《高等数学》课程电子教案：第十一章（11.6）傅里叶（Fourier）级数

章节题目 第七节傅里叶( Fourier)级数 三角级数三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 内容提要 狄利克雷收敛定理 傅里叶系数的计算公式 重点分析 对狄利克雷收敛定理的理解 难点分析 习题布置 303 1(单)、3 备注

1 章 节 题 目 第七节 傅里叶（Fourier）级数 内 容 提 要 三角级数 三角函数系的正交性 函数展开成傅里叶级数 重 点 分 析 狄利克雷收敛定理 傅里叶系数的计算公式 难 点 分 析 对狄利克雷收敛定理的理解 习 题 布 置 P303 1（单）、3 备 注

教学内容 问题的提出 非正弦周期函数:矩形波() 1,当-≤t<0 1,当0≤t<丌 丌 不同频率正弦波逐个叠加 3t. 5t in 7t u=-sIn t (sn (+-sin 31) 2

2 教 学 内 容 一、问题的提出 非正弦周期函数: 矩形波      − −   =   t t u t 1, 0 1, 0 ( ) 当 当 不同频率正弦波逐个叠加 sin 7 , 7 1 4 sin 5 , 5 1 4 sin 3 , 3 1 4 sin , 4 t  t  t  t     u sin t 4  = sin 3 ) 3 1 (sin 4 u = t + t  sin 5 ) 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 u = t + t + t  o t u −  1 −1

(sin t+sin 3t+=sin 5t+=sin 7t) u=-(sin t+-sin 3t +sin 5t+-sin 7t+-sin 90) 7 u(o)=-(sin t+-sin 3t +-sin 5t+=sn 7t+.)(I(A, sin cos not+ A, cos p, sin nor) A, sin g,, b 2 ∑( a cos nx+ b, sin nx)三角级数 2.三角函数系的正交性 三角函数系:1,cosx,snx,cos2x,sn x,… coS nX,Snnx 正交:任意两个不同函数在[-,]上的积分等于零 cosnxdx=0,「 sin ndx=0 sin mrsn nrdr/0.m≠n 7. =n

3 sin 7 ) 7 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 u = t + t + t + t  sin 9 ) 9 1 sin 7 7 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 u = t + t + t + t + t  sin 7 ) 7 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 u(t) = t + t + t + t +  (−  t   ,t  0) 二、三角级数 三角函数系的正交性 1.三角级数   = = + + 1 0 ( ) sin( ) n n n f t A A nt  谐波分析   = = + + 1 0 ( sin cos cos sin ) n n n n n A A  nt A  nt , 2 0 0 A a 令 = sin , an = An n cos , bn = An n t = x,   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 三角级数 2.三角函数系的正交性 三角函数系：1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, cos nx,sin nx,  正交:任意两个不同函数在[−,]上的积分等于零. cos = 0, −   nxdx sin = 0, −   nxdx , , 0, sin sin    =  = − m n m n mx nxdx   

0.m≠n cos mx cos nxdx sin mycos nxdx=0.(其中m,n=12.…) 三、函数展开成傅里叶级数 问题(1)若能展开,a2b是什么? (2)展开的条件是什么? 1傅里叶系数若有∫(x)= do (ak cos kx+bk sin kx) kx)ldb d x+ ∫∑ b, sin kr f(x)dx fO x)cos nr 2COS ndr [a b dx a.=.((123- (3)求b ∫f(x)sm=」smmd [a,i cos kosin ndx+b sin kosin nxdx]=b,r bn=.f(x)sin ndx (n=1,2,3,)

4 , , 0, cos cos    =  = − m n m n mx nxdx    sin cos = 0. −   mx nxdx (其中m,n =1,2, ) 三、函数展开成傅里叶级数 问题（1）若能展开, ai bi , 是什么? （2）展开的条件是什么? 1.傅里叶系数   = = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) k k k a k x b k x a 若有 f x (1) . 求a0 dx a k x b k x dx a f x dx k k k [ ( cos sin )] 2 ( ) 1 0   −   = − − = + +       dx a k xdx b kxdx a k k k k cos sin 2 1 1 0    −   = −  = − = + +       2 , 2 0 =   a − =    a f (x)dx 1 0 (2) . 求an − − =     nxdx a f x nxdx cos 2 ( ) cos 0 [ cos cos sin cos ] 1  − −  = + +     a k x nxdx b k x nxdx k n k − =   a nxdx n 2 cos , = an − =    a f x nxdx n ( ) cos 1 (n =1,2,3, ) (3) . 求bn − − =     nxdx a f x nxdx sin 2 ( )sin 0 [ cos sin sin sin ] 1  − −  = + +     a k x nxdx b k x nxdx k n k  , = bn − =    b f x nxdx n ( )sin 1 (n =1,2,3, )

