章节题目 第六节极限运算法则 极限的四则运算法则及其推论; 极限求法 内容提要 极限的四则运算法、求法 重点分析 多项式与分式函数代入法求极限 消去零因子法求极限 难/无穷小因子分出法求极限 点/利用无穷小运算性质求极限 分|利用左右极限求分段函数极限 析 63:1(3)(5)(7)(9)(11)(13)、2(1)(3)、3 题布置 备注
1 章 节 题 目 第六节 极限运算法则 内 容 提 要 极限的四则运算法则及其推论; 极限求法; 重 点 分 析 极限的四则运算法、求法 难 点 分 析 多项式与分式函数代入法求极限 消去零因子法求极限 无穷小因子分出法求极限 利用无穷小运算性质求极限 利用左右极限求分段函数极限 习 题 布 置 P63：1（3）（5）（7）（9）（11）（13）、2（1）（3）、3 备 注
教学内容 极限运算法则 定理: 设lnf(x)=A,limg(x)=B,则 (1)lmnf(x)±g(x)=A±B (2)lim∫(x)·g(x)]=A·B;, (3)lim f(x)A 8(x)B,其中B≠0 证:∵imf(x)=A,limg(x)=B f(x)=A+a,g(x)=B+β.其中α→>0,B→0. 由无穷小运算法则得 [f(x)±g(x)]-(4±B)=a±B→0.∴(1)成立 [f(x)·g(x)-(A·B)=(A+a)(B+B)-AB (AB+Ba)+aB→>0.:(2)成立 f(x) AA+aA Ba-AB g(x) BB+BBB(B+B) Ba-B→0.又:B→0.,B≠0,36>0,当01-B=:B(B+P>,B3 故 2 <,有界,∴(3)成立 B(B+B)B 推论1如果mf(x)存在而c为常数则 J lim[ df(x)=clmf(x) 常数因子可以提到极限记号外面 推论2如果mf(x)存在而n是正整数则lmnf(x)”=[imf(x) 、求极限方法举例 例1求lm 解∵lmn(x2-3x+5)=lmx2-lmn3x+lm5
2 教 学 内 容 一、极限运算法则 定理： , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证：lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A+, g(x) = B+ . 其中 →0, →0. 由无穷小运算法则,得 [ f (x) g(x)]− (A B) = →0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (AB) = (A+)(B + ) − AB = (A + B) + →0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( ) + − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B+ B − B B 2 1 − B 2 1 = , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立. 推论 1 如果lim f (x)存在,而c为常数,则lim[ cf (x)] = clim f (x). 常数因子可以提到极限记号外面. 推论 2 lim ( ) , , lim[ ( )] [lim ( )] . n n 如果 f x 存在 而n是正整数 则 f x = f x 二、求极限方法举例 例 1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim 3 lim 5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x
=(lmx)2-3linx+lm5=22-3.2+5=3≠0 lim x'-lim 1 2x2-3x+5lmn(x2-3x+5)33 小结: 设∫(x)=anx"+a1x1+…+an,则有 imnf(x)=a(lmx)”+a(imx)"+…+an axo +a a,=f(ro) 2设f(x)=(x),且Q(x)≠0,则有 Im P(x) p lim f(x) =f(x0) Im o(x) O(xo) 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用 例2求im 4x-1 解∵lm(x2+2x-3)=0,商的法则不能用 又:m(4x-1)=3≠0…加x2+2x-3=0=0 4x 由无穷小与无穷大的关系得 lim 例3求加m~x2-1 x→1x2+2x-3 解:x→l时,分子,分母的极限都是零.(型) 先约去不为零的无穷小因子x-1后再求极限 lim-1 x+1)(x x+11 lin =lim =(消去零因子法) 2x-3x列1(x+3x-1 32 例4求m2x3+3x2+5 7x3+4x2
3 (lim ) 3lim lim 5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim ( 3 5) lim lim 1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x 3 2 1 3 − = . 3 7 = 小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有 n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 (lim ) 1 (lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). 0 = f x 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). 0 = f x ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用 例 2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim (4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x 例 3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 解: x →1时,分子,分母的极限都是零. ) 0 0 ( 型 先约去不为零的无穷小因子x −1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x . 2 1 = (消去零因子法) 例 4 . 7 4 1 2 3 5 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x 求
解:x→∞时,分子分母的极限都是无穷大(-型) 先用x3去除分子分母,分出无穷小再求极限 lim 2x2+3x2+5 =二.(无穷小因子分出法) x→7x3+4x2-1 小结:当a0≠0,b≠0,m和n为非负整数时有 imox+a1x+…+am 0,当n>m, x→bnx"+bx+…+b ∞,当n<m, 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小然后再求极 例5求lm( 解:n→∞时,是无穷小之和先变形再求极限 o=lim n(n+1) =lim =lm=(1+-)= 例6求lmx 解:当x→时,为无穷小而Smx是有界函数∴ln=0 例7设f(x) 求limf(x) x2+1,x≥0
4 解: x →时, 分子,分母的极限都是无穷大. ( 型 ) , , . 先用x 3去除分子分母 分出无穷小 再求极限 3 3 3 2 3 2 4 1 7 3 5 2 lim 7 4 1 2 3 5 lim x x x x x x x x x x + − + + = + − + + → → . 7 2 = (无穷小因子分出法) 小结: 当a0 0,b0 0,m和n为非负整数时有 = = + + + + + + − − → , , 0, , , , lim 0 0 1 0 1 1 0 1 n m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当 当 当 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极 限. 例 5 ). 1 2 lim ( 2 2 2 n n n n n + + + → 求 解: n →时,是无穷小之和． 先变形再求极限. 2 2 2 2 1 2 ) lim 1 2 lim ( n n n n n n n n + + + + + + = → → 2 ( 1) 2 1 lim n n n n + = → ) 1 (1 2 1 lim n n = + → . 2 1 = 例 6 . sin lim x x x→ 求 解: , 1 当 时, 为无穷小 x x → 而sin x是有界函数. 0. sin lim = → x x x 例 7 , lim ( ). 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 f x x x x x f x x→ + − 设 = 求 x x y sin =
解:x=0是函数的分段点两个单侧极限为 f(x)=im(1-x)=1, imf(x)=l(x2+1)=1, x→0 x→0 左右极限存在且相等,故lmf(x)=1 、小结 1.极限的四则运算法则及其推论 2极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 d利用无穷小运算性质求极限; e利用左右极限求分段函数极限 思考题 在某个过程中,若有极限,g(x)无极限,那么∫(x)+g(x)是否有极限?为什么? 思考题解答 没有极限 假设∫(x)+g(x)有极限,∵f(x)有极限,由极限运算法则可知: g(x)=[(x)+g(x)-f(x)必有极限 已知矛盾,故假设错误
5 解: x = 0是函数的分段点,两个单侧极限为 lim ( ) lim (1 ) 0 0 f x x x x = − → − → − = 1, lim ( ) lim ( 1) 2 0 0 = + → + → + f x x x x = 1, 左右极限存在且相等, lim ( ) 1. 0 = → f x x 故 三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 思考题 在某个过程中，若有极限， g(x) 无极限，那么 f (x) + g(x) 是否有极限？为什么？ 思考题解答 没有极限． 假设 f (x) + g(x) 有极限， f (x) 有极限, 由极限运算法则可知： g(x) = f (x)+ g(x)− f (x) 必有极限， 与已知矛盾，故假设错误．