章节题目 第四节、定积分换元法 定积分的换元法:[f(x)tx=[p(t 内|几个特殊积分、定积分等式 容提要 利用换元公式计算定积分 重点分析 利用换元公式计算定积分时积分上下限的确定 难点分析 302:1(双)、2(1)(2)、5、6、8 题布置 备注
1 章 节 题 目 第四节、定积分换元法 内 容 提 要 定积分的换元法： f x dx b a ( ) f t t dt = [( )] ( ) 几个特殊积分、定积分等式 重 点 分 析 利用换元公式计算定积分 难 点 分 析 利用换元公式计算定积分时积分上下限的确定 习 题 布 置 P302 ：1（双）、2（1）（2）、5、6、8 备 注
教学内容 换元公式 定理:假设(1)f(x)在[a,b]上连续;(2)函数x=p(t)在[a,B]上是单值的且 有连续导数;(3)当t在区间[a,B上变化时,x=0(1)的值在[a,b]上变化,且 o(a)=a、(B)=b,则有f(xhx=|()()t 证明:设F(x)是f(x)的一个原函数, f(xax= F(b-F(a) d()=F[(t)],d(m) dx=f(x)o(o=flo(olp(t), dx dt d(O)是no)()的一个原函数.oly(h=a()-(a) q(a)=a、o(B)=b p(B)-(a)=FloB)]-Fl(a= F(b)-F(a) fxk=F(b)-F(a)=4-d(a)=)(Mh 注意:当a>B时,换元公式仍成立 应用换元公式时应注意 1.用x=()把变量x换成新变量t时,积分限也相应的改变. 2.求出f[q()lp(t)的一个原函数Φ()后,不必象计算不定积分那样再要把Φ() 变换成原变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入Φ(t)然后相减就 行了 例1计算 cosxsin xd 解:令t=cosx,d=-snxx,x=x→t=0.x=0→t=1, cos xsin xdx 例2计算si3x-sin3xdx 解:∵f(x) =cos xsin x
2 教 学 内 容 一、换元公式 定理：假设（1） f (x) 在 [a,b] 上连续；（2）函数 x = (t) 在 [,] 上是单值的且 有连续导数；（3）当 t 在区间 [,] 上变化时， x = (t) 的值在 [a,b] 上变化，且 () = a 、 () = b ，则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 证明:设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t) = f [(t)](t), (t) 是 f [(t)](t) 的一个原函数. [( )] ( ) () (), f t t dt = − () = a 、() = b () −() = F[()]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = () −() f[ (t)] (t)dt. = 注意：当 时，换元公式仍成立. 应用换元公式时应注意: 1.用 x = (t) 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也相应的改变. 2.求出 f [(t)](t) 的一个原函数 (t) 后，不必象计算不定积分那样再要把 (t) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入 (t) 然后相减就 行了. 例 1 计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 解：令 t = cos x, dt = −sin xdx, 2 x = t = 0, x = 0 t =1, 2 0 5 cos sin x xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = 例 2 计算 sin sin . 0 3 5 − x xdx 解： f x x x 3 5 ( ) = sin −sin ( )2 3 = cos x sin x
√smx-smxh= cos xlsin x 2d cosx(sin x d x SIn x sin x x2dsn x 例3计算厂 ex√hnx(1-lnx) 原式= d(In x) d(In x) √hx(1-hx) Je√nx 例4计算 dx.(a>0) x=asin t. dx= acos tdt 0→t=0 coSt 原式 a cos t asin+va2(1-sin 2D sin i+ cost cost-sin t Ini+ cos sin t+ cos t 例5当∫(x)在[-a,a]上连续,且有 ①(x)为偶函数,则/(xk=2/(xk ②f(x)为奇函数,则f(x)x=0 明:∫f(x)k=/x)d+C/x 在(x)中令x=-,⊥f(x=-(-=C( ①f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1)
3 − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) = 0 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 cos sin x x dx ( ) − 2 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 sin sin x d x ( ) − 2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) 2 2 5 sin 5 2 − x . 5 4 = 例 3 计算 . ln (1 ln ) 4 3 − e e x x x dx 原式 − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 = 例 4 计算 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 x = asin t, dx = a costdt, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 ln sin cos 2 1 2 2 1 = + t + t . 