章节题目 第三节泰勒( Tylor)公式 泰勒( Taylor)公式 麦克劳林( Maclaurin)公式 内/泰勒中值定理与拉格朗日中值定理的联系 函数的展开 容利用泰勒公式求极限 提 要 泰勒( Taylor)公式、麦克劳林( Maclaurin)公式的应用 重点分析 求函数的n阶泰勒公式、麦克劳林公式 难点分析 习题布置 1、3、8 备注
1 章 节 题 目 第三节 泰勒（Tylor）公式 内 容 提 要 泰勒(Taylor)公式 麦克劳林(Maclaurin)公式 泰勒中值定理与拉格朗日中值定理的联系 函数的展开 利用泰勒公式求极限 重 点 分 析 泰勒(Taylor)公式、麦克劳林(Maclaurin)公式的应用 难 点 分 析 求函数的 n 阶泰勒公式、麦克劳林公式 习 题 布 置 P177 ：1、3、8 备 注
教学内容 问题的提出 1设f(x)在x处连续,则有 f(x)f(ro) [f(x)=f(xo)+a] 2设∫(x)在x处可导则有 f(x)≈f(x)+f(xXx-x) [f(x)=f(x0)+f(x)x-x0)+o(x-x0 例如,当很小时,e≈1+x,l(1+x)≈x (如下图) y 不足:1、精确度不高:2、误差不能估计。 问题:寻找函数P(x),使得f(x)≈P(x) 误差R(x)=f(x)-P(x)可估计 设函数∫(x)在含有x的开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,P(x)为多项式函 P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0) 误差Rn(x)=f(x)-P(x) 、P和Rn的确定 分析1若在x点相交P(x0)=f(x)
2 教 学 内 容 一、问题的提出 1.设 f (x) 在 0 x 处连续,则有 ( ) ( ) 0 f x f x [ f (x) = f (x0 ) + ] 2.设 f (x) 在 0 x 处可导,则有 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x f x + f x x − x [ ( ) ( ) ( )( ) ( )] 0 0 0 0 f x = f x + f x x − x + o x − x 例如, 当 x 很小时, e x x 1+ , ln(1+ x) x （如下图） 不足: 1、精确度不高；2、误差不能估计。 问题: 寻找函数 P(x),使得 f (x) P(x) 误差 R(x) = f (x) − P(x) 可估计 设函数 f (x) 在含有 0 x 的开区间 (a,b) 内具有直到 n +1 阶导数, P(x) 为多项式函 数 n n n P (x) a a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 = 0 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 误差 R (x) f (x) P (x) n = − n 二、 Pn 和 Rn 的确定 分析:1.若在 0 x 点相交 ( ) ( ) 0 0 P x f x n = x y = e y =1+ x o x y = e o y = x y = ln(1+ x)
2若有相同的切线P(x0)=f(x0) 3若弯曲方向相同P(x0)=f"(x) 近似程度越来越好 y=f(x) 假设P(x0)=f(x0)k=1,2,…,n a=f(x0),1·a1=f(x0),2!a2=f"(x) nl-a,=f(xo) f(x0)(k=02,…,n) 代入P(x)中得 P(x)=f(xo)+f(oXx-xo) f"(x0) (x-x0)2 三、泰勒( Taylor中值定理 泰勒( Taylor中值定理如果函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到 (n+1)阶的导数则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项 式与一个余项R(x)之和
3 2.若有相同的切线 ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 3.若弯曲方向相同 ( ) ( ) 0 0 P x f x n = 近似程度越来越好 假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 0 a = f x 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 0 a = f x , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n = 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 代入 P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 三、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f (x) 在含有 0 x 的某个开区间 (a,b) 内具有直到 (n +1) 阶的导数,则当 x 在 (a,b) 内时, f (x) 可以表示为 ( ) 0 x − x 的一个 n 次多项 式与一个余项 R (x) n 之和: 0 x y = f (x) o x y
f(x)=f()+/(x( x-xo )+/(4o2(x-x)? 21 (x-x0)”+Rn( 其中()=() (x-x0)(在x与x之间 证明:由假设,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数,且 Rn(x0)=R2(x0)=R(x0)=…=R(x0)=0 两函数R(x)及(x-x0)在以x0及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件 得 R,(x) R (x)-R,(xo) R'(su (在x0与x之间) (n+1)(51-x0) 两函数R(x)及(m+1)(x-x0)”在以x及5为端点的区间上满足柯西中值定理的 条件,得 Rn(1) R(51)-R2(x) (n+1)(1-x0)”(n+1)1-x0)”-0 R(2) n(n+1)(52-x) (2在x与5之间) 如此下去,经过(m+1)次后得 R, (x) (在x与n之间,也在x与x之间 P(x)=0,∴R(x)=fm(x) 则由上式得 R(x)=(n+1(x-x)”(在x与x之间) P (x) 称为∫(x)按(x-x)的幂展开的n次近似多项式 f(x)=sf(ro) (x-xo)+R,(x) kl 称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式
