《高等数学》课程电子教案：第十章（10.6）高斯公式通量与散度

章节题目 第六节高斯( Gauss)公式通量与散度 高斯公式 通量与散度 内容提要 利用高斯公式计算曲面积分 重点分析 高斯公式使用的条件及方法 难点分析 习题布置 P 213 1(单)、2(单) 备注

1 章 节 题 目 第六节 高斯(Gauss)公式通量与散度 内 容 提 要 高 斯 公 式 通量与散度 重 点 分 析 利用高斯公式计算曲面积分 难 点 分 析 高斯公式使用的条件及方法 习 题 布 置 P213 1（单）、2（单） 备 注

教学内容 高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成,函数P(x,y,=)、Q(x,y,=) R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有公式 +2+h=于的+Q+的 或+②+=手(Pw+QB+Rcs 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cosa,cosB,cosy是∑上点(x,y,z)处的法 向量的方向余弦 证明设闭区域Ω在面xoy上的投影区域为Dy2由21,2和23三部分组成 1:z==1(x,y)Σ2:z=2(x,y)∑3柱面 根据三重积分的计算法 R (x,)aR =I(R[x,y, =2(x,y)]-R[x,y, =(x,y)liddy 根据曲面积分的计算法(Σ1取下侧,Σ2取上侧,∑3取外侧) [R(x, 3, =dxdy=-[R(x,y,=(x,y)]drdy 2

2 教 学 内 容 一、高 斯 公 式 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数 P(x, y,z) 、 Q(x, y,z) 、 R(x, y,z) 在  上具有一阶连续偏导数, 则有公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) dv P Q R dS z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +   或    这里  是  的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是  上点 (x, y,z) 处的法 向量的方向余弦. 证明 设闭区域  在面 xoy 上的投影区域为 Dxy .  由 1 , 2 和 3 三部分组成, ( , ) 1 : 1  z = z x y ( , ) 2 : 2  z = z x y 3 柱面 根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dy z R Dxy z x y   z x y    =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法( 1 取下侧, 2 取上侧, 3 取外侧) ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1   = −  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy x y z o  1 2 3 Dxy

R(,y,=dxdy=R[x, y,=2(x,y)]dxdy R(, y, =)dxdy=0 于是』R(xy,=)dd=(x,y2(xy-刚xy(x,y)d =于R(xy2)d 同理fP dv=H P(x,y, =)dyd= h=于手x 和并以上三式得 aR ay)dv=A Pdyd:+@d=dx+Rdxdy 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 H(Pcosa+OcosB+Rcosr )ds Gauss公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之 间的关系 二、简单的应用 例1、计算曲面积分(x-y)d+(y-)xdh其中Σ为柱面x2+y2=1及平 面z=0,z=3所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧

3 ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2   =  Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy ( , , ) 0. 3 =   R x y z dxdy   于是 R(x, y,z)dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy ( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R 同理 ( , , ) ,     =   dv P x y z dydz x P ( , , ) ,     =   dv Q x y z dzdx y Q 和并以上三式得：     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 ( ) ( cos cos cos ) .     = + +   +   +   dv P Q R dS z R y Q x P    Gauss 公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之 间的关系. 二、简单的应用 例 1、计算曲面积分 (x − y)dxdy+ (y − z)xdydz   其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面 z = 0,z = 3 所围成的空间闭区域  的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3

解P=(y-=)x,Q=0,R=x-y 原式=「(y-)ddh (利用柱面坐标得)=(sn6-)hah=-9z 使用Guas公式时应注意 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数 2是否满足高斯公式的条件 3.∑是取闭曲面的外侧 例2计算曲面积分 (x2cosa+y2cosB+z2cosy)ds,其中Σ为锥面x2+y2=2介于平面 二=0及z=h(h>0)之间的部分的下侧,cosa,cosB,cosy是Σ在(x,y,z)处的 法向量的方向余弦 解空间曲面在xoy面上的投影域为D

4 解 P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y, , 0, = 0,   =   = −   z R y Q y z x P   原式= (y − z)dxdydz (利用柱面坐标得)   = (rsin  − z)rdrddz . 2 9 = − 使用 Guass 公式时应注意: 1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧. 例 2 计算曲面积分 (x cos y cos z cos )ds 2 2 2  +  +    , 其中Σ为锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0 及 z = h(h  0) 之间的部分的下侧, cos,cos ,cos 是Σ在 (x, y,z) 处的 法向量的方向余弦. 解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy x y z o h 