4 = 例 5 当 f (x) 在 [−a, a] 上连续，且有 ① f (x) 为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f (x) 为奇函数，则 − = a a f (x)dx 0 . 证明： ( ) ( ) ( ) , 0 0 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 在 − 0 ( ) a f x dx 中令 x = −t , − = 0 ( ) a f x dx − − = 0 ( ) a f t dt ( ) , 0 − a f t dt ① f (x) 为偶函数，则 f (−t) = f (t)
∫(x)=/()+(xk=2/( ②f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(),f(x)d=f(x)atx+f(x)d=0 例6计算 1+ 2 原式= dx x coSx dx(被积函数奇偶性) 41==4xy=如=x =4-4√1-x2dx (减去单位圆面积) 例7若f(x)在[O,1]上连续,证明 (ISr(sin x)dr='/(cosx)dx (2)5 xf(sin x)dx=f/(sin x) 由此计 xsIn x 证明:(1)设x t→ax=-dt.x=0→t →t=0, 2 f∫(sinx)dhx f(cosn)dt =f(cos x)dxr; 2 (2)设x=x-1→ax=-dt,x=0→t=丌.X=丌 xf(sin x)dr =-(-DfTsin(I-D]dt =I(r-D)f(sin D)dt, xf(sn x)a f∫(snt)dt tf(sin t )dt =t. f(sin x)dx -oxf(sin r(sin x)dr= sin x 丌 d(cos x) 1+cos x 1+cos x ctan( cos x
4 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ; 0 = a f t dt ② f (x) 为奇函数，则 f (−t) = − f (t), − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) = 0. 例 6 计算 . 1 1 1 2 cos 1 2 2 − + − + dx x x x x 原式 − + − = 1 1 2 2 1 1 2 dx x x − + − + 1 1 2 1 1 cos dx x x x （被积函数奇偶性） + − = 1 0 2 2 1 1 4 dx x x − − − − = 1 0 2 2 2 1 (1 ) (1 1 ) 4 dx x x x = − − 1 0 2 4 (1 1 x )dx = − − 1 0 2 4 4 1 x dx （减去单位圆面积） = 4−. 例 7 若 f (x) 在 [0,1] 上连续，证明 （1） = 2 2 0 0 (sin ) (cos ) f x dx f x dx ; （2） = 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx . 由此计算 + 0 2 1 cos sin dx x x x . 证明: （1）设 x = −t 2 dx = −dt, x = 0 , 2 t = 2 x = t = 0, 2 0 (sin ) f x dx = − − 0 2 2 sin f t dt = 2 0 (cos ) f t dt (cos ) ; 2 0 = f x dx （2）设 x = −t dx = −dt, x = 0 t =, x = t = 0, 0 xf(sin x)dx = − − − 0 ( ) [sin( )] t f t dt ( ) (sin ) , 0 = − t f t dt 0 xf(sin x)dx = 0 f (sin t)dt − 0 tf (sin t)dt = 0 f (sin x)dx (sin ) , 0 − xf x dx (sin ) . 2 (sin ) 0 0 = xf x dx f x dx + 0 2 1 cos sin dx x x x + = 0 2 1 cos sin 2 dx x x + = − 0 2 (cos ) 1 cos 1 2 d x x 0 arctan(cos ) 2 = − x ) 4 4 ( 2 = − − − . 4 2 =
小结 定积分的换元法f(xxx=几o(m)](rt 几个特殊积分、定积分的几个等式 思考题 √ax 指出求 的解法中的错误,并写出正确的解法 解:令x=sect,t d x= tan sec tdt “xshm,mb! 思考题解答 计算中第二步是错误的 x= sect I∈ tant<0,√x2-1=|tand≠tant 正确解法是 x= sec t sect. tan tdt
5 二、小结 定积分的换元法 f x dx b a ( ) f t t dt = [( )] ( ) 几个特殊积分、定积分的几个等式 思考题 指出求 − − − 2 2 2 x x 1 dx 的解法中的错误，并写出正确的解法. 解：令 x = sect, , 4 3 3 2 : t → dx = tan tsectdt, − − − 2 2 2 x x 1 dx t tdt t t sec tan sec tan 4 1 3 3 2 = dt = 4 3 3 2 . 12 = 思考题解答 计算中第二步是错误的. x = sect , 4 3 , 3 2 t tan t 0, 1 tan tan . 2 x − = t t 正确解法是 − − − 2 2 2 x x 1 dx x = sec t t tdt t t sec tan sec tan 4 1 3 3 2 dt = − 4 3 3 2 . 12 = −