傅里叶系数 f(x)cos ndx, (n=0, 1, 2, . . f(x)sin ndx, (n=1, 2, . f(x)cos ndx, (n=0,1, 2, .. 或 b,=- f(x)sin ndx,(n=1, 2, . 傅里叶级数 +∑( a cos nx+ b sin nx) 问题 f(x)条件?“+∑( a. cos nx+ b. sin nx) 2狄利克雷 Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设∫(x)是以2丌为周期的周期函数如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有 限个第一类间断点并且至多只有有限个极值点则f(x)的傅里叶级数收敛,并且 (1)当x是∫(x)的连续点时级数收敛于∫(x) (2)当x是f(x)的间断点时收敛于 f(x-0)+f(x+0) (3)当x为端点x=±丌时收敛于 ∫(-x+0)+f(x-0) 注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多 例1以2为周期的矩形脉冲的波形叫=/Em,0≤1<x将其展开为傅立叶 级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点x=km(k=0+1±2…)处不连续

5 傅里叶系数        = = = =   − −       ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( ) cos , ( 0,1,2, ) 1   b f x nxdx n a f x nxdx n n n        = = = =       2 0 2 0 ( )sin , ( 1,2, ) 1 ( ) cos , ( 0,1,2, ) 1   b f x nxdx n a f x nxdx n n n 或 傅里叶级数   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 问题:   = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ? n an nx bn nx a f x 条件 2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f (x) 是以 2 为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有 限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 f (x) 的傅里叶级数收敛,并且 （1） 当 x 是 f (x) 的连续点时,级数收敛于 f (x) ; （2）当 x 是 f (x) 的间断点时,收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0) ; (3) 当 x 为端点 x =  时,收敛于 2 f (− + 0) + f ( − 0) . 注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多. 例 1 以 2 为周期的矩形脉冲的波形    − −     =    E t E t u t m m , , 0 ( ) 将其展开为傅立叶 级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = k(k = 0,1,2, )处不连续. o t u −  m E − Em

收敛于=En+Em=Em+(-En)=0 ≠k时,收敛于f(x) u(o)cos ndt (E)coSntdt+- E cos ndt 0(n=0,1,2,…) b,=u(osin ndt =Em)sin ndt +-LEm sin ndt 2E 2E (-coSnr [-(-1)] 丌 nZc 4E (2k-1z,n=2k-1,k=1,2 n=2k.k=1 所求函数的傅氏展开式为 a()=∑4E Sn(2n-1)(-∞<t<+∞,t≠0,±丌,±2丌,…) 注意:对于非周期函数,如果函数f(x)只在区间[-r,x]上有定义,并且满足狄氏 充分条件,也可展开成傅氏级数 作法:周期延拓(T=2丌)F(x)=f(x)(-r,) 端点处收敛于=Lf(x-0)+f(-丌+0) 例2将函数f(x)= 展开为傅立叶级数 0≤x≤丌 解所给函数满足狄利克雷充分条件 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在[-x,x]收敛于f(x) f∫(x)dx f(x)dx+Lf(x)dx f(x)cos ndx f(x)cos ndx+-L f(x)cos ndx

