章节题目 第三节幂级数 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 内|幂级数的运算 容 提 要 求幂级数的收敛区间、半径 分析性质并利用分析性质求和函数 重点分析 求和函数 收敛区间端点的收敛性的判定 难点分析 习题布置 P2631(单)2 备注
1 章 节 题 目 第三节 幂级数 内 容 提 要 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 重 点 分 析 求幂级数的收敛区间、半径 分析性质并利用分析性质求和函数 难 点 分 析 求和函数 收敛区间端点的收敛性的判定 习 题 布 置 263 p 1（单）、2 备 注
教学内容 函数项级数的一般概念 1.定义:设u4(x)a2(x)…ln(x)…是定义在IcR上的函数,则 ln(x)=l1(x)+l2(x)+…+u(x)+…称为定义在区间/上的(函数项)无穷级 数 例如级数∑x"=1+x+x2+ 2收敛点与收敛域:如果x∈1,数项级数∑un(x)收敛,则称x为级数 今1(x)的收敛点,否则称为发散点函数项级数∑un(x)的所有收敛点的全体 称为收敛域,所有发散点的全体称为发散域 3.和函数 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=l1(x)+l2(x)+…+ln(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和sn(x),lmsn(x)=s(x) 余项rn(x)=(x)-Sn(x) imz(x)=0(x在收敛域上) 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上是数项级数的收敛问题 例1求级数(-1)(y的收敛域 n 1+x 解由达朗贝尔判别法 u+(x) n→0 u, (x) n+11+x1+x ()当n1即x>0x1→1+x<1即-2<x<O时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2 2
2 教 学 内 容 一、函数项级数的一般概念 1. 定 义 : 设 u1 (x),u2 (x), ,un (x), 是定义在 I R 上的函数 , 则 = + ++ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x n n n 称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级 数. 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 2. 收敛点与收敛域: 如果 x I 0 , 数项级数 =1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称 0 x 为级数 ( ) 1 u x n n = 的收敛点, 否则称为发散点.函数项级数 ( ) 1 u x n n = 的所有收敛点的全体 称为收敛域, 所有发散点的全体称为发散域. 3.和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 s(x) ,称 s(x) 为函数项级数的和函数. s(x) = u1 (x) +u2 (x) ++un (x) + (定义域是?) 函数项级数的部分和 s (x), n lim s (x) s(x) n n = → 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 → r x n n (x 在收敛域上) 注意 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 例 1 求级数 n n n x ) 1 1 ( ( 1) + − 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + + = 1 1 1 ( ) 1 1 → + → n x 1, 1 1 (1) + x 当 1+ x 1, 即x 0或x −2时, 原级数绝对收敛. 1, 1 1 (2) + x 当 1+ x 1,即−2 x 0时, 原级数发散. (3) 当|1+ x |=1, x = 0或x = −2
当x=0时弋(-1收敛 当x=-2时,级数∑二发散 故级数的收敛域为(-∞,-2)[0,+∞) 幂级数及其收敛性 1定义:形如∑a1(x-x0)”的级数称为幂级数 当x。=0时,∑anx,其中an为幂级数系数 2收敛性:例如级数∑x"=1+x+x2+…当对x的一切x处发散 证明()∵∑anx收敛,ima-xb=0 M,使得{xM(n=012,) M (x使级数收敛由(1)结论则级
