算定积分一dx 解:在[12中插入分点q,q2…,q,典型小区间为[q,q],(i=1,2,…,n)
4 四、定积分的几何意义 f (x) 0, = b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 f (x) 0, = − b a f (x)dx A 曲边梯形的面积的负值 几何意义： 积取负号． 部分面积的代数和．在 轴上方的面积取正号；在 轴下方的面 它是介于 轴、函数 的图形及两条直线 之间的各 x x x f (x) x = a, x = b 例 1 利用定义计算定积分 . 1 0 2 x dx 解 将 [0,1] n 等分，分点为 n i xi = ，( i =1,2, ,n )，小区间 [ , ] i 1 i x x − 的长度 n xi 1 = ，( i =1,2, ,n )取 i i = x ，( i = 1,2, , n ) i i n i f x = ( ) 1 i i n i = x = 2 1 , 1 2 i n i i = x x = n n i n i 1 2 1 = = = = n i i n 1 2 3 1 , 1 2 1 1 6 1 + = + n n 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + = n n n n → 0 n → x dx 1 0 2 i i n i = x = → 2 1 0 lim + = + n→ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 = 例 2 利用定义计算定积分 . 2 1 1 dx x 解：在 [1,2] 中插入分点 2 1 , , , n− q q q ,典型小区间为 [ , ] i 1 i q q − ，（ i =1,2, ,n ） A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 f (x)dx A A A A b a = − + − + + − −
小区间的长度Ax1=q-q=q(q-1),取51=q,(i=1,2,…n) (q-1)=n(q-1) 取q=2即q=2,∑f()Ax1=m(2-1) lim x(2-1)=lim In 2 x n(2n-1)=h2, △x,=limn(2n-1)=ln2 例3设函数∫(x)在区间[O,1上连续,且取正值 试证lmn [inf(x)dr 证明利用对数的性质得lm (极限运算与对数运算换序得) 指数上可理解为:hf(x)在[0,区间上的一个积分和,分点为x= (i=1.2.…,n) 因为f(x)在区间[0,]上连续,且f(x)>0,所以hf(x)在[0上有意义且可 积 m 2hn In f(x)ax 故lm
5 小区间的长度 ( 1) 1 1 = − = − − − x q q q q i i i i ,取 −1 = i i q ，（ i =1,2, ,n ） i i n i f x = ( ) 1 i n i i = x =1 1 ( 1) 1 1 1 1 = − − = − q q q i n i i = = − n i q 1 ( 1) = n(q −1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 ， i i n i f x = ( ) 1 (2 1), 1 = − n n lim (2 1) 1 − →+ x x x x x x 1 2 1 lim 1 − = →+ = ln 2, lim (2 1) 1 − → n n n = ln 2, dx x 2 1 1 i n i i = x = → 1 0 1 lim lim (2 1) 1 = − → n n n = ln 2. 例 3 设函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，且取正值. n n n n f n f n f → 1 2 试证 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e 证明 利用对数的性质得 n n n n f n f n f → 1 2 lim → = n n n n f n f n f e 1 2 ln lim → = n n n n f n f n f e 1 2 lim ln （极限运算与对数运算换序得） = = → n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1 = = → 指数上可理 解为： ln f (x) 在 [0,1] 区间上的 一个积 分和．分 点为 n i xi = ， （ i =1,2, ,n ） 因为 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，且 f (x) 0 ，所以 ln f (x) 在 [0,1] 上有意义且可 积 , n n i f n i n 1 lim ln 1 → = = 1 0 ln f (x)dx 故 n n n n f n f n f → 1 2 lim . 1 0 ln ( ) = f x dx e
五、小结 1.定积分的实质:特殊和式的极限 2.定积分的思想和方法 匚化蓦为孚 ↓求近似以直(不变)代曲(变 求和了一[积等为 取极限 取极曝精确值定积分 思考题 将和式极限:m1mx+mn2x++sm(m=1)x表示成定积分 思考题解答 原式=m1|smx+sm2x+…+sm(-1)z+sm 丌 n n丌n sIn xa 6
6 五、小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 思考题 将和式极限： − + + + → n n n n n n ( 1) sin 2 sin sin 1 lim 表示成定积分. 思考题解答 原式 + − = + + + → n n n n n n n n sin ( 1) sin 2 sin sin 1 lim = → = n i n n i n 1 sin 1 lim n n i n i n = = → 1 lim sin 1 sin . 1 0 = xdx 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限