6 2 收敛于 − Em + Em 2 ( ) Em + −Em = = 0, 当x  k时, 收敛于f (x). − =    a u t ntdt n ( ) cos 1   = − + −     0 0 cos 1 ( ) cos 1 E ntdt E ntdt m m = 0 (n = 0,1,2, ) − =    b u t ntdt n ( )sin 1   = − + −     0 0 sin 1 ( )sin 1 E ntdt E ntdt m m (1 cos ) 2   n n Em = − [1 ( 1) ] 2 m n n E = − −       = = = − = = −   0, 2 , 1,2, , 2 1, 1,2, (2 1) 4 n k k n k k k Em  所求函数的傅氏展开式为   = − − = 1 sin( 2 1) (2 1) 4 ( ) n m n t n E u t  (−  t  +; t  0,  ,  2 , ) 注意: 对于非周期函数,如果函数 f (x) 只在区间 [− , ] 上有定义,并且满足狄氏 充分条件,也可展开成傅氏级数. 作法: 周期延拓(T = 2) F(x) = f (x) (−,) [ ( 0) ( 0)] 2 1 端点处收敛于 f  − + f − + ] 例 2 将函数      − −   =   x x x x f x , 0 , 0 ( ) 展开为傅立叶级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 [− , ] 收敛于 f (x) − =    a f (x)dx 1 0   = − + −     0 0 ( ) 1 ( ) 1 f x dx f x dx =  , − =    a f x nxdx n ( ) cos 1   = − + −     0 0 ( ) cos 1 ( ) cos 1 f x nxdx f x nxdx x y o − 2 −  2 

(cos nx-1) [(-1)-1] n (2k-1)2z n=2k-1,k=1,2, 2k,k=1,2 f(x)sin ndx=- f(x)sin nxdx+-f(x)sin ndx=0 所求函数的傅氏展开式为 丌4 cos(2n-1)x(-x≤x≤丌) (2n-1) 利用傅氏展开式求级数的和 (x)= 4 2xa7(2n-)co(2n-1)x, y 当x=O时,f(O)=0, 设σ=1+2+2+n2+… O1 σ;+σ 44 G=01+o2= 60=2a1-a=z2 四、小结 基本概念 2傅里叶系数 3狄利克雷充分条件 4.非周期函数的傅氏展开式: 5.傅氏级数的意义——整体逼近

7 (cos 1) 2 2 = nx − n  [( 1) 1] 2 2 = − − n n       = = = − = − − =   0, 2 , 1,2, , 2 1, 1,2, (2 1) 4 2 n k k n k k k  − =    b f x nxdx n ( )sin 1   = − + −     0 0 ( )sin 1 ( )sin 1 f x nxdx f x nxdx = 0, 所求函数的傅氏展开式为   = − − = − 1 2 cos(2 1) (2 1) 4 1 2 ( ) n n x n f x   (−  x   ) 利用傅氏展开式求级数的和 cos(2 1) , (2 1) 4 1 2 ( ) 1  2  = − − = − n n x n f x    当x = 0时, f (0) = 0, = + 2 + 2 + 2 5 1 3 1 1 8  , 4 1 3 1 2 1 1 设 = + 2 + 2 + 2 + ), 8 ( 5 1 3 1 1 2 1 2 2   = + + + = , 6 1 4 1 2 1  2 = 2 + 2 + 2 + , 4 1 3 1 2 1 1  3 = − 2 + 2 − 2 + , 4 4 1 2 2     +  = = , 3 24 2 1 2    = =  =1 + 2 , 6 2  =  3 = 21 − . 12 2  = 四、小结 1.基本概念； 2.傅里叶系数； 3.狄利克雷充分条件； 4.非周期函数的傅氏展开式； 5. 傅氏级数的意义——整体逼近

思考题 若函数(-x)=v(x),问:(x)与v(x)的傅里叶系数an、b与an、B (n=0,12,…)之间有何关系? 思考题解答 P(x)cos ndx 1[(-o×x-m)(-) dx bn p(x)sin ndx 1厂o-m(-m) P(x)sin ndx y(x)sin ndx B,(n b,=-B

8 思考题 若函数 (−x) = (x) ，问： (x) 与  (x) 的傅里叶系数 n a 、 n b 与  n 、  n (n = 0,1,2, ) 之间有何关系？ 思考题解答 − =     a x nxdx n ( ) cos 1  − = − − −     ( ) cos( ) ( ) 1 t nt d t − = −     ( x) cos nxdx 1 − =     (x) cos nxdx 1 = n (n = 0,1,2, ) − =     b x nxdx n ( )sin 1  − = − − −     ( )sin( ) ( ) 1 t nt d t − = − −     ( x)sin nxdx 1 − = −     (x)sin nxdx 1 = − n (n =1,2, ) , an =n . bn = − n