经济数学基础 第7章定积分的应用 第二单元积分在经济分析中的应用 、学习目标 通过本节课的学习,了解已知边际函数求原经济函数的方法 、内容讲解 若某产品的销售曲线为y=f(),它表示该产品在单位时间里的销售额.考虑 从到时间段内的销售总额 如果在到时间段内的单位时间里的销售额为常数,那么销售总额就是时 间间隔乘以这个常数.但现在单位时间里的销售额是个变量,不能这样简单地计 算.利用定积分的思想,把时间间隔,4]分割成很多小的时间段,将每个小段时 间内单位时间里的销售额视为常数,每个小段时间内的销售额近似为f()M f()△ 则在h到2时间段内的销售总额可近似为4s 最后取极限,即让每个小段时间的间隔趋于0,得到从到2时间段内的销售 总额u为 =()dr 这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了 一个定积分 问题思考:1(0)的经济意义是什么? 答案(0)=-0,它的经济意义是当产量为0时,利润为全部的固定成本支出 三、例题讲解 198
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——198—— 第二单元 积分在经济分析中的应用 一、学习目标 通过本节课的学习，了解已知边际函数求原经济函数的方法． 二、内容讲解 若某产品的销售曲线为 y = f (t) ，它表示该产品在单位时间里的销售额．考虑 从 1 t 到 2 t 时间段内的销售总额． 如果在 1 t 到 2 t 时间段内的单位时间里的销售额为常数，那么销售总额就是时 间间隔乘以这个常数．但现在单位时间里的销售额是个变量，不能这样简单地计 算．利用定积分的思想，把时间间隔 [ , ] 1 2 t t 分割成很多小的时间段，将每个小段时 间内单位时间里的销售额视为常数，每个小段时间内的销售额近似为 f (t)t 则在 1 t 到 2 t 时间段内的销售总额可近似为 1 2 ( ) t t t f t t 最后取极限，即让每个小段时间的间隔趋于 0，得到从 1 t 到 2 t 时间段内的销售 总额 u 为 = 2 1 ( )d t t u f t t 这样就将在一个时间段内单位时间销售额为变量的产品的销售总额表示成了 一个定积分． 问题思考： L(0) 的经济意义是什么？ 答案 0 L(0) = −c ，它的经济意义是当产量为 0 时，利润为全部的固定成本支出 三、例题讲解
经济数学基础 第7章定积分的应用 例1若一年内12个月的销售额随着时间的增长而增长,具体的销售曲线为 1000,求一年内的销售总额 10000 l-=.1000000dt 解: 0.02 0=13560000(元) 例2若已知某企业的边际成本函数为2e,且固定成本=9,求产量q由 100增加至200时总成本增加多少 解法一: △C=0。2d4-02/00=10e-e) 解法二:C(q)=2yC(q)=2dg=10+c 已知CO)=10+c1=90,得C1=80,即C(q)=10e。+80 △C=C(200)-C(100)=10(e40-e20) 四、课堂作业 C(q)=9-150 练习1已知某产品边际成本为 (百元/件),固定成本 为10000百元),边际收入为R(q)=50(百元/件),试求利润函数1(q) L(q)=R(q)-C(q),其中C(q)和R(q)可由0 c(q)dq+co or'(g)dq L(q)=200-1792-1000=7c(q)dg+c(0)=(9-150)g+1000 2 q2 150q+100001(q)=200q-q2-1000 199
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——199—— 例 1 若一年内 12 个月的销售额随着时间的增长而增长，具体的销售曲线为 0.02t 1000000e ，求一年内的销售总额． 解： = 12 0 0.02 u 1000000e dt t 12 0 0.02 e 0.02 1000000 t = =13560000 （元） 例 2 若已知某企业的边际成本函数为 0.2q 2e ，且固定成本 c0 = 90 ，求产量 q 由 100 增加至 200 时总成本增加多少． 