4 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在 0 x 与 x 之间). 证明: 由假设, R (x) n 在 (a,b) 内具有直到 (n +1) 阶导数,且 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n 两函数 R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以 0 x 及 x 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 得 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = 两函数 R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 0 x 及 1 为端点的区间上满足柯西中值定理的 条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之间 x n n x R n n − + − = 如此下去,经过 (n +1) 次后,得 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n ( 在x0与 n之间,也在 0 x 与 x 之间) ( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 则由上式得 ( ) ( ) ( ) 1! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = = = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x) 按 ( ) 0 x − x 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x) 按 ( ) 0 x − x 的幂展开的 n 阶泰勒公式
R(x)-(+)(x-x)y(2在与x之间拉格朗日形式的余项 +)(-及mR(x) x(x-)0 即Rn(x)=o(x-x)”]皮亚诺形式的余项 fo(xo(x-xo)+ol(x-Xo) )] k 注意: 1、当n=0时泰勒公式变成拉氏中值公式 f(x)=f(x)+f(x-x)(在x与x之间) 取x。=0 在0与x之间令=(05日<1)则余项R(x)=("()xm 麦克劳林( Maclaurin)公式 f(x)=f(0)+f(0)x+ f"(0)2fn(0) 2 nd fn+(ex).m+ (0<6<1) (x)=f(0)+r(0x+/0x2+…+/o nd +O(x") 四、简单的应用 例1求f(x)=e的n阶麦克劳林公式 解:∵∫(x)=f"(x)=…=fm(x)=ex, f(0)=f(O)=f0)=…=f(O)=1 注意到f()=ex,代入公式得 e=l+x+ (0<6<1) nl(n+1)! 由公式可知e≈1+x+-+…+
5 ( ) ( ) ( ) 1! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 拉格朗日形式的余项 ( ) ( ) 1 0 1 0 ( 1) ( ) 1! ( ) 1! ( ) ( ) + + + − + − + = n n n n x x n M x x n f R x 0 ( ) ( ) lim 0 0 = → − n n x x x x R x 及 ( ) [( ) ]. 0 n n 即 R x = o x − x 皮亚诺形式的余项 ( ) [( ) ] ! ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) k n n k k x x o x x k f x f x = − + − = 注意: 1、当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) f x = f x0 + f x − x0 在x0与x之间 2.取 x0 = 0, 在 0 与 x 之间,令 =x (0 1) 则余项 1 ( 1) ( 1)! ( ) ( ) + + + = n n n x n f x R x 麦克劳林(Maclaurin)公式 (0 1) ( 1)! ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) 1 ( 1) ( ) 2 + + + + = + + + + n n n n x n f x x n f x f f x f f x ( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 n n n O x x n f x f f x f f x + + + = + + 四、简单的应用 例 1 求 x f (x) = e 的 n 阶麦克劳林公式. 解： ( ) ( ) ( ) , (n) x f x = f x == f x = e (0) (0) (0) (0) 1 ( ) = = = = = n f f f f n x f x e = + ( ) 注意到 ( 1) ，代入公式,得 (0 1). 2! ! ( 1)! 1 1 2 + = + + + + + + n n x x x n e n x x e x 由公式可知 2! ! 1 2 n x x e x n x + + ++
估计误差(设x>0) R,(x) 0<6<1) (n+1)(n+1) 1+1 其误差|R|< (n+1)! 常用函数的麦克劳林公式 2n+I SInx=x- +-…+(-1) cOSx=1 +(-1) +o(x l+x+x+…+x"+o(x) m(m-1) m(m-1)…(m-n+1) 例2计算me+2cosx-3 解: +O(x2) to(x 2 cos x-3 )x2+o(x2) x+o(x) 原式=lm12 6
6 估计误差 (设 x 0) (0 1). ( 1)! ( 1)! ( ) 1 + + = + n x x n x n e n e R x ! 1 2! 1 1, 1 1 n 取x = e + + ++ 其误差 ( +1)! n e Rn . ( 1)! 3 + n 常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 m 2 n n x o x n m m m n x m m x mx + − − + + + − + = + + 例 2 计算 4 0 2cos 3 lim 2 x e x x x + − → . 解： ( ) 2! 1 1 2 4 4 2 e x x o x x = + + + ( ) 2! 4! cos 1 5 2 4 o x x x x = − + + ) ( ) 4! 1 2 2! 1 2cos 3 ( 4 4 2 e x x o x x + − = + + 12 7 ( ) 12 7 lim 4 4 4 0 = + = → x x o x x 原式
五、小结 1. Taylor公式在近似计算中的应用 2 Taylor公式的数学思想-局部逼近 思考题 利用泰勒公式求极限im e sin x-x(1+x) x→ 思考题解答 1+x+~++o(x3),snx=x-~+o(x) lim e sin x-x(1+x) ++o(x3)‖x 3/ o(r) =lim +o(x3)
7 五、小结 1.Taylor 公式在近似计算中的应用; 2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近. 思考题 利用泰勒公式求极限 3 sin (1 ) lim x e x x x x x − + → 思考题解答 ( ) 2! 3! 1 3 2 3 o x x x e x x = + + + + ， ( ) 3! sin 3 3 o x x x = x − + 3 sin (1 ) lim x e x x x x x − + → 3 3 3 3 2 3 ( ) (1 ) 3! ( ) 2! 3! 1 lim x o x x x x o x x x x x x − + − + + + + + = → 3 3 3 3 ( ) 2! 3! lim x o x x x x − + = → 6 1 =