3 当x = 0时, = − 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当x = −2时, =1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为(−,−2)[0,+). 二、幂级数及其收敛性 1.定义: 形如 n n n a (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n n x a x = 当 = 时 其中 n a 为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 = + + + = x x x n 例如级数 n 当x 1时,收敛; 当x 1时,发散; 收敛域(−1,1); 发散域(−,−1][1,+); 定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n=0 n n a x 在 ( 0) x = x0 x0 处收敛, 则它在满足不等 式 0 x x 的一切 x 处绝对收敛;如果级数 n=0 n n a x 在 0 x = x 处发散,则它在满足 不等式 0 x x 的一切 x 处发散. 证明 (1) , 0 0 收敛 n= n n a x lim 0, 0 = → n n n a x M , ( 0,1,2, ) a x0 M n = n 使得 n n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M = , 0 收敛 = n n n a x ; 0 即级数 收敛 n= n n a x (2) , 假设当x = x0时发散 而有一点 1 x 适合 1 0 x x 使级数收敛,由(1)结论 则级
数当x=x0时应收敛这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域 R发散区域 推论如果幂级数∑ax”不是仅在x=0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质 当xR时,幂级数发散 当x=R与x=-R时幂级数可能收敛也可能发散 定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 (-R,R),[-R,R),(-R,R],[-R,R] 规定(1)幂级数只在x=0处收敛,R=0,收敛区间x=0 (2)幂级数对一切x都收敛,R=+∞,收敛区间(-∞,+∞) 问题如何求幂级数的收敛半径? 定理2如果幂级数∑anx”的所有系数an≠0,设im p(或 lim =p)则 (1)当p≠0时,R=1:()当p=0时 (3)当p=+∞时,R=0 证明对级数∑|x应用达朗贝尔判别法 lim x=pb n→a, n→
4 数当 0 x = x 时应收敛,这与所设矛盾. 几何说明 推论 如果幂级数 n=0 n n a x 不是仅在 x = 0 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R 时,幂级数绝对收敛; 当 x R 时,幂级数发散; 当 x = R与x = −R 时,幂级数可能收敛也可能发散. 定义: 正数 R 称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. (−R, R), [−R, R), (−R, R], [−R, R]. 规定(1) 幂级数只在 x = 0 处收敛, R = 0, 收敛区间 x = 0 ; (2) 幂级数对一切 x 都收敛, R = +, 收敛区间 (−,+) . 问题 如何求幂级数的收敛半径? 定理 2 如果幂级数 n=0 n n a x 的所有系数 an 0 ,设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) 则 (1) 当 0 时, 1 R = ; (2) 当 = 0 时, R = + ; (3) 当 = + 时, R = 0 . 证明 对级数 应用达朗贝尔判别法 n=0 n n a x n n n n n a x a x 1 1 lim + + → x a a n n n 1 lim + → = = x , x o • • • • • • • • • • • − R R 收敛区域 发散区域 发散区域
()如果m=p(p≠0)存在由比值审敛法 当|xk时,级数∑|anx1收敛 从而级数∑ax绝对收敛 当|x>-时级数∑|anx"1发散 并且从某个m开始{anx|anxl,1anx”→0 从而级数∑ax发散收敛半径R=1 (2)如果p=0,Vx≠0,有 →0(n→∞)级数∑lanx”收敛 从而级数∑anx绝对收敛收敛半径R=+∞ (3)如果p=+∞Vx≠O,级数∑anx"必发散 (否则由定理知将有点x≠0使∑!anx”收敛) 收敛半径R=0.定理证毕 例2求下列幂级数的收敛区间 )∑(-1);(2)∑(-m);(3)∑;(4)∑-1=(x- 解():P=lmn =lim =1∴.R=1 an x=时,级数为∑该级数收敛 n 当x=-时,级数为∑,该级数发散 n
