《高等数学》课程电子教案：第六章（6.3）体积

章节题目 第三节、体积 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 内容提要 旋转体的体积的求法(绕x轴旋转一周;绕y轴旋转一周;绕非轴 |直线旋转一周) 占 分|平行截面面积为已知的立体的体积的求法 析 体积元素的确定 积分变量及上下限的确定 难点分析 题|130:2、3、5(1)(4)、8、9 布 备注

1 章 节 题 目 第三节、体积 内 容 提 要 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 重 点 分 析 旋转体的体积的求法（绕 x 轴旋转一周; 绕 y 轴旋转一周; 绕非轴 直线旋转一周） 平行截面面积为已知的立体的体积的求法 难 点 分 析 体积元素的确定 积分变量及上下限的确定 习 题 布 置 P350 ：2、3、5（1）（4）、8、9 备 注

教学内容 旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直 线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 ˉ般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的 曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? y=f(r) 0 取积分变量为x,x∈[a,b],在[a,b上任取小区间[x,x+dx],取以ax为底的 窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,d=m[f(x)]dx 旋转体的体积为=n(x)d 例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角 形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体,计算圆锥体的体积 解:直线OP方程为y=x,取积分变量为x,x∈[0万 在[a,b]上任取小区间[x,x+ax],以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的

2 教 学 内 容 一、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直 线叫做旋转轴． 一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f (x) 、直线 x = a、 x = b 及 x 轴所围成的 曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为 x ， x[a,b] ，在 [a,b] 上任取小区间 [x, x + dx] ，取以 dx 为底的 窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]  =  例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h,r) 的直线、直线 x = h 及 x 轴围成一个直角三角 形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积． 解：直线 OP 方程为 x h r y = ，取积分变量为 x ， x[0,h] 在 [a,b] 上任取小区间 [x, x + dx] ，以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的 y r h P x o 圆柱 圆锥 圆台 x y o x x + dx y = f (x)

体积为 圆锥体的体积 〔) 2 例2求星形线x3+y3=a3(a>0)绕x轴旋转构成旋转体的体积 2 x∈[-a,a] 旋转体的体积 V=L2a3-,32m3 类似地,如果旋转体是由连续曲线ⅹ=φ(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的 曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为 V= [o()]dy 例3求摆线x=a(t-sn1),y=a(1-cost)的一拱与y=0所围成的图形分别

3 体积为 x dx h r dV 2       =  圆锥体的体积 x dx h r V h 2 0       =   h x h r 0 3 2 2 3       =  . 3 2 hr = 例 2 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a  0) 绕 x 轴旋转构成旋转体的体积. , 3 2 3 2 3 2  y = a − x 3 3 2 3 2 2          y = a − x x[−a, a] 旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2         = − −  . 105 32 3 = a 类似地，如果旋转体是由连续曲线 x = ( y) 、直线 y = c 、y = d 及 y 轴所围成的 曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为  = d c V  y dy 2 [( )] 例 3 求摆线 x = a(t − sin t) ， y = a(1− cost) 的一拱与 y = 0 所围成的图形分别 −a a o y x x y o x = ( y)

绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积 解:绕x轴旋转的旋转体体积 y y(x) V=f Ty()dx =z a'(-cos1)2-a(l-cost)dt =m(1-3c09+3c1-ot=5m2a 绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转 体的体积之差 2 B x=x,( A xaG)dt Tx(dt =ta(t-sin t.asin tdt -a(-sin t).asin tdt (t-sin t)sn tdt =62 补充:如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲 边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为=2rx|f(x)ldr 利用这个公式,可知上例中 V=2T xIf(x)ldx =2r a(t-sin t).a(1-cost)d[a(t-sin t) =mab(-sin (Xl-cos),dt=67'a 例4求由曲线y=4-x2及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转构成旋转体的 体积