2 曲面Σ不是封闭曲面,为利用高斯公式 补充Σ1:z=h(x2+y2≤h2)∑取上侧, +∑构成封闭曲面,Σ+Σ围成空间区域Ω 在Ω上使用高斯公式 (x2 cosa+y2 cos B+:2 cosr)dS=2[I(x+y+=)d Σ+Σ1 2 drdl(x+y+=)d 其中Dn={(x,y)|x2+y2≤h2} dyI.(+y)d=0, Jcx'cosa+y cos B+=cos r)yds=[wh2-x2-y2)drdy [(x2 cosa+y2cos B+=2 cosy)ds=[=2ds=lh'dxdy =th 故所求积分为 (x"cosa+y cos B+= cosrd. I rh-rh

5 曲面  不是封闭曲面, 为利用高斯公式 : ( ) 2 2 2 补充1 z = h x + y  h 1取上侧， +1构成封闭曲面， . +1围成空间区域  在上使用高斯公式,   +  (x cos + y cos + z cos )dS = 2 (x + y + z)dv 1 2 2 2      + = + + Dxy h x y dxdy x y z dz 2 2 2 ( ) , {( , )| }. 2 2 2 其中Dxy = x y x + y  h   + + = Dxy h x y dxdy x y dz 2 2  ( ) 0,    + + = − − + Dxy (x cos y cos z cos )dS (h x y )dxdy 2 2 2 2 2 2 1    . 2 1 4 = h     + + = 1 1 2 2 2 2  (x cos y cos  z cos )dS z dS  = Dxy h dxdy 2 . 4 = h 故所求积分为   (x cos + y cos + z cos )dS 2 2 2    4 2 1 = h 4 −h . 2 1 4 = − h Dxy x y z o  h 1 

三、物理意义-通量与散度 1.通量的定义 设有向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)+Q(x,y,z)+R(x,y,=)k 沿场中某一有向曲面∑的第二类曲面积分为 =4=ns=』p Payd=+Oddx+Rdxdy 称为向量场A(x,y,z)向正侧穿过曲面Σ的通量 2.散度的定义 设有向量场A(x,y,z),在场内作包围点M的闭曲面∑,∑包围的区域为1,记体积 为V若当V收缩成点M时极限lnx 存在,则称此极限值为A在点M处 的散度,记为dhv4 散度在直角坐标系下的形式 aR、 22+Mh=手 积分中值定理,(O 两边取极限, az m手 yds aP CO OR 高斯公式可写成川 divAd=什AdS 其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面, A是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影 (A=A n=Pcosa+Ocos B+Rcosy)

6 三、物理意义----通量与散度 1. 通量的定义: 设有向量场 A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为        = A dS = A n dS = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy  0    称为向量场 A(x, y,z)  向正侧穿过曲面Σ的通量. 2. 散度的定义: 设有向量场 A(x, y,z)  ,在场内作包围点 M 的闭曲面  , 包围的区域为 V ,记体积 为 V .若当 V 收缩成点 M 时,极限 V A dS V M   →    lim 存在,则称此极限值为 A  在点 M 处 的散度, 记为 divA  . 散度在直角坐标系下的形式     =   +   +   dv v dS z R y Q x P n ( )     =   +   +   v dS V dv z R y Q x P V n 1 ( ) 1 积分中值定理,   =   +   +   v dS z V R y Q x P n 1 ( ) ( ,, ) 两边取极限,   → =   +   +   v dS z V R y Q x P n M 1 lim z R y Q x P divA   +   +   =  高斯公式可写成     divAdv = AndS  其中是空间闭区域的边界曲面， A 是向量A在曲面的外侧法向量上的投影. n  ( cos cos cos ) 0 A A n P  Q  R  n =  = + +  

四、小结 1、高斯公式 +a+) dv=H Pdyd=+Od=dx+Rdxdy 2、高斯公式的实质 (1)、高斯公式的实质 (2)物理意义dh4hv=AdS 思考题 曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立? 思考题解答 曲面应是分片光滑的闭曲面

7 四、小结 1、高斯公式     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 2、高斯公式的实质 （1）、高斯公式的实质 （2）物理意义     divAdv = AndS  思考题 曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？ 思考题解答 曲面应是分片光滑的闭曲面