章节题目 第七节可降阶的高阶微分方程 不显含y的方程、不显含x的方程、ym)=f(x)三种类型微分方 内|程的解法 容提要 可降阶微分方程的解法 重点分析 y=f(y、y)方程的解法 难点分析 题|P61(单)、2(单,3 布 备注
1 章 节 题 目 第七节 可降阶的高阶微分方程 内 容 提 要 不显含 y 的方程、不显含 x 的方程、 ( ) ( ) n y f x = 三种类型微分方 程的解法 重 点 分 析 可降阶微分方程的解法 难 点 分 析 y f y y = ( ) 、 方程的解法 习 题 布 置 P366 1(单)、2(单)、3 备 注
教学内容 y(m=f(x,y 特点:不显含未知函数y及y,…,y 解法:令y)=P(x)则y=P,yn=Pmnk 代入原方程,得 Pm)=f(x,P(x)…,Pmk=(x)求得P(x) 将y)=P(x)连续积分k次,可得通解 例1求方程xy)-y4)=0的通解 解:设y4=P(x),y3=P(x) 代入原方程xP-P=0.(P≠0) 解线性方程,得P=C1x即y=Cx 两端积分得y"=C1x2+C2 x+Cx+C 6 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d3x2+d4x+d3 (n-1) 特点:右端不显含自变量x 解法:设y=p(y)则y”=如.如=nP dy dxdy y=P d-p dP +P( 代入原方程得到新函数P(y)的(n-1)阶方程, 求得其解为=P(y)=q(y,C1,…,Cn1) 原方程通解为 =x+ 2
2 教 学 内 容 一、 ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n y f x y y 型 特点: , , . ( −1) k 不显含未知函数 y及y y 解法: ( ) ( ) y P x k 令 = , . (k 1) (n) (n k ) y P y P + − 则 = = 代入原方程, 得 ( , ( ), , ( )). ( ) ( 1) P f x P x P x n−k n−k− = 求得P(x), ( ) , 将 y (k ) = P x 连续积分k次 可得通解. 例 1 0 . 求方程 xy (5) − y (4) = 的通解 解: ( ), (4) 设 y = P x ( ) (5) y = P x 代入原方程 xP − P = 0(, P 0) 解线性方程, 得 P C x = 1 , 1 (4) 即 y = C x 两端积分,得 , 2 1 2 2 y = C1 x +C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 原方程通解为 4 5 2 3 3 2 5 y = d1 x + d x + d x + d x + d 二、 ( , , , ) ( ) ( ) ( −1) = n k n y f x y y 型 特点: 右端不显含自变量x. 解法: 设 y = p(y) , dy dP p dx dy dy dp 则 y = = ( ) , 2 2 2 2 dy dP P dy d P y = P + , 代入原方程得到新函数 P(y)的(n−1)阶方程, 求得其解为 ( ) ( , , , ), = = C1 Cn−1 P y y dx dy 原方程通解为 , ( , , , ) 1 1 n n x C y C C dy = + −
例2求方程y”-y2=0的通解 解设y=p(y)2则y”=p dy 代入原方程得yPd-P=0.即Py动-P)=0 由 P=0,可得P=C1y 人分=C1顺方程通解为y:c 恰当导数方程 特点 左端恰为某一函数Φ(x,y,y3…,y(m-)对x的导数, (n-1) )=0 解法:类似于全微分方程可降低一阶Φ(x,y,y, )=C, 再设法求解这个方程 例3求方程y”+y2=0的通解 解:将方程写成(yy)=0, d x 故有y=C1,即地=Ct, 积分后得通解y2=Cx+C2 注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程 四、齐次方程 特点:F(x,y,p,…,)=F(x,y,y…,y)-(k次齐次函数) 解法:可通过变换y=e 将其降阶,得新未知函数z(x) 代入原方程并消去e-
3 例 2 0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 设 y = p(y), , dy dP 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0, dy dP y , 1 可得 P =C y , 1 C y dx dy = 原方程通解为 . 1 2 c x y = C e 三、恰当导数方程 特点 ( , , , , ) 0. ( , , , , ) , ( 1) ( 1) = − − n n x y y y dx d x y y y x 即 左端恰为某一函数 对 的导数 解法:类似于全微分方程可降低一阶 ( , , , , ) , ( 1) x y y y C n = − 再设法求解这个方程. 例 3 0 . 求方程 yy + y 2 = 的通解 解: 将方程写成 ( yy ) = 0, dx d , C1 故有 yy = , 即 ydy =C1dx 积分后得通解 . 1 2 2 y = C x +C 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 四、齐次方程 特点: ( , , , , ) ( , , , , ) (n) k (n) F x ty ty ty = t F x y y y ------( k次齐次函数 ) 解法: = zdx 可通过变换 y e 将其降阶, 得新未知函数 z(x). , = zdx y ze ( ) , 2 = + zdx y z z e , ( , , , ) , ( ) ( 1) = − zdx n n y z z z e , k zdx 代入原方程并消去 e
得新函数-(x)的-1阶方程 f(x,x,1…,zm-) 例4求方程x2y”=(y-xy)2的通解 解设y=c,代入原方程得:+2=1, 解其通解为z 1C, 原方程通解为y= 五、小结 解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解 例5求方程y-y2=0的通解 解两端同乘不为零因子 )=0,故y=C1y 从而通解为y=C2e 另解:原方程变为少=y 两边积分得hy=hy+hC,即y=C1y, 原方程通解为y=C2e 补充题:求方程xy”-x2=yy的通解 解设 代入原方程得zx=2, 解其通解为z=Cx, 原方程通解为y
4 得新函数z(x)的(n−1)阶方程 ( , , , , ) 0. ( 1) = n− f x z z z 例 4 ( ) . 求方程 x 2 yy = y − xy 2 的通解 解 , = zdx 设 y e 代入原方程,得 , 2 1 2 x z x z + = , 1 2 1 x C x 解其通解为 z = + 原方程通解为 . 1 2 1 2 ) 1 ( x C dx x C x y e C xe + − = = 五、小结 解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 例 5 0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 ( ) 0, 2 2 = = − y y dx d y yy y , 1 故 y =C y 从而通解为 . 1 2 C x y = C e 另解: 原方程变为 , y y y y = 两边积分,得 ln y = ln y +ln C1,即 y =C1 y, 原方程通解为 . 1 2 C x y = C e 补充题: . 求方程 xyy − xy 2 = yy 的通解 解 , = zdx 设 y e 代入原方程,得 z x = z, 解其通解为z =C x, 原方程通解为 . 2 1 2 C x Cxdx y e = C e =
思考题 已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+e2都是微分方程 by-(2-2)y+(2x-2)y=6x-1) 的解,求此方程所对应齐次方程的通解 思考题解答 η,y2y3都是微分方程的解 y3-y2=e,y2-y1=x2,是对应齐次方程的解 ≠常数 y2-y1 所求通解为y=C(2-y2)+C2(2-y1)=Ce+C2x
5 思考题 已知 y1 = 3, 2 y2 = 3+ x , x y = + x + e 2 3 3 都是微分方程 ( 2 ) ( 2) (2 2) 6( 1) 2 2 x − x y − x − y + x − y = x − 的解,求此方程所对应齐次方程的通解. 思考题解答 1 2 3 y , y , y 都是微分方程的解, , 3 2 x y − y = e , 2 2 1 y − y = x 是对应齐次方程的解, = − − 2 2 1 3 2 x e y y y y x 常数 所求通解为 ( ) ( ) 1 3 2 2 2 1 y = C y − y +C y − y . 2 1 2 C e C x x = +