4 绕 x 轴、 y 轴旋转构成旋转体的体积. 解：绕 x 轴旋转的旋转体体积 V y x dx a x ( ) 2 2 0 =    = −  −   2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt  = − + −   2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 =  a 绕 y 轴旋转的旋转体体积可看作平面图 OABC 与 OBC 分别绕 y 轴旋转构成旋转 体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2  =  x y dt a ( ) 2 2 0 1  −   = −     2 2 2 a (t sin t) asin tdt  − −    0 2 2 a (t sin t) asin tdt  = −   2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 =  a 补充：如果旋转体是由连续曲线 y = f (x) 、直线 x = a、x = b 及 x 轴所围成的曲 边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为 V x f x dx b a y 2 | ( )|  =  利用这个公式，可知上例中 V x f x dx a y 2 | ( )| 2 0 =    = −  − −   2 0 2 a(t sin t) a(1 cost)d[a(t sin t)]  = − −   2 0 3 2 2 a (t sin t)(1 cost) dt 6 . 3 3 =  a 例 4 求由曲线 2 y = 4 − x 及 y = 0 所围成的图形绕直线 x = 3 旋转构成旋转体的 体积. a 2a y(x) o y 2a x A C B 2a ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y

dy 取积分变量为y,y∈[0,4],体积元素为 dv=t -tOM Jay =[z(3+√4-y)2-x(3-4-y)kh =12r√4-ydh =12丌 ydy=64 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那 么,这个立体的体积也可用定积分来计算 A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积, A(x)为x的已知连续函数,d=A(x)ahx, 立体体积V=「4(x) 例5 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角a,计算这 平面截圆柱体所得立体的体积 取坐标系如图

5 取积分变量为 y , y [0,4]，体积元素为 dV [ PM QM ]dy 2 2 =  − [ (3 4 y) (3 4 y) ]dy 2 2 =  + − − − − =12 4− ydy, V ydy   = − 4 0 12 4 = 64. 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那 么，这个立体的体积也可用定积分来计算. A(x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积， A(x) 为 x 的已知连续函数， dV = A(x)dx, 立体体积 ( ) .  = b a V A x dx 例 5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角  ，计算这 平面截圆柱体所得立体的体积. 取坐标系如图 dy o x a x x + dx b

R 底圆方程为x2+y2=R2 垂直于x轴的截面为直角三角形,截面面积A(x)=(R2-x2)tana, 立体体积=(R2-x2) tan ad= Rtan a 2 例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥 体的体积 取坐标系如图 y 底圆方程为x2+y2=R2,垂直于x轴的截面为等腰三角形 截面面积Ax)=hy=h√R2 立体体积F=NR-=h 三、小结 旋转体的体积 绕x轴旋转一周;绕ν轴旋转一周;绕非轴直线旋转一周 平行截面面积为已知的立体的体积 思考题 6

6 底圆方程为 2 2 2 x + y = R 垂直于 x 轴的截面为直角三角形，截面面积 ( )tan , 2 1 ( ) 2 2 A x = R − x  立体体积 V R x dx R R ( )tan 2 1 2 2 = − − tan . 3 2 3 = R  例 6 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥 体的体积. 取坐标系如图 底圆方程为 , 2 2 2 x + y = R 垂直于 x 轴的截面为等腰三角形 截面面积 2 2 A(x) = h y = h R − x 立体体积 V h R x dx R −R = − 2 2 . 2 1 2 = R h 三、小结 旋转体的体积 绕 x 轴旋转一周; 绕 y 轴旋转一周; 绕非轴直线旋转一周 平行截面面积为已知的立体的体积 思考题 x y o x R RR − R x o y  x

求曲线xy=4,y≤1,x>0所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积 思考题解答 xy=4 (≈1,交点(41 立体体积F=才「x2d=r「 16丌

7 求曲线 xy = 4， y  1， x  0 所围成的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积. 思考题解答    = = 1 4 y xy , 交点 (4,1), 立体体积 V x dy y  + = 1 2  dy y  + = 1 2 16  +       = − 1 16 y  =16. x y o y = 1