章节题目 第五节、功、水压力和引力 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题 内容提要 功、水压力和引力的计算公式 重点分析 难点分析 362:3、5、7、10、11 题布置 备注
1 章 节 题 目 第五节、功、水压力和引力 内 容 提 要 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题 重 点 分 析 功、水压力和引力的计算公式 难 点 分 析 习 题 布 置 P362 ：3、5、7、10、11 备 注
教学内容 变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体 上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s时,力F对 物体所作的功为W=F·s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直接使用此公式,而采用微 元法思想 例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处,它产生一个电场.这 个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电 场中距离原点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为F=kq(k是常 数),当这个单位正电荷在电场中从F=a处沿r轴移动到r=b处时,计算 电场力F对它所作的功 解:取r为积分变量,r∈[a,b] +q +1 tdr b r 取任一小区间[r,r+dh]功元素dh=d 所求功为y== 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处w=d=kq q 例2一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为3米,池内盛满了水问要把池内的水 全部吸出,需作多少功? 解:建立坐标系如图 xtd 取x为积分变量,x∈[0,5],取任一小区间[r,r+d], 这一薄层水的重力为98x32dh
2 教 学 内 容 一、变力沿直线所作的功 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体 上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对 物体所作的功为 W = F s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用微 元法思想. 例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处，它产生一个电场．这 个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电 场中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为 2 r q F = k （ k 是常 数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时，计算 电场力 F 对它所作的功． 解：取 r 为积分变量， r [a,b], 取任一小区间 [r,r + dr],功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq = − 1 . 1 1 = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a + = 2 + = − a r kq 1 . a kq = 例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水 全部吸出，需作多少功？ 解：建立坐标系如图 取 x 为积分变量， x[0,5] ，取任一小区间 [r,r + dr], 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 o r • +q a b • • • • • • • +1 r r +dr x o x x + dx 5
功元素为dh=882x·x·dx, =[882·x.dx=88.2z ≈3462(千焦) 例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正 比,铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功相等,问第n次 锤击时又将铁钉击入多少? 解:设木板对铁钉的阻力为f(x)=kx 第一次锤击时所作的功为w1=(xth=k 设n次击入的总深度为h厘米,n次锤击所作的总功为v=f(x) Wh= kxdx 依题意知,每次锤击所作的功相等.Wn=m1→ =n 2 n次击入的总深度为h=√n,第n次击入的深度为√m-√m-1 、水压力 由物理学知道,在水深为h处的压强为p=h,这里y是水的比重.如果有一 面积为A的平板水平地放置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为 P=p·A 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强P不相等,平板一侧所受 的水压力就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思想. 例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R,水的比重 为y,计算桶的一端面上所受的压力 解:在端面建立坐标系如图,取x为积分变量,x∈[0,R] 小矩形片上各处的压强近似相等p=x,小矩形片的面积为2√R2-x2ad
3 功元素为 dw = 88.2 x dx, w = xdx 88.2 5 0 5 0 2 2 88.2 = x 3462 (千焦)． 例 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正 比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1 厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次 锤击时又将铁钉击入多少？ 解：设木板对铁钉的阻力为 f (x) = kx, 第一次锤击时所作的功为 = 1 0 1 w f (x)dx , 2 k = 设 n 次击入的总深度为 h 厘米， n 次锤击所作的总功为 ( ) . 0 = h wh f x dx = h h w kxdx 0 , 2 2 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1 2 2 kh , 2 k = n n 次击入的总深度为 h = n, 第 n 次击入的深度为 n − n −1. 二、水压力 由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p = h ，这里 是水的比重．如果有一 面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 P = p A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受 的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想． 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R ，水的比重 为 ，计算桶的一端面上所受的压力． 解：在端面建立坐标系如图，取 x 为积分变量， x[0,R] 小矩形片上各处的压强近似相等 p = x, 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx x o x x + dx
小矩形片的压力元素为dP=2x√R2-x2dx,端面上所受的压力 P=02MmVR2-x'dx =-rhVR2-xd(R2-x2 R2-x2 例5将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸人水中,斜边朝下,直 角边的边长与水面平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边长,求薄板所受的 侧压力 解:建立坐标系如图 面积微元2(a-x)dx, dP=(x+2a)·2(a-x)1·ythx P=2(x+2aXa-x)xdx 、引力 由物理学知道,质量分别为m12m2相距为r的两个质点间的引力的大小为 F=kmm2,其中k为引力系数,引力的方向沿着两质点的连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该质点的距离 是变化的,且各点对该质点的引力方向也是变化的,就不能用此公式计算 例6有一长度为l、线密度为p的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质 量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力 解:建立坐标系如图,取y为积分变量y∈ 22
4 小矩形片的压力元素为 dP x R x dx 2 2 = 2 − ，端面上所受的压力： P x R x dx R 2 2 0 = 2 − ( ) 2 2 0 2 2 R x d R x R = − − − ( ) R R x 0 3 2 2 3 2 = − − . 3 2 3 R = 例 5 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直 角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的 侧压力． 解：建立坐标系如图 面积微元 2(a − x)dx, dP = (x + 2a)2(a − x)1dx P x a a x dx a 2( 2 )( ) 0 = + − . 3 7 3 = a 三、引力 由物理学知道，质量分别为 1 2 m , m 相距为 r 的两个质点间的引力的大小为 2 1 2 r m m F = k ，其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向． 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离 是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算． 例 6 有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质 量为 m 的质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力． 解：建立坐标系如图，取 y 为积分变量 , 2 , 2 − l l y x o 2a 2a a
J+d 取任一小区间[yy+d,将典型小段近似看成质点,小段的质量为phy 小段与质点的距离为r=√a2+y2 引力AF≈km,水平方向的分力元素d=k-m-, 2kmot F )a(4a2+2) 由对称性知,引力在铅直方向分力为F,=0 四、小结 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题.(注意熟悉相关的物 理知识 思考题 球完全浸没水中,问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系?它所受的 总压力与它在水中受到的浮力有何关系? 思考题解答 该球面所受的总压力方向向上(下半球面所受的压力大于上半球面),其值为该球 排开水的重量,即球的体积,也就是它在水中受到的浮力.因此该球面所受的总 压力与球浸没的深度无关
5 取任一小区间 [ y, y + dy] ，将典型小段近似看成质点，小段的质量为 dy, 小段与质点的距离为 , 2 2 r = a + y 引力 , 2 2 a y m dy F k + 水平方向的分力元素 , ( ) 2 3 2 2 a y am dy dF k x + = − 2 3 2 2 ( ) 2 2 a y am dy F k l x l + = −− , (4 ) 2 2 1 2 2 a a l km l + − = 由对称性知，引力在铅直方向分力为 = 0. Fy 四、小结 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题．（注意熟悉相关的物 理知识） 思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的 总压力与它在水中受到的浮力有何关系？ 思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球 排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总 压力与球浸没的深度无关． 2 l 2 l − • x y o a M y r y + dy