5 (1) lim ( 0) , 如果 +1 = 存在 → n n n a a 由比值审敛法, , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 收敛 n= n n a x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n n a x , 1 当| | 时 x | | , 0 级数 发散 n= n n a x 并且从某个n开始| | | |, 1 1 n n n n a x a x + + | |→ 0 n n a x . 0 n= n n 从而级数 a x 发散 ; 1 收敛半径 R = (2) 如果 = 0, x 0, 0 ( ), 1 1 → → + + n a x a x n n n n 有 | | , 0 级数 收敛 n= n n a x . 0 从而级数 绝对收敛 n= n n a x 收敛半径 R = +; (3) 如果 = +, x 0, . 0 n= n n 级数 a x 必发散 ( 1 0 | | ) 0 否则由定理 知将有点 使 收敛 = n n n x a x 收敛半径R = 0. 定理证毕. 例 2 求下列幂级数的收敛区间: (1) ( 1) ; 1 n x n n n = − (2) ( ) ; 1 = − n n nx ; ! (3) 1 n= n n x ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n − − = 解 (1) n n n a a 1 lim + → = 1 lim + = → n n n = 1R =1 当x =1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 该级数收敛 当x = −1时, , 1 1 n= n 级数为 该级数发散
故收敛区间是(-1] P=ma|=mn=+∴R=0, 级数只在x=0处收敛, ∵P=lm叫=lmn =0,∴R=+∞, 收敛区间(-∞,+∞) (4)∑(-1=(x-3) p=lim an+ =lim 2:R=1 √n+1 即下ˉ25收敛 01)收敛 当x=O时,级数为∑,发散 当x=时,级数为二,收敛 故收敛区间为(O,1] 2n-1 例3求幂级数∑n的收敛区间 解…级数为+x+x+…缺少偶次幂的项 应用达朗贝尔判别法 lim u, (x)
6 故收敛区间是 (−1,1]. (2) ( ) ; 1 = − n n nxn n n a → = lim n n→ = lim = +, R = o, 级数只在 x = 0 处收敛, ; ! (3) 1 n= n n x n n n a a 1 lim + → = 1 1 lim + = n→ n = 0, R = +, 收敛区间 (−,+) . ) . 2 1 ( 2 (4) ( 1) 1 n n n n x n − − = n n n a a 1 lim + → = 1 2 lim + = → n n n = 2 , 2 1 R = , 2 1 2 1 即 x − 收敛 x(0,1)收敛, 当x = 0时, , 1 1 n= n 级数为 发散 当x =1时, , ( 1) 1 = − n n n 级数为 收敛 故收敛区间为(0,1]. 例 3 求幂级数 = − 1 2 1 n 2 n n x 的收敛区间. 解 + + 3 + 5 2 3 2 2 2 x x x 级数为 缺少偶次幂的项 应用达朗贝尔判别法 ( ) ( ) lim 1 u x u x n n n + → n n n n n x x 2 2 lim 2 1 1 2 1 − + + → = , 2 1 2 = x
当x21,即>√2时级数发散 当x=√2时,级数为∑,级数发散 当x=-√2时,级数为∑一,级数发散 原级数的收敛区间为(-√2,√2) 幂级数的运算 1代数运算性质: ax和∑bx的收敛半径各为R和R,R=mmR,R} (1)加减法 anx±∑bnx"=∑cnx”.x∈(-RR)(其中cn=an±bn) (2)乘法 ∑anx")C∑bx")=∑ RR (其中 b 柯西乘积 l b 6, aob,aob a, bo a, b ab2 a,b3 bo a2b a2b2 a,b3 3b, a3b a3 b2 a,b (3)除法(收敛域内∑bnx"≠0) Cnx”(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)
7 1, 2 1 2 当 x 即 x 2时, 级数收敛, 1, 2 1 2 当 x 即 x 2时, 级数发散, 当x = 2时, , 2 1 1 n= 级数为 级数发散, 当x = − 2时, , 2 1 1 = − n 级数为 级数发散, 原级数的收敛区间为 (− 2, 2). 三、幂级数的运算 1.代数运算性质: , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 n 和 的收敛半径各为 和 = = R = min R1 ,R2 (1) 加减法 = = 0 n 0 n n n n n a x b x . 0 = = n n n c x x(− R,R) (其中 ) n an bn c = (2) 乘法 ( ) ( ) 0 0 = = n n n n n n a x b x . 0 = = n n n c x x(− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n = + + + − 柯西乘积 (3) 除法 ( 0) 0 n= n n 收敛域内 b x = = 0 0 n n n n n n b x a x . 0 = = n n n c x (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) a0 b0 a0 b1 a0 b2 a0 b3 a1 b0 a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b0 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b0 3 1 a b a3 b2 a3 b3 1 x x 2 x 3