解法一： = 200 100 0.2 C 2e dq q 200 100 0.2 e 0.2 2 q = 10(e e ) 40 20 = − 解法二： q C q 0.2 ( ) = 2e C q = q q ( ) 2e d 0.2 1 0.2 10e c q = + 已知 C(0) =10 + c1 = 90 ，得 c1 = 80 ，即 ( ) 10e 80 0.2 = + q C q C = C(200) −C(100) 10(e e ) 40 20 = − 四、课堂作业 练习 1 已知某产品边际成本为 150 2 ( ) = − q C q （百元／件），固定成本 为 10000（百元），边际收入为 R(q) = 50 （百元／件），试求利润函数 L(q) ． L(q) = R(q) −C(q) ，其中 C(q) 和 R(q) 可由 0 0 C (q)dq c q + ； q R q q 0 ( )d ； 10000 4 1 ( ) 200 2 L q = q − q − = + = − + q q q q C q C q q C 0 0 150)d 10000 2 ( ) ( )d (0) ( 150 10000 4 2 = − q + q ； 10000 4 1 ( ) 200 2 L q = q − q −
经济数学基础 第7章定积分的应用 练习2某产品边际成本C(q)=3+q(万元/百台),边际收入R(q)=12-q(万 元/百台),固定成本5(万元).求 (1)使利润达到最大的产量及最大利润; (2)若在最大利润产量的基础上再生产200台,总利润将发生什么变化? (1)利用L(q)=R(q)-C(q)求L(q),再求L(q)的最大值 L'(gdq (2)利用 或直接计算L=L(90+2)-1(q0) C(q)=C(q)g+=73+qg+5=3+9y R(q)=R(gg=12-qg=12- L(9)=R(q)-C(q)=12q-2 9-(30+9+5=9-q2-5 五、课后作业 1.已知边际成本C(q)=12e05 ,固定成本为26,求总成本函数 2.某产品的总成本(万元)的变化率为C(q)=1(万元/百台),总收入(万 元)的变化率为产量q(百台)的函数R(q)=5-q(万元/百台) (1)求产量q为多少时,利润最大? (2)在上述产量(使利润最大)的基础上再生产100台,利润将减少多少? 3.某新产品的销售率为f(x)=100-90,式中x是产品上市的天数求前4天的销售 点 2.(1)q=4 (2)0.5万元;3 310+90e-4 200
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——200—— 练习 2 某产品边际成本 C(q) = 3 + q （万元／百台），边际收入 R(q) = 12 − q （万 元／百台），固定成本 5（万元）．求 （1）使利润达到最大的产量及最大利润； （2）若在最大利润产量的基础上再生产 200 台，总利润将发生什么变化？ （1）利用 L(q) = R(q) −C(q) 求 L(q) ，再求 L(q) 的最大值． （2）利用 + = 0 2 0 ( )d q q L L q q 或直接计算 ( 2) ( ) L = L q0 + − L q0 ． 5 2 ( ) ( )d (3 )d 5 3 2 0 0 0 = + = + + = + + q C q C q q c q q q q q 2 ( ) ( )d (12 )d 12 2 0 0 q R q R q q q q q q q = = − = − 5) 2 (3 2 ( ) ( ) ( ) 12 2 2 = − = − − + + q q q L q R q C q q 9 5 2 = q − q − 五、课后作业 1．已知边际成本 q C q 0.5 ( ) =12e ，固定成本为 26，求总成本函数. 2．某产品的总成本（万元）的变化率为 C(q) = 1 （万元／百台），总收入（万 元）的变化率为产量 q （百台）的函数 R(q) = 5 − q （万元／百台）. （1）求产量 q 为多少时，利润最大？ （2）在上述产量（使利润最大）的基础上再生产 100 台，利润将减少多少？ 3．某新产品的销售率为 x f x − ( ) =100 − 90e ，式中 x 是产品上市的天数.求前 4 天的销售 总量． 2．（1） q = 4 ，（2）0.5 万元；3. 4 310 90e − +