章节题目 第三节、微积分基本公式 积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 内|牛顿一菜布尼茨公式 容提要 利用微积分基本公式求定积分 重点分析 和积分上限函数有关的计算 难点分析 习题布置 294:2、3、4、5(1)(3)、6(单)、9、10、11 备注
1 章 节 题 目 第三节、微积分基本公式 内 容 提 要 积分上限函数及其导数 积分上限函数的性质 牛顿—莱布尼茨公式 重 点 分 析 利用微积分基本公式求定积分 难 点 分 析 和积分上限函数有关的计算 习 题 布 置 P294：2、3、4、5（1）（3）、6（单）、9、10、11 备 注
教学内容 问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间隔[T,2]上t的一个连续函数, 且v()≥0,求物体在这段时间内所经过的路程变速直线运动中路程为[v()dt, 另一方面这段路程可表示为(72)-(门) ot=s7)-s(7)其中s()=v() 积分上限函数及其导数 设函数∫(x)在区间[a,b上连续,并且设x为[a,b]上的一点,考察定积分 ∫f(x)tx=(oMt 如果上限x在区间[a,6上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对 应值,所以它在ab上定义了一个函数,记(x)=积分上限函数 积分上限函数的性质 定理1如果f(x)在[ab]上连续,则积分上限的函数x)=[f(x在 上具有导数,且它的导数是()=4M=/()(a≤xsb) 证明:d(x+△x) f(tdt △d=d(x+△x)-d(x) f(Xdt-Cf(dt =∫/(M+yM-oMh 由积分中值定理得△Φ=∫()Ax5∈[x,x+△x] f(, lim =lm f(s Ax→0△x △x一 a(x)=f(x) 补充 如果f()连续,a(x)、b(x)可导,则F(x)=f()的导数F'(x)为
2 教 学 内 容 一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t) 是时间间隔 [ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数， 且 v(t) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt ， 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s (t) = v(t). 二、积分上限函数及其导数 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，并且设 x 为 [a,b] 上的一点，考察定积分 x a f (x)dx = x a f (t)dt 如果上限 x 在区间 [a,b] 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对 应值，所以它在 [a,b] 上定义了一个函数，记 ( ) ( ) . = x a x f t dt 积分上限函数 积分上限函数的性质 定理１ 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在 [a,b] 上具有导数，且它的导数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 证明： x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) −(x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) f t dt f t dt f t dt x a x x x x a = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = x → 0, → x (x) = f (x). 补充 如果 f (t) 连续， a(x) 、b(x) 可导，则 F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数 F(x) 为
F()=xm,/0)=/bx)()-/xy(x) 证F(x)= (Cn+”)yo=广”oMm-f”oM F(x)=/[x)(x)-fa(x)](x) 例1求lmsx 分析:这是0/0型不定式,应用洛必达法则 d (cosx)=snx·e e - dt lim -c 2x TU(edr 例2设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f(x)>0.证明函数F(x)= f(dt (0,+∞)内为单调增加函数 证明女=x(x)女O)=(x xf(x).f(ndt-f(x)L yf(o)dr (c/(o F(x)s(x(x-Df(dr (o) f(x)>0,(x>0):f(>0, (x-1)f(m)>0,∴[(x-)f(t)d>0 F(x)>0(x>0) 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 例3设f(x)在上连续,且f(x)0
3 = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x = fb(x)b(x)− fa(x)a (x) 证 F x f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = fb(x)b(x)− fa(x)a (x) 例 1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 分析：这是 0/0 型不定式，应用洛必达法则. 解： − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 例 2 设 f (x) 在 (−,+) 内连续，且 f (x) 0 .证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在 (0,+) 内为单调增加函数. 证明: x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x), x f t dt dx d 0 ( ) = f (x), 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt (x −t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故 F(x) 在 (0,+) 内为单调增加函数. 例 3 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 − = x f t dt x 在 [0,1] 上只有 一个解. 证明：令 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t dt x f (x) 1, F(x) = 2 − f (x) 0