2和函数的分析运算性质 (1)幂级数∑anx"的和函数(x)在收敛区间(-RR)内连续,在端点收敛,则在 端点单侧连续 (2)幂级数∑anx”的和函数(x)在收敛区间(-RR)内可积,且对 Vx∈(-R,R)可逐项积分 即()=①x)=∑x=∑41r (收敛半径不变) (3)幂级数∑ax”的和函数s(x)在收敛区间(-RR)内可导,并可逐项求导任意 次 即s(x)=C∑anx")=∑(anx")=∑mnx".(收敛半径不变) 例4求级数∑(-1)~y+ 的和函数 解∵S(x)=∑(-1)21,显然s(O)=0 s(x)=1-x+x (-1<x<1) +x 两边积分得 s'()d=l(1+x)即s(x)-s(0)=h(1+x) s(x)=In(1+x) 又x=1时,∑(-1)21-收敛 (-1)=l(1+x).(-1<x≤1) 例5求Sm(n+1) 解考虑级数∑m(n+1)x",收敛区间(11
8 2.和函数的分析运算性质: （1）幂级数 n=0 n n a x 的和函数 s(x) 在收敛区间 (−R,R) 内连续, 在端点收敛, 则在 端点单侧连续. （ 2 ） 幂 级 数 n=0 n n a x 的 和 函 数 s(x) 在 收 敛 区 间 (−R,R) 内可积 , 且 对 x(−R,R) 可逐项积分. = = x n n n x s x dx a x dx 0 0 0 即 ( ) ( ) = = 0 0 n x n an x dx . 1 1 0 + = + = n n n x n a (收敛半径不变) （3）幂级数 n=0 n n a x 的和函数 s(x) 在收敛区间 (−R,R) 内可导, 并可逐项求导任意 次. = = 0 ( ) ( ) n n n 即 s x a x = = 0 ( ) n n n a x . 1 1 = − = n n n na x (收敛半径不变) 例 4 求级数 = − − 1 1 ( 1) n n n n x 的和函数. 解 ( ) ( 1) , 1 1 = − = − n n n n x s x 显然s(0) = 0, s (x) =1− x + x 2 − , 1 1 + x = (−1 x 1) 两边积分得 ( ) ln(1 ) 0 s t dt x x = + 即s(x)− s(0) = ln(1+ x) s(x) = ln(1+ x), 又 x =1时, . 1 ( 1) 1 1 收敛 = − − n n n ( 1) ln(1 ). 1 1 x n x n n n − = + = − (−1 x 1) 例 5 求 = + 1 2 ( 1) n n n n 的和. 解 ( 1) , 1 n n n n x = 考虑级数 + 收敛区间(-1,1)
则s(x)=∑m(n+1)x”=x∑x)=x(1) (1-x) 故∑m(n+ 常用已知和函数的幂级数 (1)∑x (2)∑(-1) (3) nl e;(5∑(- =snx(6)∑(-1)”;=h(1+x) 四、小结 1函数项级数的概念 2幂级数的收敛性:收敛半径R 3.幂级数的运算:分析运算性质 思考题 幂级数逐项求导后,收敛半径不变,那么它的收敛域是否也不变? 思考题解答 不一定 例f(x)=∑_2,f(x)= f(r)=x(n ,它们的收敛半径都是 但它们的收敛域各是[-1,1,[-1,1),(-1,1)
9 = = + 1 ( ) ( 1) n n 则 s x n n x ( ) 1 1 = = + n n x x ) 1 ( 2 − = x x x , (1 ) 2 3 x x − = = + 1 2 ( 1) n n n n 故 ) 2 1 = s( = 8. 常用已知和函数的幂级数 ; 1 1 (1) 0 x x n n − = = ; 1 1 (2) ( 1) 2 0 2 x x n n n + − = = ; 1 (3) 2 0 2 x a ax n n − = = ; ! (4) 0 x n n e n x = = sin ; (2 1)! (5) ( 1) 1 2 1 1 x n x n n n = − − = − − ln(1 ); 1 (6) ( 1) 0 1 x n x n n n = + + − = + 四、小结 1.函数项级数的概念: 2.幂级数的收敛性: 收敛半径 R 3.幂级数的运算: 分析运算性质 思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？ 思考题解答 不一定. 例 ( ) , 1 2 = = n n n x f x ( ) , 1 1 = − = n n n x f x , ( 1) ( ) 2 2 = − − = n n n n x f x 它们的收敛半径都是 1, 但它们的收敛域各是 [−1,1],[−1,1), (−1,1)