F(x)在[01]上为单调增加函数 F(0)=-10, 所以F(x)=0即原方程在[0,1上只有一个解 定理2(原函数存在定理) 如果∫(x)在[u,b]上连续,则积分上限的函数(x)=[f(M就是f(x)在 [a,b]上的一个原函数 定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3(微积分基本公式) 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[ab]上的一个原函数,则 f(xx= F(b-F(a) 证∵已知F(x)是f(x)的一个原函数, 又;(x)=(M也是f(x)的一个原函数 F(x)-d(x)=Cx∈[a,b 令x=a→F(a)-d(a)=C, d(a)=f(xt=0→F(a)=C, F(x)-f(tdt=C (tt= F(x)-F(a) 令x=b→f(x)xtx=F(b)-F(a) 广(xb=F(b)-F()=l(x 牛顿一莱布尼茨公式 微积分基本公式表明:一个连续函数在区间[a,b上的定积分等于它的任意一个原 函数在区间[a,b]上的增量求定积分问题转化为求原函数的问题 注意:当a>b时,[f(xktx=F(b)-F(a)仍成立
4 F(x) 在 [0,1] 上为单调增加函数. F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 0, 所以 F(x) = 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解. 定理 2（原函数存在定理） 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 如 果 F(x) 是连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的一个原函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 。 证 已知 F(x) 是 f (x) 的一个原函数， 又 x f t dt x a ( ) = ( ) 也是 f (x) 的一个原函数, F(x) −(x) = C x[a,b] 令 x = a F(a) −(a) = C, ( ) = ( ) = 0 a f t dt a a F(a) = C, F(x) f (t)dt C, x a − = f (t)dt F(x) F(a), x a = − 令 x = b f (x)dx F(b) F(a). b a = − f (x)dx F(b) F(a) b a = − b a = F(x) 牛顿—莱布尼茨公式 微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 [a,b] 上的定积分等于它的任意一个原 函数在区间 [a,b] 上的增量.求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意：当 a b 时， f (x)dx F(b) F(a) b a = − 仍成立
例4求(2csx+smx- 原式=[2smx- COSx-x1=3-x 2x0≤x≤1 例5设∫(x)= 51<x≤2 求f(x)dt 解:(x=/x)+∫(x,在12]上规定当x=1时,f(x)=5, 原式=[2xdx+[5dx=6 例6求max{x,x2ax 2≤x≤0 由图形可知f(x)=mx{x,x}={x0≤xs1 1<x<2 原式=「xa+[xx+[x2tx 例7求当x<0时,一的一个原函数是hn|xl r Idx =[n|xlL2=h1-h2=-h2 例8计算曲线y=snx在[0,x]上与x轴所围成的平面图形的面积
5 例 4 求 (2cos sin 1) . 2 0 + − x x dx 原式 2 0 2sin cos = x − x − x . 2 3 = − 例5 设 = 5 1 2 2 0 1 ( ) x x x f x , 求 2 0 f (x)dx 解： = + 1 0 2 1 2 0 f (x)dx f (x)dx f (x)dx ， 在 [1,2] 上规定当 x =1 时， f (x) = 5, = + 1 0 2 1 原式 2xdx 5dx = 6. 例 6 求 max{ , } . 2 2 2 − x x dx 由图形可知 ( ) max{ , } 2 f x = x x , 1 2 0 1 2 0 2 2 − = x x x x x x = + + − 2 1 2 1 0 0 2 2 原式 x dx xdx x dx . 2 11 = 例 7 求当 x 0 时， x 1 的一个原函数是 ln | x | , dx x − − 1 2 1 1 2 ln | | − = − x = ln1−ln 2 = −ln 2. 例 8 计算曲线 y = sin x 在 [0, ] 上与 x 轴所围成的平面图形的面积. x y o 1 2 x y o 2 y = x y = x 1 2 − 2
解:面积4=mx-cox=2 四、小结 1积分上限函数Φ(x)=f(t)t 2积分上限函数的导数Φ(x)=f(x) 3微积分基本公式[f(x)=F(b)-F(a) 牛顿一莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 思考题 设f(0在a上连续,则(Mh与广(M是x的函数还是1与n的函数? 它们的导数存在吗?如存在等于什么? 思考题解答 ∫/(OM与(Mm都是x的函数,女C(M=八(, 女上(a=-(x) 6
6 解：面积 = 0 A sin xdx 0 = − cos x = 2. 四、小结 1.积分上限函数 = x a (x) f (t)dt 2.积分上限函数的导数 (x) = f (x) 3.微积分基本公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 思考题 设 f (x) 在 [a,b] 上连续，则 f t dt x a ( ) 与 f u du b x ( ) 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？ 它们的导数存在吗？如存在等于什么？ 思考题解答 f t dt x a ( ) 与 f u du b x ( ) 都是 x 的函数， f (t)dt f (x) dx d x a = ， f (u)du f (x) dx d b x = − x y o